Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 29 dic 2002 N 1

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3 L equazione generale del moto vario monodimensionale si scrive, con ovvio significato dei simboli [Citrini e Noseda, 1987]: S 9 S γ 1 9 ] = 0 [ γ J γ [ J W (1) Una seconda relazione differenziale è data dall equazione di continuità per le correnti: 9 ( ρ $ ) [ + ρ $ 9 [ + ρ G$ GS Vi sono poi l equazione di stato del fluido (ove ε è il modulo di comprimibilità cubica del fluido, 10 9 N/m a 10 C per l acqua): + $ G ρ GS S W = 0 GS/Gρ = ε/ρ (3) e l equazione del legame sforzo-deformazione per la tubazione: $ = $[S([,W)] (4) che per tubazione circolare con diametro ', di materiale elastico per il quale valga la legge di Hooke σ = ( δ'/' e che sia poco deformabile (modulo elastico ( molto grande), di spessore H piccolo rispetto a ' (H < '/30) e quindi con sforzo σ legato a S secondo l espressione di Mariotte σ = S '/( H), e libera di deformarsi longitudinalmente per effetto Poisson, porta a: G$/GS = G$/G' G'/GS = ($ ')/(( H) (4') () )LJXUD ± &RUUHQWHLQSUHVVLRQHJUDGXDOPHQWHYDULDWD Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 09:00 del 3 giu 003 N 3

4 Tenendo conto, oltre che delle relazioni (3) e (4 ), anche delle ulteriori ipotesi che: il termine cinetico 9 /( J) del trinomio di Bernoulli sia trascurabile rispetto al carico piezometrico K = ] + S/γ, siano trascurabili le derivate parziali ρ/x, γ/x e $/x, si dimostra che l equazione del moto (1) e l equazione di continuità () si trasformano nelle seguenti equazioni, pure esse alle derivate parziali: K [ K W J J 9 W 9 [ + - = 0 = 0 in cui è la celerità di propagazione delle perturbazioni, pari a: = ε / ρ ε 1+ H ' ( Nel caso più generale di tubi elastici, di spessore anche non piccolo rispetto al diametro e posti in opera con condizioni di rinterro e di ancoraggio tali da limitare le deformazioni longitudinali, la celerità di propagazione delle perturbazioni dovrebbe calcolarsi invece come: = ε / ρ ε 1+ λ H ' ( essendo ad esempio, detto µ il coefficiente di Poisson: λ = 5/4 µ λ = 1 µ λ = 1 (1') (') (5) (5) nel caso di tubazione ancorata soltanto all estremo di monte, con appoggi liberi che consentano deformazioni longitudinali; nel caso di deformazioni longitudinali completamente impedite da ancoraggi continui o dal tipo di rinterro della tubazione; nel caso di tubazione con ancoraggi continui, ma con giunti che consentano deformazioni longitudinali; Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 09:00 del 3 giu 003 N 4

5 Se le perdite di carico sono trascurabili (- 0) la (1 ) e la ( ), attraverso un ulteriore opportuna derivazione rispetto al tempo W piuttosto che rispetto allo spazio [, possono essere trasformate nell una o nell altra delle seguenti equazioni, la cui forma matematica è quella tipica delle equazioni d onda di D Alembert: W W K 9 = = [ [ K 9 i cui integrali generali sono esprimibili come: K = K K = ) ([ W) + I ([ + W) 9 /J = (90 9) /J = ) ([ W) I ([ + W) ove le funzioni ) ed I sono da definire per ogni caso specifico in relazione alle condizioni al contorno e rappresentano rispettivamente la propagazione della perturbazione verso monte (la )) e verso valle (la I) [Joukowsky, 1898]. Lo stesso Autore mostrò che nella fase di colpo diretto, cioè prima che si manifestino le onde riflesse, si ha: I ([ + W) = 0 K = ) ([ W) = 9 /J Più generale, dopo la fase di colpo diretto si ha la sovrapposizione fra onde incidenti e onde riflesse, cioè anche I 0. La soluzione analitica di tale problema nel caso di - 0 e costante consiste nelle cosiddette equazioni concatenate di Allievi [Allievi, 190] [Allievi, 1913] [Citrini e Noseda, 1987]. Qualora invece- 0 e/o non costante l integrazione del sistema delle equazioni (1') e (') comporta inevitabilmente l applicazione di metodi numerici alle differenze finite, con risultati che possono essere anche sensibilmente diversi da quelli forniti dalle equazioni concatenate di Allievi. Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 13:00 del 3 giu 003 N 5

6 Applicando la teoria delle linee caratteristiche, le equazioni del moto e di continuità (1') e (') alle derivate parziali si modificano nelle seguenti due equazioni alle derivate totali (dette di compatibilità ), particolarmente adatte sia alla risoluzione numerica che alla comprensione del fenomeno fisico [Evangelisti, 1965]: GK + J G9 + - GW = 0 G[ per = (7) GW GK J G9 - GW = 0 per G[ GW = Esse esprimono il legame tra le variabili dipendenti K([,W) e 9([,W) lungo le due famiglie di linee caratteristiche reali e distinte G[/GW = e G[/GW = che sul piano ([,W), detto anche piano orario o piano cinematico, caratterizzano, insieme alle condizioni iniziali e a quelle al contorno, la propagazione delle perturbazioni, rispettivamente verso valle con celerità (ovvero ) e verso monte con celerità ). ( ± GK /J G9 - GW = 0 W GK + /J G9 + - GW = 0 G[/GW = 9 6HWWRUHSHUWXUEDWR G[/GW = 9 + 6HWWRUHQRQSHUWXUEDWR 6HWWRUHQRQSHUWXUEDWR 0 Sorgente della perturbazione [ Condotta [ W ± W (K L ±, 9 L ± ) (K" L, 9" L ) W [ L ± [ L [ [ [ L (K L, 9 L ) Condizioni iniziali: devono essere noti K e 9 a W =0 [. Condizioni al contorno: legami noti, eventualmente anche di tipo differenziale, fra K, 9 e W in un certo [. Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 09:00 del 3 giu 003 N 6

7 )LJXUD ± &ROSRG DULHWHLQXQWXERRQSHUGLWHGLDULRWUDVXUDELOLSRVWRD YDOOHGLXQVHUEDWRLRDVHJXLWRGLKLXVXUDLVWDQWDQHDGHOODYDOYROD DVLWXD]LRQHDUHJLPH ESURJUHVVLYRDUUHVWRGHOODRORQQDOLTXLGDROSRGLUHWWR SURSDJD]LRQHYHUVRPRQWHGHOODSHUWXUED]LRQHGLROSRGLUHWWR GULIOHVVLRQHDOVHUEDWRLRGHOODSHUWXUED]LRQHGLROSRGLUHWWR HSURSDJD]LRQHYHUVRYDOOHGHOODSHUWXUED]LRQHGLROSRGLUHWWR ULIOHVVDGDOVHUEDWRLR I ULIOHVVLRQHGHOODSHUWXUED]LRQHDOODYDOYRODGLKLXVXUD RQWUDROSR JSURSDJD]LRQHYHUVRPRQWHGHOODSHUWXUED]LRQHGLRQWUDROSR KULIOHVVLRQHDOVHUEDWRLRGHOODSHUWXUED]LRQHGLRQWUDROSR L SURSDJD]LRQHYHUVRYDOOHGHOODSHUWXUED]LRQHGLRQWUDROSR ULIOHVVDGDOVHUEDWRLR M ULIOHVVLRQHGHOODSHUWXUED]LRQHDOODYDOYRODGLKLXVXUDHLQL]LR GHOVHRQGRLORGHOODSURSDJD]LRQHRVLOODWRULD a) b) Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 09:00 del 3 giu 003 N 7

8 c) 9 = 0 d) 9 = 0 e) 9 = 0 f) Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 09:00 del 3 giu 003 N 8

9 g) 9 = 0 h) 9 = 0 i) 9 = 0 j) Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 09:00 del 3 giu 003 N 9

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12 )LJXUD ± &ROSRG DULHWHSHUKLXVXUDWRWDOHHGLVWDQWDQHDLQXQD RQGRWWDDJUDYLWjRQSHUGLWHGLDULRQRQWUDVXUDELOL Piezometrica a regime c Vo g D Otturatore con chiusura totale ed istantanea Piezometrica massima E c Vo g Piezometrica statica Piezometrica a regime c Vo g Condotta Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 1

13 )LJXUD ± 3URSDJD]LRQHDPRQWHHGDYDOOHGHOODVH]LRQHGLPDQRYUDLQXQD RQGRWWDLQGHILQLWDPHQWHOXQJDHRQSHUGLWHGLDULRWUDVXUDELOL - GHOODSHUWXUED]LRQHJHQHUDWDGDXQDRPSOHWDKLXVXUD TXHVW XOWLPDHIIHWWXDWDVHRQGRXQDQGDPHQWROLQHDUPHQWH GHUHVHQWHGHOODYHORLWj9WGD9 9 D9 Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 13

14 )LJXUD ± 3URSDJD]LRQHHGLQYLOXSSRDPRQWHGHOODVH]LRQHGL PDQRYUDGHOODVRYUDSSUHVVLRQHJHQHUDWDGDXQD RPSOHWDKLXVXUDGLWLSR³UDSLGR LRqGLGXUDWD 7 P /QHODVRGLDGHQWH-WUDVXUDELOH Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 14

15 )LJXUD ± $QGDPHQWRQHOWHPSRDOODVH]LRQHGLPDQRYUDGHOOD VRYUDSSUHVVLRQHJHQHUDWDGDXQDRPSOHWDKLXVXUDGL WLSR³OHQWR LRqGLGXUDWD7 P!/QHODVRGL DGHQWH-WUDVXUDELOH )LJXUD ±,QYLOXSSRDPRQWHGHOODVH]LRQHGLPDQRYUDGHOOD VRYUDSSUHVVLRQHJHQHUDWDGDXQDRPSOHWDKLXVXUDGL WLSR³OHQWR LRqGLGXUDWD7 P!/QHODVRGL DGHQWH-WUDVXUDELOH Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 15

16 )LJXUD ± (VHPSLRGLYDOYRODGLUHJROD]LRQHSRVWDQHOODVH]LRQH WHUPLQDOHDYDOOHGLXQDRQGRWWDLQSUHVVLRQHRQ VERRLQDWPRVIHUD Linea piezometrica h A V a(t) Pressione atmosferica (p = 0) )LJXUD ± 6KHPDGLDVVDG DULDSHUODSURWH]LRQHGLXQD RQGRWWDSUHPHQWHGDLROSLG DULHWH Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 16

17 )LJXUD ± 6KHPDGLSR]]RSLH]RPHWULRLQWHUSRVWRWUDGXHRQGRWWH Per un pozzo piezometrico interposto tra due condotte 1 e (igura 5), dette T1(W) e T(W) le portate rispettivamente nella sezione di valle della condotta 1 (di ascissa [1 = /1) e nella sezione di monte della condotta (di ascissa [ = 0), detta S(W) la portata entrante od uscente dal pozzo (positiva se entrante) e ](W) la quota del pelo libero in esso, la condizione al contorno di valle per la condotta 1 e di monte per la condotta è espressa dal sistema: - continuità nel nodo S(W) = T1(W) - T(W) = $1 9 1($1,t) $ 9 (0,W) (16) - continuità nel pozzo (Σ è l area del pozzo, generalmente variabile con la quota ]) G] Σ (]) = S( W) ; (17) GW - congruenza dei carichi piezometrici nel nodo, che, qualora la condotta di allacciamento del pozzo non presenti dissipazioni concentrate (pozzo senza strozzatura), si scrive K1(/1,W) = ](W) (18) K(0,W) = ](W), (19) ovvero: K1(/1,W) = ](W) + β S(W) S(W) (18') K(0,W) = ](W) + β S(W) S(W) (19') qualora invece alla base del pozzo sia presente una strozzatura che determini una perdita concentrata β S(W), essendo il coefficiente β funzione dell entità della strozzatura stessa e della sua configurazione geometrica. Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 17

18 )LJXUD ± (VHPSLRGLXUYHDUDWWHULVWLKHHGLXUYHGLXJXDOUHQGLPHQWR GLXQDSRPSDHQWULIXJDDOYDULDUHGHOQXPHURGLJLULQ + H curva d impianto P η 1 η c g A η 3 η 4 η 5 R - Q O R n 5 n 4 c g A n 3 n n 1 n 0 + Q - H Nel corso del transitorio conseguente ad una brusca interruzione (voluta o accidentale) dell alimentazione di energia, la pompa rallenta progressivamente con un andamento che può essere calcolato integrando l equazione che lega la variazione dell energia cinetica delle masse rotanti del gruppo motorepompa alla potenza assorbita dalla corrente nell istante generico: in cui: G GW, ω = γ 4 η +, (), è il momento d inerzia delle masse rotanti, pari a: * ', = 4, J essendo * il peso dei corpi in rotazione e ' il diametro d inerzia degli stessi; π Q ω è la velocità angolare, pari a 60, essendo Q il numero di giri al minuto; Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 18

19 )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPHHPLQLPHLQXQD RQGRWWDDJUDYLWjRULJLQDWHGDPDQRYUHGLKLXVXUD RPSOHWDRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODYHORLWjQHODVRGL DGHQWH-WUDVXUDELOH,WUDWWLGLRQGRWWDVRYUDVWDQWLOH SLH]RPHWULKHPLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPHHPLQLPHLQXQD RQGRWWDGLVROOHYDPHQWRRULJLQDWHGDPDQRYUHGLKLXVXUD RPSOHWDRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODYHORLWjQHODVRGL DGHQWH-WUDVXUDELOH,WUDWWLGLRQGRWWDVRYUDVWDQWLOH SLH]RPHWULKHPLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 19

20 )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPHHPLQLPHLQXQD RQGRWWDDJUDYLWjRULJLQDWHGDPDQRYUHGLKLXVXUD RPSOHWDRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODYHORLWjQHODVRGL DGHQWH-QRQWUDVXUDELOH,WUDWWLGLRQGRWWDVRYUDVWDQWLOH SLH]RPHWULKHPLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPHHPLQLPHLQXQD RQGRWWDGLVROOHYDPHQWRRULJLQDWHGDPDQRYUHGLKLXVXUD RPSOHWDRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODYHORLWjQHODVRGL DGHQWH-QRQWUDVXUDELOH,WUDWWLGLRQGRWWDVRYUDVWDQWLOH SLH]RPHWULKHPLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 0

21 )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHLVWDQWDQHHHSLH]RPHWULKHGLROSR G DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQXQDRQGRWWDDJUDYLWjSHU KLXVXUDRPSOHWDGHOO RWWXUDWRUHRQYDULD]LRQHOLQHDUH GHOODOXHG HIIOXVVRHSDUDPHWULDUDWWHULVWLLρ σ Hθ,WUDWWLGLRQGRWWDVRYUDVWDQWLOHSLH]RPHWULKH PLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQ XQDRQGRWWDDJUDYLWjSHUKLXVXUDRPSOHWD GHOO RWWXUDWRUHRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODOXH G HIIOXVVRHSDUDPHWULDUDWWHULVWLLρ σ Hθ,WUDWWLGLRQGRWWDVRYUDVWDQWLOHSLH]RPHWULKHPLQLPH VRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH MA X R E G IME MIN Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 1

22 )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHLVWDQWDQHHHSLH]RPHWULKHGLROSRG DULHWH PDVVLPDHPLQLPDLQXQDRQGRWWDDJUDYLWjSHUKLXVXUD RPSOHWDGHOO RWWXUDWRUHRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODOXH G HIIOXVVRHSDUDPHWULDUDWWHULVWLLρ σ H θ,wudwwlglrqgrwwdvryudvwdqwlohslh]rphwulkh PLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQ XQDRQGRWWDDJUDYLWjSHUKLXVXUDRPSOHWD GHOO RWWXUDWRUHRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODOXH G HIIOXVVRHSDUDPHWULDUDWWHULVWLLρ σ H θ,wudwwlglrqgrwwdvryudvwdqwlohslh]rphwulkh PLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH MA X R E G IME MIN Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N

23 )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQ XQDRQGRWWDDJUDYLWjSHUKLXVXUDRPSOHWD GHOO RWWXUDWRUHRQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODOXH G HIIOXVVRHSDUDPHWULDUDWWHULVWLLρ σ H θ,wudwwlglrqgrwwdvryudvwdqwlohslh]rphwulkh PLQLPHVRQRLQGHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH MA X R E G IME MIN )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQXQD RQGRWWDDJUDYLWjSHUKLXVXUDRPSOHWDGHOO RWWXUDWRUH RQYDULD]LRQHOLQHDUHGHOODOXHG HIIOXVVRHSDUDPHWUL DUDWWHULVWLLρ σ Hθ Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 3

24 )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHLVWDQWDQHHHSLH]RPHWULKHGLROSR G DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQXQDRQGRWWDGL VROOHYDPHQWRSHUDUUHVWRRPSOHWRRQYDULD]LRQH LSRWL]]DWDOLQHDUHGHOODYHORLWjHSDUDPHWUL DUDWWHULVWLLρ σ Hθ,WUDWWLGL RQGRWWDVRYUDVWDQWLOHSLH]RPHWULKHPLQLPHVRQRLQ GHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 4

25 )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQ XQDRQGRWWDGLVROOHYDPHQWRSHUDUUHVWRRPSOHWRRQ YDULD]LRQHLSRWL]]DWDOLQHDUHGHOODYHORLWjHSDUDPHWUL DUDWWHULVWLLρ σ Hθ,WUDWWLGLRQGRWWD VRYUDVWDQWLOHSLH]RPHWULKHPLQLPHVRQRLQ GHSUHVVLRQHRLQDYLWD]LRQH R E G IME MA X 3 MIN )LJXUD ± 3LH]RPHWULKHGLROSRG DULHWHPDVVLPDHPLQLPDLQ XQDRQGRWWDGLVROOHYDPHQWRSHUDUUHVWRRPSOHWRRQ YDULD]LRQHLSRWL]]DWDOLQHDUHGHOODYHORLWjHSDUDPHWUL DUDWWHULVWLLρ σ Hθ MA X R E G IME MIN 3 Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 5

26 )LJXUD ± $QGDPHQWLWLSLLGHOODYHORLWjPHGLDDOO RWWXUDWRUH GXUDQWHPDQRYUHULVSHWWLYDPHQWHGLDSHUWXUDHGL KLXVXUD Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 6

27 )LJXUD ± $QGDPHQWLGHODULRHGHOODSRUWDWDQHOODVH]LRQH WHUPLQDOHGLXQDRQGRWWDDJUDYLWjDIRUWHSHUGLWDGL DULRρ σ Hθ SHUWUHGLYHUVH OHJJLGLPDQRYUDGLKLXVXUD 0 -. / +, ) * ) * & '( A? < = 9 :; 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 0,00,3,,1,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1, 1,0 1,1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0, E D E D "!#%$ carico idros tatico carico a regime B H* L = L Vo / g T m = 0. 8 m (f ormula di Allievi- Michaud) E D D E B H* max = c Vo / g = 0.85 m "67%8 Gruppo lucidi : Moto vario in pressione. aggiornato alle ore 19:00 del 9 dic 00 N 7