Esercizi. (z 1)sinz dz

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1 Esercizi 1. Determinare zeri e poli della funzione cos z/(z sin z). 2. Mostrare che il punto 0 non è una singolarità isolata per la funzione (sin 1/z) Mostrare che la funzione e 1/z ha in 0 una singolarità isolata che non è polare, (queste singolarità prendono il nome di singolarità essenziali). 4. Dimostrare che il campo dei quozienti dell anello d integrità C{z} è il campo delle serie di Laurent tronche C{{z}} = a n z n : N Z, a n z n N C{z}. n N n N 5. Trovare zeri e poli ( e relativi ordini) della funzione z(cosz 1)/(z 2 + 1) 6. Trovare il residuo di e iz /z(z i) nel punto i. 7. Sia Γ = {z C/ z = 2}, calcolare z (z 1)sinz dz 8. Sia Γ = {z C/ z = 1}, calcolare e z (z 1) (z 2)z 2 dz Γ Γ 8. Trovare zeri e poli (con relativi ordini) e punti di ramificazione (con relativi indici) della funzione f : Ĉ Ĉ definita da: f(z) = z 3 + z 2 per z C f( ) = 10. Sia f(z) = zcosz, trovare carte locali analitiche ψ e φ in 0 e un intero positivo n, tali che ψfφ 1 (ζ) = ζ n. 11. Sia f una funzione meromorfa in un aperto U C. Sia ζ U e sia ( ) 2 g = f (z) f (z) 3 f (z). 2 f (z) Dimostrare che se m = ord ζ f, allora: g(z) = 1 2 (m2 1)(z ζ) Dedurne che se g 0, allora f è un omeomorfismo locale. 12. Sia f : C Ĉ l applicazione analitica definita da f(z) = 1 2z 2 + z. Estendere f ad una applicazione analitica f : Ĉ Ĉ. Calcolare gli zeri, i poli e i punti di ramificazione di f. 1

2 2 13. Sia f una funzione meromorfa in C avente solo un numero finito di zeri e di poli. Dimostrare che f si scrive essenzialmente in modo unico nella forma: f(z) = (z a 1)... (z a n ) (z b 1 )... (z b m ) exp(g(z)) con g(z) olomorfa in C. Dire con esattezza cosa debba intendersi per essenzialmente in modo unico. 14. Sia f : Ĉ Ĉ l applicazione analitica definita da f(z) = z 1 z 2 1 z 3. Determinare gli zeri, i poli e i punti di ramificazione di f. Trovare una carta φ intorno a 1 e una ψ intorno a f( 1), tali che ψfφ 1 (ζ) = ζ n per qualche n > Si consideri la funzione meromorfa f(z) = z i z + i come applicazione di Ĉ in sé. Si dimostri che, come tale, f è bianalitica e che stabilisce un applicazione bianalitica tra il semipiano superiore H = {z C/Im(z) > 0} e il disco unitario. 16. Siano {e 1, e 3, e 3, e 4, e 5 )} e {v 1, v 2 } le basi standard di R 5 e R 2 rispettivamente. Siano f : R 5 R 2 e g : R 2 R 5 le applicazioni lineari definite da f(e 1 ) = v 1, f(e 2 ) = v 1 + v 2, f(e 3 ) = v 1 v 2, f(e 4 ) = v 2, f(e 5 ) = 2v 1 v 2, Sia h = g f. Descrivere g(v 1 ) = e 1 + e 3, g(v 2 ) = e 2 + e 4. (1) h : R 5 R Sia V uno spazio vettoriale reale. Stabilire un isomorfismo canonico tra V V 2 e V S 2 V. 18. Sia e 1, e 2, e 3, e 4 la base standard di R 4 e v 1, v 2, v 3 la base standard di R 2. Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita da f(e 1 ) = v 1 + v 2, f(e 2 ) = v 1 v 2, f(e 3 ) = v 1 v 3, f(e 4 ) = v 1 + v 3, Calcolare 2 (f), 3 (f), 4 (f). 19. Siano V e W spazi vettoriali con basi {e 1,..., e n } e {f 1,..., f m } rispettivamente. Siano f : V V e g : W W due applicazioni lineari le cui matrici associate, rispetto alle basi suddette, siano A e B, rispettivamente. Descrivere la matrice A B di f g : V W V W nella base {e i f j }. 20. Sia V = C 4 e sia A : V V l applicazione lineare definita dalla matrice

3 3 (2) Determinare, se esiste, il più piccolo intero n tale che possegga almeno 18 autovalori distinti. A n : V n V n 21. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n 4. Si mostri che, dato w Λ 2 V, esiste una base e 1,..., e n di V tale che r (3) w = e i e r+i, con 0 r n 2. i=1 (Si consideri una espressione w = r i=1 v i w i con r minimo.) 22. Sia A una matrice n m e B una matrice m n, con m n, entrambi a coefficienti in un campo K. Trovare una espressione di det (A B) in termini dei determinanti dei minori di ordine n di A e di B. 23. Dato uno spazio vettoriale V e due applicazioni multilineari alterne f A h (V ) e g A k (V ), si usi l isomorfismo canonico A m (V ) = Λ m (V ) per dimostrare la formula f g(v 1,..., v h+k ) = 1 ɛ(σ)f(v σ(1),..., v σ(h) )g(v σ(h+1),..., v σ(h+k) ). h! k! σ Sh+k 24. La cuspide ordinaria è la singolarità data dall equazione (4) w 2 + p(z, w) = 0, dove p(z, w) è una somma di monomi di grado maggiore di 2. Dimostrare che la cuspide (4) si desingolarizza scoppiando l origine O C Il tacnodo è la singolarità data dall equazione (5) w(w z 2 ) + q(z, w) = 0, dove q(z, w)è una somma di monomi di grado maggiore di Dimostrare che il tacnodo (5) si desingolarizza dopo due scoppiamenti. (Prima si scoppia un intorno U di O C 2 nel punto O. Sia π : Ũ U questo scoppiamento. La trasformata propria C di Γ tramite π, ha un nodo nel punto P = ((0, 0), [1, 0]) Ũ. Basta allora scoppiare Ũ nel punto P.) 27. Descrivere gli scoppiamenti che sono necessari per desingolarizzare la singolarità y 2 = x 2n Verificare che l applicazione di Segre è una immersione (analitica) non singolare. 29. Si consideri il caso n = m = 2: s : P 1 C P 1 C P 3 C ([x 0, x 1 ], [y 0, y 1 ]) [x 0 y 0, x 0 y 1, x 1 y 0, x 1 y 1 ]. Siano z 0, z 1, z 2, z 3 coordinate omogenee in P 3 C.

4 4 i): Si dimostri che la ipersuperficie quadrica Q 0 = {[z 0, z 1, z 2, z 3 ] z 0 z 3 = z 1 z 2 } è una sottovarietà complessa di P 3. ii): si dimostri che s stabilisce un isomorfismo tra P 1 C P 1 C e Q 0. iii): In generale una ipersuperficie quadrica Q non singolare di P 3 C è, per definizione, il luogo degli zeri di una equazione aij z i z j = 0, i, j = 0,..., 3, in cui (a ij ) è una matrice complessa, simmetrica e a determinante non nullo. Mostrare che Q è una sottovarietà analitica di P 3 C, e che tutte le quadriche non singolari sono tra loro isomorfe, (e ciò mostra che una quadrica non singolare di P 3 C è isomorfa a P 1 C P 1 C). 30. Descrivere un diffeomorfismo tra T 2 e {(x, y, z) R 3 [(x 2 + y 2 ) 1/2 2] 2 + z 2 = 1}. 31. Siano V e W spazi vettoriali su un campo di dimensioni n 1 e n, rispettivamente. Si identifichi W con W n n 1 W. Sia α : V W una applicazione lineare. Dimostrare che la composizione: V è uguale a zero. α W = W n n 1 W 1n W α n W n 1 V 32. Dimostrare che U(n), SU(n), Sp(2n, R) sono gruppi di Lie. 33. Dimostrare che dim R U(n) = n 2, dim R SU(n) = n 2 1 dim R Sp(2n, R) = 2n 2 + n. 34. Dimostrare che U(n), SU(n), O(n), SO(n), sono compatti (sono chiusi e limitati in un R N ). 35. Dimostrare che U(n), SU(n), Sp(2n, R), GL(n, C) SL(n, R), SL(n, C) sono connessi e che GL(n, R) ha due componenti connesse. 36. Stabilire i seguenti diffeomorfismi: SO(2) = S 1, SO(3) = P 3 R, U(n) = S 1 SU(n), SU(2) = S Dimostrare che SL(2, R)/U(1) = {z C : z < 1}. 38. Dimostrare che gli spazi S n e R n+1 \ {(0,..., 0)} sono omotopicamente equivalenti. 39. Sia X uno spazio topologico e f, g : X R n due applicazioni continue; verificare che sono omotope. 40. Uno spazio topologico si dice contraibile se è omotopicamente equivalente al punto; verificare che ogni insieme convesso è contraibile. 41. Dimostrare che un applicazione f : S 1 X è omotopa a un applicazione costante se e solo se estende a un applicazione g : D X. 42. Dimostrare che uno spazio topologico è contraibile se e solo se l applicazione id X è omotopa a un applicazione costante.

5 5 43. Verificare che l applicazione antipodale i : S 1 S 1 con i(x) = x; è omotopicamente equivalente all identità. 44. Una successione esatta corta 0 A α B β C 0 spacca se esiste un applicazione γ : B A tale che γα = id A oppure se esiste un applicazione δ : C B tale che βδ = id C. Verificare che le due affermazioni sono equivalenti. 45. Dare esempi di successioni esatte corte che spaccano e che non spaccano. 46. Verificare che in una successione esatta corta che spacca la struttura di B è completamente determinata da quelle di A e C. 47. Siano x, y, z coordinate di R 3. Calcolare i gruppi di omologia dello spazio X = R 3 \ {(x, y, z)/z = 0, x 2 + y 2 = 1}. Indicarne i generatori. 48. Sia X, lo spazio topologico ottenuto identificando un punto di S 1 con uno di S 3 : X = S 1 S 3. Calcolare H i (X, Z). 3. Calcolare i gruppi di omologia a coefficienti interi di V = {[X, Y, Z] P 2 C XY 0}. 49. Calcolare i gruppi di omologia a coefficienti interi di V = S 3 \ S Siano m e n due interi positivi. Descrivere un applicazione continua F n,m : T 2 T 2 tale che il conucleo di sia isomorfo a Z m Z n. F n,m : H 1 (T 2, Z) H 1 (T 2, Z) 51. Calcolare i gruppi di omologia a coefficienti interi dello spazio topologico X = R 3 \ {(x, y, z) x 2 = y, xy = z}. 52. Sia C = {[X, Y, Z] P 2 C X(X 2 + Y 2 Z 2 ) = 0}. Calcolare i generatori di H i (C, Z), per i Sia n > 0 un intero e f : S n S n un applicazione continua. Sia f : H n (S n, Z) H n (S n, Z) l omomorfismo indotto. Dimostrare che se f 0, allora f è suriettivo. 54. Dimostrare che R n non è omeomorfo a R m, per n m. 55. Sia f : Ĉ Ĉ definita da f(z) = z 3 +2z +7, per z C e f( ) =. Calcolare f : H 2 (Ĉ, Z) H 2 (Ĉ, Z). 56. Sia n > 0 un intero. Dimostrare che non vi sono applicazioni continue f : B n B n tali che f(b n ) S n 1 e la restrizione di f a S n 1 è l identità. 57. (Teorema del punto fisso) Sia n > 0 un intero. Dimostrare che non vi sono applicazioni continue f : B n B n prive di punti fissi. 58. Sia r i : S n S n i = 1,... n + 1 l applicazione definita dalla riflessione rispetto all iperpiano di equazione x i = 0. Calcolare la corrispondente applicazione indotta in omologia.

6 6 59. Sia a : S n S n l applicazione antipodale (i.e.a(x) = x). Descrivere la corrispondente applicazione indotta in omologia. 60. Dimostrare il teorema fondamentale dell algebra usando il fatto che H 1 (C, Z) H 1 (C, Z). 61. Sia T 2 immerso in R 3. Calcolare i gruppi di omologia dello spazio X = R 3 \ T Calcolare i gruppi di omologia dello spazio X ottenuto togliendo due punti a una superficie di Riemann compatta di genere Calcolare i gruppi di omologia dello spazio X ottenuto identificando due punti di una superficie di Riemann compatta di genere Sia X il toro T 2 a cui è stato tolto un dischetto aperto e sia γ il bordo del dischetto, verificare che l inclusione i : γ X induce l applicazione nulla in omologia. 65. La bottiglia di Klein K può essere pensata come un rettangolo con simbolo a, b, a, b 1. Dimostrare che: H i (K, Z) = 0, per i 2, H 1 (K, Z) = Z Z/2Z 66. Lo spazio proiettivo reale PR 2 può essere pensato come un rettangolo con simbolo a, b, a, b. Dimostrare che: H i (PR 2, Z) = 0, per i 2, H 1 (PR 2, Z) = Z/2Z 67. Verificare che π 1 (S 1, 1) = Z 68. Siano X e Y spazi topologici, x 0 X e y 0 Y, verificare che π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ) = π 1 (X Y, (x 0, y 0 )) 69. Sia t un punto del toro T 2. Mostrare che π 1 (T 2, t) = Z Z. Sia π : T T 2 un rivestimento connesso e finito di ordine n. Mostrare che T è un toro. Mostrare che si può identificare l omomorfismo π indotto in omotopia con una matrice due per due a coefficienti interi il cui determinante è uguale a 1 modulo a n. 70. Sia X uno spazio topologico con X = U Y, U, V connessi e semplicemente connessi. verificare che se U V è connesso per archi, allora X è semplicemente connesso. Verificare che le sfere S n (n 2) sono semplicemente connesse. 71. Sia X uno spazio topologico connesso e semplicemente connesso. Sia π : X X un rivestimento doppio e x 0 X. Dimostrare che π 1 (X, x 0 ) = Z 2. Calcolare π 1 (P n R, [1, 0,..., 0]) per n Sia p : P 1 (C) P 1 (C) l applicazione definita da p(z) = (1/3)z 3 + z, p( ) =. Trovare i più grandi aperti X e Y dove p è un rivestimento. 73. Dimostrare che SO(3) non è omeomorfo a S 1 S Dimostrare che π 1 è un funtore tra la categoria degli spazi puntati e quella dei gruppi.

7 7 Gli esercizi dal numero 75 al numero 77 conducono a una dimostrazione del fatto che per uno spazio topologico X, connesso per archi, si ha che H 1 (X, Z) = π 1 (X, x 0 )/[π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )]. ( con [G, G] intendiamo il commutatore di un gruppo G) 75. Sia ψ : H 1 (X, Z) π 1 (X, x 0 ) l applicazione che manda la classe di omotopia di un cammino chiuso γ nella sua classe di omologia. Verificare che l applicazione è ben definita, è un omomorfismo di gruppi e se X è connesso per archi, allora è anche suriettiva. 76. Fattorizziamo un cammini chiuso γ nel modo seguente: n γ = con α i cammini non necessariamente distinti e e i = ±1. Poniamo i=1 α ei i ɛ(α i ) = j=i Verificare che se ɛ(α i ) = 0 per ogni indice i, allora [γ] [π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )]. 77. Sia γ un cammino chiuso omologo a 0, verificare che a meno di un cammino omotopo al cammino costante γ soddisfa le condizioni dell esercizio precedente. Dedurre da quanto sopra che e j. H 1 (X, Z) = π 1 (X, x 0 )/[π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )]. 78. Sia Y uno spazio connesso per archi. Sia π : X Y un rivestimento topologico. Sia Z una componente connessa di X. Dimostrare che π Z : Z Y è un rivestimento topologico. 80. Verificare che dare un campo vettoriale su S n equivale a dare un applicazione C, φ : S n R n+1 tale che, per ogni x S n, φ(x) è perpendicolare a x 81. Data un azione C del gruppo R su una varietà differenziabile M (i.e. un applicazione C α : R M M che soddisfa α(0, p) = p, α(t, α(s, p) = α(t + s, p) per ogni p M e s, t R), verificare che α induce un campo vettoriale su M. 82. Dare esempi di campi vettoriali su un toro n-dimensionale. 83. Sia α E k (M), è sempre vero che α α 0? 85 dare esempi di k-forme differenziali su un toro n-dimensionale. 86. Sia π : R n+1 \ {0} P n (R) la proiezione canonica e α E k (R n+1 \ {0}); trovare le condizioni necessarie e sufficienti affinché esista β E k (P n (R)) con α = π β.

8 8 87. Sia n 4, la proiezione canonica e π : R n+1 \ {0} P n (R) ω = dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 /r 4, dimostrare che non esiste β E 4 (P n (R)) tale che ω = π β. 88. Sia π : R 2 R 2 \Λ la proiezione; verificare che esistono delle forme differenziali φ E 1 (R 2 \Λ) tali che π φ = df per qualche f E 0 (R 2 ), ma φ / de 0 (R 2 \Λ). 89. Dimostrare che sul toro T n si può definire un campo vettoriale mai nullo. 90. Dimostrare che sulla sfera S 2 non si può definire un campo vettoriale mai nullo. 91. Dimostrare che sulla sfera S n non si può definire un campo vettoriale mai nullo se e solo se n è dispari. 92. Sia C una curva piana, proiettiva, non-singolare definita dall annullarsi di un polinomio omogeneo di grado d. Trovare (d 1)(d 2)/2 1-forme differenziali linearmente indipendenti in E 1 (C). 93. Verificare che la forma ω = ydx + xdy definita su S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} è chiusa, ma non esatta. 94. Sia M una varietà differenziabile, dimostrare che se φ E k (M) e ψ E q (M) sono forme chiuse, allora a) ψ φ è una forma chiusa. b) se ψ è una forma esatta, allora anche ψ φ lo è. 95. Verificare quali delle seguenti forme differenziali definite su R 3 sono esatte o chiuse quando vengono ristrette a S 2 a)x 2 dx + xydy + xzdz b)xdy ydx c)zdx dy ydx dz + xdy dz 96. Sia M una varietà sia di tipo finito dimostrare che ogni catena singolare è omologa a una catena singolare C. 97. Consideriamo la 1 forma ω = (x 2 + 4y)dx + ( 2x + ysinπy 2 )dy definita in R 2. Calcolarne l integrale lungo il ciclo γ = Sia ω = (2x + y cos xy)dx + (x cos xy)dy definita in R 2. Calcolarne l integrale lungo il ciclo γ = Dimostrare che il teorema di de Rham è valido anche quando esiste un ricoprimento finito con U i1 U ik unione disgiunta di un numero finito di aperti stellati Sia U un aperto stellato in R n e X una varietà arbitraria, verificare che H k dr (U X) è isomorfo a Hk dr (X) Usando l applicazione antipodale verificare che H k dr (Pn (R)) = 0, per k 0, ad eccezione di quando n è dispari, nel qual caso H n dr (Pn (R)) = R.

9 Sia M una varietà orientata compatta di dimensione n. Dimostrare che HdR n (M) Sia ω la n-forma n+1 ( 1) i 1 x i dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n+1 i=1 definita su S n. Verificare che ω è chiusa, ma non esatta Dimostrare che se una varietà M contiene un aperto non orientabile, allora la varietà non è orientabile Dimostrare che P 2 (R) non è orientabile Dimostrare che P n (R) è orientabile n è dispari Sia X R n una ipersuperficie definita da F (x 1,..., x n ) = 0; dimostrare che X è orientabile Dimostrare che il toro n dimensionale T n è orientabile 109. Sia π : E M un fibrato vettoriale, verificare che dare una sezione s Γ(M, E), equivale a dare una collezione di funzioni C s α definite sugli aperti dove il fibrato banalizza che hanno le seguenti proprietà: πs α = idu α, s α = g α,β s β in U α U β Sia π : U(1, 2) P 1 (C) il fibrato tautologico, verificare che U(1, 2) è analiticamente isomorfo allo scoppiamento di C 2 nell origine Sia L k P 1 (C) il fibrato olomorfo le cui matrici di transizione sono la potenza k-ma delle matrici di transizione del fibrato tautologico. Verificare che le sezioni olomorfe di Γ(P 1 (C), L k ) esistono k Dimostrare che per ogni varietà M, il fibrato tangente T (M) è sempre una varietà orientabile Sia π : L M un fibrato lineare reale, verificare che L è banale se e solo se esiste una sezione s : M L mai nulla. Gli esercizi dal numero 114. al numero 119. conducono a una dimostrazione della dualità di Poincaré per varietà di tipo finito 114. Verificare che (6) H k (R 1 ) comp = { 0 k 1 R, k = 1. Dedurre che la coomologia a supporto compatto non è invariante per omotopia Verificare che { (7) H k (R n ) comp 0 k n = R, k = n Verificare che il funtore E k comp è coovariante per inclusione di aperti (e controvariante per applicazioni proprie).

10 Verificare che la successione definita da 0 E k (U V ) comp α E k (U) comp E k (V ) comp β E k (U V ) comp 0 α(ω) = (ω, ω), β(ω, ϕ) = (ω + ϕ ). è esatta. Dedurne la successione di Mayer-Vietoris per la coomologia a supporto compatto e il fatto che la coomologia a supporto compatto delle varietà di tipo finito ha dimensione finita Sia M una varietà orientata di dimensione n verificare che è ben definita la forma bilineare P k : H n k (M) comp H k dr(m) R. data da P k ([ω], [ϕ]) = M ω ϕ 119. Sia M una varietà orientata e di dimensione n. Verificare la commutatività ( a meno di un segno) del diagramma (in cui l = n k) H k c (U V ) H k c (U) Hk c (V ) H k c (U V ) H k+1 (U V ) H k+1 c (U) H k+1 c (V ) P P P H l (U V ) H l (U) H l (V ) H l (U V ) H l 1 (U V ) H l 1 (U) H l 1 (V ) dove la prima riga orizzontale è la successione di Mayer Vietoris in coomologia a supporto compatto, la seconda riga orizzontale è la duale della successione di Mayer Vietoris in coomologia di derham, mentre le frecce verticali sono indotte dalle forme bilineari P k. Dedurne l isomorfismo tra H n k (M) comp e HdR k (M) nel caso in cui la varietà M sia di tipo finito Calcolare la coomologia a supporto compatto di S n Calcolare la coomologia a supporto compatto del nastro di Moebius Sia f(z) una funzione meromorfa sul toro complesso C/Λ, che come funzione meromorfa in C non ha poli né zeri lungo P, il bordo del parallelogramma fonda mentale. Verificare che z f (z) dz Λ. f(z) 123. Sia p : Ĉ Ĉ l applicazione definita da P Trovare i punti di ramificazione di p. p(z) = (1/3)z 3 + z, p( ) = Trovare zeri e poli (con relativi ordini) e punti di ramificazione (con relativi indici) della funzione f : Ĉ Ĉ definita da: f(z) = z 3 + z 2, per z C, f( ) = P P 125. Sia f : C Ĉ l applicazione analitica definita da f(z) = 1 2z 2 + z.

11 11 Estendere f ad una applicazione analiticaf : Ĉ Ĉ. Calcolare gli zeri, i poli e i punti di ramificazione 126. Si consideri la funzione meromorfa f(z) = z i z + i come applicazione di Ĉ in sé. Si dimostri che, come tale, f è bianalitica e che stabilisce un applicazione bianalitica tra il semipiano superiore H = {z C/Im(z) > 0} e il disco unitario Descrivere tutte le applicazioni bianalitiche di Ĉ in sé Sia f : Ĉ Ĉ l applicazione analitica definita da f(z) = z 1 z 2 1 z 3. Determinare gli zeri, i poli e i punti di ramificazione di f. Trovare una carta φ intorno a 1 e una ψ intorno a f( 1), tali che ψfφ 1 (ζ) = ζ n per qualche n > Sia H il semipiano superiore, p(z), q(z) C[z] con deg q(z) deg p(z) + 2 e q(z) privo di zeri reali, verificare che + p(x) q(x) dx = z 0 H Res z0 p(z) q(z) dz Calcolare + x 2 (1 + x 4 ) dx 9. Sia S una superficie di Riemann compatta e ω, φ Ω 1 (S) tali che ω = φ per ogni cammino regolare γ, dimostrare ω = φ. γ 131. Sia f : S S un applicazione analitica non costante tra superfici di Riemann compatte. Indichiamo con R f l insieme di ramificazione di f, cioè l insieme dei punti di S in cui f non è un omeomorfismo locale. Dimostrare che i) Per ogni q S, f 1 (q) è un insieme finito ii) B = f(r f ) è un insieme finito iii) Posto A = f 1 (B), f 0 : S \ A S \ B è un rivestimento finito iv) Per ogni q S si ha e p (f) = n, p f 1 (q) dove n è il grado del rivestimento (In questo esercizio e nei successivi, si assuma l esistenza di funzioni meromorfe non costanti sulle superfici di Riemann compatte) Sia S una superficie di Riemann compatta. Sia B un insieme finito. Sia q S \ B e sia n un intero positivo. Dimostrare che vi è una corrispondenza biunivoca tra i seguenti insiemi i) L insieme dei rivestimenti ramificati di ordine n, f : S S, a meno di isomorfismi analitici, tali che f(r f ) B. ii) L insieme delle classi di equivalenza dei rivestimenti di ordine n di S \ B. γ

12 12 iii) Il sottoinsieme di Hom ext (π 1 (S \ B, z), S n ), i cui elementi sono rappresentati da omomorfismi che hanno come immagini sottogruppi transitivi di S n Sia f : S S un applicazione analitica non costante tra superfici di Riemann compatte di grado n, dimostrare la formula di Hurwitz. 2g(S ) 2 = n(2g(s) 2) + p S (e p (f) 1) 134. Sia f : S S un applicazione analitica non costante tra superfici di Riemann compatte, dimostrare che g(s ) g(s) e quindi se S Ĉ, allora anche S lo è (Teorema di Lüroth) Sia f : S S un applicazione analitica non costante tra superfici di Riemann compatte, assumiamo che g(s ) = g(s), dimostrare che i) f ha ramificazione g = 0 ii) se g(s ) = g(s) 2 f è un isomorfismo iii) se g(s ) = g(s) = 1, f può avere ogni grado. Esibire esplicitamente tali f Siano X, Y, Z coordinate omogenee in P 2 C. Sia C = {[X, Y, Z] P 2 C X 4 + XY 3 + Z 4 = 0}. Si consideri su C la funzione meromorfa f = X/Z i) Calcolare poli e zeri di f con i loro ordini. ii) Calcolare i punti di ramificazione di f con i loro indici, e calcolare il genere di C. iii) Trovare su C tre differenziali olomorfi linearmente indipendenti Siano X, Y, Z coordinate omogenee in P 2 C. Sia C = {[X, Y, Z] P 2 C X 4 + Y 4 + Z 4 = 0}. Si considerino su C le funzioni meromorfe f = (Y Z)/X e h = X/Z i) Calcolare poli e zeri di f e di h. ii) Calcolare i punti di ramificazione di h con i loro indici, e calcolare il genere di C. iii) Trovare su C tre differenziali olomorfi linearmente indipendenti Siano X, Y, Z coordinate omogenee in P 2 C. Sia C = {[X, Y, Z] P 2 C X 4 + Y 4 + Z 4 = 0}. Sia i : C C l involuzione definita da i([x, Y, Z]) = [ X, Y, Z]. Calcolare il genere di C/i Calcolare il genere della curva proiettiva, la cui equazione affine è data da x 3 = y 5 1, realizzandola come rivestimento ramificato dell asse x Sia C la superficie di Riemann della curva piana Γ di equazione XY Z 3 + X 5 + Y 5 = 0. Mostrare che C può realizzarsi come rivestimento triplo di Ĉ e calcolarne il genere Sia C la desingolarizzazione della curva piana Γ di equazione Y 2 Z 2N 1 = (X a i Z) 2N+1 i=1

13 13 con a i a j se i j. Mostrare che C può realizzarsi come rivestimento doppio di Ĉ e calcolarne il genere La funzione Λ (z) è meromorfa in Ĉ? 143. Per ogni toro C = C/Λ verificare che le funzioni f = Λ (z) e g = Λ (z) non soddisfano le condizioni del Lemma 3.3. Cosa si può dire dell applicazione F : C P 2 definita da f e g? 144. Dimostrare che ogni toro C/Λ è analiticamente isomorfo a un toro definito da un reticolo Λ τ avente una base formata da 1 e τ = x + iy con y > 0. Denotiamo con T (τ) il toro definito dal reticolo Λ τ. Verificare che T (τ) e T (ρ) sono isomorfi se e solo se ρ = (aτ + b)(cτ + d) 1 con a, b, c, d Z e ad bc = (Classificazione dei tori complessi) Sia M = {τ C y > 0, 1/2 < x 1/2, τ > 1} {τ C y > 0, 0 x 1/2, τ = 1}. Dimostrare che ogni toro complesso è isomorfo a uno e uno solo T (τ) con τ M 146. Verificare che se T (τ) e T (ρ) sono isomorfi, allora per ogni intero positivo k si ha E k (ρ) = (cτ + d) k E k (τ). Viceversa, verificare che se E k (ρ) = (cτ + d) k E k (τ) per k = 4, 6, allora T (τ) e T (ρ) sono isomorfi Sia definita da (8) Φ(z) = Φ : C/Λ P 3 C { [ (z), (z), (z), 1] se z O Λ [0, 0, 1, 0] se z = O Λ. Verificare che Φ è iniettiva e che ImΦ è l intersezione di 2 quadriche in P 3 C Sia Γ P 2 una cubica piana non singolare immagine di un toro complesso C/Λ. Sia P 0 = [0, 1, 0], trasportiamo la struttura di gruppo di C/Λ su Γ mandando 0 in P 0 ; verificare che è uguale a 0 la somma di 3 punti allineati. (Sugg: Usare il risultato dell esercizio 1 Cap 6 2 e il fatto che la retta di equazione Z = 0 interseca la curva C in P 0 con molteplicità 3) 149. Sia Γ P 2 una curva algebrica non singolare. Dimostrare che Γ è connessa Sia C la desingolarizzazione della curva piana proiettiva Γ la cui equazione Y 4 X 3 Z = 0. Calcolare il genere di C e il campo delle funzioni meromorfe di C 151. Mostrare che la desingolarizzazione C della curva piana Γ di equazione X 2 Y 2 + X 2 Z 2 + Y 2 Z 2 = 0. è di genere 0 e trovare un isomorfismo esplicito tra C e Ĉ Descrivere il campo M(C/Λ).

14 Sia P GL(1, C) = GL(2, C)/C. Verificare che ogni σ P GL(1, C) induce un automorfismo di Ĉ. Dimostrare che Aut(Ĉ) = Aut(C(x)). Viceversa, dimostrare che ogni automorfismo di C(x) è indotto da un elemento di P GL(1, C).