[ ] 1 2 Rg µν. d x σ. + Γ ρσ dλ. dλ 2. φ = a. ! F g. e r r 2! = GMm! = m!

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1 Nonostante sia la forza piu debole (10-36 volte meno intensa di quella elettromagnetica) la forza di gravita e quella piu rilevante su scale cosmologiche ed astrofisiche. Ne consegue che ogni spiegazione dei fenomeni astronomico-cosmologici deve basarsi su una teoria della gravitazione. La migliore teoria elaborata fino ad ora e quella della Relativita Generale di Einstein. (anche se in molti casi l approccio Newtoniano e sufficientemente preciso). L idea alla base della Relativita Generale e quella di interpretare la forza di gravita come una prorieta (geometrica) dello spazio-tempo.! F g = GMm! F g = m! Newton e r r 2! [ 2 φ = 4πGρ] [ ] a! φ = a! R µν 1 2 Rg µν = 8πGT µν d 2 x µ dλ 2 Einstein µ d x ρ + Γ ρσ dλ d x σ dλ = 0

2 La legge di Newton della gravitazione universale (o, equivalentemente l equazione di Poisson) descrive il modo in cui la forza gravitazionale (o il suo potenziale) e determinata dalla distribuzione di materia! F = GMm! g r 2 e r [ 2 φ = 4πGρ] Le equazioni di Einstein descrivono il modo in cui le proprieta geometriche dello spazio-tempo rispondono alla distribuzione di materia-energia R µν 1 2 Rg µν = 8πGT µν

3 La II legge della dinamica descrive come lo stato dinamico delle particelle di materia viene modificato dal campo di gravita! F = m! g a! [ ] φ =! a In RG l equazione delle geodetiche descrive le traiettorie delle particelle In presenza di una curvatura dello spazio-tempo d 2 x µ dλ 2 d x ρ + Γ µ ρσ dλ d x σ dλ = 0 Le informazioni sulla curvatura dello spazio-tempo sono contenute nel tensore metrico g µν che quantifica la deviazione dal teorema di Pitagora Δl 2 =Δx 2 +Δy 2 +Δz 2

4 La teoria della relativita speciale pone sullo stesso piano spazio e tempo in un sistema unico di coordinate: lo spazio-tempo. Al contrario, la teoria Newtoniana tratta il tempo come una variabile privilegiata per cui si puo dividere lo spazio in diverse istantanee. I punti dello spazio-tempo (eventi) sono caratterizzati da 3 coordinate spaziali + 1 coordinata temporale. (t, x, y,z) x µ {µ = 0,1,2,3} x µ (λ) Una particella descrive una traiettoria nello spazio tempo (successione di eventi) detta linea di universo. λ e un parametro che non coincide necessariamente con t. Teoria Newtoniana Il tempo e una variabile privilegiata. Il concetto di contemporaneita e assoluto. Le informazioni possono viaggiare a qualsiasi velocita. Relativita Speciale Nessuna differenza tra variabili temporali e spaziali. Il concetto di contemporaneita e relativo. La massima velocita permessa e quella della luce nel vuoto

5 t v=c Eventi simultanei possono essere definiti in modo non ambiguo come appartenenti alle superfici a tempo costante. E possibile immaginare traiettorie a tempo costante, ovvero velocita arbitrariamente elevate. Definito un cono-luce come il luogo dei cammini di tutti i possibili raggi di luce che passano attraverso un punto dello spazio tempo, le traiettorie possibili sono quelle all interno dei coni luce. Eventi contemporanei sono definiti relativamente alla scelta delle coordinate ma non hanno realta fisica.

6 - -

7 Δ Δ - Δ Δ Δ

8 Benche la scelta del sistema di coordinate sia arbitraria, alcune proprieta dello spaziotempo sono indipendenti da tale scelta. Per esempio la distanza tra 2 punti rimane costante al variare della scelta di coordinate. In quelle Cartesiane: Δl 2 =Δx 2 +Δy 2 +Δz 2 In RS la variabile tempo e indistinguibile dalle variabili spaziali. Possiamo cosi definire dei sistemi di coordinate detti inerziali che sono equivalenti tra loro e che differiscono solo per una traslazione spaziale, temporale, rotazione o boost. In ambito Newtoniano un set di coordinate (t,x,y,z ) deve essere tale che, rispetto a quello (t,x,y,z) sussista la relazione t =t+cost indipendentemente dalla scelta delle coordinate. In RS questo non e piu vero. Lo spazio definito a t costante non e in generale equivalente a quello definito a t costante. Possiamo comunque definire in modo univoco un intervallo spazio-temporale, che specifica la distanza tra due eventi infinitamente vicini e che non dipende dalla scelta delle coordinate. In RS questo intervallo, espresso in coordinate Cartesiane, e ds 2 = (cdt) 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 = η µν dx µ dx ν Dove abbiamo introdotto la Metrica (o tensore metrico) di Minkowski η µν che specifica le proprieta geometriche dello spazio tempo. La quantita c e una velocita costante che sperimentalmente coincide con quella della luce nel vuoto.

9 Altrove x t Futuro B ( x j =, t 1) Cono di Luce i A = ( x, to) Passato y Un intervallo e detto: Di tipo Tempo se ds 2 <0. Questo intervallo e interno al cono luce. Di tipo Luce se ds 2 =0 Esso definisce le pareti cono luce. Di tipo Spazio se ds 2 >0 Esso e esterno al cono luce). Poiche l intervallo ds 2 e invariante per cambio di coordinate, neppure la sua tipologia varia. Consideriamo unita naturali (c=1). Per intervalli di tipo tempo e conveniente definire il tempo proprio dτ 2 =-ds 2 che rappresenta l intervallo temporale infinitesimo misurato da un osservatore ad una locazione spaziale fissata. Convine anche definire la distanza propria misurata allo stesso tempo τ: dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ds 2

10 Tempo proprio τ e coordinata temporale t non sono necessariamente coincidenti. Questa differenza e all origine di alcuni paradossi della RS, come quello dei gemelli. Si consideri il tempo proprio misurato lungo 2 diverse traiettorie con identici punti di partenza e di arrivo, A e C. Consideriamo le traiettorie: ABC ed AB C. Nella seconda traiettoria il punto B viene raggiunto con velocita costante v=δx/δt per poi poi arrivare al punto C con velocita -v. t C - v Δτ AB = 1 2 Δt Δτ AB' = 1 2 Δt 2 Δx 2 = v 2 Δt B B Δτ ABC = Δt Δτ AB'C = 1 v 2 Δt < Δt = Δt ABC A + v x Δτ AB'C < Δτ ABC Questo risultato costituisce il famoso paradosso dei gemelli

11 Obiettivo della RS e quello di definire le trasformazioni tra sistemi inerziali. Queste vengono definite imponendo che l intervallo spazio-temporale ds 2 sia invariante per traslazioni x µ =δ µ µ (x µ +a µ ), per rotazioni spaziali e per boost ovvero per un offset rappresentato da un vettore velocita Questa classe di trasformazioni e detta delle trasformazioni di Lorentz: x µ =Λ µ ν x ν or x =Λx η=λ T η Λ or η ρσ =Λ µ ρη µ ν Λ ν σ = Λµ ρλ ν ση µ ν cosϑ sinϑ 0 0 sinϑ cosϑ Questa rappresenta una rotazione nel piano x-y coshϕ sinhϕ 0 0 sinhϕ coshϕ Questa rappresenta un boost in direzione x Dalle trasformazioni boost-like e immediato ricavare le note formule relative alla contrazione spaziale e del ritardo temporale

12 Ricaviamo le trasformazioni di Lorentz per gli intervalli di tempo e di lunghezza. Partendo dalle trasformazioni boost-like: x ʹ = Λx t ʹ = t coshϕ x sinhϕ x ʹ = t sinhϕ + x coshϕ Vediamo che il punto x =0 si muove con una velocita v = x t = sinhϕ coshφ = tanhϕ Da cui, sostituendo φ=tanh -1 vmsi ottengono le trasformazioni di Lorentz t ʹ = γ(t vx) x ʹ = γ(x vt) γ =1 1 v 2

13 In ogni punto dello spazio tempo possiamo definire un vettore (campo vettoriale) che, grazie alla metrica di Minkowski, sappiamo trasportare in ogni altro punto dello spazio tempo. Cosa che non si puo fare in presenza di una curvatura, ovvero di una diversa metrica dello spazio-tempo. E quindi utile pensare i vettori in modo locale, associati ad un punto dello spazio tempo, senza presumere di poterli trasportare da un punto ad un altro in modo univoco, come accade in uno spazio piatto. L insieme dei vettori definiti relativamente ad punto p e detto Spazio Tangente a p, un nome che deriva dall associare un piano tangente in p ad una varieta curva. Lo spazio tangente puo essere pensato come spazio vettoriale, ovvero un insieme di vettori che possono essere composti linearmente tra loro. (a + b)(v +W ) = av + bv + aw + bw E spesso utile esprimere i vettori in termini di componenti definite rispetto ad un sistema di basi. Una base e un insieme di vettori definiti nello spazio vettoriale per cui ogni vettore e decomponibile in termini delle basi mentre, viceversa, i vettori basi non sono ulteriormente decomponibili. La scelta delle basi possibili e infinita, ma il numero di vettori che compone la base, ovvero la dimensione dello spazio, e sempre la stessa. Ogni vettore A e quindi decomponibile in termini delle basi e A = A µ ˆ e (µ ) A µ = componenti

14 Un tipico esempio e il vettore tangente ad una curva x µ (λ): V µ = dx µ dλ ; V V µ ˆ Sotto una trasformazione, (es. di Lorentz), le componenti del vettore si modificano: e (µ ) V µ' = Λ ν µ' V ν Mentre il vettore V in se non varia Questa considerazione ci permette di ricavare la regola di trasformazione per i vettori base: V = V µ e ˆ (µ ) = V ʹ ν e ˆ ( ʹ ν ν ) = Λ µʹ V µ ˆ ν ) e ˆ (µ ) = Λ µʹ e ( ʹ ν e ˆ ( ν ʹ ) Dove µ Λ ν ' rappresenta la trasformazione di Lorentz inversa I vettori le cui componenti (e basi) si trasformano secondo le regole di cui sopra sono detti vettori controvarianti e sono denotati da indici in basso.

15 In un punto dato p in cui si e definito uno spazio vettoriale si puo definire un altro spazio vettoriale detto spazio vettoriale duale in modo tale che lo spazio tangente allo spazio duale e detto spazio cotangente. Lo spazio duale di uno spazio vettoriale e definito come lo spazio di tutte le mappe lineari che vanno dallo spazio vettore iniziale allo spazio dei numeri reali. Quindi se ω e un vettore duale allora ω(av+bw)=aω(v)+bω(w) e un numero reale. Tali mappe formano esse stesse uno spazio vettoriale. Se ω e η sono vettori duali (aω+bη)(v)=aω(v)+bη(w) Possiamo definire le basi duali θ ˆ (ν ) richiedendo che θ ˆ (ν ) µ (ˆ e (µ ) ) = δ ν Possiamo quindi definire i vettori vettori covarianti indicanoli con indici in alto w = w µ' ˆ θ µ' E ricavando la regole di trasformazione sotto cambio di coordinate: w µ' = Λ ν µ' w ν ; θ ρ' = Λ ρ' σ θ σ Un tipico esempio di vettore covariante e il gradiente di una funzione scalare

16 I tensori possono essere definiti generalizzando i concetti precedenti. Definiamo tensore una mappa multilineare tra spazi vettoriali e/o duali e lo spazio reale R. Ad esempio un tensore di ordine (k,l) e definito come T : T p *... T p * k volte T p... T p l volte R Dove x rappresenta il prodotto Cartesiano e * si riferisce ai vettori duali. Cosi che, ad esempio, T p xt p rappresenta lo spazio delle coppie ordinate di vettori. Essendo una mappa multilineare, un tensore agisce linearmente su ogni argomento. Ne consegue che tensore (0,0) e uno scalare; (1,0) e un vettore; (0,1) e un duale. Lo spazio formato da tensori di uno ordine (k,l) e esso stesso uno spazio vettoriale in cui, oltre alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare si definisce il prodotto tensoriale. Il prodotto tensoriale tra 2 tensori di ordine (k,l) ed (m,n) e definito come T S(ω (1),...,ω (k +m),v (1).,...,V (l +n) ) = = T(ω (1),...,ω (k),v (1).,...,V (l ) ) S(ω (k +1),...,ω (m),v (l +1).,...,V (l +n) ) Da qui si puo definire un set di basi per lo spazio dei tensori di ordine (k,l) e, rispetto a queste, ricavare le componenti del tensore. e ˆ (µ1)... e ˆ (µk) θ ˆ (ν1)... θ ˆ (νn ) µ1...µk T = T ν1...νn e ˆ ( µ1)... e ˆ ( µk) θ ˆ (ν1)... θ ˆ (νn) µ1...µk T ν1...νn

17 Il modo in cui i tensori agiscono su vettori e vettori duali e simile a quello in cui I vettori duali agiscono sui vettori: ω(v ) = ω ˆ µ θ (µ) (V ν e ˆ ν ) = ω µ V ν θ ˆ (µ ) (ˆ e ν ) = ω µ V ν δ ν µ = ω µ V µ R T(w (1),...,w (k),v (1).,...,V (l ) ) = T µ1...µk ν1...νlw (1) (k µ1...w ) µk V (1)ν1 (l )νl...v L ordine degli indici e importante poiche il tensore non agisce necessariamente allo stesso modo su tutti i vettori. Il modo in cui le componenti di un tensore si modificano sotto trasformazioni (es. di Lorentz) e ricavabile dalle analoghe leggi per i vettori e i vettori duali. T ʹ µ 1... µ k ʹ µ ν 1 ʹ... ν l ʹ = Λ 1 µ µ1ʹ...λ k ʹ ν µk Λ 1 ν ν 1ʹ...Λ 1 ν lʹ T µ 1...µ k ν 1...ν l Anche se i tensori sono definiti come mappe lineari su R nulla vieta di applicarli a collezioni di argomenti per ottenere mappe su campi vettoriali o tensoriali V µ = T µ νv ν U µ ν = T µ σu σ ν I tensori possono essere operativamente definiti come tabelle di numeri, rappresentabili come matrici, che si trasformano sotto le regole che abbiamo visto. Non bisogna dimenticare che, in RG, tensori e campi tensoriali sono sempre definiti relativamente ad un punto dello spazio-tempo

18 η µν Un esempio gia incontrato e quello dal tensore metrico (0,2) che definisce la metrica nello spazio di Minkowski. Da questo possiamo definire il prodotto scalare η(a,b) = A B = η µν A µ B ν A e B sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare si annulla. Tale prodotto, essendo un numero reale, e invariante per trasformazioni di Lorentz. La norma di un vettore e definita come il prodotto scalare del vettore con se stesso. Diversamente dal caso Euclideo la norma non e necessariamente positiva. < 0 V µ e' un vettore di tipo tempo η µν V µ V ν = 0 V µ e' un vettore di tipo luce > 0 V µ e' un vettore di tipo spazio Altro esempio di tensore (1,1) e la δ di Kronecker, δ µ ρ, che definisce la mappa identita tra vettori e vettori. Legata a questa quantita e la metrica inversa (2,0): η µν η νρ = η ρν η νµ = δ ρ µ che, in uno spazio di Minkowski, ha le stesse componenti del tensore metrico. Questa proprieta non e in generale valida in caso di spazi curvi.

19 Definiamo operazioni permesse quelle che trasformano tensori in altri tensori. Ovviamente si possono anche eseguire altre operazioni che pero, in generale, hanno una validita solamente locale e non mantengono la natura tensoriale dell oggetto. Una importante operazione permessa e la contrazione. Essa trasforma un tensore (k,l) in uno (k-1,l-1) sommando su un indice in alto e su uno in basso: S µρ σ = T µνρ σν T µνρ σν T µρν σν dove la seconda diseguaglianza indica che l ordine degli indici conta. Il tesore metrico puo essere usato per alzare o abbassare gli indici T αβµ δ = η µν T αβ νδ T µ β γδ = η µα T αβ γδ Questa operazione non modifica la posizione relativa degli indici. Questa operazione trasforma vettori in vettori duali e viceversa V δ = η δα V α w β = η βν w ν Si definiscono tensori simmetrici in n indici quelli che non varano scambiando n indici tra loro. In modo analogo si definiscono i tensori antisimmetrici. Infine nello spazio di Minkowski e possibile definire la derivata parziale di un tensore (che e pure un tensore). α R µ ν = T α µ ν

20 Le rappresentazioni dei tensori dipendono dal sistema di coordinate utilizzato. La natura e le relazioni tra tensori non dipendono dal sistema di coordinate. Consideriamo una particella che si muove su una traiettoria di tipo tempo. In questo caso e conveniente parametrizzare la sua linea di mondo utilizzando il tempo proprio, x µ (τ). In questo caso il vettore tangente e detto quadrivelocita. U µ = dx µ dτ Dal momento che dτ 2 = η µν dx µ dx ν allora η µν U µ U ν = 1 Ovvero la quadrivelocita e automaticamente normalizzata e costante in tutto lo spazio-tempo. La sua norma e negativa essendo un vettore di tipo tempo. Nel sistema di riferimento della particella le componenti della quadrivelocita sono U µ = (1,0,0,0)

21 Dalla quadrivelocita definiamo il quadrimomento di una particella come: p µ = m dx µ dτ = mu µ Dove m definisce la massa a riposo della particella (invariante). L energia della particella e definita come la componente di tipo tempo del quadrimomento E=p 0 e pertanto non si conserva. Nel sistema della particella vale che Ovvero la famosa relazione E=mc 2 p i = 0 E = p 0 = m c = =1 mc 2 In un sistema in moto uniforme possiamo definire la norma del quadrimomento: p µ p µ = m 2 ; E = m 2 + p 2 ; p 2 = δ ij p i p j E le componenti di p µ possono essere ottenute attraverso una trasformazione di Lorentz. Se consideriamo un il caso particolare si una particella che si muove con 3-velocita v lungo l asse x, abbiamo p µ = (γm,γmv,0,0); γ =1/ 1 v 2 v<<1 p 0 = m mv 2 p 1 = mv

22 Il quadrimomento caratterizza completamente energia e momento di una singola particella. Tuttavia, i sistemi fisici sono tipicamente composti da molte particelle. In questo caso, anziche specificare i singoli quadrimomenti delle particelle e piu conveniente descrivere il sistema come un fluido, ovvero come un mezzo continuo caratterizzato da variabili macroscopiche quali pressione, densita entropia etc. Benche il fluido sia composto da molte particelle con le loro qudrivelocita, possiamo definire un campo di quadrivelocita per il fluido nel suo insieme. Un singolo campo quadrivettoriale e tuttavia insufficiente per descrivere le proprieta energetiche del fluido. Dobbiamo infatti andare oltre e definire il Tensore Energia-Momento (detto anche Tensore Stress-Energia) T µν. Questo e un tensore di ordine (2,0), simmetrico, che contiene tutte le informazioni relative agli aspetti energetici del sistema: densita di energia, pressione, stress, ecc.

23 Una definizione generale di tale tensore e flusso di qudrimomento p µ momento attraverso superfici con x ν costante. Consideriamo quindi un elemento infinitesimo di fluido nel suo sistema di riferimento: T 00 e il flusso di energia p 0 nel tempo x 0. Rappresenta la densita di energia del fluido nel suo sistema di riferimento. T 0i =T i0 e il flusso di momento p i nel tempo x 0. Rappresenta la densita di momento. T ij e il flusso di momento p i attraverso x j. Rappresenta le forze tra elementi contigui di fluido (stress). T ii e il flusso di momento p i attraverso x i. Rappresenta la forza per unita di area (pressione) esercitata lungo la direzione i.

24 Consideriamo il caso di un fluido di polvere ovvero composto da particelle di materia con velocita relativa nulla. In questo caso il campo di quadrivelocita coincide con la quadrivelocita U µ di ogni particella. Definiamo il quadrivettore flusso del numero di particelle N µ =nu µ dove n rappresenta la densita numerica di particelle misurata nel loro sistema di rifermento. N 0 rappresenta la densita di particelle misurata in ogni altro sistema di riferimento mentre N ι e il flusso di particelle lungo la direzione x i. Assumiamo che le particelle abbiano tutte la tesssa massa m Ιn questo caso ρ=mn rappresenta la densita di energia della polvere misurata nel sistema delle particelle. Per definizione la densita di energia caratterizza completamente un fluido di polvere. ρ e il suo valore nel sistema delle particlle. Notiamo che m ed n rappresentano le 0-componenti dei quadrivettori N µ =(n,0,0,0) e p µ =(m,0,0,0). Quindi ρ e la componente 0-0 del tensore p N sempre misurata nel sistema a riposo. E quindi naturale definire il tensore energiamomento per un fluido di polvere nel seguente modo: T µη p µ N ν = mnu µ U ν = ρu µ U ν Si noti che, come ci si aspetta, la pressione e nulla in ogni direzione.

25 Un fluido di polvere non e sufficientemente generico da rappresentare i fluidi che possono avere rilevanza in RS. Piu utile e il concetto di fluido perfetto. Un fluido perfetto e completamente caratterizzato da due quantita : la densita di energia ρ e la pressione isotropa p, definite nel sistema di riferimento del fluido. Una conseguenza dell isotropia e che il tensore energia-momento T µν e diagonale nel suo sistema di riferimento, senza flusso di momento nelle direzioni ortogonali. Inoltre le componenti diagonali spaziali T ii che rappresentano la pressione sono tutte uguali tra loro. Gli unici elementi del tensore che sono indipendento sono quindi la denita di energia T 00 e la pressione T 11 =T 22 =T 33 T ην = ρ p p p

26 Vogliamo ora generalizzare al caso di un sistema di riferimento qualunque. Se per la polvere T µη = ρu µ U ν allora un ipotesi e a questo punto pero basta aggiungere Il tensore energia-momento ha l ulteriore, importante proprieta di essere conservato ovvero di avere divergenza nulla T µη = (p + ρ)u µ U ν + pη µν µ T µν T mν Che pero nel sistema di riferimento del fluido corrisponde a T ην = Per ottenere il tensore Energia Momento del fluido perfetto Le caratteristiche di un particolare fluido perfetto e la sua evoluzione sono determinate dall equazione di stato p(ρ) p p 0 0 pη ην = 0 0 p p p = 0 p = ρ 3 = (p + ρ)u µ U ν ρ + p polvere fotoni = 0 ν = 0 continuity ν 0 Euler