Lezione 9. Fluidi in moto. Definizione di portata. Legge di Bernoulli. Effetto Venturi. Viscosità. Legge di Hagen Poiseuille.

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1 Lezione 9 Fluidi in moto. Definizione di portata. Legge di Bernoulli. Effetto Venturi. Viscosità. Legge di Hagen Poiseuille.

2 Moto dei fluidi Studiare il moto di un fluido è un problema complicato, soprattutto perché le varie particelle del fluido sono praticamente indipendenti le une dalle altre. Abbiamo detto che l azione di una forza può interessare tutto il fluido solo se agisce attraverso una superficie, dando luogo così ad una pressione. Se la pressione è la stessa in tutti i punti della superficie limite del fluido allora il fluido è in quiete. Se invece su una parte della superficie la pressione è minore, l equilibrio non è possibile ed il fluido si muove.

3 Movimento solo in presenza di variazioni di pressione Indice del moto del fluido è una differenza di pressione tra diversi punti di questo. Questa osservazione però non è sufficiente a caratterizzarne il moto. Inoltre dobbiamo analizzare separatamente il caso di liquidi e gas: per i gas, infatti, variazioni di pressione implicano variazioni dello stato termico, il che aggiunge complicazioni al problema. Nel resto della lezione ci riferiremo sempre al caso dei liquidi.

4 Moto di un liquido: parametri descrittivi Per studiare il moto di un liquido sotto l'azione di forze possiamo pensare di suddividere il liquido stesso in elementi di volume infinitesimi (particelle) e seguirne il moto. Tuttavia, questo modo di procedere ci impone di esprimere la posizione di ciascuna particella in funzione del tempo, la quale cosa è praticamente impossibile. E possibile invece descrivere il moto del liquido determinando densità e velocità in ciascun punto dello spazio ed in ogni istante. Ad esempio, possiamo caratterizzare il moto del liquido mediante un certo numero di quantità caratteristiche: la velocità lineare, la velocità angolare attorno ad un punto, la comprimibilità, la viscosità.

5 Velocità lineare Se la velocità lineare v delle particelle di liquido è costante nel tempo per ogni punto dello spazio (ma può variare da un punto all'altro), allora il moto si dice stazionario; un esempio di ciò è una corrente molto lenta. Se è funzione del tempo per ogni punto dello spazio il moto si dice non stazionario; un esempio di ciò sono le ondate di marea. Se varia in modo irregolare da punto a punto e da un istante all'altro il moto si dice turbolento; un esempio di ciò sono le rapide e le cascate.

6 Velocità angolare (attorno ad un punto) Velocità angolare delle particelle del liquido attorno ad un punto. Se, in corrispondenza di ogni punto, gli elementi di liquido hanno velocità angolare nulla attorno a tale punto, il moto si dice irrotazionale; altrimenti il moto è rotazionale. Una piccola ruota a palette immersa nel fluido in moto ci indica se tale moto è irrotazionale o meno a seconda che la rotella si sposti senza ruotare o no.

7 Comprimibilità Se un liquido può muoversi senza modificare di molto la propria densità si dice incomprimibile. Si può ritenere in generale che i liquidi fluiscano incomprimibilmente. N.B. Anche i gas, che sono molto comprimibili, possono fluire senza importanti variazioni della loro densità, come ad esempio nel moto dell'aria relativo alle ali di un aereo che voli a velocità subsonica.

8 Viscosità E l'analogo dell'attrito nel moto dei solidi; si distinguono pertanto fluidi viscosi o non viscosi. La viscosità (indicata con h) crea delle forze tangenziali tra gli strati di fluido che scorrono uno sull'altro dissipando energia meccanica. N.B. La viscosità si misura in dyn s/cm 2 =g/(cm s)=poise.

9 Liquidi ideali (non viscosi) Formuleremo le leggi del moto prima per un liquido ideale, cioè un liquido incomprimibile e non viscoso; ci limitiamo inoltre al caso di moto stazionario e irrotazionale. Nel moto stazionario la velocità in ogni punto è costante nel tempo, cioè ogni particella che transita per un qualsiasi punto P lo fa sempre con la stessa velocità. Perciò se tracciamo il percorso di una particella, questo sarà anche il percorso di ogni altra particella che arriva nello stesso punto in cui è arrivata la prima. La curva che descrive il moto della particella si chiama linea di flusso o di corrente ed è tangente alla velocità della particella in ogni suo punto.

10 Moto stazionario Nel moto stazionario le linee di flusso non si incrociano mai, in quanto se lo facessero una particella che arriva al punto di incrocio potrebbe proseguire lungo una linea o l'altra, quindi in uno stesso punto potrebbe avere differenti valori di velocità, contrariamente all'ipotesi stessa di stazionarietà. Dunque per il moto stazionario esiste una sola linea di flusso per ogni punto del fluido e che l'insieme delle linee di flusso è fisso nel tempo. Prendendo un fascio di linee di flusso otteniamo una superficie tubolare detta tubo di flusso.

11 Linee di corrente e tubi di flusso Per semplicità d'ora in avanti faremo coincidere il tubo di flusso con il condotto reale entro il quale scorre il fluido.

12 Portata o velocità di efflusso volumetrico Per l'ipotesi di incomprimibilità osserviamo che il volume di liquido che in un certo tempo attraversa la sezione del condotto non varia con la sezione, altrimenti si avrebbe accumulo o rarefazione di fluido in alcune regioni nelle quali la densità aumenterebbe o diminuirebbe in contraddizione con l'ipotesi di incomprimibilità. Questa proprietà si esprime dicendo che attraverso un tubo di corrente la portata (o velocità di efflusso volumetrico ovvero il volume che attraversa una qualunque sezione di un tubo di corrente in 1 secondo) è costante: ovvero si ha l'equazione di continuità: Q=Sv=S'v'.

13 Perché la sezione del liquido diventa sempre più stretta mano a mano che il liquido si avvicina a terra?

14 Equazione di Bernoulli Nel caso di un flusso stazionario ed in assenza di forze viscose, l'energia meccanica per ogni elemento di fluido si conserva lungo una linea di flusso: Si può vedere l'equazione di Bernoulli come una modifica della legge di Stevin nel caso Una conseguenza immediata per il moto stazionario di un fluido lungo un tubo di sezione costante è che la pressione si mantiene costante lungo il tubo.

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16 Applicazioni dell equazione di Bernoulli Portanza alare

17 Teorema di Torricelli Da un foro posto ad una altezza h dalla superficie superiore di un fluido contenuto in un serbatoio, il liquido esce con una velocità pari a quella che avrebbe se scendesse in caduta libera per un tratto h:

18 Effetto Venturi La pressione di un fluido in moto aumenta con il diminuire della Velocità: a questo fenomeno si dà il nome di effetto Venturi. L'Effetto Venturi (che si osserva anche nei gas) viene chiamato paradosso idrodinamico poiché la pressione diminuisce in corrispondenza delle strozzature, diversamente da come sarebbe più naturale pensare. Per la legge della portata, infatti, in corrispondenza delle strozzature la velocità aumenta.

19 Tubo di Venturi Misurando la variazione di pressione nelle strozzature si ottiene la velocità corrispondente.

20 Liquidi viscosi Sperimentalmente si mostra che è necessaria una differenza di pressione per spingere un fluido attraverso un condotto orizzontale. Ciò è in contrasto con l'equazione di Bernoulli che indica invece che la pressione si mantiene invariata lungo il tubo; la spiegazione sta nel fatto che nell'esperimento reale abbiamo a che fare con un liquido più o meno viscoso (e l'equazione di Bernoulli vale per liquidi non viscosi). In questo caso il tubo esercita una forza resistente sul fluido a contatto e a loro volta gli strati di fluido esercitano resistenza di attrito tra loro. Risulta inoltre che la velocità del fluido non è costante per tutta la sezione del tubo: è massima al centro e nulla sul bordo.

21 Moto laminare Un moto per cui si può immaginare tutto il fluido diviso in strati infinitesimi paralleli tra loro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno con velocità caratteristiche, si dice laminare. Tale tipo di moto si produce con un determinato fluido per un determinato valore di sezione del tubo e quando la velocità non supera un determinato valore critico (tanto più piccolo quanto maggiore è il raggio del tubo).

22 Flusso laminare intorno ad una macchina in galleria del vento

23 Regime turbolento Regime laminare

24 Regime turbolento In caso di superamento di tale valore critico la stratificazione regolare è distrutta dalla formazione di vortici che rimescolano il fluido e danno luogo a distribuzioni irregolari e continuamente variabili di velocità, con il risultato che in media la velocità del fluido risulta la stessa per qualsiasi valore di distanza dalle pareti del condotto a parte quella dello strato immediatamente a contatto con queste ultime che è ancora nulla. Questo regime si dice vorticoso o turbolento.

25 Legge di Poiseuille Per un liquido viscoso in un tratto di tubo di raggio R e lunghezza D l, la portata è data dalla legge di Poiseuille Se il condotto è orizzontale e di sezione costante, la legge di Poiseuille implica che mano a mano che il liquido si muove nel tubo la pressione diminuisce (nel verso del moto). Un liquido che obbedisce alla legge di Poiseuille si dice un liquido Newtoniano (anche se viscosi il sangue ed il liquido sinoviale non sono Newtoniani).

26 Legge di Stokes La viscosità esercita una forza ritardatrice su un oggetto in moto con velocità v, secondo la legge di Stokes: ove in questo caso l'oggetto in moto è una piccola sfera di raggio R. Se una piccola sfera di questo tipo cade per effetto della gravità entro un fluido, rapidamente essa raggiunge una velocità di regime quando la forza ritardante totale (Stokes più Archimede) uguaglia la forza peso. Dette r la densità del materiale della sferetta e r 0 la densità del fluido si ha la velocità limite o di sedimentazione: