Dinamica del fluidi. A. Barbisan - Fluidodinamica 1

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1 Dinamica del fluidi A. Barbisan - Fluidodinamica 1

2 Per descrivere il moto di un fluido ci sono due formalismi equivalenti: Lagrange: si descrive il moto di ogni porzione di fluido z x z y Porzione di fluido di massa m ce al tempo t si trova in (x,y,z). Le sue grandezze si descrivono come f=f(x,y,z,t). Eulero: si descrive ciò ce accade in ogni singolo volumetto attraversato dal fluido (x,y,z,t) y v= v(x,y,z,t) x ρ= ρ(x,y,z,t) A. Barbisan - Fluidodinamica 2

3 Tipi di flusso: Flusso non stazionario: ad ogni punto viene associata una velocità ce dipende esplicitamente dal tempo: v = v (x,y,z,t)) Flusso stazionario: ad ogni punto viene associata una velocità costante: v = v (x,y,z) Flusso rotazionale: ω 0 Flusso irrotazionale: ω=0 Proprietà del fluido: Densità: ρ= ρ(x,y,z,t) in generale varia da punto a punto da istante a istante Fluido incomprimibile: ρ=ρ(x,y,z,t) = ρ o [con ottima approx Liquidi] Viscosità: η= η(x,y,z,t) si manifesta come forza parallela alla velocità e ce dipende da essa. Si oppone allo scorrimento delle diverse parti di fluido una sull altra (forze di taglio presenti in condizioni dinamice) Fluido non viscoso: η=0 [solo in prima approssimazione] A. Barbisan - Fluidodinamica 3

4 Si tratta da qui fino a indicazione contraria di: Flussi stazionari, irrotazionali di fluidi incomprimibili e non viscosi. Linea di flusso z y x Un linea di flusso è tangente punto a punto al vettore velocità in quel punto Con moti stazionari: le linee sono fisse nel tempo e non si incrociano A. Barbisan - Fluidodinamica 4

5 z Si considerano due superfici S1 e S2 a v y S 1 S 2 x A. Barbisan - Fluidodinamica 5

6 z Si considerano due superfici S1 e S2 a v v 1 v 2 y S 1 S 2 x Nel volume delimitato dalle due superfici considerate in un tempo t: S - entra una massa di fluido : m 1 =ρ 1 S 1 v 1 t 1 v 1 t - esce una massa di fluido : m 2 =ρ 2 S 2 v 2 t Dato ce non vi sono sorgenti: S 1 Volume di fluido entrato m 1 m = t t e quindi v 1 t Distanza percorsa da fluido in t ρ 1 S 1 v 1 =ρ 2 S 2 v 2 Equazione di continuità: ρ S v =cost A. Barbisan - Fluidodinamica 6

7 Per un fluido incomprimibile: ρ 1 =ρ 2 =ρ uniforme Non solo: ρ S v =cost Ma ance: S v =cost la portata Q=Sv è costante Se la portata è costante la velocità e inversamente proporzionale alla sezione w v v w > v A. Barbisan - Fluidodinamica 7

8 Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A t. Questa massa è compresa tra le superfici S A e S A1 v A t v A S A S A1 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A1 A A. Barbisan - Fluidodinamica 8

9 Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A1, percorre un tratto v A1 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A1 e S A2 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A2 v A1 t v S A1 A1 S A2 A 1 A. Barbisan - Fluidodinamica 9

10 Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A2 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A2 e S A3 S A2 v A2 t v A2 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A3 A 2 S A3 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie ce la delimitava anteriormente A. Barbisan - Fluidodinamica 10

11 Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A3 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A3 e S A4 v A3 t S A3 v A3 S A4 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A4 A 2 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie ce la delimitava anteriormente A. Barbisan - Fluidodinamica 11

12 Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A4 t. v A4 t S A4 v A4 S A5 Questa massa è compresa tra A 4 le superfici S A4 e S A5 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A5 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie ce la delimitava anteriormente A. Barbisan - Fluidodinamica 12

13 Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A5 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A5 e S A6 v A5 t S A5 v A5 A 5 S A6 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A6 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie ce la delimitava anteriormente A. Barbisan - Fluidodinamica 13

14 v A6 t Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin S A6 v A6 Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A6 t. A 6 S A7 =S B Questa massa è compresa tra le superfici S A6 e S A7 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A7 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie ce la delimitava anteriormente A. Barbisan - Fluidodinamica 14

15 Si applica il teorema dell energia cinetica: L = E cin S A7 =S B v B t v A7 =v B S A8 Si considera la massa di fluido ce in un tempo t, quando si trova in A,percorre un tratto v A7 t. Questa massa è compresa tra le superfici S A7 e S A8 A 7 =B Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente S A8 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie ce la delimitava anteriormente A. Barbisan - Fluidodinamica 15

16 Sulla massa di fluido considerata, all istante iniziale, agiscono le seguenti forze: F A = P A S A, dovuta al fluido ce precede S A e ce si trova a pressione P A F A1 F A F A1 = - P A1 S A1, dovuta al fluido ce segue S A1 e ce si trova a pressione P A1 S A A S A1 p =mg p=mg=ρgs A v A t, la forza peso F A1 m F A p =mg A. Barbisan - Fluidodinamica 16

17 Tali forze compiono il seguente lavoro: L A =F A v A t= P A S A v A t L A1 =F A1 v A1 t = - P A1 S A1 v A1 t L1=mg v A t cosθ (θ angolo fra v A e p) F A1 F A S A S A1 A p =mg A. Barbisan - Fluidodinamica 17

18 Nell intervallo successivo, sulla massa di fluido considerata agiranno le forze: -F A1 = P A1 S A1, dovuta al fluido ce precede S A e ce si trova a pressione P A v A1 t F A2 = -P A2 S A1, dovuta al fluido ce segue S A1 e ce si trova a pressione P A1 p=mg=ρgs A1 v A1 t, la forza peso S A1 F A2 A 1 S A2 F A1 p =mg Tali forze compiono il seguente lavoro: -L A1 =-F A1 v A1 t= -P A1 S A1 v A t L A2 =F A2 v A2 t = - P A2 S A2 v A2 t Lp=mg v A1 t cosθ 1 (θ 1 angolo fra v A1 e p=mg) A. Barbisan - Fluidodinamica 18

19 Lavoro delle forze agenti tra 0 e t= t L A =F A v A t= P A S A v A t L A1 =F A1 v A1 t = - P A1 S A1 v A1 t L 1 =mg v A t cosθ (θ angolo fra v A e p) Lavoro delle forze agenti tra t= t e t=2 t -L A1 =-F A1 v A1 t= -P A1 S A1 v A t L A2 =F A2 v A2 t = - P A2 S A2 v A2 t L 2 =mg v A1 t cosθ 1 (θ 1 angolo fra v A1 e p) Se si somma il lavoro compiuto dalle diverse forze agenti sulla massa di fluido considerata si ottiene: (L A +L A1 +Lp)+ (-L A1 +L A2 +Lp1)= L A +L A2 +Lp+Lp 1 = = P A S A v A t P A2 S A2 v A2 t-p A. Barbisan - Fluidodinamica 19

20 Si ripete la procedura per ogni intervallo di tempo t. S B v B t v B Si ottiene ce il lavoro complessivamente effettuato dalle forze agenti sulla massa fluida in movimento è dato da: v A t B L= P A S A v A t P B S B v B t mg v A S A A La variazione di energia cinetica è data semplicemente dalla energia cinetica finale (energia cinetica in B), meno l energia cinetica iniziale (energia cinetica in A) della massa di fluido considerata: E c = (1/2) m v B 2 (1/2) m v A 2 A. Barbisan - Fluidodinamica 20

21 v B t S B v B Il teorema dell energia cinetica B L= E c permette di scrivere la relazione: v A t v A S A A P A S A v A t P B S B v B t mg = (1/2) m v B2 (1/2) m v 2 A Dato ce il fluido è incomprimibile: S A v A t=s B v B t =V P A V P B V ρvg = (1/2) ρ V v B2 (1/2) ρ V v 2 A A. Barbisan - Fluidodinamica 21

22 v B t S B P A P B ρ g = (1/2) ρ v B2 (1/2) ρ v A 2 v B P A P B = ρ g +(1/2) ρ v B2 (1/2) ρ v A 2 B v A t v A S A P A + (1/2) ρ v A2 +0 = P B + (1/2) ρ v B2 + ρ g P + (1/2) ρ v 2 + ρ g = cost. A In un tubo di flusso la somma dei tre termini è uguale agli estremi del tubo stesso A. Barbisan - Fluidodinamica 22

23 P A P B = ρ g +(1/2) ρ v B2 (1/2) ρ v A 2 Teor. Bernoulli Casi particolari: v=0 P A P B = ρ g Legge di Stevino v=0 e =0 P A P B = 0 Principio di Pascal =0 P A P B = (1/2) ρ v B2 (1/2) ρ v A 2 Se v B > v A P A > P B P A P C P B v B v A v c v B > v A A. Barbisan - Fluidodinamica 23

24 Po Teorema di Torricelli Velocità di efflusso P + (1/2) ρ v 2 + ρ g = cost. P v o =0 v? P o + ρ g = Po + (1/2) ρ v 2 v = 2g Indipendente da ρ Uguale velocità di un sasso ce cade! A. Barbisan - Fluidodinamica 24