Capitolo 3 Cinematica e Dinamica dei fluidi

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1 Capitolo 3 Cinematica e Dinamica dei fluidi

2 Cinematica: velocità e accelerazione Campo di velocità: V = V(x,y,z,t) u = u(x,y,z,t) v = v(x,y,z,t) w = w(x,y,z,t) Joseph-Louis Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 Parigi, 10 aprile 1813) Descrizione Lagrangiana Descrizione Euleriana Leonhard Euler (Basilea, 15 aprile 1707 San Pietroburgo, 18 settembre 1783)

3 Cinematica: velocità e accelerazione V = V(x,y,z,t) dv dt V x dx dt V y dy dt V z dz dt V t (*) Regola di derivazione euleriana e accelerazione totale Se: dx/dt = u, dy/dt = v, dz/dt = w la (*) rappresenta l accelerazione propria di una particella elementare di fluido (derivata sostanziale): A DV Dt V x u V y v V z w V t Acc. convettiva Acc. locale

4 dz Equazione indefinita della Dinamica z Deriva da: F = m A F n n dx F = F massa + F superficie A = accelerazione totale t n s n m = massa della particella elementare x y f m A F x x F y y F z z N.b.: sforzo interno relativo alla faccia di normale x

5 dz Equazione indefinita di Continuità z u y dx u u x x dxdydz t dx Esprime la conservazione della massa di un volumetto elementare di fluido t u x v y w z 0

6 Equazione di continuità per volumi finiti Per fluidi incomprimibili ( = cost.):

7 Equazioni di Eulero f m A F F x y F x y z z Nell equazione indefinita del moto, viene introdotta l ipotesi di fluido perfetto (stato tensionale idrostatico) f m A p ˆ p ˆ p i j k ˆ x y z grad(p)

8 Teorema di Bernoulli Terna intrinseca Equazioni di Eulero + Moto permanente Il trinomio di Bernoulli b z s y x E(s) = z +p/g + v 2 /2g = cost. n 2 p v z 0 2 s g g Daniel Bernoulli (Groninga, 29 gennaio 1700 Basilea, 27 luglio 1782)

9 Interpretazione geometrica ed energetica del TdB z energia posizionale (peso = 1) lavoro dell unità di peso ALTEZZA GEODETICA v 2 /2g energia cinetica (peso = 1) lavoro dell unità di peso [(1/2 m v 2 )/mg] ALTEZZA CINETICA (altezza di caduta libera per raggiungere v) p/g energia di pressione (peso = 1) lavoro dell unità di peso ALTEZZA DI PRESSIONE (altezza di colonna di fluido per produrre la pressione p)

10 La foronomia: una classica applicazione del TdB A Il TdB può essere sfruttato per calcolare la portata uscente da un serbatoio con una luce di fondo. Alcune ipotesi fondamentali: moto permanente, fluido perfetto, luce in parete sottile (sagomata a spigolo vivo) e di piccole dimensioni. c B c Andamento qualitativo della traiettoria delle particelle idriche

11 La foronomia: una classica applicazione del TdB A p A /g Il punto B si trova sulla sezione contratta. h z A Sezione contratta (cc): la prima sezione in cui i filetti fluidi si presentano sensibilmente rettilinei e paralleli z = 0 E A = z A + p A /g + v A2 /2g = c B c = h 0 E B = z B + p B /g + v B2 /2g h = 0

12 La foronomia: una classica applicazione h A p A /g z A c c B h = carico (o battente) sulla luce z = 0 del TdB Si ottiene dunque (velocità torricelliana): v B e(2gh) Si può tenere conto delle approssimazioni fatte e dire che la velocità del fluido in corrispondenza della sezione contratta vale: v cc = Ke(2gh) K è il coeff. di velocità ( 1)

13 La foronomia Infine, si può calcolare la portata (velocità per area della sezione): h s c c B h = carico (o battente) sulla luce Q = K s cc e(2gh)= = Kc se(2gh)= = mse(2gh) s è l area della luce c il coefficiente di contrazione Il prodotto m = Kc è il coefficiente di efflusso, può essere determinato sperimentalmente ed assume valori prossimi a 0.6.

14 La foronomia Il coefficiente di efflusso m dipende da: Forma della luce (circolare, quadrata, etc ) Dimensione caratteristica della luce (diametro, lato, etc ) Battente o carico sulla luce Conoscendo tali grandezze è possibile consultare le tabelle riportate nei manuali specialistici h s c c B h = carico (o battente) sulla luce

15 Il concetto di corrente (lineare) Moto prevalentemente in una direzione (nota a priori) definizione di sezione trasversale Esempi: condotte in pressione, canali a pelo libero Curvatura modesta delle linee di flusso (moto gradualmente variato) quota piezometrica costante nella sezione Il tubo di flusso

16 Estensione del TdB ad una corrente Tubo di flusso elementare Corrente Linea di flusso Tubo di flusso elementare Potenza della corrente Conservazione della potenza della corrente + ipotesi di moto graduale p V z a 0 s 2 g g E m (s) = z +p/g + av 2 /2g = cost. z p s g 2g E(s) = z +p/g + v 2 /2g = cost. v V = Q/s Velocità media di portata Nota: in pratica a 1

17 Applicazione: il venturimetro V A2 /2g V B2 /2g Moto permanente, gradualmente variato tranne che nel convergente P A /g z A A d z = 0 B P B /g z B Ipotesi di fluido perfetto Misura della portata mediante misura della differenza di quota piezometrica

18 Esercizio Il venturimetro illustrato in figura è inserito in una tubazione di diametro D = 450 mm nella quale scorre acqua. Nell ipotesi di fluido perfetto e sapendo che il diametro d è pari a 250 mm, e che la lettura al manometro differenziale, che ha mercurio come liquido manometrico, è = 0.40 m, calcolare la portata defluente nella condotta. Si traccino inoltre la linea piezometrica e quella dei carichi idraulici totali rispetto ad un riferimento arbitrario. Si ricordi che g acqua =9806 N/m 3 e che g mercurio = N/m 3. D d

19 Oltre il teorema di Bernoulli: i fluidi reali Perdite di carico continue dovute alla presenza di sforzi tangenziali Effetto della scabrezza Effetto della velocità Effetto della viscosità Attrito -> Calore (dissipazione) z s 2 p V a g 2g J J = cadente piezometrica o della linea dell energia (forza resistente per unità di peso defluito)

20 Oltre il teorema di Bernoulli: i fluidi reali Perdite di carico concentrate dovute alla formazione di vortici (mescolamento intenso) Altri esempi: valvole, curve, divergenti, contrazioni brusche, imbocco e sbocco Generalmente risulta : H = l V 2 /2g (formula di Borda)

21 Il TdB per una corrente di fluido reale Nelle condotte lunghe (L/D > ) le perdite di carico continue prevalgono largamente su quelle concentrate. In generale, il TdB si generalizza come: E m (s) = E m (0) f 0 s J ds ni l i V i2 /2g Perdite di carico continue Perdite di carico concentrate Problema: determinare J e l i

22 Esercizio Si calcoli la portata defluente nella condotta riportata in figura supponendo che il dislivello tra il pelo libero del serbatoio di alimentazione ed il baricentro della sezione di efflusso sia pari a Y=5 m. Si tracci la linea dei carichi totali e la linea piezometrica. Nello svolgere i calcoli, si assumano trascurabili le perdite di carico dovute agli sforzi tangenziali sul contorno della condotta, e si adoperino le seguenti espressioni per la valutazione delle perdite di carico concentrate: Perdita di imbocco Perdita per allargamento di sezione Perdita per cambio di direzione (90 ) 2 V H 0.5 2g H V1 V2 2g 2 V H g 2 I DATI IV L I =1.2 m L II =1.4 m D I =100 mm D II =250 mm II III L III =1 m D III =250 mm L IV =1.4 m D IV =50 mm

23 Obiettivi formativi essenziali Definizione delle grandezze cinematiche che caratterizzano un campo di moto Interpretazione energetica e grafica del carico idraulico totale (trinomio di Bernoulli) Teorema di Bernoulli (traiettoria, corrente, fluido ideale e reale): ipotesi ed applicazione.