SISTEMI APERTI CON PICCOLO SCAMBIO DI CALORE

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1 CAPITOLO DODICESIMO SISTEMI APERTI CON PICCOLO SCAMBIO DI CALORE Sistemi aperti con piccolo scambio di calore In alcune applicazioni il fluido che viene trattato da una macchina ovvero viene trasportato da un condotto, non scambia apprezzabilmente calore con l esterno e pertanto la sua exergia può essere considerata corrispondente alla sola energia di pressione. Si ha quindi: p h= v d p, p o e di conseguenza: h 1 h = v d p. p Cap. 1 Pagina 1 di 14

2 Con riferimento al Capitolo quinto, l incremento di entropia dovuto agli attriti conviene sia riscritto nella forma originaria come differenza fra il lavoro degli attriti e l exergia del calore corrispondente: T a s at =l att q att. Eliminando a questo punto tutte le variabili contenenti il calore e l entropia, si ottiene: c 1 c g z 1 z vd p=l l 1, att,1,. p Normalmente, in questo capitolo che tratta del moto dei fluidi e dei relativi scambi di lavoro, si suole adottare una convenzione di segni diversa rispetto a quella adottata per ricavare l equazione di bilancio delle exergie per i sistemi aperti con perdite ( (convenzione delle macchine motrici vedi Capitolo Quinto) e precisamente il lavoro viene considerato positivo quando è dato dall esterno al fluido (convenzione delle macchine operatrici), all opposto di quanto assunto in tale impostazione. Il cambio di segno di tale grandezza porta alla relazione: c c 1 p g z z 1 vd p=l r 1, 1,. Il simbolo r al posto di l att dipende esclusivamente da motivi di compattezza formale. Nel caso di liquidi (idraulica) il volume specifico varia pochissimo con la pressione e quindi l'integrale si riduce a v p e di conseguenza: Cap. 1 Pagina di 14

3 c c 1 g z z 1 v p =l 1, r 1, che può anche essere riscritta nella forma (equazione di Bernoulli): l 1, r 1, = c g z v p c 1 z 1 v Il termine a secondo membro fra parentesi viene chiamato trinomio di Bernoulli e, diviso per g, fornisce la quota piezometrica del liquido nella sezione considerata. Questa relazione viene anche chiamata equazione di bilancio delle quantità di moto in quanto può essere derivata direttamente imponendo proprio questo tipo di eguaglianza. Per fare questo si invoca il principio della conservazione della quantità di moto che dice: L impulso di una forza (prodotto della forza per il tempo di applicazione) applicata ad una massa corrisponde alla variazione della quantità di moto (prodotto della massa per la sua velocità) L'impostazione normalmente adottata è quella Euleriana che considera quanto accade in un definito volume di controllo fisso nello spazio e nel tempo (l'alterrnativa Lagrangiana segue invece l'andamento dei singoli elementi solidi nel loro fluire spazialmente e temporalmente). Consideriamo quindi un tratto di condotto di lunghezza infinitesima (vedi figura 5.1) nel quale si muove del fluido in moto stazionario (i parametri caratteristici del moto variano solo con la posizione del punto ove si valutano, ma in ogni punto non variano nel tempo); le forze applicate alla massa di fluido fra le sezioni 1 e sono le forze dovute alla pressione, le forze di gravità, quelle applicate da macchine e quelle degli attriti: Cap. 1 Pagina 3 di 14

4 a) forze di pressione: 1 p, che scritta in termini infinitesimi nel caso di sezioni 1 e distanti d x : d p p d, dove il secondo termine può essere omesso essendo infinitesimo di ordine superiore a d p, nel caso di condotto variabile con continuità; b) forze di gravità: g d m d z essendo z l altezza rispetto ad un sistema di riferimento; c) forze dovute alle eventuali macchine: f d m, dove f rappresenta la forza, per unità di massa, impressa dall esterno sul fluido; d) forze dovute agli attriti: f d m, Cap. 1 Pagina 4 di 14

5 dove f rappresenta la forza, per unità di massa, dovuta alle resistenze passive. Le forze d attrito sono sempre dirette nel verso opposto alla direzione del moto che va pertanto specificata. La quantità di moto della massa d m vale: d m c e pertanto la sua variazione risulta: d m d c d d. Essendo la velocità c funzione sia dello spazio x sia del tempo, la derivata totale diventa: d c d = c c x d x d = c c x c. Ma la velocità c, essendo il moto stazionario, dipende solo dalla posizione geometrica x, mentre in una definita posizione non dipende dal tempo; pertanto il primo dei due termini é nullo, mentre nel secondo si possono sostituire le derivate parziali con quelle totali d. La variazione della quantità di moto risulta quindi: dm c d c d x. Supponendo che la direzione del moto sia dalla sezione 1 alla, il bilancio delle quantità di moto riferito ad un tempo infinitesimo d, diventa: Cap. 1 Pagina 5 di 14

6 [ d p g d m d z f d m f d m] d =d m c d c d x d. Dividendo ambo i membri per ottiene: d e per d m e moltiplicando per d x, si c d x d p g d z f d x f d x=c d c=d d m. Ma fra le sezioni 1 e poste ad una distanza infinitesima dx, è contenuto il volume dv di massa dm per cui: d x=d V =v d m= d m ϱ, essendo v il volume specifico e ϱ la densità, da cui: d V d x= d m d m =v= ϱ 1. L equazione di bilancio diventa quindi: v d p g d z f d x f ' d x=d c. Indicando ora con d l= f d x il lavoro delle forze esterne applicate al fluido e con d r= f ' d x il lavoro delle forze d attrito, entrambi Cap. 1 Pagina 6 di 14

7 corrispondenti allo spostamento dx, l equazione di bilancio delle quantità di moto diventa: v d p g d z d l d r=d c, che integrata fra due sezioni 1 e ad una distanza finita fra loro: v d p g z 1 z l r = c 1 c 1, 1, p. ovvero con altra forma: c c 1 p g z z 1 v d p=l r 1, 1, che si vede essere identica a quella ricavata con semplificazioni dall'equazione di bilancio exergetico per i sistemi aperti. Esempi applicativi Efflusso Oltre agli esempi riportati al capitolo quinto, viene qui sviluppato il caso di un condotto con una strozzatura di uno dei tipi indicati nella figura 1.1. Tali strozzature vengono chiamate: a) tubo di Venturi, costituito da un tratto convergente e da uno divergente; b) boccaglio, costituito dal solo tratto convergente; c) diaframma, costituito da una apertura scolpita in parete sottile. Questi apparecchi sono utilizzati come misuratori di portata ed in tal caso Cap. 1 Pagina 7 di 14

8 vengono globalmente indicati come misuratori di portata a contrazione di corrente (vedi anche norma UNI 1003). Nel tubo di Venturi il tratto divergente permette di ricuperare l energia cinetica posseduta dal fluido nella sezione ristretta; nel boccaglio la perdita avviene ma la sezione ristretta presenta un diametro perfettamente definito; nel diaframma viene persa l energia cinetica e la sezione ristretta non corrisponde al diametro del foro, ma va ricavata, tramite formulazioni di derivazione sperimentali, dal rapporto fra diametro del condotto e diametro del foro (rapporto di strozzamento). In tutti i casi esaminati si rileva la differenza di pressione fra una sezione a monte del tratto convergente e generalmente in corrispondenza della zona ristretta, o a valle della stessa; possono quindi essere effettuate le seguenti semplificazioni: trascurabile il contributo della gravità essendo piccolo il dislivello fra le due sezioni; trascurabili le resistenze d attrito essendo esse localizzate prevalentemente nel tratto divergente; nullo il lavoro delle macchine. Il fluido viene accelerato nel tratto convergente acquistando energia cinetica a spese dell energia di pressione; nella sezione ristretta si arriva però ad una velocità che non supera la velocità del suono c s = p s v s in corrispondenza alle condizioni di pressione e di volume specifico in tale sezione. Figura 1.1 Apparecchi a contrazione di corrente : a) tubo di Venturi; b) boccaglio; c) diaframma. Cap. 1 Pagina 8 di 14

9 L equazione di bilancio delle quantità di moto per un generico fluido diventa quindi: v d p= c 1 c p. Le velocità sono legate alle aree di passaggio, essendo la portata massica costante, dalla: G= 1 c 1 v 1 = c v, da cui deriva: c c 1 =c 1 c 1 c =c [1 v 1 1 ]=c [1 1 p /n ], v mentre l integrale dipende dal tipo di trasformazione che avviene fra le due sezioni considerate; normalmente essa é una politropica ( pv n = v n n 1 = p v ), molto vicina ad una adiabatica (vedi tabella 1.1), per cui: v d p= n p n 1 p v [1 p n n ], con n esponente della politropica molto prossimo all esponente dell adiabatica k= c p c v. Cap. 1 Pagina 9 di 14

10 Tabella 1.1 Esponenti della isentropica di espansione. n = per i liquidi (v = costante) n = 1,66 per i gas monoatomici n = 1,4 per i gas biatomici n = 1,3 per i gas ideali triatomici o per il vapor d'acqua surriscaldato n = 1,13 per il vapor d'acqua saturo a pressione moderata n = 1 per i gas ideali (isoterma) Sostituendo e con opportuni passaggi si ottiene: G= c v = 1 p v 1 p, 1 1 m con: (fattore di espansione) opportuno coefficiente funzione di p, di n e di m= = d per condotti circolari. 1 d 1 1, di Le norme CNR UNI 1003 forniscono la seguente relazione: G= 4 d ϱ 1 p, Cap. 1 Pagina 10 di 14

11 con: = C 1 4 coefficiente di portata nel quale C è fornito tramite relazioni empiriche in relazione al tipo di apparecchio, alla posizione delle prese di pressione e di m ;, coefficiente di comprimibilità. Le formule proposte sono: a) per diaframmi con prese di pressione a D ed a D / (vedi figura 1.): C=0,5899 0,05m 0,08m 3 3,7 m0,65 11m 4 N R 0,5, =1 0,41 0,35m p n ; Cap. 1 Pagina 11 di 14

12 Figura 1. Diaframma con prese di pressione a D ed a D /. b) per i boccagli (ISA 193) (vedi figura 1.3): C=0,9900 0,6 m, , ,00115m 0,5 0,00490 m 4, ,15 N R ; c) per venturimetro classico (vedi figura 1.4): C = 0,984 ; 0,995 ; 0,985 rispettivamente per convergente grezzo di fonderia, lavorato ed in lamiera saldata; d) per venturimetro boccaglio (vedi figura 1.5): Cap. 1 Pagina 1 di 14

13 C=0,9858 0,196 m,5. Per tutti i boccagli e venturimetri: = p / n n n 1 1 p n 1 n 1 p p. Figura 1.3 Boccaglio ISA 193. Cap. 1 Pagina 13 di 14

14 Figura 1.4 Venturimetro classico. Nella stessa norma CNR UNI 1003 vengono altresì indicati i disegni con le tolleranze di lavorazione, molti dettagli di installazione e gli errori probabili. Figura 1.5 Venturimetro boccaglio. Cap. 1 Pagina 14 di 14