[ ] 1 2 Rg µν. d x σ. + Γ ρσ dλ. dλ 2. φ = a. ! F g. e r r 2! = GMm! = m!

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1 La forza piu rilevante per la cosmologia e l astrofisica e quella di gravita. Ne consegue che per comprendere i fenomeni su scale astronomico-cosmologiche e necessario elaborare una teoria della gravitazione. Questa e data dalla teoria della Relativita Generale di Einstein. Ma si noti per molti sistemi e/o scale l approccio Newtoniano e sufficientemente preciso. L idea alla base della relativita generale e quello di trasformare la gravita da forza a proprieta geometrica dello spazio-tempo. Newton Einstein! F g = GMm! F g = m! e r r 2! [ 2 φ = 4πGρ] [ ] a! φ = a! R µν 1 2 Rg µν = 8πGT µν d 2 x µ dλ 2 µ d x ρ + Γ ρσ dλ d x σ dλ = 0

2 La legge di Newton della gravitazione universale (o, equivalentemente l equazione di Poisson) dice come il campo gravitazionale e influenzato dalla materia! F = GMm! g r 2 e r [ 2 φ = 4πGρ] Le equazioni di Einstein esprimono la risposta della curvatura spazio-temporale alla materia-energia d 2 x µ dλ 2 d x ρ + Γ µ ρσ dλ d x σ dλ = 0

3 La II legge della dinamica esprime la risposta della materia al campo di gravita! F = m! g a! [ ] φ =! a Le equazioni delle geodetiche esprimono la risposta della materia alla curvatura dello spazio-tempo d 2 x µ dλ 2 d x ρ + Γ µ ρσ dλ d x σ dλ = 0 Le informazioni sulla curvatura dello spazio-tempo sono contenute nel tensore metrico g µν che quantifica la deviazione dal teorema di Pitagora Δl 2 =Δx 2 +Δy 2 +Δz 2

4 La teoria della relativita specialeunifica concetti di spazio e tempo in un sistema unico di coordinate: lo spazio-tempo. Al contrario, la teoria Newtoniana tratta il tempo come una variabile privilegiata, tanto che ha senso dividere lo spazio in diverse istantanee. I punti dello spazio-tempo (eventi) sono caratterizzati da 3 coordinate spaziali + 1 coordinata temporale. (t,x, y,z) x µ {µ = 0,1,2,3} Una particella descrive una traiettoria detta linea di universo Teoria Newtoniana x µ (λ) nello spazio tempo (successione di eventi) Relativita Speciale Il tempo e una variabile privilegiata Il concetto di contemporaneita e assoluto Le informazioni possono viaggiare a qualsiasi velocita Nessuna differenza tra variabili temporali e spaziali. Il concetto di contemporaneita e relativo La massima velocita permessa e quella della luce nel vuoto

5 t v=c Eventi simultanei possono essere definiti in modo non ambiguo come appartenenti alle superfici a tempo costante. E possibile immaginare traiettorie a tempo costante, ovvero velocita arbitrariamente elevate Definito un cono-luce come il luogo dei cammini di tutti i possibili raggi di luce che passano attraverso un punto dello spazio tempo, le traiettorie possibili sono quelle all interno dei coni luce. Eventi contemporanei sono definiti relativamente alla scelta delle coordinate ma non hanno realta fisica

6 - -

7 Δ Δ - Δ Δ Δ

8 Benche la scelta del sistema di coordinate sia arbitraria, alcune proprieta dello spaziotempo sono indipendenti da tale scelta. Per esempio la distanza tra 2 punti rimane costante al variare della scelta di coordinate. In quelle Cartesiane: Δl 2 =Δx 2 +Δy 2 +Δz 2 In RS la variabile tempo e indistinguibile dalle variabili spaziali. Possiamo cosi definire dei sistemi di coordinate detti inerziali che sono equivalenti tra loro e che differiscono solo per una traslazione spaziale o temporale. In ambito Newtoniano un set di coordinate (t,x,y,z ) deve essere tale che, rispetto a quello (t,x,y,z) sussista la relazione t =t+cost. In RS questo non e piu vero. Lo spazio definito a t costante non e in generale equivalente a quello definito a t costante. Possiamo comunque definire in modo univoco un intervallo spazio-temporale, che specifica la distanza tra due eventi infinitamente vicini e che non dipende dalla scelta delle coordinate. In RS questo intervallo, espresso in coordinate Cartesiane, e ds 2 = (cdt) 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 = η µν dx µ dx ν Dove abbiamo introdotto la Metrica (o tensore metrico) di Minkowski η µν che specifica le proprieta geometriche dello spazio tempo. La quantita c e una costante che sperimentalmente coincide con la velocita della luce nel vuoto.

9 Altrove x t Futuro B ( x j =, t 1) Cono di Luce i A = ( x, to) Passato y Un intervallo e detto: Di tipo Tempo se ds 2 <0. Questo intervallo e interno al cono luce. Di tipo Luce se ds 2 =0 Esso definisce le pareti cono luce. Di tipo Spazio se ds 2 >0 Esso e esterno al cono luce). Poiche l intervallo ds 2 e invariante per cambio di coordinate, neppure la sua tipologia varia. Consideriamo unita naturali (c=1). Per intervalli di tipo tempo e conveniente definire il tempo proprio dτ 2 =-ds 2 che rappresenta l intervallo temporale infinitesimo misurato da un osservatore ad una locazione spaziale fissata. Convine anche definire la distanza propria misurata allo stesso tempo τ: dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ds 2

10 Tempo proprio τ e coordinata temporale t non sono necessariamente coincidenti. Questa differenza e all origine di alcuni paradossi della RS, come quello dei gemelli. Si consideri il tempo proprio misurato luno 2 diverse traiettorie con identici punti di partenza e di arrivo, A e C. Consideriamo 2 traiettorie: ABC ed AB C. Nella seconda traiettoria il punto B viene raggiunto con velocita costante v=δx/δt per poi poi arrivare al punto C con velocita -v. t C - v Δτ AB = 1 2 Δt Δτ AB' = 1 2 Δt 2 Δx 2 = v 2 Δt B B Δτ ABC = Δt Δτ AB'C = 1 v 2 Δt < Δt = Δt ABC A + v x Δτ AB'C < Δτ ABC Questo risultato costituisce il famoso paradosso dei gemelli

11 Obiettivo della RS e quello di definire le trasformazioni tra sistemi inerziali. Queste vengono definite imponendo che l intervallo spazio-temporale ds 2 sia invariante per traslazioni x µ =δ µ µ (x µ +a µ ), per rotazioni spaziali e per boost ovvero per un offset rappresentato da un vettore velocita Questa classe di trasformazioni e detta delle trasformazioni di Lorentz: x µ =Λ µ ν x ν or x =Λx η=λ T η Λ or η ρσ =Λ µ ρη µ ν Λ ν σ = Λµ ρλ ν ση µ ν cosϑ sinϑ 0 0 sinϑ cosϑ Questa rappresenta una rotazione nel piano x-y coshϕ sinhϕ 0 0 sinhϕ coshϕ Questa rappresenta un boost in direzione x Dalle trasformazioni boost-like e immediato ricavare le note formule relative alla contrazione spaziale e del ritardo temporale

12 In ogni punto dello spazio tempo possiamo definire un vettore (campo vettoriale) che, grazie alla metrica di Minkowski, sappiamo trasportare in ogni altro punto dello spazio tempo. Cosa che non si puo fare in presenza di una curvatura, ovvero di una diversa metrica dello spazio-tempo. E quindi utile pensare i vettori in modo locale, associati ad un punto dello spazio tempo, senza presumere di poterli trasportare da un punto ad un altro in modo univoco, come accade in uno spazio piatto. L insieme dei vettori definiti relativamente ad punto p e detto Spazio Tangente a p, un nome che deriva dall associare un piano tangente in p ad una varieta curva. Lo spazio tangente puo essere pensato come spazio vettoriale, ovvero un insieme di vettori che possono essere composti linearmente tra loro. E spesso utile decomporre I vettori rispetto ad un sistema di basi. Una base e un insieme di vettori definiti nello spazio vettoriale per cui ogni vettore e decomponibile in termini delle basi mentre, viceversa, i vettori basi non sono ulteriormente decomponibili. La scelta delle basi possibili e infinita, ma il numero di vettori che compone la base, ovvero la dimensione dello spazio, e sempre la stessa. Ogni vettore A e quindi decomponibile in termini delle basi e A = A µ ˆ e (µ ) A µ = componenti

13 Un tipico esempio e il vettore tangente ad una curva x µ (λ): V µ = dx µ dλ Sotto una trasformazione, (es. di Lorentz), le componenti si modificano V µ' = Λ µ' ν V ν Mentre il vettore in se non varia. Cio ci permette di ricavare la regola di µ trasformazione per i vettori base e (ν ') = Λ µ ν ' e ( µ) dove e la trasformazione inversa. I vettori le cui componenti (e basi) si trasformano secondo le regole di cui sopra sono detti vettori controvarianti e sono denotati da indici in basso In maniera analoga, dato p si puo definire uno spazio vettoriale cotangente, duale dello spazio tangente. Lo spazio duale di uno spazio vettoriale e definito come lo spazio di tutte le mappe lineari dallo spazio vettore allo spazio reale. Tali mappe formano esse stesse uno spazio vettoriale. I vettori di tale spazio vengono detti vettori covarianti e si indicano con indici in alto. Le regole di trasformazione sono: w = w µ' ˆ θ µ' Λ ν ' w µ' = Λ ν µ' w ν θ ρ' = Λ ρ' σ θ σ θ σ σ e ρ = δ ρ Un tipico esempio di vettore covariante e il gradiente di una funzione scalare

14 I tensori possono essere definiti generalizzando ulteriormente le definizioni precedenti. Definiamo tensore una mappa lineare tra spazi vettoriali e/o duali e lo spazio reale. P. es. un tensore di ordine (k,l) e definito come T : T p *... T p * k volte T p... T p l volte R Dove X rappresenta il prodotto Cartesiano e * si riferisce ai vettori duali. Cosi che T p xt p rappresenta lo spazio delle coppie ordinate di vettori. Essendo una mappa lineare, un tensore agisce linearmente su ogni argomento. Un tensore (0,0) e uno scalare. Uno (1,0) e un vettore. Uno (0,1) e un vettore duale. Lo spazio formato da tensori di uno ordine (k,l) e pure uno spazio vettoriale in cui, oltre alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare si definisce il prodotto tensoriale. Il prodotto tensoriale tra 2 tensori di ordine (k,l) ed (m,n) e definito come T S(w (1),...,w (k +m),v (1).,...,V (l +n ) ) = = T(w (1),...,w (k),v (1).,...,V (l ) ) T(w (k +1),...,w (m),v (l +1).,...,V (l +n ) ) Il che ci permette di definire un set di basi per lo spazio dei tensori di ordine (k,l) e,rispetto a queste, ricavare le componenti del tensore. e ˆ (µ1)... e ˆ (µk) θ ˆ (ν1)... θ ˆ (νn ) µ1...µk T = T ν1...νn e ˆ ( µ1)... e ˆ ( µk) θ ˆ (ν1)... θ ˆ (νn) µ1...µk T ν1...νn

15 Il modo in cui i tensori agiscono su vettori e vettori duali e simile a quello in cui I vettori duali agiscono sui vettori: T(w (1),...,w (k),v (1).,...,V (l ) ) = T µ1...µk ν1...νlw (1) (k µ1...w ) µk V (1)ν1 (l )νl...v L ordine degli indici e importante poiche il tensore non agisce necessariamente allo stesso modo su tutti i vettori. Il modo in cui le componenti di un tensore si modificano sotto trasformazioni (es. di Lorentz) e ricavabile dalle analoghe leggi per i vettori e i vettori duali. Anche se I tensori sono definiti come mappe lineari su R nulla vieta di applicarli a collezioni di argomenti per ottenere mappe su campi vettoriali o tensoriali V µ = T µ νv ν U µ ν = T µ σu σ ν I tensori possono essere piu operativamente definiti come tabelle di numeri, rappresentabili come matrici, che si trasformano sotto le regole che abbiamo visto. Non bisogna dimenticare che, in RG, tensori e campi tensoriali sono sempre definiti relativamente ad un punto dello spazio-tempo

16 η µν Un esempio gia incontrato e quello dal tensore metrico grazie al quale possiamo definire il prodotto scalare nello spazio-tempo di Minkowski A B = η µν A µ B ν A e B sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare si annulla. Il prodotto scalare, essendo uno scalare, e invariante per trasformazioni di Lorentz. La norma di un vettore e definita come il prodotto scalare del vettore con se stesso. Diversamente dal caso Euclideo non e necessariamente positiva. < 0 V µ e' di tipo tempo η µν V µ V ν = 0 V µ e' di tipo luce > 0 V µ e' di tipo spazio Altro esempio di tensore (1,1) e la δ di Kronecker, δ µ ρ, che definisce la mappa identita tra vettori e vettori. Legata a questa quantita e la metrica inversa: η µν η νρ = η ρν η νµ = δ ρ µ che, in uno spazio di Minkowski, ha le stesse componenti del tensore metrico. Questa proprieta non e piu valida in caso di spazi curvi/

17 Le operazioni permesse tra tensori li trasformano in altri tensori (ovviamente si possono anche eseguire altre operazioni che pero, in generale, hanno una validita solamente locale). Una operazione importante e la contrazione, che trasforma un tensore (k,l) in uno (k-1,l-1) sommando su un indice in alto e su uno in basso: S µρ σ = T µνρ σν T µνρ σν T µρν σν dove la seconda diseguaglianza indica che l ordine degli indici conta Il tesore metrico puo essere usato per alzare o abbassare gli indici T αβµ δ = η µν T αβ νδ T µ β γδ = η µα T αβ γδ Questa operazione non modifica la posizione relativa degli indici. Questa operazione trasforma vettori in vettori duali e viceversa V δ = η δα V α w β = η βν w ν Si definiscono tensori simmetrici in n indici quelli che non varano scambiando n indici tra loro. In modo analogo si definiscono i tensori antisimmetrici. Infine nello spazio di Minkowski e possibile definire la derivata parziale di un tensore (che e pure un tensore). α R µ ν = T α µ ν

18 Le rappresentazioni dei tensori dipendono dal sistema di coordinate utilizzato. Le RELAZIONI tra tensori NON DIPENDONO dal sistema di coordinate. Per una particella che si muove su una traiettoria di tipo tempo e conveniente parametrizzare la sua linea di mondo utilizzando il tempo proprio. In questo caso il vettore tangente e la quadrivelocita. Il quadrimomento e definito come: Il parametro m definisce la massa mentre l energia E=p 0 e non si conserva. Tuttavia nel sistema della particella: In un sistema in moto uniforme le componenti di p sono ottenute attraverso una trasformazione di Lorentz. Se consideriamo un sistema in moto lungo l asse x con velocita v: Nel limite Newtoniano di basse velocita v<<1 U µ = dx µ p µ = m dx µ dτ dτ = mu µ p i = 0 E = p 0 = m = mc 2 η µν U µ U ν = 1 p µ = (γm,γmv,0,0) γ = 1/ 1 v 2 p µ p µ = m 2 E = m 2 + p ˆ 2 p ˆ 2 = δ ij p i p j p 0 = m mv 2 p 1 = mv

19 Per un sistema di particelle che descriviamo come un fluido continuo il concetto di quadrimomento e generalizzato dal Tensore Energia-Momento T µν Questo e un tensore simmetrico che misura il flusso di momento attraverso superfici con x µ costante. Per cui: T 00 e il flusso di energia nel tempo = densita di energia T 01 =T 10 e la densita di momento. T ij =stress=flusso di momento=forze tra elementi di fluido. T ij (elementi non diagonali)=viscosita T ii =forza per unita di area nella direzione i =pressione

20 Consideriamo il caso di un fluido di polvere ovvero composto di particelle con velocita relativa nulla. La quadrivelocita U µ e costante in ogni punto. Definiamo il quadrivettore flusso numerico N µ= nu µ dove n e la densita numerica di particelle misurata nel loro sistema a riposo. N 0 e la densita misurata in ogni altro sistena e N ι e il flusso di particelle lungo x i. Se le particelle hanno la tesssa massa m allora ρ=mn e la densita di energia della polvere nel sistema delle particelle. m ed n sono le componenti 0 dei quadrivettori N µ =(n,0,0,0) e p µ =(M,0,0,0) o la componente 0-0 del tensore p N sempre misurata nel sistema a riposo. E quindi naturale definire il tensore energia-momento per un fluido di polvere: T µη = p µ N ν = mnu µ U ν = ρu µ U ν La pressione in ogni direzione e zero, come ci si aspetta:

21 Per un fluido perfetto e non viscoso, ovvero un fluido che sia completamente definito da densita e pressione isotropa nel sistema di riferimento del fluido in quiete. Una conseguenza dell isotropia e che il tensore energia-momento e diagonale nel sistema in quiete. Inoltre le componenti diagonali spaziali devono tutte essere uguali. Il tensore T nel sistema di riferimento in quiete e quindi ρ p p p L ovvia generalizzazione dal fluido di polvere sembrerebbe essere: T µη = (p + ρ)u µ U ν Che pero non ha termini di pressione. La generalizzazione diventa T µη = (p + ρ)u µ U ν + pη µν Oltre ad essere diagonale il tensore energiamomento e conservato µ T µν = 0 ν = 0 continuity ν 0 Euler