Prof. Caterina Rizzi Dipartimento di Ingegneria Industriale

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1 RUOLO DELLA MODELLAZIONE GEOMETRICA E LIVELLI DI MODELLAZIONE PARTE 2 Prof. Caterina Rizzi... IN QUESTA LEZIONE Modelli 2D/3D Modelli 3D/3D Dimensione delle primitive di modellazione Dimensione dell oggettoy 3D 2D 1D 1D 2D 3D Dimensione dello spazio di modellazioney 1

2 MODELLAZIONE DI SOLIDI E stato un salto metodologico più che tecnologico Considerazioni di base la forma è la fonte principale i delle informazioni i iper la progettazione, l analisi e la documentazione ed è anche il riferimento per definire le caratteristiche funzionali e tecnologiche la forma di molti pezzi meccanici possono essere rappresentati tramite un numero ridotto di primitive solide semplici organizzate con pochi operatori logici... da qui l idea di un approccio basato sulla modellazione del prototipo invece che del documento LE ORIGINI gli sviluppatori dei sistemi hanno seguito un approccio interno e bottom up hanno definito un modo per rappresentare e gestire la forma, cercando poi di estendere il dominio delle forme rappresentabili.. varie scuole e relativi sistemi: analitico vs. parametrico preciso vs. approssimato B rep vs. CSG 2

3 ... DUE APPROCCI Sistemi basati sulla descrizione del contorno dell oggetto (B Rep) primitive bidimensionali spazio di modellazione 3D Sistemi basati su una descrizione volumetrica dell oggetto (CSG e decompositivi) primitive tridimensionali spazio di modellazione 3D... comunquecon con due varabili ortogonali: rappresentazione geometrica: precisa o approssimata rappresentazione: strutturata o non strutturata SPAZIO DI RIFERIMENTO 3D Dimensione delle primitive di modellazione Dimensione dell oggetto CSG 2D B-REP 1D 1D 2D 3D Dimensione dello spazio di modellazione 3

4 MODELLAZIONE ODELLAZIONE B REP B Rep Boundary Representation 3D 2D 1D 1D 2D 3D SCHEMA DI RAPPRESENTAZIONE APPRESENTAZIONE B REP Rappresentazione basata sulla struttura topologica, esplicita e valutata solido definito in modo indiretto tramite le superfici che lo delimitano (facce) e le relazioni esistenti tra di esse le facce sono a loro volta rappresentate come insiemi di spigoli e vertici La posizione del materiale è determinata dall uso di geometria orientata 4

5 ELEMENTO PORTANTE: LA TOPOLOGIA entità topologiche primarie facce, che lo delimitano F spigoli, che delimitano ciascuna faccia E vertici, che definiscono ciascun spigolo V entità composte loop, insieme connesso di spigoli L shell, insieme connesso di facce S oggetto, insieme di shell altre entità hole, fori passanti H ring, loop interni alle varie facce R Vertici Ring Faccia Spigolo TOPOLOGIA E GEOMETRIA (1/2) TOPOLOGIA GEOMETRIA Solido Shell Entità Topologiche Facce Loop Superfici Entità Geometriche Spigoli Curve Vertici Punti 5

6 GEOMETRIA E TOPOLOGIA (2/2) Esempio Tetraedro V 4 V 1 V f1 3 e 1 e 3 V 2 e 2 V1 f1 f2 f3 f4 e1 e2 e3 V2 V3 Nodo: RECORD contenente Intero per indicare tipologia entità Informazioni relative alla geometria (eq. Curve, superfici Puntatori per legami con altre entità (x1,y1,z1) (x2,y2,z2) (x3,y3,z3) Grafo: ente matematico rappresentabile con un insieme discreto di punti, detti vertici, e da linee che congiungono coppie di vertici PROBLEMA ROBLEMA: LA CONSISTENZA TOPOLOGICA (1/2) E necessario avere delle regole per il controllo automatico della validità topologica Regola di Eulero Poincarè V E + F = 2 ( S H ) + R V = numero dei vertici E = numero di spigoli F = numero di facce S = numero di shell H = numero di fori passanti R = numero di loop interni alle facce 6

7 PROBLEMA ROBLEMA: LA CONSISTENZA TOPOLOGICA (2/2) V E + F = 2 ( S H ) + R = 2 (1 1) = 2 OPERATORI DI EULERO necessari perchè difficoltà nella traduzione da altri schemi difficoltà nella manipolazione i diretta devono preservare la validità Locali Globali MVFS KFMRH MEV MEF KEMR e relativi opposti M = Make K = Kill V = Vertex E = Edge F = Face H = Hole R = Ring S = Shell 7

8 MODELLATORI B REP Due famiglie modellatori poliedrici spigoli retti facce piane modellatori precisi. anche spigoli curvi. idem superfici GEOMETRIA PRECISA per ogni nuova famiglia di entità geometriche update della struttura dati nuovi algoritmi di intersezione con tutte le geometrie esistenti generalizzazione della rappresentazione matematica 8

9 GEOMETRIA APPROSSIMATA Approssimazione = Faceting (ridurre ogni superficie a faccette piane) Vantaggi semplici e rapidi algoritmi di faceting unico kernel algoritmico possibilità di hardwarizzazione dominio delle geometrie trattabili senza limiti Svantaggi numero di faccette elevato o elevatissimo difficoltàdi legare la singolafaccetta alla geometria originaria difficoltà nel cambiare approssimazione durante la modellazione differenze tra le rappresentazioni ed il modello interno Geometria/Topologia RIASSUMENDO Caratteristiche principali Modellatori B Rep: modello valutato: modella il risultato topologia è l elemento portante dominio delle geometrie trattate: descrizione precisa: analitica descrizione approssimata: faccette 9

10 MODELLAZIONE PER VOLUMI (1/2) 3D 2D 1D 1D 2D 3D MODELLAZIONE PER VOLUMI (2/2) Sistemi basati su primitive solide e metodi costruttivi Constructive esolid Geometry e CSG Instaziamento di primitive Sistemi basati sulla decomposizione Enumerazione per occupazione spaziale (voxel) Suddivisione spaziale (octree) Decomposizione in celle 10

11 SCHEMA DI RAPPRESENT APPRESENT.. C.S.G. (1/2) C.S.G. = Constructive Solid Geometry Solido viene rappresentato come composizione di istanze parametrizzate di primitive (di solidi) mediante operazioni booleane e moti rigidi Modello solido è descritto come sequenza di operazioni solido rappresentato implicitamente dalla procedura SCHEMA DI RAPPRESENT APPRESENT.. C.S.G. (2/2) rappresentazione mediante albero ordinato: ALBERO CSG Differenza ( ) Differenza ( ) Π 1 Π 2 Traslazione Π 2 Δx Π=primitiva 11

12 PRIMITIVE SOLIDE Parallelepipedo w l h Cilindro r h Sfera r Cono r h Toro GLI OPERATORI CSG (1/3) Unione A B B A Intersezione A B Differenza A - B B - A 12

13 GLI OPERATORI CSG (2/3) a. b. c. d. GLI OPERATORI CSG (3/3) Operatori Booleani Regolarizzati A op* B = chiusura (interno(a op B)) op è un operatore di,,,, A B A B spigolo penzolante C = A B C* = A *B 13

14 NON UNICITÀ DELLA RAPPRESENTAZIONE B B A A A * B A * B. RIASSUMENDO (1/2) Caratteristiche principali rappresentazione basata su primitive bounded o unbounded garantisce la consistenza geometrica del risultato (se usa operatori regolarizzati) implicita, non valutata e procedurale memorizza COME ottenere il risultato (il solido) e non il risultato stesso 14

15 w 2 w 1. RIASSUMENDO (2/2) Vantaggi parametrizzazione intrinseca dell oggetto consistenza e validità del risultato in contesti strutturati il modello procedurale può memorizzare delle relazioni funzionali Svantaggi esistonoinfiniti infiniti modiper rappresentare un oggetto è impossibile verificare l identità e/o la differenza di due oggetti sulla base del loro modello CSG ISTANZIAMENTO DI PRIMITIVE basato su famiglie di oggetti un solido è creato tramite una operazione di instaziamento specificando alcuni parametri operazione fra solidi: gluing modello è composto da una lista di primitive adiacenti tra loro adatto per applicazioni in edilizia ed impiantistica l h 2 h 1 15

16 RAPPRESENTAZIONI BASATE SUL VOLUME per Decomposizione oggetti solidi sono descritti saldando assieme oggetti costruttivi di base, al più adiacenti fra di loro i tipi di oggetti di base, ed il modo in cui sono combinati determinano vari tipi di rappresentazione: Enumerazione per occupazione spaziale Octree Decomposizione in celle ENUMERAZIONE PER OCCUPAZIONE SPAZIALE (1/2) insieme di celle spaziali adiacenti occupate dal solido celle sono solitamente cubiche e di dimesione fissa (voxel), non si sovrappongono ed hanno lo stesso orientamento (suddivisione regolare) adatto per rappresentare oggetti rilevati in modo discreto 16

17 ENUMERAZIONE PER OCCUPAZIONE SPAZIALE (2/2) Operativamente: definizione di una griglia regolare orientata lungo i 3 assi principali assegnazione di un valore TRUE alle celle che contengono materiale, e FALSE a quelle che non lo contengono rappresentazioni di ogni cella mediante le coordinate di un singolo vertice ESEMPIO Studio della propagazione di onde elastodinamiche nei componenti di un impianto Modello B Rep definito mediante un sistema CAD Modello a voxel 17

18 OCTREE (1/2) metodo basato sulla suddivisione ricorsiva dello spazio in 8 regioni cubiche ottimizza l uso della memoria migliora l accuratezza descrittiva OCTREE (2/2) modello è rappresentato da un albero: ogni nodo padre ha 8 figli spazio è suddiviso ricorsivamente: ogni passo genera 8 figli ad ogni figlio viene assegnato un codice: completamete contenuto nel solido completamente esterno al solido parzialmente contenuto nel solido nodo con discendenti nodo che rappresenta una regione vuota nodo che rappresenta una regione piena 18

19 DECOMPOSIZIONE IN CELLE solido descritto componendo celle adiacenti tramite operatore di gluing (saldatura) celle sono di varia natura: tetraedri, esaedri, ESEMPI (1/2) Impattatore 19

20 ESEMPI (2/2) Modello 3D Corpo pompa Modello semplificato Risultati Analisi FEM Modello discretizzato RAPPRESENTAZIONI BASATE SUL VOLUME per Decomposizione è difficile descrivere oggetti realistici enumerando le celle di cui sono formati approccio pratico creazione di rappresentazioni per decomposizione tramite conversione da una qualche altra rappresentazione (modelli costruttivi o di frontiera) 20

21 DOCUMENTAZIONE Sito Web Mortenson M.E., Geometric Modeling, Ed. John Wiley & Sons, 1997 Foley J.D., Van Dam A., Feiner S.K., Hughnes J.F.,Computer Graphics: principle and practice second edition in C, Addison Wesley Publishing Co.,