Confronto fra tre codici di calcolo 2D della risposta sismica locale

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1 Confronto fra tre codici di calcolo 2D della risposta sismica locale Alessandro Pagliaroli, Giuseppe Lanzo Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università di Roma La Sapienza, via A. Gramsci 53, Roma Tito Sanò via Basento 58, Roma Keywords: Risposta sismica locale, modellazione numerica, condizioni al contorno, mezzo elastico e viscoelastico lineare ABSTRACT: Sono presentati i risultati di analisi numeriche di risposta sismica locale con tre codici di calcolo bidimensionali basati su differenti formulazioni numeriche: (elementi di contorno), QUAD4M, (elementi finiti) e FLAC (differenze finite). Dapprima i risultati ottenuti con i tre codici sono stati confrontati con una soluzione analitica di letteratura con riferimento ad un canyon semicircolare costituito da materiale omogeneo a comportamento elastico lineare. In seguito le analisi sono state condotte con riferimento ad una morfologia reale, la rupe di Nicastro (CZ), nell ipotesi di materiale omogeneo a comportamento visco-elastico lineare. L attenzione è stata posta principalmente alla corretta definizione delle condizioni al contorno nei codici QUAD4M e FLAC al fine di simulare correttamente lo smorzamento di radiazione, prendendo a riferimento i risultati forniti da che modella agevolmente il semispazio infinito senza introdurre confini artificiali. Le analisi mostrano che occorre particolare cautela nella definizione della dimensione della zona discretizzata nelle analisi svolte con QUAD4M che mostra risultati fortemente dipendenti dall estensione della mesh. Risultati accettabili e comparabili con gli altri due codici si ottengono collocando i confini laterali e inferiore ad opportune distanze dalla regione di interesse. INTRODUZIONE Gli effetti di sito o locali possono esercitare una influenza significativa sulla distribuzione del moto sismico e dei danni strutturali in occasione di eventi sismici. Gli effetti di sito includono effetti stratigrafici legati prevalentemente al contrasto di impedenza tra i depositi di terreno superficiali e il sottostante basamento, effetti di valle associati a discontinuità stratigrafiche laterali ed effetti topografici dovuti alla morfologia di superficie. Mentre gli effetti stratigrafici sono modellati con sufficiente accuratezza attraverso semplici modelli monodimensionali (D), gli effetti locali associati alla morfologia superficiale e profonda richiedono più complessi modelli bidimensionali (2D) o tridimensionali (3D). Negli ultimi anni sono stati sviluppati e perfezionati diversi metodi numerici e codici di calcolo per la modellazione degli effetti di sito collegati ai complessi fenomeni fisici 2D e 3D come diffrazione in corrispondenza di irregolarità topografiche, generazione di onde di superficie ai bordi della valle etc. (Semblat e Bard, 25). Nel presente articolo sono confrontati i risultati di modellazioni numeriche condotte con tre codici di calcolo della risposta sismica locale: (Sanò, 996) basato su una formulazione agli elementi di contorno, FLAC (Itasca, 22) alle differenze finite e QUAD4M (Hudson et al., 994) agli elementi finiti. I tre codici differiscono, in particolare, per il tipo di condizioni al contorno e per le modalità di applicazione del segnale di input. Per valutare l influenza di questi fattori sull accuratezza delle modellazioni numeriche sono state condotte numerose analisi di calibrazione. Dapprima i risultati ottenuti con i tre codici di calcolo sono stati confrontati con la soluzione analitica, considerata come esatta, ottenuta da Wong (982) per un canyon semicircolare costituito da un materiale omogeneo a comportamento elastico lineare. In seguito le analisi sono state condotte con riferimento ad un caso reale: la rupe rocciosa di Nicastro (CZ). Il sottosuolo è stato considerato omogeneo a comportamento visco-elastico lineare assumendo valori medi dei parametri fisico-meccanici delle rocce costituenti il sottosuolo. L input, costituito sia da accelerogrammi naturali che da semplici segnali sinusoidali, è stato applicato sotto forma di onde SV incidenti verticalmente.

2 I risultati delle analisi, per entrambe le morfologie, sono stati confrontati in termini di profili delle accelerazioni verticali e orizzontali massime e di spettri di risposta in nodi significativi. 2 CODICI DI CALCOLO UTILIZZATI 2. Il codice (Sanò, 996) opera nel dominio della frequenza attraverso il metodo degli elementi di contorno (BEM). Il codice consente di effettuare analisi lineari su modelli bidimensionali eterogenei permettendo di applicare come input sia onde di volume (onde di compressione P, di taglio SV e SH) che di superficie (onde di Rayleigh). Il codice consente altresì di superare l ipotesi di incidenza verticale delle onde di volume, comune a molti codici di risposta locale. Si consideri un dominio V avente contorno S. Se tale regione è occupata da un materiale a comportamento elastico lineare, il campo di spostamenti nel punto r appartenente al dominio, a seguito di un eccitazione armonica e in assenza di forze di volume, può essere descritto dal seguente integrale al contorno (Sanò, 996; Sanchez-Sesma e Campillo, 99): u i (r) = φ j(r')g ij (r,r')ds () S dove: - u i (r) è la i-esima componente dello spostamento nel punto r - G ij (r,r ) è la funzione di Green che rappresenta lo spostamento in direzione i nel punto r dovuto ad una forza unitaria applicata nel punto r in direzione j - φ j (r ) è una forza per unità di lunghezza del contorno applicata in direzione j; tali forze rappresentano le incognite e vanno determinate tramite l applicazione delle condizioni al contorno. La precedente relazione indica che lo spostamento in un qualsiasi punto del dominio V è la somma degli spostamenti provocati da una distribuzione di sorgenti disposte sul contorno S. Essa rappresenta la base dell approccio indiretto al metodo degli elementi di contorno. Applicando la legge di Hooke, tramite la derivazione del campo degli spostamenti, è possibile ottenere il campo delle tensioni. È possibile ricavare, per r giacente su S e in assenza di forze di volume, il seguente integrale: t i (r) = φi(r) + φj(r' )T ij(r, r' )ds 2 S (2) dove: - t i (r) la i-esima componente della trazione nel punto r - T ij (r,r ) è la funzione di Green come trazione e rappresenta la trazione in direzione i nel punto r sul contorno dovuta all applicazione di una forza unitaria in direzione j nel punto r. Se invece il punto r è interno al dominio V vale ancora l espressione precedente ma il primo termine a secondo membro deve essere considerato nullo. Le equazioni () e (2) costituiscono la base dell approccio indiretto al metodo degli elementi di contorno. Ulteriori dettagli possono trovarsi in Sanò (996) e Sanchez-Sesma e Campillo (99). Imponendo la condizione di trazione nulla a contatto con l aria e, nel caso di depositi eterogenei, di continuità del taglio e degli spostamenti alle interfacce tra i materiali di differenti caratteristiche meccaniche, si ricavano le equazioni del moto. Poiché queste ultime non sono risolubili in forma chiusa, escluso per geometrie particolari e solo per alcuni tipi di onde incidenti, deve essere usato un metodo numerico di soluzione. Il contorno viene suddiviso in segmenti rettilinei (elementi) ed in ciascuno di essi viene assunta una funzione di forma delle sorgenti incognite φ j, come nel metodo degli elementi finiti. In viene assunto un andamento costante di φ j lungo ciascun elemento, quindi il valore della sorgente può considerarsi riferito al centro dell elemento stesso. Le equazioni integrali si trasformano così in un sistema di equazioni algebriche. La discretizzazione dei contorni pone il problema di una scelta ottimale della lunghezza degli elementi. Al crescere del numero di elementi scelti per rappresentare un contorno (ovvero al decrescere della distanza dei nodi che lo delimitano) migliora l accuratezza del calcolo numerico ma ovviamente aumenta il costo computazionale. Fissata la massima frequenza di interesse f max (in genere 2 25 Hz) e la velocità delle onde di taglio V S del materiale meno rigido, per simulare correttamente la minima lunghezza d onda di interesse λ min = V S /f max è opportuno scegliere una dimensione degli elementi l: λ min l 4 (3) ovvero utilizzare almeno quattro elementi per lunghezza d onda. Per quanto riguarda invece l estensione cui portare i contorni che delimitano la superficie libera ai lati della zona di interesse, un adeguata precisione si ottiene estendendo tali contorni per una distanza pari all ampiezza della zona perturbata (ad es. la larghezza dell irregolarità topografic. Il codice prevede differenti espressioni per il moto incidente: onda sinusoidale singola di data frequenza, storia temporale del moto, spettro di densità di potenza o spettro di risposta. Il codice opera nel dominio della frequenza per cui, nel caso di input costituito da storie temporali, il codice effettua una trasformata di Fourier del segnale per portarlo nel dominio della frequenza. I segnali in uscita vengono

3 quindi riportati nel dominio del tempo attraverso una trasformata inversa di Fourier. Il segnale applicato ha il significato fisico di moto proveniente dall infinito; quindi, ad esempio, nel caso di incidenza verticale è pari alla metà del moto registrato su un ipotetico affioramento piano del basamento stesso (outcropping bedrock). Le proprietà dissipative dei materiali sono introdotte direttamente nelle funzioni di Green G ij attraverso il rapporto di smorzamento modellando così un damping indipendente dalla frequenza. La principale limitazione del codice è quella di eseguire unicamente analisi in campo lineare. Per tenere conto, in maniera approssimata, degli effetti di non linearità si possono eseguire analisi lineari con valori dei parametri dinamici (rigidezza e rapporto di smorzamento) compatibili con il livello di deformazione mobilitato. 2.2 QUAD4M Il codice QUAD4M (Hudson et al., 994) costituisce una modifica di QUAD-4 originariamente sviluppato da Idriss et al. (973) presso l Università di Berkeley. Esso consente di effettuare analisi di risposta sismica locale di tipo bidimensionale, lineari equivalenti, con il metodo degli elementi finiti. Il deposito viene discretizzato in una mesh di elementi di forma triangolare o quadrangolare, consentendo una efficace modellazione della variazione geometrica del contatto deposito-basamento, così come delle irregolarità della superficie topografica e dei contatti stratigrafici. L equilibrio globale è espresso dal sistema di e- quazioni: Mu + Cu + Ku = MI u B (4) dove: - u è il vettore degli spostamenti nodali - M la matrice globale delle masse - K la matrice globale delle rigidezze - C la matrice globale di dissipazione - u B (t) l accelerogramma di input. Le equazioni del moto (4) vengono risolte tramite integrazione diretta nel dominio del tempo con il metodo di Newmark. In particolare nella versione QUAD4M viene utilizzato il metodo CAA (Constant Average Acceleration) che è incondizionatamente stabile e non introduce nell analisi alcun damping numerico. Il moto sismico di input u B (t) viene applicato simultaneamente a tutti i nodi della base sotto forma di onde trasversali SV e/o onde di compressione P (in plane motion) con direzione di propagazione verticale ed ha il significato fisico di un moto registrato su affioramento piano del basamento. La generazione della mesh è una della delle fasi più delicate in un analisi agli elementi finiti, dipendendo da essa sia l accuratezza della soluzione sia l onere computazionale. In generale si può affermare che tanto più la mesh è fitta tanto più la soluzione è accurata e tanto maggiori sono il tempo e la memoria richiesta dall elaborazione. L utilizzo di una mesh eccessivamente grossolana si traduce in un filtraggio delle componenti di alta frequenza poiché le piccole lunghezze d onda non possono essere adeguatamente modellate da nodi troppo distanti tra loro. Viene perciò generalmente raccomandato di scegliere valori dell altezza h di ogni elemento inferiori ad a /8 /5 della più piccola lunghezza d onda considerata nell analisi: h V S (5) 8 5 fmax Per garantire una sufficiente accuratezza della soluzione è inoltre consigliato l utilizzo di un aspect ratio (rapporto tra la dimensione orizzontale e verticale dell elemento) non superiore a cinque. I metodi agli elementi finiti, così come quelli alle differenze finite, si basano sulla discretizzazione, tramite una mesh di nodi, di una porzione finita dello spazio per cui occorre imporre appropriate condizioni al contorno ai confini di tale regione. In ogni problema di propagazione di onde sismiche, parte dell energia si allontana indefinitamente dalla regione di interesse verso il semispazio circostante per fenomeni di diffrazione e riflessione dando luogo ad una perdita di energia indicata come smorzamento di radiazione. I confini della zona discretizzata (mesh) devono quindi modellare il più accuratamente possibile questa aliquota di energia persa per radiazione. In QUAD4M alla base del modello sono presenti smorzatori viscosi (assenti nella versione precedente QUAD-4), implementati secondo la formulazione di Lysmer e Kuhlemeyer (969). Essi consentono un pressoché completo assorbimento delle onde di volume che incidono sul contorno con angoli maggiori di 3 mentre sono meno efficienti (assorbimento non completo) per angoli di incidenza più bassi e per le onde di superficie. Ai lati del modello è invece possibile imporre u- nicamente contorni di tipo elementare (cerniere e carrelli). Poiché l energia che giunge a questi confini viene completamente riflessa la perdita per radiazione può essere simulata solo tramite un adeguato allontanamento dei confini dalla regione. Se lo smorzamento dei materiali è basso tali distanze possono essere notevoli con incremento considerevole delle dimensioni della mesh e del costo computazionale. La non linearità del terreno viene tenuta in conto attraverso l esecuzione di analisi lineari equivalenti. Il modulo di taglio e il rapporto di smorzamento sono aggiornati in funzione del livello della deformazione tangenziale indotta dalle sollecitazioni sismiche. Le proprietà dissipative del terreno sono modellate attraverso la matrice di dissipazione C. Essa deri-

4 va dall assemblaggio delle matrici di dissipazione dei singoli elementi calcolate secondo la formulazione di Rayleigh completa (Chopra, 2). L adozione di una formulazione alla Rayleigh comporta uno smorzamento dipendente dalla frequenza, in contrasto con le evidenze sperimentali sul comportamento dei terreni, e può condizionare in maniera sensibile i risultati di un analisi numerica. Per minimizzare tale variazione nel codice QUAD4M i coefficienti di Rayleigh vengono calcolati in funzione di due frequenze naturali dell intero deposito, una delle quali funzione anche della frequenza predominante del segnale di input. Questa scelta consente di ottenere risultati in buon accordo con quelli calcolati da modelli a smorzamento indipendente dalla frequenza (Lanzo et al., 23 e 24). 2.3 FLAC Il codice di calcolo FLAC (Fast Lagrangian A- nalysis of Continu (Itasca, 22) è basato sul metodo delle differenze finite, con un procedimento di soluzione di tipo esplicito. Il codice, sviluppato inizialmente per le applicazioni di ingegneria geotecnica e mineraria in campo statico, con la recente introduzione del modulo dinamico, è stato esteso alla soluzione di problemi di risposta locale. Il codice risolve le equazioni di equilibrio dinamico di un mezzo continuo: u τ i ji ρ = + ρ t j x j g i (6) dove: ρ è la densità - x i la componente i-esima del vettore posizione - u la componente i-esima del vettore velocità i - g i la componente dell'accelerazione di gravità (forze di volume) lungo la direzione i τ ji la generica componente del tensore degli sforzi. Il comportamento meccanico dei materiali è e- spresso dalla legge costitutiva: τ ji = M τ ( ; e ; k) ji ij (7) dove k è un parametro che tiene conto della storia di carico, M un funzionale e e ij il tensore velocità di deformazione. I materiali vengono rappresentati da elementi quadrilateri, o zone, che formano una mesh che può essere configurata dall'utente in modo da modellare contatti stratigrafici e morfologie superficiali anche complesse e irregolari. A ciascuna zona si assegnano le proprietà fisiche e meccaniche che ne caratterizzano il comportamento nell'analisi. I vertici di ogni zona costituiscono i nodi della griglia. I metodi alle differenze finite, come quelli agli e- lementi finiti, traducono un sistema di equazioni differenziali come le (6) in un sistema di equazioni algebriche. Se i metodi agli elementi finiti hanno come punto centrale la definizione delle funzioni di forma che descrivono la variazione delle grandezze che interessano il problema (tensioni, deformazioni) attraverso ciascun elemento, nei metodi alle differenze finite si prescinde da questa definizione della funzioni di forma, e le equazioni algebriche vengono scritte direttamente in termini di variabili di campo definite nei nodi della mesh. L algoritmo risolutivo dell approccio esplicito si articola secondo un ciclo: ad ogni nuovo passo di calcolo (step), vengono risolte le equazioni di equilibrio dinamico (6), per cui dalle tensioni e dalle forze si ottengono i valori corrispondenti delle velocità di deformazione e degli spostamenti; successivamente dalla velocità di deformazione, attraverso le equazioni costitutive (7), si giunge a valori aggiornati delle tensioni. L ipotesi base consiste nel fatto che, durante ciascuna fase del ciclo, le grandezze vengono ricavate da altre i cui valori sono assunti costanti durante l operazione. Ad esempio, i valori delle velocità di deformazione sono considerati fissi durante l operazione di calcolo delle tensioni mediante le (7); in altre parole, i nuovi valori calcolati delle tensioni non influenzano le velocità. Questo può apparire poco accettabile dal punto di vista fisico poiché una variazione di tensione in un punto necessariamente altera la velocità di deformazione nei punti vicini. Tuttavia se l'intervallo di tempo Δt (timestep) corrispondente al singolo ciclo di calcolo è sufficientemente piccolo, tale alterazione non si propaga da un elemento all altro durante Δt. A piccoli valori del timestep sono tuttavia associati un gran numero di passi di integrazione e quindi tempi di calcolo molto elevati. Il Δt utilizzato nell integrazione è tanto più piccolo quanto più la rigidezza del materiale è elevata e quanto più piccoli sono gli elementi. Come per QUAD4M, particolare attenzione va posta nella scelta delle dimensioni degli elementi della mesh in quanto queste condizionano in maniera fondamentale l accuratezza numerica della trasmissione delle onde. In particolare, per garantire un adeguata modellazione è consigliato di scegliere una altezza degli elementi h almeno pari ad un valore compreso tra un decimo ed un ottavo della minima lunghezza d'onda di interesse: h V S (8) 8 f max Al fine di modellare correttamente lo smorzamento di radiazione, FLAC consente di imporre sui contorni della mesh condizioni di campo libero (free field boundaries) o viscose (quiet boundaries). La definizione delle condizioni al contorno è strettamente correlata all applicazione della sollecitazione dinamica, come discusso in seguito. I contorni freefield consistono sostanzialmente in colonne monodimensionali di larghezza unitaria, situate ai lati del modello, che simulano il comportamento di un mez-

5 zo infinitamente esteso. In pratica, essi riproducono il moto libero del terreno che si avrebbe in assenza della configurazione bidimensionale ed allo stesso tempo impediscono la riflessione ai bordi della mesh delle onde diffratte verso l esterno. In particolare, ai singoli nodi dei contorni laterali della griglia principale sono connessi smorzatori viscosi che assorbono l energia delle onde incidenti sui contorni, applicando delle forze viscose proporzionali alla differenza tra il campo di velocità esistente e quello in condizioni di campo libero. I contorni free-field sono di notevole utilità in quanto consentono di evitare l allontanamento dei confini laterali altrimenti necessario, in assenza di confini assorbenti, per la minimizzazione delle onde riflesse dai contorni, come visto per il codice QUAD4M. I quiet boundaries, implementati secondo la formulazione di Lysmer e Kuhlemeyer (969), possono essere applicati su contorni verticali, orizzontali o inclinati. Essi sono generalmente applicati al confine inferiore della mesh per simulare la base elastica mentre ai bordi del modello è preferibile l utilizzo dei contorni free-field. Le sollecitazioni dinamiche possono essere applicate in una delle seguenti forme: storia temporale di accelerazioni, di velocità, di tensioni o di forze. Nell'applicare la sollecitazione dinamica, bisogna però tenere conto di alcune incompatibilità tra modalità di applicazione dell input e condizioni al contorno. Se, ad esempio, queste sono rappresentate da quiet boundaries (solitamente al bordo inferiore della mesh) il loro effetto viene annullato se si applica un accelerogramma o una storia di velocità. In questo caso quindi la base è modellata come rigida cioè perfettamente riflettente dando luogo a irrealistiche sovrastime del moto sismico. Per simulare correttamente una base elastica occorre applicare ai quiet boundaries alla base della mesh una storia temporale di tensioni. A tal fine, un accelerogramma di input deve essere integrato e le velocità risultanti sono infine convertite in tensioni tramite le seguenti relazioni: σ n = 2( ρv P ) v n σ s 2( ρv S ) v s = (9) dove: - ρ è la densità - σ n, σ s rispettivamente tensione applicata in direzione normale e tangenziale al contorno - V P, V S rispettivamente velocità delle onde di compressione e di taglio del materiale che viene simulato al di sotto del contorno inferiore - v n, v s rispettivamente la velocità di input normale e tangente al contorno. In definitiva quindi un input costituito da onde SV sarà applicato come una storia temporale di tensioni tangenziali mentre le onde P tramite una storia temporale di tensioni normali al contorno. Entrambe le sollecitazioni possono essere applicate esclusivamente con incidenza verticale. La non linearità e le proprietà dissipative dei terreni possono essere modellate in FLAC secondo differenti modalità: attraverso l adozione di un legame costitutivo propriamente non lineare o, a partire dalla versione 5. (Itasca, 25), tramite semplici modelli di smorzamento isteretico. Nel caso di analisi lineari, o per modellare comunque lo smorzamento a basse deformazioni che spesso i legami costitutivi non lineari non riescono a cogliere, si può utilizzare la formulazione di Rayleigh. Come detto, essa conduce ad uno smorzamento dipendente dalla frequenza. La procedura viene applicata a livello del singolo elemento costruendo una matrice di dissipazione secondo la formulazione completa. I coefficienti di Rayleigh vengono però calcolati, al contrario di quanto implementato in QUAD4M, in funzione di una sola frequenza di controllo conducendo ad una maggiore variabilità dello smorzamento del campo di frequenza di interesse (Lanzo et al., 24). 3 ANALISI DI CALIBRAZIONE SU UNA MORFOLOGIA IDEALE: CANYON SEMICIRCOLARE Le analisi di calibrazione sono state inizialmente eseguite con riferimento ad un tipico problema bidimensionale rappresentato da un canyon semicircolare per il quale sono disponibili in letteratura numerose soluzioni analitiche. Le principali fonti di imprecisione per i codici QUAD4M e FLAC possono nascere dal fatto che il semispazio infinito viene modellato tramite una mesh di estensione finita, perciò occorre controllare l influenza delle condizioni al contorno imposte ai confini laterali e inferiore. In particolare, queste devono simulare la perdita di energia per radiazione evitando la riflessione nella regione di interesse delle onde riflesse e diffratte dall irregolarità topografica. Particolarmente delicata è la scelta della geometria del modello in QUAD4M che non implementa ai lati del modello, al contrario di FLAC, smorzatori viscosi in grado di riprodurre le condizioni di moto freefield. Un altro aspetto delicato per questi codici risiede nell applicazione dell input alla base del modello, questione strettamente connessa al problema delle condizioni al contorno imposte alla base. A causa della estensione finita della mesh le onde generate (riflesse e diffratte) in superficie possono interferire, a seconda delle lunghezze d onda in gioco e quindi della rigidezza del materiale e del contenuto in frequenza dell input, con il segnale alla base così che quest ultimo può essere differente da quello proveniente dall infinito. Questo tipo di problemi non è presente ovviamente nel caso di che è un codice agli elementi di contorno e quindi necessita nella modellazione soltanto la definizione dell interfaccia aria-terreno.

6 Per le analisi eseguite con i codici QUAD4M e FLAC sono pertanto state adottate mesh di dimensioni differenti variando la distanza H tra il fondo del canyon e il confine inferiore della mesh e la distanza D tra il bordo del canyon e i confini laterali della mesh (vedi grafico esplicativo in tabella ). Un numero maggiore di tentativi sono stati richiesti per QUAD4M a causa della mancanza, come detto, di confini laterali assorbenti. Le analisi parametriche eseguite per i vari input utilizzati sono riassunte nella tabella. Tabella. Analisi parametriche eseguite con QUAD4M e FLAC per il caso di canyon semicircolare. Estensione mesh Input sismico H (m) D (m) Sinusoidale Gilroy Port Island NS QUAD4M 25 X 25 5 X X X 25 X 5 X 5 5 X X X 5 X 75 5 X X X 5 X X X 25 5 X X X 5 5 X FLAC 25 X X X 25 5 X 5 X X 75 X X X H 25 m Tra le soluzioni analitiche disponibili in letteratura è stata utilizzata quella fornita da Wong (982) con riferimento ad un canyon semicircolare, costituito da materiale omogeneo a comportamento elastico lineare (coefficiente di Poisson ν = /3) e non dissipativo, soggetto ad un input costituito da un treno di onde sinusoidali SV di lunghezza d onda λ pari a due volte il raggio R del canyon ed incidenti verticalmente. Nelle analisi sono state adottate le seguenti caratteristiche geometriche e fisico-meccaniche: - raggio del canyon R= 25 m - peso dell unità di volume del materiale costituente il canyon γ = 2 kn/m 3 - velocità delle onde di taglio del materiale costituente il canyon V S = 3 m/s - coefficiente di Poisson ν = /3. Come input è stato considerato un treno di onde sinusoidali di ampiezza unitaria e di periodo T=.67 s in modo da rispettare il rapporto λ/r =2 D utilizzato da Wong (982). Il materiale è stato assunto non dissipativo. La storia temporale delle accelerazioni orizzontali e verticali alla sommità e al fondo del canyon per i tre codici è riportata in figura con riferimento ad una sollecitazione costituita da un singolo impulso sinusoidale. Le accelerazioni sono normalizzate rispetto al valore massimo che avrebbe su affioramento piano, cioè in assenza del canyon. Per QUAD4M e FLAC si è fatto riferimento alla mesh con H=25 m e D=5 m ma le considerazioni che seguono possono considerarsi di validità generale per le varie configurazioni H-D esaminate. I codici e FLAC dopo l arrivo dell onda diretta non presentano significative accelerazioni mostrando, per quest ultimo, l efficacia dei free-field ai lati del modello nell assorbire le onde diffratte e riflesse presso l irregolarità topografica. Al contrario le storie temporali calcolate da QUAD4M mostrano l arrivo di onde successive a quella diretta. Queste sono onde riflesse dai confini laterali che tornano nella regione di interesse. In particolare si notano due distinti arrivi di onde: tenendo conto della loro velocità di propagazione, esse sono costituite rispettivamente da onde P e da onde di superficie (Rayleigh) diffratte dal canyon che si propagano in direzione orizzontale. Questa osservazione è confermata dal confronto tra la componente orizzontale e quella verticale del moto: l accelerazione verticale associata all onda P è praticamente nulla mentre quella associata all onda di superficie è comparabile con quella orizzontale. L influenza delle onde riflesse artificialmente ai bordi del modello è intuitivamente tanto più sensibile quanto più basso è lo smorzamento. Questa affermazione è evidente dal grafico in figura 2 che riporta le accelerazioni orizzontali calcolate da QUAD4M nei medesimi nodi considerati in precedenza per differenti valori del rapporto di smorzamento:.%, 2% e 5%. Si nota come già nel caso di 2% la distanza D=5 m è tale da rendere trascurabili le onde riflesse ai bordi. Il confronto tra i risultati numerici e la soluzione analitica fornita da Wong (982) è riportato nelle figure 3 e 4 in termini rispettivamente di amplificazione della componente orizzontale e verticale del moto rispetto al moto su che si avrebbe all affioramento piano del semispazio omogeneo. Come input è stato utilizzato un treno di onde sinusoidali di caratteristiche descritte in precedenza.

7 a(t)/a out a(t)/a out a(t)/a out onde P Comp. orizzontale Comp. verticale FLAC QUAD4M onde di Rayleigh tempo (s) Figura. Storia temporale a(t) dell accelerazione orizzontale e verticale calcolata dai tre codici nei nodi alla sommità e al fondo del canyon, normalizzate rispetto al valore massimo su affioramento piano (a out ); input: sinusoide singola. a(t)/a out a(t)/a out a(t)/a out QUAD4M D = 5 m; H = 25 m D =.% D = 2.% D = 5.% tempo (s) Figura 2. Storia temporale a(t) dell accelerazione orizzontale normalizzata calcolata da QUAD4M nei nodi alla sommità e al fondo del canyon, per differenti valori del rapporto di smorzamento D del materiale; input: sinusoide singola. L ampiezza del moto è stata calcolata come il valore massimo nella fase di regime stazionario. Per FLAC e QUAD4M sono mostrati i risultati per alcune delle coppie di valori delle dimensioni H e D della mesh. Dal confronto emerge che consente di approssimare in maniera soddisfacente la soluzione analitica sia in termini di componente o- rizzontale che verticale. Si nota una leggera sottostima (intorno al %) del moto orizzontale alla sommità del canyon (fig. 3. Questo può almeno in parte essere giustificato dal fatto che il codice calcola la risposta in corrispondenza dei punti medi degli elementi (segmenti congiungenti due nodi consecutivi) e non in corrispondenza dei singoli nodi. Anche FLAC consente di prevedere la risposta dinamica del modello in maniera soddisfacente mostrando poca sensibilità alla estensione laterale (D) e inferiore (H) della mesh (fig. 3. Il profilo dell accelerazione verticale è calcolato in maniera leggermente meno accurata rispetto a quello della componente orizzontale (fig. 4. Il codice QUAD4M, a causa alle onde riflesse ai bordi del modello che tornano nella regione di interesse (figura ), non raggiunge una chiara fase di regime stazionario e pertanto l ampiezza del moto dipende dall intervallo di tempo in cui è calcolato. Il profilo delle accelerazioni massime risulta molto differente se si sceglie un intervallo in cui le onde riflesse dai lati del modello non sono ancora arrivate, ad es. tra 2 s per H=25 m e D=5 m, o invece sono giunte nella regione di interesse, ad es. tra 4 5 s per H=25 m e D=5 m (fig. 3c e 4c). In generale si può affermare che se si considera la fase in cui la risposta non è influenzata dalla onde riflesse dai lati (ampiezza calcolata tra e 2 s), per valori di H maggiori o uguali a 75 m (pari a 3 volte R) la risposta approssima in maniera soddisfacente la soluzione analitica, al pari degli altri due codici, sia in termini di componente orizzontale che verticale. Il fatto che, per bassi valori di H (25 e 5 m), la risposta di QUAD4M, calcolata nel tratto in cui le onde riflesse al bordo non sono ancora giunte, sia comunque in disaccordo con la soluzione analitica e con gli altri codici, suggerisce l esistenza di un altro fenomeno, oltre l assenza di free-field, che condiziona l accuratezza dell analisi. Successivamente, l affidabilità dei codici è stata indagata con riferimento ad un input costituito da accelerogrammi reali. Al fine di indagare la risposta dinamica in corrispondenza di differenti lunghezze d onda, sono stati considerati due accelerogrammi di contenuto in frequenza differente: la registrazione presso la stazione di Gilroy (componente ) durante il terremoto di Loma Prieta del 989 (periodo predominate T P =.2 s) e quella presso la stazione di Port Island (componente NS) durante il terremoto di Kobe del 995 (T P =. s).

8 ah,max/ah,out ah,max/ah,out ah,max/ah,out FLAC QUAD4M -2 - x / R 2 x γ = 2 kn/m 3 V S =3 m/s ν = /3 D = % H = 25 m D = m H = 25 m D = 5 m H = 5 m D = m H = 75 m D = m H = 25 m D = 5 m (-2 s) H = 25 m D = 5 m (4-5 s) H = 5 m D = 5 m (-2 s) H = 75 m D = 5 m (-2 s) H = m D = 5 m (-2 s) H = 25 m D = 5 m (-2 s) R c) Wong (982) Figura 3. Amplificazione dell accelerazione orizzontale alla superficie del canyon rispetto all affioramento piano, calcolata dai tre codici e secondo la soluzione analitica di Wong (982) a v,max /a h,out a v,max /a h,out H = 5 m D = 5 m (-2 s) c).2 H = 75 m D = 5 m (-2 s) QUAD4M H = m D = 5 m (-2 s).8 H = 25 m D = 5 m (-2 s) x / R 2 Figura 4. Amplificazione dell accelerazione verticale alla superficie del canyon rispetto alla componente orizzontale su affioramento piano, calcolata dai tre codici e secondo la soluzione analitica di Wong (982). a v,max /a h,out H = 25 m D = m H = 25 m D = 5 m H = 5 m D = m H = 75 m D = m H = 25 m D = 5 m (-2 s) H = 25 m D = 5 m (4-5 s) FLAC In questi confronti, la risposta fornita da, che non presenta confini artificiali e ha mostrato nella fase di calibrazione un ottimo accordo con la soluzione analitica di Wong (982), è stata assunta come riferimento. Il confronto tra i risultati dei tre codici numerici con riferimento all accelerogramma di Gilroy è riportato in figura 5 in termini di profili delle accelerazioni orizzontali e verticali massime e di spettri di risposta dell accelerazione orizzontale alla sommità e al fondo del canyon. Sia i profili delle accelerazioni massime che gli spettri di risposta sono normalizzati rispetto all accelerazione orizzontale massima su affioramento piano (a h,out ). In generale FLAC presenta una risposta poco sensibile alla estensione della mesh fornendo alla sommità del canyon valori più elevati di sia in termini di accelerazioni orizzontali che verticali. a h,max /a h,out a v,max /a h,out S a,h /a h,out γ = 2 kn/m 3 V S = 3 m/s ν = /3 D = % FLAC H = 25 m D = m FLAC H = 5 m D = m FLAC H = 75 m D = m QUAD4M H = 25 m D = 5 m c) d).. Periodo, T(s) R x QUAD4M H = 5 m D = 5 m QUAD4M H = 75 m D = 5 m QUAD4M H = m D = 5 m QUAD4M H = 25 m D = 5 m QUAD4M H = 5 m D = 5 m x/r 2.. Periodo, T(s) Figura 5. Profili delle accelerazioni orizzontali ( e verticali ( massime alla superficie del canyon e spettri di risposta dell accelerazione orizzontale alla sommità (c) e al fondo del canyon (d); input: Gilroy -.

9 QUAD4M fornisce risultati in eccesso rispetto agli altri codici per H = 25 m e H = 5 m, sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza, mentre la risposta si stabilizza e approssima quella di FLAC e a partire da valori di H uguali o maggiori di 75 m. Altre analisi hanno mostrato che l influenza dell estensione laterale D della mesh appare sensibile tra e 5 m mentre è più contenuta tra 5 e m. La distanza D = 5 m si può ritenere come la distanza minima per ridurre gli effetti delle interferenze tra le onde dirette e quelle riflesse dai confini laterali. Come nel caso di input sinusoidale, l accuratezza della risposta di QUAD4M non dipende unicamente dall assenza di free-field. Questo è confermato dalla figura 6 che riporta i profili delle accelerazioni orizzontali lungo il canyon per i tre valori del rapporto di smorzamento.%, 2% e 5%. a h,max /a h,out a h,max /a h,out a h,max /a h,out FLAC H = 25 m D = m QUAD4M H = 25 m D = 5 m D =.% D = 2.% D = 5.% -2-2 x/r Figura 6. Profili delle accelerazioni orizzontali massime normalizzate calcolate dai tre codici alla superficie del canyon, con riferimento a differenti valori del rapporto di smorzamento D:.% (, 2% ( e 5% (c); input: Gilroy -. Si nota come QUAD4M sovrastimi la risposta rispetto a FLAC indipendentemente dal valore del damping. Se la differenza tra i due codici fosse imputabile solo alla diversa modellazione delle condizioni free-field le risposte dei due codici dovrebbero avvicinarsi al crescere del damping visto la scarsa influenza delle onde riflesse ai bordi del modello per valori elevati delle proprietà dissipative (figura 2). Con tutta probabilità quindi l accuratezza della risposta di QUAD4M è influenzata da altri fattori oltre la riflessione delle onde ai bordi del modello. Una possibile spiegazione è costituita dall interazione tra l accelerogramma applicato alla c) base del modello e il campo d onda diffratto dal canyon. L influenza di questo fenomeno è tanto più sensibile quanto più bassa è la distanza H. Le osservazioni svolte in precedenza sono sostanzialmente confermate dalle analisi eseguite con riferimento all accelerogramma di Port Island. I confronti in termini di profili delle accelerazioni orizzontali e verticali massime e di spettri di risposta delle accelerazioni orizzontali alla sommità e al fondo del canyon sono mostrati in figura 7. Le lunghezze d onda predominanti in gioco sono sensibilmente maggiori del caso precedente e pari a circa volte la dimensione orizzontale del canyon. In questi casi, come è noto, l influenza della topografia sul moto sismico è ridotta e conseguentemente le accelerazioni, sia orizzontali che verticali, subiscono modifiche inferiori al caso precedente. L accelerazione alla sommità e sui ripiani ai bordi del canyon resta praticamente invariata rispetto al valore che assumerebbe su affioramento piano, mentre all interno del canyon subisce una deamplificazione massima del 3%. QUAD4M risulta in accordo con gli altri due codici per valori di H maggiori o uguali a 75 m. Rispetto al caso precedente tuttavia si nota una maggiore dispersione della risposta dei codici in termini di profilo delle accelerazioni verticali massime. a h,max /a h,out FLAC FLAC H = 25 m D = m H = 75 m D = m QUAD4M H = 5 m D = 5 m QUAD4M H = 75 m D = 5 m QUAD4M H = m D = 5 m QUAD4M H = 25 m D = 5 m QUAD4M H = 25 m D = 5 m x/r 2 x γ = 2 kn/m 3 V S = 3 m/s R ν = /3 D = % a v,max /a h,out Sa,h/ah,out Periodo, T(s).. Periodo, T(s) Figura 7. Profili delle accelerazioni orizzontali ( e verticali ( massime alla superficie del canyon e spettri di risposta dell accelerazione orizzontale alla sommità (c) e al fondo del canyon (d); input: Port Island NS.

10 4 ANALISI DI CALIBRAZIONE SU UNA MORFOLOGIA REALE: RUPE DI NICASTRO (CZ) La rupe di Nicastro è situata in Calabria, una delle aree sismiche più attive del Mediterraneo. La rupe si allunga in direzione NE-SW, elevandosi di circa 6 m rispetto ai corsi d acqua che la delimitano alla base, il Torrente Canne ad Est e il Fosso Coschino ad Ovest (figura 8. La parte più acclive ed elevata del rilievo è situata nella parte settentrionale e corrisponde alla rupe vera e propria, raggiungendo quota 335 m s.l.m., mentre verso Sud le quote diminuiscono gradualmente fino a 35 m s.l.m. I versanti della rupe presentano profili piuttosto irregolari con valori dell inclinazione locale generalmente compresi tra 2 e 5. I versanti più acclivi si riscontrano, come detto, nella parte a Nord con fronti subverticali nella parte esposta ad Est (figura 8. Sulla rupe sorge il castello Normanno-Svevo, costruito in più fasi dal al 5, che occupa quasi tutta la sommità per una lunghezza di m e per una larghezza, crescente da NE a SW, da 2 a 55 m. Utilizzato inizialmente per fini militari, a partire dal XVI secolo il castello ha avuto funzione di carcere. Danneggiato ad opera di forti terremoti (638 e 783), il castello negli ultimi 2 anni è stato completamente abbandonato. Le principali strutture superstiti sono costituite sostanzialmente dalla cortina muraria, dalle torri e dai bastioni (figura 8, attualmente oggetto di interventi di restauro e consolidamento. Nelle aree centrale e meridionale del rilievo, si sviluppa, contiguamente al castello, la parte più antica dell abitato (rione S. Teodoro) che si e- stende fino al piede dei versanti più acclivi della rupe esposti a SW, NW e NE. La rupe è costituita da rocce metamorfiche, principalmente scisti filladici e metabasiti, caratterizzate da un grado di alterazione e condizioni di fratturazione estremamente variabili. Il modello geotecnico del sottosuolo è stato ricostruito sulla base dei risultati di 3 perforazioni di sondaggio spinte fino a 4 m, prove in laboratorio ed in sito, comprendenti 2 down-hole e 5 prove di sismica a rifrazione (Pagliaroli, 26; Pagliaroli et al., 26). Il materiale roccioso varia da intatto e non alterato a fortemente alterato e disintegrato. Localmente la rupe è coperta da una coltre detritica di spessore massimo pari a 5 m. Nel presente articolo sono presentate le analisi eseguite sulla sezione trasversale A-A della parte settentrionale e più acclive della rupe (figura 8. Ai fini di un confronto tra la risposta dinamica calcolata dai codici QUAD4M, FLAC e è stato assunto un modello omogeneo. Al materiale, a comportamento visco-elastico lineare, è stata attribuita una velocità delle onde di taglio V S =2 m/s e un rapporto di smorzamento D =.4 %. Il coefficiente di Poisson è stato assunto pari a.25 mentre per il peso dell unità di volume è stato assunto γ=26 kn/m 3. Queste caratteristiche fisico-meccaniche possono essere considerate come mediamente rappresentative del materiale roccioso costituente la rupe. Le analisi sono state eseguite con riferimento a dieci accelerogrammi rappresentativi delle condizioni di moto near-field e far-field (Pagliaroli, 26). Nel seguito si fa riferimento unicamente alle analisi eseguite con l accelerogramma di Gilroy componente (terremoto di Loma Prieta del 989), rappresentativo del moto near-field. Figura 8. Planimetria della rupe di Nicastro con traccia della sezione A-A ( e vista da Nord della parte più acclive della rupe (. I profili delle accelerazioni orizzontali (a h,max ) e verticali (a v,max ) massime calcolate lungo la superficie del rilievo sono riportati nelle figure 9a e 9b rispettivamente. Le accelerazioni sono state normalizzate rispetto al valore massimo dell accelerazione orizzontale che si avrebbe su affioramento piano in assenza della rupe (a h,out ). I risultati forniti dai codici

11 sono stati altresì confrontati in termini di spettri di risposta dell accelerazione orizzontale nel nodo di sommità ove è massima l amplificazione topografica (figura 9c). Analogamente a quanto fatto sul canyon semicircolare, per QUAD4M e FLAC sono state utilizzate differenti distanze H del confine inferiore della mesh, in questo caso misurate dal ripiano più basso (a destra del rilievo). Per QUAD4M è stato assunto H = 3,, 8, 24 e 32 m mentre i confini laterali sono stati posti ad una distanza D= m dalla base del rilievo. Per FLAC sono state considerate tre differenti mesh caratterizzate da H = 3, e 24 m e D = 3 m. In accordo con quanto trovato con le analisi sul canyon, il confronto evidenzia come QUAD4M, per bassi valori di H, fornisca risultati fortemente dipendenti da tale parametro e in disaccordo con gli altri codici. In particolare, QUAD4M tende a sovrastimare il moto per H=3 m e H= m, sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza, mentre per H=8 lo sottostima. Si noti in particolare che per H=3 m, QUAD4M sovrastima, alla cresta della rupe, l accelerazione orizzontale massima di circa il 5% e il picco di amplificazione spettrale del %. La risposta si stabilizza quando H raggiunge 24 m circa pari a 4 volte l altezza media del rilievo. FLAC mostra, come atteso, un comportamento poco sensibile al valore di H, per quanto al crescere di tale valore la risposta approssima leggermente meglio quella calcolata da. 5 CONCLUSIONI L accuratezza di tre codici numerici 2D della risposta sismica locale, (elementi di contorno), QUAD4M (elementi finiti) e FLAC (differenze finite), è stata indagata con riferimento ad una morfologia bidimensionale ideale costituita da un canyon semicircolare e ad un rilievo topografico reale, la rupe di Nicastro (CZ). Nel primo caso le risposte numeriche sono state confrontate con la soluzione analitica fornita da Wong (982). L attenzione è stata posta principalmente sulla corretta definizione delle condizioni al contorno nei codici QUAD4M e FLAC al fine di simulare correttamente lo smorzamento di radiazione. A questo scopo le analisi sono state eseguite variando le distanze dei contorni laterali (D) ed inferiore (H) della mesh dalla regione di interesse. I risultati sono stati comparati in termini di profili delle accelerazioni verticali e orizzontali massime alla superficie del modello e in termini di spettri di risposta dell accelerazione orizzontale in nodi significativi. Come sollecitazioni di input sono stati applicati sia segnali sinusoidali che accelerogrammi reali. ah,max/ah,out av,max/ah,out D FLAC H = 3 m D = 3 m FLAC H = m D = 3 m FLAC H = 24 m D = 3 m QUAD4M H = 3 m D = m H input: Gilroy comp. QUAD4M H = m D = m QUAD4M H = 8 m D = m QUAD4M H = 24 m D = m QUAD4M H = 32 m D = m distanza (m) γ = 26 kn/m 3 V S =2 m/s ν =.25 D =.4% S a,h /a h,out Periodo, T(s) Figura 9. Profili delle accelerazioni orizzontali ( e verticali ( massime alla superficie della rupe di Nicastro e spettri di risposta dell accelerazione orizzontale nel nodo di cresta; input: Gilroy. Il confronto con la soluzione analitica ha mostrato che il codice consente di calcolare con accuratezza la risposta del modello bidimensionale se si eccettua una leggera deamplificazione del moto in corrispondenza degli spigoli dei profili topografici. Il codice, accertato il suo accordo con la soluzione analitica, è stato quindi preso a riferimento per valutare la risposta di FLAC e QUAD4M. La risposta fornita da FLAC appare accurata e poco sensibile alla modifica dell estensione della mesh, in termini di distanze D e H. Questi risultati mostrano il corretto funzionamento sia degli smorzatori viscosi implementati alla base del modello che dei contorni free-field ai lati. Le onde diffratte e riflesse dall irregolarità topografica sono propriamente assorbite dai contorni della mesh simulando così il

12 loro allontanamento dalla regione di interesse. I profili delle accelerazioni orizzontali massime fornite da FLAC e gli spettri di risposta risultano in soddisfacente accordo con quelli di mentre per le accelerazioni verticali un migliore accordo si ottiene allontanando il confine inferiore della mesh, ponendo cioè H orientativamente pari a circa 2-3 volte l altezza dell irregolarità topografica. Particolare cautela occorre nella definizione della dimensione della zona discretizzata nelle analisi svolte con il codice QUAD4M, che mostra risultati fortemente dipendenti dall estensione della mesh. Risultati accettabili e comparabili con gli altri codici si ottengono ponendo i confini laterali e inferiore ad opportune distanze dalla regione di interesse. La distanza del confine inferiore H sembra avere una maggiore influenza, rispetto a D, sulla risposta fornita da QUAD4M e risultati attendibili si ottengono utilizzando valori di H pari a 75 m per il canyon semicircolare (pari a 3 volte il raggio) e almeno 24 m per la rupe di Nicastro (indicativamente pari a 4 volte l altezza del rilievo). Una parziale spiegazione della variabilità della risposta di QUAD4M con le dimensioni geometriche della mesh risiede nell assenza di confini assorbenti ai lati del modello. Le onde riflesse ai bordi laterali si propagano nella zona di interesse interagendo con le onde incidenti. Tale energia, intrappolata nel modello, conduce ad imprecisioni nel calcolo del moto sismico. Nel caso di materiali caratterizzati da un fattore di smorzamento maggiore del 2%, una distanza D = 5 m è tuttavia sufficiente ad assorbire le onde riflesse. Nel caso di materiali poco dissipativi tale distanza può servire, in relazione alla rigidezza del mezzo, a ritardare l interazione in modo che la parte più energetica dell input non interagisca con le onde artificialmente reintrodotte nel modello. L assenza di free-field in QUAD4M tuttavia non sembra essere l unica spiegazione in quanto differenze con FLAC sono state notate anche per valori del damping maggiori del 2%. Con tutta probabilità quindi l accuratezza della risposta del codice è influenzata fortemente dall interazione tra l accelerazione applicata alla base e le onde diffratte dall irregolarità topografica che si verifica per bassi valori di H. È quindi sempre consigliabile per QUAD4M effettuare analisi parametriche di sensibilità della risposta del modello alla variazione dell estensione della mesh, in particolare alla distanza H cui collocare il confine inferiore sul quale viene applicato l input. In definitiva, specificando opportunamente le condizioni al contorno e definendo adeguatamente le dimensioni della zona discretizzata, le differenze tra i risultati dei tre codici sono risultate generalmente inferiori al 5% sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza. BIBLIOGRAFIA Chopra, L. 2. Dynamics of Structures: theory and applications to earthquake engineering. Prentice Hall Int. Series in Civil Engineering and Engineering Mechanics, Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall. Hudson, M., Idriss, I.M., Beikae, M QUAD4M: a computer program to evaluate the seismic response of soil structures using finite element procedures and incorporating a compliant base, Center for Geotechnical Modeling, Department of Civil and Environmental Engineering, University of California Davis, Davis California. Idriss, I.M., Lysmer, J., Hwang, R., Seed, H. 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