Elasticità lineare per corpi affini

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1 Elasticità lineare per corpi affini Indice 1 Piccole deformazioni 2 2 Dilatazione infinitesima 2 3 Rotazione infinitesima 3 4 Variazione di volume 4 5 Variazione di area 4 6 Linearizzazione della risposta del materiale 4 7 Forza risultante e momento risultante linearizzati 5 8 Elasticità lineare 6

2 2 elasticità lineare per corpi affini 1 Piccole deformazioni Di solito i corpi si deformano molto poco. Ha dunque interesse valutare la risposta a piccole deformazioni. Si consideri una traiettoria generata da deformazioni affini dipendenti da un parametro di controllo φ ( p A ) = φ ( p O )+F ( p A p O ) (1) e la decomposizione polare del gradiente della deformazione Le espansioni in serie F = R U. (2) R = I+Θ +o(), (3) U = I+E +o(), (4) sono costituite dalla somma del valore in = 0, di un termine lineare in e di un termine o() tale che o() lim a = o a V. (5) 0 Sostituendo queste espressioni nella (2) si ottiene F = (I+Θ )(I+E )+o() = I+Θ +E +o(), (6) Si noti che Θ, detta rotazione infinitesima, è un tensore antisimmetrico poiché R T R = I (I+Θ ) T (I+Θ )+o() = I Θ T +Θ +o() = O, (7) mentre E, detta dilatazione infinitesima, è un tensore simmetrico poiché lo è U. Alla deformazione (1) corrisponde il campo di spostamento che per la (6) diventa 2 Dilatazione infinitesima Si osservi che per la (4) si ha U a a u ( p A ) = u ( p O )+(F I)( p A p O ), (8) u( p A ) = u( p O )+(Θ +E )( p A p O )+o(). (9) = 1 a (U a U a) 1/2 = 1 a ( a +E a a)+o() = 1+ E a a +o(). (10) a a Eliminando il pedice e indicando la matrice di E in un base ortonormale {e 1,e 2,e 3 } con ε 11 ε 12 ε 13 [E] = ε 21 ε 22 ε 23, (11) ε 31 ε 32 ε 33 per la (10) risulta Ue 1 e 1 = 1+Ee 1 e 1 +o() = 1+ε 11 +o(). (12)

3 elasticità lineare per corpi affini 3 Pertanto, a meno di o(), ε 11 è l allungamento nella direzione di e 1, ε 22 è l allungamento nella direzione di e 2, ε 33 è l allungamento nella direzione di e 3. In corrispondenza della coppia di vettori e 1 e e 2 si ha inoltre Ue 1 Ue 2 = U 2 e 1 e 2 = ( I+E+o() ) 2 e1 e 2 = ( I+2E+o() ) e 1 e 2 = e 1 e 2 +2Ee 1 e 2 +o() = 2ε 21 +o(). (13) Utilizzando la (12) si ha anche Ue 1 Ue 2 = (1+ε 11 )(1+ε 22 )+o() = 1+ε 11 +ε 22 +o() (14) ( Ue 1 Ue 2 ) 1 = 1 ε 11 ε 22 +o(). (15) Ne deriva che l angolo tra i vettori Ue 1 e Ue 2 è tale che cos ( π 2 γ ) Ue 1 Ue 2 21 = Ue 1 Ue 2 = 2ε 21 +o(). (16) Poiché cos( π 2 γ 21) = sin(γ 21 ) γ 21, per lo scorrimento γ 21 corrispondente alla coppia di vettori e 1, e 2 si ottiene γ 21 2ε 21. (17) Per la stessa ragione si ha γ 32 2ε 32, γ 13 2ε 13. (18) Si noti che se u i è un autovettore di E e ε i l autovalore corrispondente, si ha e dalla (4) Eu i = ε i u i (19) Eu i = (U I+o())u i = ε i u i Uu i = (1+ε i )u i +o(). (20) Pertanto per abbastanza piccolo gli autovettori di U sono vicini agli autovettori di E mentre le dilatazioni principali sono approssimate dalle espressioni 3 Rotazione infinitesima λ i 1+ε i. (21) L espansione in serie della rotazione si può costruire nel seguente modo. Si consideri la rotazione come composizione di tre rotazioni (v. Appendice 3) con asse rispettivamente e 1, e 2, e 3 e ampiezze θ (1), θ(2) Considerando ad esempio R (1), la sua espansione in serie R = R (3) R(2) R(1) (22), θ(3), nulle per = 0 e lineari in. R (1) = I+Θ(1) +o() (23) corrisponde all espansione in serie della sua matrice cosθ (1) sinθ (1) = θ (1) 0 sinθ (1) cosθ (1) +o(). (24) θ (1) 0

4 4 elasticità lineare per corpi affini Componendo le espansioni in serie si ottiene Dalla (3) risulta R = (I+Θ (3) )(I+Θ(2) )(I+Θ(1) essendo le matrici di Θ (3), Θ(2), Θ(1), rispettivamente 0 θ (3) θ (2) 0 0, θ (3) 4 Variazione di volume )+o() = I+Θ(3) +Θ(2) +Θ(1) +o(). (25) Θ = Θ (3) +Θ(2) +Θ(1) (26) θ (2) , 0 0 θ (1). (27) 0 θ (1) 0 Per il volume del parallelepipedo di spigoli {U e 1,U e 2,U e 3 }, utilizzando la (4), si ha vol(u e 1,U e 2,U e 3 ) = vol((i+e )e 1,(I+E )e 2,(I+E )e 3 )+o() = vol(e 1,e 2,e 3 )+vol(e e 1,e 2,e 3 )+vol(e 1,E e 2,e 3 )+vol(e 1,e 2,E e 3 )+o(). (28) Risulta dunque Pertanto per abbastanza piccolo è 5 Variazione di area detf = vol(u e 1,U e 2,U e 3 ) vol(e 1,e 2,e 3 ) = 1+trE +o(). (29) detf 1+trE. (30) Consideriamo la faccia F di un parallelepipedo. Il rapporto tra l area di tale faccia e l area della faccia corrispondente F nella configurazione di riferimento è dato da A F A F = (coff) n (31) dove n il versore normale esterno a F. Dall espansione in serie della precedente espressione, per sufficientemente piccolo si ha (coff ) n 1+trE E n n. (32) 6 Linearizzazione della risposta del materiale La tensione, data dalla funzione di risposta per un materiale elastico, è Si consideri l espansione in serie T = R T(U )R T. (33) T(U ) = T(I+E ) = T(I)+C(E )+o(), (34)

5 elasticità lineare per corpi affini 5 dove C è la parte lineare di T, risultando cosí C(E ) lineare in. Assumendo 1 T(I) = O, (35) la (33) diventa T = (I+Θ ) T C(E )(I+Θ )+o() = C(E )+o() (36) 7 Forza risultante e momento risultante linearizzati Lungo una traiettoria dipendente da un parametro di controllo, descritta dalla (1), la potenza di una forza f A applicata nel punto A risulta f A v A = f A v O +F ( p A p O ) f A L. (37) Lo sviluppo in serie del momento, assumendo che la forza f A sia lineare rispetto a e nulla per = 0, risulta F ( p A p O ) f A = (I+E +Θ +o())( p A p O ) f A = ( p A p O ) f A +o() (38) La potenza di una distribuzione di forza b su R in un campo di velocità v è R b v dv (39) Tale integrale si può trasformare in un integrale sulla forma, utilizzando il rapporto tra i volumi (formula generale del cambiamento di variabile) b v dv = (b φ) (v φ)detf dv (40) R che più brevemente si può scrivere R b v dv = b vdetf dv. (41) Utilizzando l espansione in serie di detf (29) si ha b v dv = b v (1+trE +o()) dv R = b v dv + b v tre dv +o(). (42) Assumendo che b sia lineare rispetto a e nullo per = 0, essendo E lineare in risulta b v dv = b v dv +o(). (43) R Inoltre dall espressione del campo di velocità affine v(p A ) = v O +LF ( p A p O ) (44) 1 Si dice in tal caso che il corpo è in una configurazione di riposo o rilassata.

6 6 elasticità lineare per corpi affini si ottiene b v dv = R = b v O dv + b dv v O + b LF (x p O ) dv +o() (x p O ) b dv L +o(). Assumendo che anche t, come b, è una funzione lineare in, nulla in = 0, utilizzando la (32) si ottiene t v da = t v (coff) n da = t v da R = t v O da+ t LF (x p O ) da+o() (46) = t da v O + (x p O ) t da L +o(). 8 Elasticità lineare La parte lineare di T(F ) data dalla (36) definisce la funzione di risposta della teoria lineare dell elasticità T = C(E). (47) L applicazione lineare C è detta tensore dell elasticità. Poichè tale tensore trasforma tensori simmetrici in tensori simmetrici, esso è descritto da una matrice 6 per in una qualunque base. Affinché esista l energia elastica si può dimostare che C deve essere un tensore simmetrico. Pertanto il numero totale di coefficienti (i moduli elastici) necessari a descrivere un materiale risulta (6 6 6)/2+6 = 21. Per materiali isotropi questo numero di riduce a 2 e la formula generale della funzione di risposta risulta C(E) = λtr(e)i+2µe. (48) Le costanti λ e µ si dicono moduli di Lamè. La rotazione infinitesima e la dilatazione infinitesima si definiscono nel modo seguente (45) Θ := skw(f I) = skw u, (49) E := sym(f I) = sym u, (50) dove u = (F I) è il gradiente dello spostamento. Una deformazione affine infinitesima è descritta dall espressione φ( p A ) = φ( p O )+F( p A p O ) = φ( p O )+(I+Θ+E)( p A p O ) (51) o, in termini di campo di spostamento, dall espressione u( p A ) = u( p O )+(F I)( p A p O ) = u( p O )+(Θ+E)( p A p O ) (52) Riassumiamo la teoria del eleasticità lineare per un corpo affine. Il principio di bilancio è da cui derivano le seguenti equazioni di bilancio f v O + ( M TV ) L = 0 vo, L (53) f = o, (54) skwm = O, (55) symm = TV. (56)

7 elasticità lineare per corpi affini 7 La forza risultante e il momento risultante sono dati dalle espressioni f = b dv + t da, (57) M po = (x p O ) b dv + (x p O ) t da (58) e la funzione di risposta per la tensione T è data dalla (47). Utilizzando per la matrice di E l espressione γ 12 γ 13 ε γ 21 γ 23 [E] = ε 22, (59) 2 2 γ 31 γ 32 ε il termine ε 11 ha il significato di allungamento nella direzione e 1 ; il termine γ 12 ha il significato di scorrimento corrispondente alle direzioni e 1 e e 2. Utilizzando per la matrice di Θ l espressione 0 θ 3 θ 2 [Θ] = θ 3 0 θ 1, (60) θ 2 θ 1 0 i termini θ 1, θ 2, θ 3 hanno il significato di ampiezza di tre rotazioni infinitesime, rispettivamente con assi e 1, e 2, e 3.