Varieta differenziabili.

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1 Varieta differenziabili. I matematici hanno sviluppato l Analisi in spazi Euclidei R n. Ed e in spazi Euclidei R n che sappiamo differenziare, integrare etc. Sappiamo anche che esistono spazi curvi non Euclidei (la sfera per esempio) in cui vogliamo estendere queste operazioni. Il concetto di varieta affronta questo tipo di problema. Una varieta e uno spazio che puo essere curvo ma che, localmente, appare come R n. La varieta viene costruita congiungunendo diverse regioni che sono tutte, localmente, R n con dimensione n. Per fare cio si introduce il concetto di mappa o sistema di coordinate come un applicazione dove U e un aperto appartenente alla varieta M Puo accadere che la varieta non possa essere ricoperta da un singolo sistema di coordinate. R f In questo caso dovremo costruire un atlante n U ovvero un sistema di mappe che si f(u) congiungono le une alle altre in modo M continuo. Spesso pero e piu conveniente utilizzare un singolo sistema di coordinate trattando separatamente i punti che non sono stati inclusi nella mappatura. Se la congiunzione tra le mappe e infinitamente differenziabile allora la varieta e detta smooth.

2 Vettori in varieta differenziabili 1 Le proprieta di una varieta (e.g. la curvatura) devono essere definite intrinsecamente alla varieta stessa, ovvero senza immergerla in una varieta a dimensione superiore. Ad esempio, per definire in ogni punto un campo vettoriale ed il suo spazio tangente non si puo dire: Prendiamo tutte le curve passanti per ovvero tutte le mappe e considerariamo lo spazio dei vettori tangenti (?) alle curve. Una procedura possibile sarebbe quella, una volta stabilito un sistema di coordinate in M tutte le curve x µ (l) passanti per p definisco un elemento di R n (n numeri reali), la dx µ (l)/dl, tangente allla curva. Questa procedura, corretta, ha pero il difetto di essere dipendente dalla scelta del sistema di coordinate. Possiamo invece considerare l insieme di tutte le funzioni C. Ogni curva passante per p, definisce un operatore: la derivata direzionale in p. Postulato: Lo spazio tangente in p puo essere identificato con lo spazio delle derivate direzionali lungo tutte le curve passanti da p. La dimostrazione di cio avviene in 2 fasi: 1) Lo spazio delle derivate direzionali e uno spazio vettoriale che soddisfa alle regole di composizione lineare e alla regola del prodottto di Leibnitz.

3 Vettori in varieta differenziabili 2 2) Lo spazio vettoriale cosi definito e effettivamente lo spazio tangente che cerchiamo. Lo facciamo scegliendo un sistema di basi. In particolare un set di basi che puo essere ereditato in maniera naturale dalle coordinate della varieta : le cosiddette basi coordinate che per uno spazio tangente in questione si identificano con le derivate parziali. In questo modo le derivate direzionali (vettori) possono essere espresse, nella notazione degli indici, come Queste basi coordinate, non sono uniche, ne normalizzate, ne ortogonali. Tuttavia sono piuttosto comode poiche permettono di quantificare in maniera naturale l effetto del cambio di coordinate.! "! #

4 Vettori in varieta differenziabili 3 E facile esprimere la variazione delle basi coordinate sotto trasformazione di coordinate e, da queste, esplicitare come si trasformano le componenti di un generico vettore V µ Avendo definito in ogni punto uno spazio vettoriale tangente e ora possibile definire uno spazio cotangente di vettori duali (si puo fare il viceversa). Anche in questo caso e possibile definire un set di basi coordinate, naturali, che risultano essere i gradienti delle funzioni coordinate: dx µ. Anche in questo caso Sappiamo quantificare l effetto del cambio di coordinate: In uno spazio piatto Attraverso la definizione di spazi vettoriali tangenti e cotangenti e possibile costruire oggetti di rango superiore: i tensori. Le regole di trasformazione per cambio di coordinate saranno immediatamente deducibili dalle analoghe regole per vettori e vettori duali. Anche per i tensori potremo definire delle basi coordinate che risultano dal prodotto Cartesiano delle basi negli spazi tangenti (derivate parziali) e cotangenti (gradienti di funzioni)

5 Metrica 1 Le proprieta geometriche dello spazio-tempo sono (parzialmente) specificate dal tensore metrico g µn che e un tensore (0,2) simmetrico e non-degenere, ovvero a determinante g= g µn 0. Possiamo definire il suo inverso g µn g ns = g ls g lµ =d s µ, pure simmetrico. In uno spazio di Minkowski il tensore metrico e h µn. Il tensore metrico riveste un importanza fondamentale. Negli spazi curvi viene utilizzato in molti modi differenti. Tra cui segnaliamo I seguenti: 1. La metrica peremette di definire i concetti di passato e futuro 2. La metrica permette di calcolare la separazione tra due eventi nello spazio tempo ed il tempo proprio 3. La metrica permette di definire la minima distanza tra 2 punti ed il moto delle particielle di test 4. Il concetto di metrica sostituisce quello di campo gravitazionale 5. La metrica permette di introdurre la nozione di sistemi localmente inerziali 6. La metrica determina la causalita attraverso la velocita della luce 7. La metrica permette di generalizzazare il concetto di prodotto scalare Il concetto di tensore metrico e a tutti gli effetti equivalente a quello di metrica o di prodotto scalare:

6 Metrica 2 Anche se l espressione della metrica, o dell elemento di linea, varia al variare delle coordinate, le proprieta intrinseche della varieta devono rimanere inalterate. Consideriamo per esempio l elemento di linea in uno spazio Euclideo. La sua espressione dipende dalle coordinate: Coord. Cartesiane Coord. Sferiche tuttavia l intrvallo stesso, ds 2, non deve variare. Le stesse considerazioni valgono per il tensore metrico in varieta piu generiche. Si noti che: -Il fatto che i coefficienti del tensore metrico dipendano dalle coordinate NON -IMPLICA che la varieta sia curva. - Se per qualche scelta di coordinate i coefficienti sono costanti ALLORA metrica e piatta. Tuttavia, nella pratica ptremmo non essere in grado di trovare un set di coordinate in cui le componenti sono costanti!

7 Metrica 3 Di fronte a questa difficolta vorremmo: (1) una caratterizzazione precisa della metrica (2) Un criterio o uno strumento in grado di rivelare la presenza di una curvatura. Concentriamoci per ora sul punto (1) In qualche della varieta il tensore metrico puo sempre essere espresso nella sua forma canonica in cui le componenti, solo diagonali, sono Si definisce segnatura (firma) della metrica il numero di elementi positivi, negativi o nulli presenti nella sua forma canonica. - Se un qualche autovalore e nullo allora la metrica e detta degenere. - Se la metrica e continua e non degenere la segnatura e la stessa in tutti i punti. - Se tutti gli elementi sono positivi allora la metrica e detta Euclidea o Riemanniana. - Se c e un solo elemento col segno meno allora la metrica e detta Pseudo Riemanniana o Lorentziana. - negli altri casi la metrica e detta indefinita. - E sempre possibile esprimere la metrica in forma canonica in qualche punto P della varieta. Ma, in generale, non in un intorno di P. Possiamo pero, per ogni punto P, trovare un set di coordinate, dette localmente inerziali, in cui g µn puo essere espesso in foma canonica.

8 Curvatura e derivata covariante Il concetto di curvatura e piuttosto intuitivo. La sua definizione rigorosa, pero, non e immediata. Sappiamo, ad esempio, che la presenza della curvatura pone il problema di raccordare tra loro eventi diversi dello spazio tempo. Il problema si manifesta in termini di connessione ovvero di mettere in relazione tra loro vettori tangenti in punti contigui dello spazio-tempo. La connessione non puo dipendere dalla metrica. Anzitutto dovremo generalizzare il concetto di derivata. L usuale definizione di derivata parziale, infatti, dipende dalla scelta del sistema di riferimento mentre noi vogliamo che equazioni di conservazione come siano valide sempre. Per fare cio si introduce il concetto di derivata covariante ovvero di un operatore che si riduce all usuale derivata parziale in spazi piatti ma si trasforma come un tensore in spazi piu generali. In uno spazio piatto la derivata parziale e una mappa tra lo spazio dei tensori (k,l) in uno spazio tensoriale (k,l+1). Vogliamo che anche la derivata covariante abbia queste proprieta : (1) che sia lineare negli argomenti (2) che segua la regola del prodotto di Leibnitz (3) che commuti con le contrazioni e che (4) si riduca alla derivata parziale per gli scalari

9 Coefficienti di connessione affine L idea per definire la derivata covariante e di partire dalla derivata parziale e applicare una correzione per far si che il risultato sia covariante. P. es. prendiamo un vettore V n. Per ogni direzione µ la derivata covariante sara data dalla derivata parziale piu una correzione specificata da un set di n matrici (G µ ) n s (una matrice nxn per ogni direzione µ specificata, con n=dimensione). Queste matrici vengono sono i coefficienti di connessione affine G n µs. Quindi scriveremo Per trovare le proprieta di trasformazione dei coefficienti d connessione affine si richiede che il termine a sinistra si trasformi come un tensore. Attraverso questo procedimento si evidenzia come i coefficienti G non siano dei tensori. Possiamo fare lo stesso esercizio considerando i vettori duali. I coefficienti di connessione affine sono, in questo caso: ma a causa di 3) e 4) vale che Per un tensore (k,l) oltre alla derivata parziale avremo k+l coefficicienti. Un termine +G per ogni indice in basso e un termine -G per ogni indice in alto.

10 I simboli di Christoffel In una varieta si possono definire molti tipi di connessioni. Ad ognuna delle quali corrisponde una diversa derivata covariante. Ma in una varieta dotata di metrica esiste una sola connessione, che e quella usata in RG. Percio imponiamo due condizioni. 1) Le connessione non deve ammettere torsioni: 2) La connessione e compatibile con la metrica La connessione cosi definita e unica e viene detta connessione di Levi Civita (o Riemaniana). I suoi coefficient di connessione vengono detti Simboli di Christoffel. Come e facile immaginare, la loro espressione esplicita e completamente specificata dal tensore metric e dale sue derivate parziali: Lo studio delle varieta differenziabili dotate di metrica e delle relative connessioni e detto Geometria Riemaniana. In uno spazio piatto I simboli di Cristoffel sono nulli in coordinate Cartesiane. Ma non in coordinate curve. Si consideri p. es. La metrica ds 2 =dr 2 +r 2 dq 2. g rr =1, g qq =r -2

11 I simboli di Christoffel Da questo tipo di relazioni si possono ricavare le note espressioni per il gradiente, la divergenza ed il rotore in coordinate curvilinee. In uno spazio curvo e possibile rendere nulli i simboli di Cristoffel in un punto. Questo perche e sempre possibile mandare a zero le derivate della metrica in un dato punto. Ma non in un suo intorno. Altra utile proprieta e che la formula per la divergenza di un vettore assume una forma piuttosto semplice: Poiche per i simboli di Cristoffel vale che L espressione della divergenza di un vettore diventa semplicemente Dove g e il determinate del tensore metrico

12 Trasporto parallelo 1 Definita la derivata covariante sappiamo quantificare quanto velocemente un oggetto cambia. Ma ci chiediamo: cambia rispetto a cosa? Una funzione definisce un numero in ogni punto dello spazio tempo e non e sorprendente che, per confrontare due numeri, sia sufficiente utilizzare la derivata parziale. Ma per un tensore? Il tensore e una mappa da vettori a numeri reali e non e chiaro come confrontare mappe in punti diversi dello spazio tempo. La derivata covariante permette in effetti di misurare il tasso di variazione di un tensore confrontandolo con cio che il tensore sarebbe stato se fosse stato trasportato in modo parallelo in un altro punto dello spazio tempo. Detto in altri termini la connessione permette di confrontare tensori vicini. Il concetto di trasporto parallelo e interessante di per se. In uno spazio piatto il trasporto parallelo da sempre lo stesso Risultato, visto che i vettori non cambiano durante il trasporto da un punto ad un altro. Al contrario, in uno spazio curvo il risultato del trasporto parallelo dipende dal cammino scelto (vedi fgura). In presenza di una curvatura il risultato del trasporto parallelo tra due eventi dipende dal cammino fatto. E non esiste un cammino preferenziale!

13 Trasporto parallelo 2 Il problema della non unicita del trasporto parallelo e intrinseco alla natura della varieta e non puo essere evitato. Significa semplicemente che 2 vettori possono essere confrontati in modo naturale solo se appartengono allo stesso spazio tangente. Esempio: il redshift cosmologico non puo essere confuso con l effetto Doppler. Conviene comunque formalizzare il concetto di trasporto parallelo di un tensore T lungo una curva x µ (l). In RS richiediamo che le componenti di T non cambino: In uno spazio curvo rimpiazziamo la derivata parziale con qulla covariante e definiamo cosi la derivata direzionale covariante Possiamo allora definire trasporto parallelo del tensore T lungo x µ (l) la richiedendo che la derivata direzionale covariante lungo quel cammino si annulli.

14 Trasporto parallelo 3 Per un vettore la richiesta di trasporto parallelo o Equazione del trasporto Parallelo e E un equazione differenziale del primo ordine che definisce un problema alle condizioni iniziali: preso un tensore in un punto lungo un cammino c e una unica continuazione del tensore lungo il cammino che soddisfa l equazione precedente. Diremo in questo caso che il tensore e trasportato in modo parallelo. L equazione del trasporto parallelo dipende ovviamente dalla connnessione. Connessioni diverse definiscono diversi cammini lungo i quali un vettore puo essere trasportato parallelamente a se stesso. Se la connessione e compatibile con la metrica allora il tensore metrico e sempre trasportato parallelamente: E grazie a cio il prodotto interno, e con esso la norma ed il concetto di ortogonalita, vengono preservati dal trasporto parallelo.! "# ($ %&' % ( & ) =! "# $ %& ' % ( & + $ %&! "# '% ( & + $ %& ' %! "# (& =0

15 Equazione delle geodetiche Dal concetto di trasporto parallelo e possibile definire, operativamente, una geodetica. La geodetica generalizza il concetto di linea retta in uno spazio piatto. Si hanno 2 definizioni equivalenti. (1) la retta e la linea piu corta che connette due punti, (2) la retta e il cammino in cui si trasporta in modo parallelo il vettore tangente al cammino stesso. In uno spazio curvo i concetti coincidono se e solo se la connessione e quella di Christoffel Consideriamo la definizione (2). Prediamo la curva x µ (l) ed il vettore tangente al cammino dx µ (l)/l. La condizione di trasporto parallelo e data da detta Equazione delle Geodetiche. Attraverso questa equazione si definisce la separazione minima tra due eventi nello spazio-tempo. In uno spazio Euclideo possiamo scegliere coordinate Cartesiane. In questo caso i simboli di Christoffel sono nulli e ritroviamo l equazione di una retta d 2 x/dl 2 =0. Estremizzando, con tecniche variazionali, l espressione di un cammino nello spazio tempo, si puo mostrare che la geodetica di cui sopra costituisce effettivamente la minima separazione tra due eventi nello spazio tempo, ovvero dato (2) vale (1).

16 Proprieta delle geodetiche 1 La geodetica rappresenta la traiettoria seguita da una particella di test non accelerata Per particella di test intendiamo un corpo che non influenzi la geometria dello spaziotempo. L eq. delle geodetiche rappresenta quindi la generalizzazione della seconda equazione di Newton F=ma per il caso a=0. La presenza di forze non gravitazionali si traduce nell aggiunta di un termine nel membro a destra. Nel caso della forza di Lorentz, per esempio, abbiamo: Nel membro a destra compare il tensore del campo elettromagnetico. La scelta della parametrizzazione l della geodetica non e arbitraria. La richiesta che il vettore tangente sia trasportato parallelamente alla curva pone un vincolo alla parametrizzazione della curva stessa. Se consideriamo per esempio una traiettoria di tipo tempo di una particella massiva per cui il tempo proprio t rappresenta una parametrizzazione naturale, allora il parametro affine l=at+b rappresenta una parametrizzazione altrettanto valida. La scelta di una parametrizzazione qualsiasi a e ammessa, ma in quel caso l equazione delle geodetiche va modificata introducendo un termine ulteriore f(a) Viceversa se l eq. precedente e valida allora e possibile trovare un parametro affine l(a) per cui l eq. delle geodetiche e soddisfatta

17 Proprieta delle geodetiche 2 Per traiettorie di tipo tempo e possibile riscrivere l equazione delle geodetiche in termini del quadrivettore velocita (o momento) delle particelle massive In questo caso l equazione suggerisce che particelle in caduta libera seguano la direzione indicata dai loro momenti p µ. Per traiettorie di tipo tempo la parametrizzazione naturale e quella in termini del tempo proprio t. Per traiettorie di tipo spazio e la separazione s. Per traiettorie di tipo luce non c e una parametrizzazione naturale. In questo caso e spesso conveniente normalizzare il parametro l in modo che la tangente lungo la traiettoria sia uguale al quadrimomento: dx µ /dl=p µ. Si noti la differenza con le traiettorie di tipo tempo in cui la definizione precedente e quella del quadrimomento per unita di massa. L energia della particella misurata da un osservatore con quadrivelocita U µ e quindi E=-p µ U µ indipendentemente dal fatto che p µ sia di tipo spazio o di tipo tempo. Questo e conseguenza del fatto che in una metrica Lorenziana il trasporto parallelo preserva il prodotto scalare.

18 Curvatura e tensore di Riemann 1 Per definire la curvatura partiamo da uno spazio piatto. La piattezza si manifesta in vari modi (equivalenti) (1) Il trasporto parallelo di un vettore lungo un circuito lascia il vettore inalterato. (2) Le derivate covarianti di un tensore commutano (3) Geodetiche inizialmente parallele rimangono parallele. Esiste un modo per descrivere come queste relazioni variano in presenza di una curvatura ed e codificato dal tensore di Riemann. Concentriamoci su (1). Abbiamo visto come, sulla superficie di una sfera, il trasporto parallelo di un vettore lungo un circuito chiuso modifichi il vettore. Tale modifica e il risultato del fatto che la varieta in questo caso e curva. Lo stesso criterio puo essere utilizzato per rivelare localmente l esistenza della curvatura. Quello che faremo sara di considerare il trasporto parallelo di oggetti lungo circuiti (loops) infinitesimi.

19 Curvatura e tensore di Riemann 2 Immaginiamo di trasportare un vettore V µ lungo il loop in figura individuato dai due vettori A µ e B n A µ B n B n Cominciamo quindi a trasportare il vettore parallelamente a se stesso lungo A µ e B n e poi indietro lungo A µ e B n ma in senso inverso. L azione del trasporto parallelo e indipendente dalle coordinate, quindi deve essere descrivibile da un tensore. A µ Cerchiamo di dedurre le prorieta di tale tensore. 1) Dovra descrivere una trasformazione lineare del vettore Quindi dovra avere un indice in alto ed uno in basso. 2) La sua azione dipendera dalle direzioni A µ e B n. Pertanto avra altri 2 indici in basso su cui contrarre µ e n. 3) Infine dovra essere antisimmetrico in questi 2 indici poche scambiando gli indici si inverte il verso di percorrenza lungo il loop. Ed in quel caso il risultato del trasporto parallelo dovra essere inverso a quello precedente. Il tensore cercato avra quindi 3 indici in basso ed uno in alto: R r sµn

20 Curvatura e tensore di Riemann 3 Ricapitolando: dopo il loop, il vettore sara cambiato di una quantita Dove R r sµn rappresenta il tensore di Riemann e la relazione a destra indica che e antisimmetrico negli ultimi due indici. L espressione esplicita del tensore di Riemann puo essere ottenuta considerando il commutatore di due derivate covarianti. Si trova che R r sµn dipende dai coefficienti di connessione affine e dalle loro derivate: Si noti che il tensore e espresso in termini quantita non tensoriali: i coefficienti di connessione (che non sono necessariamente simboli di Christoffel). Pertanto il T. di Riemann e definito anche in metriche non compatibili o con torsione. In RG tuttavia, considereremo solo la connessione di Cristoffel. In questo caso il tensore di Riemann dipende solo dalla metrica e la curvatura puo essere pensata come una caratteristica dalla metrica. In questo caso avremo che che: 1. Se esiste un sistema di coordinate in cui le componenti della metrica sono costanti allora il tensore di Riemann si annulla. 2. Se il tensore di Riemann si annulla, allora e sempre possibile costruire un sistema di coordinate in cui le componenti della metrica sono costanti

21 Altre proprieta del tensore di Riemann Quello di Riemann e un tensore ad n 4 componenti. Grazie alle sue proprieta di simmetria, pero, le componenti indipendenti sono assai di meno. Vediamo nel dettaglio come si riducono. 1. Il tensore di Riemann e antisimmetrico negli ultimi 2 indici. Quindi ci sono solo n(n-1)/2 indici inidpendenti tra gli n 2 possibili. 2. Specializziamoci ora al caso in cui la connessione della metrica sia data dai simboli di Cristoffel. In questo caso abbiamo altre tre ulteriori relazioni di cui tenere conto e che riguardano il tensore con tutti indici in basso R rsµn =g rl R l sµn 2.1 Questo tensore e anti-simmetrico nei primi 2 indici 2.2 E invariante per scambio tra la prima coppia di indici e la seconda 2.3 La somma delle permutazioni cicliche sui suoi ultimi 3 indici e zero. Considerando tutte queste simmetrie il numero di coefficienti indipendenti si riduce a (1/12)n 2 (n 2-1). Che in 4 dimensioni significa 20 coefficienti indipendenti.

22 Altre proprieta del tensore di Riemann Dal tensore di Riemann, possiamo formare altri tensori, che dipendono solo dalla metrica e che obbediscono a relazioni il cui significato disico apparira ciaro piu avanti. Uno di questi e il tensore di Ricci che si forma contraendo gli indici di R r sµn Dove la seconda relazione di simmetria e valida per metriche compatibili. La traccia del tensore di Ricci e detta scalare di Ricci Tensore e scalare di Ricci contengono tutta l informazione ralative alle tracce del tensore di Riemann. Il tensore di Weil, ovvero il tensore di Riemann a cui sono state sotratte le sue contrazioni, contiene quelle relative alla parte traceless. Infine da R e R µn costruiamo il tensore di Einstein di grande importanza in RG Dove la seconda equazione rappresenta l Identita di Bianchi contratta due volte, che vincola i valori relativi del tensore di Rieman in punti differenti dello spazio-tempo

23 Vettori di Killing 1 In generale la metrica di un sistema puo essere estremamente complicata. Fortunatamente in molti casi sono presenti delle simmetrie nella metrica (isometrie) che sono definibili come spostamenti infinitesimi che non modificano la distanza relativa tra i punti (p. es di un oggetto). L esistenza di isometrie puo essere ovvia. Ad esempio per uno spazio di Minkowski le traslazioni sono isometrie. Altre, meno ovvie, sono le trasformazioni di Lorentz. Il fatto che la metrica sia indipendente dalle traslazioni e ovvio (i coefficienti di h µn sono indipendenti dalle coordinate). Quando accade che i coefficienti di una metrica sono indipendenti da una certa coordinata allora esiste una simmetria per traslazione lungo quella coordinata L isometria quantifica il fatto che una metrica possa rimanere invariata quando i punti dello spazio-tempo vengono spostati di una quantita infinitesima. Questi spostamenti identificano un vettore, o un campo vettoriale, detto campo vettoriale di Killing Quando i punti dello spazio tempo vengono spostati seguendo un campo di Killing lo fanno definendo un flusso senza compressioni o rarefazioni.

24 Vettori di Killing 2 Poiche alle simmetrie corrispondono leggi di conservazione, la presenza di isometrie implica che esistano delle quantita che si conservano. Ad esempio l invarianza per traslazione ha una conseguenza diretta sul moto delle particelle descritto dall equazione delle geodetiche:. Espandendo l espressione della derivata covariante e abbassando l indice µ grazie alla compatibilita della metrica, si ottiene Dove per ottenere l ultima relazione abbiamo sfruttato al simmetria di p l p n. Quindi se tutti i coefficienti della metrica sono indipendenti dalla coordinata x s allora l isometria implica la conservazione delle componenti del momento p s Che e valida per tutte i tipi di geodetiche (e non solo per quelle di tipo tempo). Le quantita conservate associate alle isometrie sono quindi molto importanti per studiare il moto delle particelle nello spazio-tempo.

25 Vettori di Killing 3 Non sempre vale il viceversa, ovvero che un isometria implichi che la metrica e indipendente da qualche coordinata. Ad esempio in RS ci sono 4 traslazioni + 6 trasformazioni di Lorentz che sono maggiori del numero di dimensioni, ovvero di coordinate da cui la metrica puo essere indipendente. Inoltre, e sempre possibile ruotare il sistema di coordinate in modo che neppure le simmetrie traslazionali siano ovvie. Chiaramente dobbiamo cercare dei criteri piu generali che ci permettano di individuare isometrie e, dunque, conservazioni. Cominciamo con il considerare l equazione precedente rendendola covariante. Se x s e la coordinata lungo la quale g µn e indipendente consideriamo il seguente vettore: Diciamo che K µ genera un isometria, ovvero che la trasformazione sotto cui la geometria e invariante puo essere espressa infinitesimamente come un moto lungo K µ. In termini di questo vettore la quantita apparente non covariante p s Puo essere scritta come p s =K n p n =K n p n. E la condizione che questa quantita, scalare, rimanga costante lungo la traiettoria e equivalente ad affermare che la sua derivata covariante lungo la geodetica si annulla

26 Vettori di Killing 4 L equazione precedente e in forma co-variante. Elaborando ulteriormente, e tenendo conto della simmetria di p µ p l Dove l ultima espressione significa che solo la parte simmetrica di contribuisce. Concludiamo che ogni vettore che soddisfa implica che sia conservata lungo la traiettoria: + L equazione a destra e detta Equazione di Killing. I vettori che soddisfano a questa equazione, detti Vettori di Killing, individuano le direzioni della isometrie ovvero implicano che K n p n e conservata lungo le geodetiche E facile verificare che se la metrica e indipendente da qualche coordinata allora il vettore soddisfa l equazione di Killing. In generale pero non ci saranno delle metriche in cui tutti i vettori di killing hanno questa forma. E non e neppure vero che un vettore debba necessariamente avere questa forma per soddisfare l equazione di Killing.