Stefano Mambretti. Fenomeni di moto vario nelle correnti in pressione

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3 Stefano Mambretti Fenomeni di moto vario nelle correnti in pressione

4 Copyright MMIV ARACNE editrice S.r.l. editrice.it editrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B Roma redazione: (06) telefax amministrazione: (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: ottobre 2004

5 5 Sommario 1. Introduzione Moto vario elastico: concetti di base Manovre brusche (teorema dell impulso) Considerazioni sulla celerità Manovre brusche e manovre lente Perdite di carico non trascurabili Equazioni del movimento Derivazione delle equazioni: l equazione di continuità Derivazione delle equazioni: l equazione del moto Il sistema risolvente Le equazioni concatenate di Allievi Soluzione numerica del problema del colpo d ariete: il metodo delle linee caratteristiche Soluzione delle equazioni Condizioni iniziali ed al contorno Serbatoio Valvola Giunzione Dispositivi per l attenuazione delle sovrapressioni Casse d aria L effetto della strozzatura nei dispositivi di attenuazione delle sovrapressioni Pozzi piezometrici Pozzi cilindrici Altre tipologie di pozzi Valvole di sfioro rapido Volanizzazione delle masse rotanti nelle pompe Il distacco e riattacco di vena Formazione della cavità Collasso delle cavità Descrizione del moto in presenza di cavità La seconda viscosità Un caso di laboratorio Il problema della risonanza Generalità Richiami di teoria delle vibrazioni Il metodo delle matrici di trasferimento Generalità

6 Applicazione ai transitori idraulici La descrizione di semplici sistemi: condotta La descrizione di semplici sistemi: valvole e luci di efflusso Matrice globale di un sistema Moto vario anaelastico (oscillazioni di massa) Generalità Confronti Calcolo con il modello anaelastico Confronti con il modello elastico Conclusioni Bibliografia

7 1. Introduzione. In questo breve testo si affronta il tema del moto vario nelle condotte in pressione. Molti scritti, da quelli di idraulica di base a quelli più specialistici, affrontano questo argomento. Qui, oltre ad un iniziale esposizione delle teorie classiche, si è deciso di privilegiare nell esposizione gli aspetti più attuali e che sono meno conosciuti, ma che proprio per questo possono creare problemi maggiori. Inoltre, tutte le teorie e le espressioni esposte in questo testo sono state testate dall autore. È capitato, infatti, di trovare in testi anche di notevole diffusione, delle procedure che non hanno portato a risultati validi, alle volte per problemi teorici, altre per problemi numerici. Vengono riportati anche i risultati che sono stati ottenuti sia in prove numeriche dei modelli, sia in casi reali o di laboratorio. Per quanto attiene alla parte teorica, si è deciso di trattare in modo approfondito il caso del moto vario elastico, dedicando poco spazio all ipotesi anaelastica, certamente meno generale. Nel capitolo 2, dopo una prima introduzione al problema, nella quale viene illustrato il teorema dell impulso e quindi sono calcolate le massime sovrapressioni che tale fenomeno può comportare nelle condotte, viene illustrata nel modo più intuitivo e per mezzo di uno schema di impianto semplice la natura oscillatoria del problema. In questo stesso capitolo viene anche illustrato il parametro fondamentale del fenomeno, ovvero la celerità di propagazione delle perturbazioni, della quale viene anche indicata la modalità di calcolo ed i valori che nella pratica costruttiva essa generalmente assume. Infine vengono scritte le equazioni complete che reggono l intero fenomeno, unitamente alla loro derivazione rigorosa ed alle semplificazioni che storicamente hanno avuto maggiore diffusione. Nel capitolo successivo viene descritto il metodo che usualmente è impiegato per l integrazione numerica delle equazioni del moto. Dopo avere introdotto in generale il metodo delle caratteristiche, ne è spiegato il significato fisico ed il motivo per cui questo è validamente utilizzato nel caso del moto vario nelle condotte in pressione. Vengono quindi fornite le equazioni che possono essere inserite in un codice di calcolo e vengono discusse le condizioni iniziali e quelle al contorno. Successivamente, nel capitolo 4, vengono illustrati alcuni dispositivi, tra i più usati, per ridurre le sovrapressioni di colpo d ariete negli impianti civili ed industriali. Ne vengono spiegati i principi fisici di funzionamento e le metodologie per la descrizione matematica. 7

8 8 Capitolo 1 Un capitolo, il 5, è dedicato a fornire dei brevi cenni su un fenomeno ancora poco noto e di notevole interesse sia scientifico che applicativo: la rottura della vena liquida che si può avere nel caso si raggiungano forti depressioni nell impianto (cavitazione). In questo caso vengono illustrati l approccio più rigoroso e quello più attuale, unitamente ai risultati ottenuti in alcune prove di laboratorio. Il successivo capitolo 6 è quindi dedicato all analisi dei fenomeni di risonanza che si possono verificare negli impianti complessi, generando delle forti sovrapressioni che portano a rotture inaspettate e non prevedibili quando si usino i metodi classici di studio. Si mostrano i risultati ottenuti con il modello numerico alle linee caratteristiche e quelli con il metodo delle matrici di trasferimento, utilizzato precipuamente per studiare questo fenomeno. Infine, nel capitolo 7, si tratta il caso del moto vario anaelastico, ovvero delle oscillazioni di massa, per il quale vengono dati brevi cenni. Viene anche effettuato un confronto tra i risultati ottenuti applicando ad uno stesso caso le due teorie elastica ed anaelastica. L importanza dei fenomeni di moto vario apparirà chiara al Lettore sin da quando effettuerà le prime valutazioni delle massime sovrapressioni o depressioni che si possono verificare negli impianti. D altra parte tali valutazioni sono indice di buona progettazione, dato che l eventuale presenza delle dette sovrapressioni, se non adeguatamente prevista e contrastata, può provocare gravi danni all impianto nel quale si verificano. Sebbene ogni cura sia stata posta nella redazione di questo testo, errori ed imprecisioni sono sempre possibili. L autore ringrazia fin da ora chiunque vorrà segnalargli la presenza di questi errori, o di eventuali parti che dovessero risultare incomplete e quindi didatticamente poco comprensibili.

9 2. Moto vario elastico: concetti di base. Il moto vario può essere suddiviso in due diverse classificazioni: il moto vario elastico, detto anche colpo d ariete, ed il moto vario anaelastico, chiamato anche oscillazioni di massa. Come la classificazione lascia intendere, mentre nel caso delle oscillazioni di massa si può prescindere dalla comprimibilità del fluido (ciò che avviene peraltro nella gran parte dell idraulica pratica), nel caso del colpo d ariete questa semplificazione non è possibile, poiché porterebbe a risultati del tutto inattendibili, come si osserverà nei prossimi paragrafi. D altro canto, il modello sviluppato tenendo conto della comprimibilità del fluido, essendo più generale, consente di analizzare anche i fenomeni che ne potrebbero prescindere, come si vedrà nel successivo capitolo Manovre brusche (teorema dell impulso) Si consideri il semplice schema della seguente figura 2.1 nel quale sono per ora ammesse trascurabili l energia cinetica e le perdite di carico. La velocità iniziale nel condotto di sezione trasversale A è pari a V 0. Sia L la lunghezza del condotto. All estremità di monte è posto un serbatoio che si considera a carico costante. All estremità di valle è posto un organo otturatore che viene chiuso istantaneamente. All arresto istantaneo del deflusso nella sezione terminale non può corrispondere l arresto altrettanto istantaneo di tutta la massa d acqua contenuta nel condotto perché questo comporterebbe l annullamento di tutta la sua quantità di moto e quindi un incremento infinito della pressione nella tubazione. Quindi ciò che effettivamente si ferma nell intervallo di tempo infinitesimo dt è un volume infinitesimo di lunghezza ds, mentre la restante parte della colonna liquida continua a muoversi con la velocità iniziale. Il fatto che si sia fermato il volume A ds (cioè la massa A ds ) significa che si è avuta, per tale massa, una variazione della quantità di moto pari a A ds V 0. Questa variazione di quantità di moto deve essere equilibrata dall impulso delle forze agenti sulla massa stessa, date dalla sovrapressione p che si genera all otturatore e quindi pari a A p dt. 9

10 10 Capitolo 2 Di conseguenza si ha: Figura 2.1: schema semplificato di impianto. A ds V 0 A p dt da cui: p ds dt V 0 Detta c ds la celerità di propagazione della perturbazione in dt condotta, si ha infine: p c V 0 (2.1) Si osservi la figura 2.2 per una migliore comprensione del fenomeno e della simbologia adottata.

11 Moto vario elastico: concetti di base. 11 Figura 2.2: teorema dell impulso schema e simbologia. La sovrapressione scritta nei termini di altezza di colonna d acqua deriva immediatamente dalla (2.1) e si scrive come: c h V 0 (2.2) g Negli istanti seguenti si verifica l arresto degli strati successivi nei quali la pressione assume ancora il valore dato dalla (2.1), come si dimostra applicando ripetutamente il teorema dell impulso. L onda di sovrapressione si propaga quindi con celerità c verso il serbatoio di monte, che raggiunge nel tempo t1 L. c Quando t t 1 il condotto risulta diviso in due tronconi: la parte di monte con il liquido in moto, la parte di valle con il liquido fermo e la sovrapressione. Al tempo t 1, come detto, l onda di sovrapressione raggiunge il serbatoio di monte dove il carico è costante. Di conseguenza, in questo istante si crea una differenza di carico sulla sezione di imbocco dal serbatoio, mentre tutto il liquido (sia quello contenuto in condotta, sia quello nel serbatoio) è fermo. A causa di questa differenza di pressione l acqua comincia a fluire dalla condotta al serbatoio, con velocità V0, mentre la pressione torna ad essere pari a quella del moto permanente. Questa seconda fase dura fino al tempo

12 12 Capitolo 2 t L 2 2, quando l onda di perturbazione raggiunge nuovamente c l otturatore di valle. Nel tempo t1 t t2 il condotto è ancora diviso in due tratti: quello a monte nel quale la corrente è in movimento con velocità V 0 con pressione pari a quella del moto permanente e quello a valle nel quale il fluido è fermo e la pressione pari a quella di moto permanente più la sovrapressione di moto vario di valore da calcolare con la (2.1). Figura 2.3: le quattro fasi del colpo d ariete. Al tempo t 2, al termine quindi della seconda fase, la perturbazione raggiunge nuovamente la sezione dell otturatore dove evidentemente la velocità deve essere nulla. Con ragionamento analogo a quello della fase iniziale, ma tenendo conto che ora la velocità in condotto è pari, come detto, a V 0, la riflessione dell onda induce delle sovrapressioni pari a p c V 0. La terza e la quarta fase sono quindi del tutto analoghe, rispettivamente, alla prima ed alla seconda, ma in questo caso la sovrapressione è di segno opposto.

13 Moto vario elastico: concetti di base. 13 Al tempo t L 4 4 si riproducono le condizioni iniziali e quindi c ricomincia il ciclo. Il ciclo è ovviamente infinito solo nel caso ideale, mentre nella realtà si hanno dei continui smorzamenti dovuti alle perdite di carico e quindi il fenomeno tende ad esaurirsi in un tempo finito. 2.2 Considerazioni sulla celerità Come si è osservato, le caratteristiche del fenomeno dipendono in modo sostanziale dalla celerità della perturbazione. Si ricava il valore della celerità della perturbazione per il solo caso della condotta indeformabile, riportando successivamente l espressione modificata per il caso, più generale, della condotta elastica che sarà ricavata rigorosamente nel par Il modulo di elasticità di volume (o coefficiente di comprimibilità cubica dell acqua) è definito dalla: dp (2.3) d Si consideri nuovamente il caso della figura 2.2 a seguito di una chiusura istantanea. Nella figura è rappresentata la situazione ad un generico tempo t. Nel successivo intervallo di tempo dt la sezione che separa il fluido fermo da quello in movimento non è più la A A perché la perturbazione si sposta verso monte; invece la sezione A A si sposta verso valle di una della distanza V0 dt e corrispondentemente il volume compreso tra l otturatore e la detta sezione diminuisce di una quantità: dw A V0 dt (2.4) Contemporaneamente però sullo stesso volume è intervenuto un aumento di pressione dato dalla (2.1) al quale, per la (2.3), corrisponde una diminuzione di volume: dw W p A c V 0 ds (2.5)

14 14 Capitolo 2 Uguagliando le (2.4) e (2.5) e ricordando che c ds si ottiene: dt c (2.6) Questo valore corrisponde alla celerità del suono nel liquido. Per l acqua a 8 si ha c 1425 m, che aumenta di circa 3 m per ogni grado di s s aumento della temperatura. Se il liquido è più comprimibile, come nel caso di alcuni oli combustibili, la celerità diminuisce. La celerità diminuisce anche se si prende in considerazione la deformabilità della condotta. Considerando una condotta elastica di diametro D, spessore e e modulo di elasticità del materiale E, la (2.6) diviene (vedi par ): c D 1 E e (2.6 ) essendo un coefficiente che tiene conto delle condizioni di giunzione tra i diversi tubi che formano l intero condotto e che vale 1 per un condotto singolo. Nel caso di condotti in acciaio si assume usualmente c 1000 m, s mentre per condotti in materiale plastico questo valore può scendere ulteriormente. ESEMPIO. Si calcoli la celerità in una condotta in acciaio di diametro D 500 mm e spessore e 6. 3 mm. Considerando che il modulo di elasticità dell acciaio vale 11 E N 2, il modulo di comprimibilità dell acqua m

15 Moto vario elastico: concetti di base vale N 2 mentre la sua densità è m 1000 Kg 3 m. Si ha quindi che la celerità è data da: c 1075 D e E Si osservi in particolare che: 9 m s Kg 2 m s Kg 3 m m s 2 2 m s mentre: D 1 è adimensionale. e E 2.3 Manovre brusche e manovre lente Si consideri ora, in luogo della manovra istantanea della quale si è fin qui trattato, una chiusura del solito otturatore in un tempo t finito e maggiore di zero. Per semplicità, si supponga che la chiusura dell otturatore avvenga con una legge che consente di esprimere la velocità V nella sezione di valle al generico tempo t con un espressione del tipo: V V t t t V0 1 Tc 0 quando quando t Tc t Tc (2.7)