Concorso a n.8 borse per l avviamento alla ricerca riservate ad iscritti ai corsi di Laurea Magistrale in Matematica, a.a

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1 Concorso a n.8 borse per l avviamento alla ricerca riservate ad iscritti ai corsi di Laurea Magistrale in Matematica, a.a Istituto Nazionale di Alta Matematica F. Severi SVOLGIMENTO PROVA SCRITTA DEL 14 OTTOBRE 16 Esponiamo qui sotto le soluzioni dei problemi proposti. Naturalmente, altre soluzioni sono possibili e tutte, purché corrette, sono state ritenute valide. SVOLGIMENTO GRUPPO A Esercizio A1. Partendo dal risultato noto che le successioni {sin n} n N e {cos n} n N sono dense in [ 1, 1], dimostrare che: 1 {sinn + 1} n N e {cosn + 1} n N sono dense in [ 1, 1]; la successione {cos n } n N non ha limite per n. Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che dal risultato citato segue che la successione {cos n, sin n} n N è densa sulla circonferenza unitaria S 1. 1 Consideriamo {sinn + 1} n N. Si ha sinn + 1 = α sin n cos n + β1 sin n dove α = cos 1, β = sin 1 >. Sia x [ 1, 1] e n k tale che Posto sin n k, cos n k x, 1 x. fx = αx 1 x + β1 x sarà sinn k +1 fx. Pertanto f[ 1, 1] {sinn + 1} n N. D altro canto f è continua e ±1 f[ 1, 1] in quanto, ad esempio, f 1 1 α α = 1 e f = 1 Ne segue che [ 1, 1] f[ 1, 1] e la tesi è provata. Supponiamo per assurdo che cos n L e, fissato x [ 1, 1[, sia Allora cosn k + 1 x. cosn k + 1 = cos n k cosn k + 1 sin n k sinn k + 1 1

2 da cui L 1 x = 1 L 1 x. Ne segue che L = 1 + x/, in contrasto con l unicità del limite. Esercizio A. Dimostrare che 1 fx x dx 4 per ogni f C 1 [, 1] tale che f =. 1 f x dx Dimostrazione. Osservato che x fx/x si prolunga con continuità su [, 1], risulta 1 f x fx dx 1 = 4 f x 4 fxf x + fx x x x dx. Quindi, integrando per parti, 1 4 f x fx x dx f1 da cui segue la tesi. Esercizio A. Dato α [, 1], si consideri il sistema di equazioni differenziali ẋt = yt xt S ẏt = α sin xt yt 1 Risolvere S per α =. Provare che, per ogni α [, 1], l origine, è l unico punto stazionario o di equilibrio per il sistema S. Studiare la stabilità di, al variare di α in [, 1]. Dimostrazione. 1 xt = a + bte t, yt = be t a, b R. Per α ], 1] si ha che = y x = α sin x y ammette la sola soluzione x = = y. Infatti, per x si ha che sin x x < 1 < 1 α. Per α = otteniamo immediatamente x = = y.

3 Per α [, 1[ possiamo studiare la linearizzazione di S in,. Posto y x fx, y = α sin x y si ha Df, = 1 1 α 1 che ha autovalori negativi. Pertanto, è asintoticamente stabile. Per α = 1, poniamo V x, y = 1 x + y. Allora V x, y fx, y = x + y + xy + y sin x x + y + x y Pertanto V è una funzione di Liapunov per, che risulta quindi stabile. Esercizio A4. Data f C 1 ]a, b[, poniamo N = { x ]a, b[ : f x = }. Dimostrare che fn ha misura nulla secondo Lebesgue. Dimostrazione. Supponiamo innanzitutto < a < b < +. Fissato ɛ > sia A ɛ = {x ]a, b[ : f x < ɛ}. Poichè A ɛ è aperto in ]a, b[ esisteranno intervalli aperti disgiunti {In} ɛ tali che A ɛ = In. ɛ Per ogni x, y In ɛ si ha fy fx ɛ y x. Pertanto fn f = fin ɛ ɛ In ɛ ɛb a. n=1 I ɛ n n=1 n=1 Ne segue che fn =. Se poi a < b + si ragiona per approssimazione. Esercizio A5. Due amici si danno appuntamento in un bar tra le 1 e le 11 con l accordo che ciascuno dei due, non trovando l amico al proprio arrivo, attende 1 minuti e poi va via. Calcolare la probabilità che i due amici si incontrino. Dimostrazione. Rappresentando le coppie dei tempi di arrivo dei due amici come punti x, y [, 1], si ha che la probabilità che i due amici si incontrino è data da { x, y [, 1] : x y 1 } 11 = 6 6. n=1

4 4 SVOLGIMENTO GRUPPO B Esercizio B1. Sia B un anello. i 6 punti Supponendo che si abbia b = b, per ogni b B, mostrare che B e commutativo. ii 1 punto Supponiamo invece che si abbia b = b, per ogni b B. Mostrare che se x, y B allora xy = se e solo se yx =. iii punti Ipotesi come in ii. Sia c B tale che c = c. Utilizzare ii per mostrare che c e centrale, cioe che per ogni x B si ha cx = xc. iv 1 punto Ipotesi come in ii. Sia b B. Utilizzare iii per mostrare che b e centrale. v punti Ipotesi come in ii. Sia b B. Mostrare che b + b = b + b = b + b + b + b, e concludere quindi, usando iv, che b e centrale, e che dunque B e commutativo. Svolgimento i Per ogni b B si ha b+b = b+b = b +b +b +b = b+b+b+b, donde, cancellando, b + b = e B ha caratteristica. Se ora x, y B si ha x + y = x + y = x + xy + yx + y = x + xy + yx + y, donde, cancellando, = xy + yx, e dato che la caratteristica di B e, si ottiene xy = yx. ii xy = xy = xyxyxy = xy =. iii = cx c x = cx cx = x cxc = xc cxc, donde xc = cxc. Similmente = xc xc = x xcc = cx xc = cx cxc, donde cx = cxc. Confrontando, xc = cx. iv b = bb = b. v b+b = b+b = b+b b+b = b+b +b+b b+b = b+b +b+b, da cui b = b + b + b + b b, e per iv b e centrale. Esercizio B. Si consideri R come spazio vettoriale con e = {e 1, e, e } la sua base canonica. Sia F EndR definito da F e 1 = e e, F e = e, F e = 1 e e. i punti Stabilire se l endomorfismo F e triangolabile su R. ii punti Stabilire se il polinomio minimo m F x R[x] ed il polinomio caratteristico p F x R[x] dell endomorfismo F coincidono a meno del segno. iii punti Verificare che, a meno dell ordine dei blocchi, la forma canonica di Jordan di F e J O,1, O 1, J 1

5 dove J e un blocco di Jordan, J 1 e un blocco di Jordan 1 1, O,1 e la matrice colonna e O 1, e la matrice riga. iv 4 punti Notazione come in iii. Siano A = J O,1 O 1, J 1 e B = J 1 O 1, O,1 J Determinare il sottogruppo H GL, R generato dagli elementi A e B. Svolgimento i La matrice rappresentativa in base e di F e la matrice 1 A = Notiamo che tra =, deta = 1 mentre la somma dei minori principali e σ = =. Pertanto il polinomio caratteristico di F e p F x = x + x x + 1 = x 1. Poiche lo spettro di F e {1} R, F e triangolabile su R. ii Per definizione di polinomio minimo, m F x R[x] e un polinomio monico, non costante ed e un divisore di p F x. Pertanto m F x e della forma x 1 n, con 1 n. Denotata con I la matrice identita, notiamo che A I = non e la matrice nulla, quindi n > 1. Visto che A I = O, dove O denota la matrice nulla, si deduce che m F x = x 1 e che quindi m F x e un divisore proprio di p F x in R[x]. iii Visto che rga I = 1, l autospazio KerA I relativo all autovalore 1 ha dimensione. Quindi F ha due blocchi di Jordan, necessariamente uno dei quali di ordine il grado del polinomio minimo m F x. A meno dell ordine dei blocchi di Jordan, la forma canonica di Jordan di F e pertanto come descritta nel testo dell esercizio. iv Si verifica direttamente che l insieme delle matrici unitriangolari superiori ua, b, c = 1 a c 1 b 1 con a, b, c Z forma un sottogruppo U di GL, Z GL, R, e quindi H U. D altra parte definita C := A 1 B 1 AB si ha B b A a C c = ua, b, c.. 5

6 6 Esercizio B. Si consideri A R il piano affine reale, con riferimento affine RAO; x, y. Sia data C A R la curva piana di equazione cartesiana fx, y = y + y x x 1 =. i punti Determinare i punti singolari di C e le equazione delle tangenti principali nei punti singolari. ii 4 punti Determinare una parametrizzazione razionale di C e studiare iniettivita e regolarita della parametrizzazione determinata. iii 4 punti Considerando l inclusione naturale A R P R, x, y [1, x, y], dove P R il piano proiettivo reale, verificare che C e non-singolare nei suoi punti impropri. iv punti Verificare che C possiede un unico punto di flesso all infinito e si calcoli l equazione cartesiana omogenea della retta proiettiva tangente inflessionale. Svolgimento i Considerando f x, f = x, y + y =, y si ottengono i punti P = 1, e Q = 1,, il secondo dei quali non appartiene a C. Pertanto C e singolare esclusivamente in P. L equazione complessiva delle tangenti principali nel punto singolare P e : i.e. f x P x f x y P x + 1y + f y fp y =, x y =. Pertanto le tangenti principali a C in P sono le due rette y = ±x + 1 e P e dunque un punto doppio ordinario equivalentemente nodale per C. ii Consideriamo il fascio di rette {y = tx + 1} t R, di centro il punto P. Il sistema di intersezione di C con la retta r t : y = tx + 1, t R parametro, e dato da { x + 1 t x t 1 = y tx + 1 =

7 Per t ±1 la retta r t ha, fuori del punto P, intersezione con la curva C il punto Q t = 1 t t, 1 t ed ivi l intersezione e semplice. Invece per t = ±1, che t t corrispondono ad i coefficienti angolari delle due tangenti principali a C in P, le rette r ±1 hanno intersezione con C esclusivamente in P. Ciascuna di queste due rette ha ivi molteplicita di intersezione. La precedente analisi fornisce una parametrizzazione razionale di C, definita in R \ {}, data da: 1 t t 1 t αt = xt, yt := t, t. La parametrizzazione αt, laddove definita, non e iniettiva visto che α1 = α 1 ma e regolare visto che α t = x t, y t = t,, per t 4 t ogni t R \ {}. iii Denotiamo con C il completamento proiettivo di C in P R e poniamo [x, x 1, x ] coordinate omogenee in P R. Abbiamo allora che l equazione omogenea che definisce C e F x, x 1, x = x x x 1 + x x x x 1 x =. I punti impropri di C A R sono determinati dall intersezione di C con la retta di equazione x =, che e esclusivamente il punto H := [, 1, ]. Le derivate parziali di F x, x 1, x valutate in H, forniscono la terna 1,,, pertanto H e non singolare per C. iv La retta x = ha molteplicita di intersezione con C in H, che e non singolare per C. Ne segue che x = e ivi tangente a C, che H e punto di flesso per C e che la tangente inflessionale e proprio x =. Con procedimento alternativo, si puo arrivare alla medesima conclusione determinando l equazione della curva nella carta affine di P R dove x 1. 7 Esercizio B4. Sia data la parametrizzazione x : R R u, v u, v, uv. i punti Stabilire se xu, v e una parametrizzazione regolare, iniettiva e determinare l equazione cartesiana della superficie immagine Σ R. ii punti Classificare i punti di Σ. iii 4 punti Preso P = 1, 1, 1 Σ, determinare curvature principali, tangenti principali e tangenti asintotiche di Σ in P. iv punti Determinare le linee asintotiche di Σ e calcolare il vettore curvatura in ciascun punto di esse.

8 8 Svolgimento i La parametrizzazione e banalmente iniettiva. Notiamo inoltre che x u = 1,, v e x v =, 1, u pertanto la parametrizzazione e anche regolare. L equazione cartesiana di Σ e data da z = xy; pertanto Σ e un paraboloide iperbolico od a sella. ii Proprio perche Σ e un paraboloide iperbolico, tutti i suoi punti sono iperbolici. Alternativamente, con conti espliciti otteniamo che i coefficienti della prima forma quadratica fondamentale sono E = x u x u = 1 + v, F = x u x v = uv, G = x v x v = 1 + u, i coefficienti della seconda forma quadratica fondamentale sono L =, M = u + v, N = quindi la curvatura Gaussiana in ogni punto e Ku, v = LN M EG F = u + v <, u, v R. iii Il punto P corrisponde a u, v = 1, 1. Pertanto la curvatura Gaussiana in P e KP = 1 9 mentre la curvatura media e HP = 1 EN+GL F M = EG F 9. Le curvature principali in P sono le soluzioni dell equazione x + 9 x 1 9 =, i.e. la curvatura minima e k 1 = e la curvatura massima e k = La matrice rappresentativa dell operatore forma o di Weingarten nella base {x u, x v }, per u, v R arbitrari, e : 1 G F L M Au, v := EG F. F E M N Valutando Au, v nel punto P, i.e. per u, v = 1, 1, si ottiene A1, 1 = 9 9. La direzione principale relativa a k 1 = A1, 1 relativo all autovalore k 1 = autovettore corrisponde al vettore e data da un qualsiasi autovettore di, che risulta e.g. u, v = 1, 1. Questo v 1 = 11,, 1 1, 1, 1 = 1, 1, T P Σ R. Dal teorema spettrale degli operatori autoaggiunti, la direzione principale relativa a k = corrisponde a u, v = 1, 1, cioe al vettore 9 v = 11,, 1 + 1, 1, 1 = 1, 1, T P Σ R.

9 9 e Le relative rette tangenti principali in P = 1, 1, 1 sono quindi le rette x, y, z = 1, 1, 1 + t1, 1, i.e. z 1 = = x + y x, y, z = 1, 1, 1 + t1, 1, i.e. x z 1 = = x y. Le direzioni asintotiche in P sono date invece dalle direzioni che annullano la seconda forma quadratica fondamentale in P, i.e. sono le direzioni che annullano uv. Le direzioni asintotiche sono quindi le direzioni delle linee coordinate di Σ e le relative tangenti asintotiche in P sono le rette e x, y, z = 1, 1, 1 + t1,, 1 i.e. x z = = y 1 x, y, z = 1, 1, 1 + t, 1, 1 i.e. x 1 = = y z. iv L equazione differenziale che definisce le linee asintotiche di Σ e data da 1 + u + v du dv =. Le curve integrali di questa equazione differenziale soddisfano quindi o du = oppure dv =, quindi sono o u = costante oppure v = costante. Le linee asintotiche di Σ sono dunque le immagini delle linee coordinate del piano dei parametri u, v R e quindi non sono altro che le rette della doppia rigatura di Σ. Essendo rette, il loro vettore curvatura e ovunque nullo.