Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale

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1 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Oscillazioni di massa Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 1/3/214

2 Transitori caratterizzati da variazioni limitate e lente della velocità e della pressione. Nello studio dei fenomeni caratterizzati da variazioni limitate e lente della pressione, si assume di potere trascurare anche le variazioni temporali di densità, considerando quindi la densità ρ indipendente, oltre che da θ, anche da p, cioè il liquido incomprimibile. Le variazioni di pressione, per la loro limitata entità e per la gradualità che ne caratterizza l evoluzione temporale, non hanno la capacità di provocare sensibili deformazioni della condotta entro cui il liquido scorre. Condotta indeformabile 1. Oscillazione di massa in un tubo ad U 2. Oscillazione di massa in un pozzo piezometrico 3. Oscillazione di massa in una cassa d araia 3 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

3 Transitori caratterizzati da variazioni limitate e lente della velocità e della pressione. Nello studio dei fenomeni caratterizzati da variazioni limitate e lente della pressione, si assume di potere trascurare anche le variazioni temporali di densità, considerando quindi la densità ρ indipendente, oltre che da θ, anche da p, cioè il liquido incomprimibile. Le variazioni di pressione, per la loro limitata entità e per la gradualità che ne caratterizza l evoluzione temporale, non hanno la capacità di provocare sensibili deformazioni della condotta entro cui il liquido scorre. Condotta indeformabile Le equazioni che governano il moto delle oscillazioni di massa sono: Equazione del moto Equazione di continuità 4 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

4 Oscillazioni di massa in un tubo ad U Equazione del moto Equazione di continuità V s = Equazione di continuità Condotta indeformabile dh ds + 1 g + λ V V D 2g 5 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa = Equazione del moto

5 dh ds + 1 g + λ V V D 2g = Integrando tale equazione lungo un tratto, con direzione s, da una sezione A ad una sezione B, di lunghezza L, l equazione del moto diventa. h A h B = L g + λ D V V 2g L Indicando con Δ il dislivello del fluido rispetto ad un piano =, assunto come il livello di quiete, la precedente equazione assume la forma: 2 Δ + L g + λ V V D 2g L = Inoltre la velocità è rappresentata dalla variazione del dislivello nel tempo, per cui si ha : V = d Δ d 2 Δ 2 + λ d Δ 2D d Δ + 2g L Δ = 6 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

6 IN UN POZZO PIEZOMETRICO 7 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

7 Δ + L g + λ D V V 2g L = ponendo λl 2gD = α, Δ + L g + α V V = Per continuità la portata che defluisce in galleria deve essere pari a quella che defluisce attraverso la bocca del pozzo V A = A p dδ V = A p A d Δ = A p A d 2 Δ marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

8 9 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

9 Per aumentare la dissipazione di energia e smorzare l oscillazione di massa è possibile aggiungere una strozzatura alla base del pozzo. Si aggiunge una persita di carico localizzata Λ s = β V V Δ + L g + (α + β) V V = 1 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

10 Per aumentare la dissipazione di energia e smorzare l oscillazione di massa è possibile aggiungere una strozzatura alla base del pozzo. Si aggiunge una persita di carico localizzata Λ s = β V V Δ + L g + (α + β) V V = 11 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

11 Per aumentare la dissipazione di energia e smorzare l oscillazione di massa è possibile aggiungere una strozzatura alla base del pozzo. Si aggiunge una persita di carico localizzata Λ s = β V V Si definisce strozzatura ottima quella secondo cui β V 2 Y + Δmax 12 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

12 Sistema pozzo piezometrico condotta di mandata serbatoio arrivo Y: Perdita di carico a regime nella condotta di mandata Ys: dislivello tra serbatoio di valle e sezione di mandata Δ + L g + λ D V V 2g L = Per continuità la portata che defluisce in galleria deve essere pari a quella che defluisce attraverso la bocca del pozzo, il segno negativo è dettato dal fatto che a V> corrisponde uno svuotamento della vasca V A = - A p dδ V = A p A d Δ = A p A d 2 Δ marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

13 d 2 Δ + λ Ap d d 2 2D A si ha: + g L d 2 Δ + α d 2 d + β Δ = OSCILLAZIONI DI MASSA Sistema pozzo piezometrico condotta di mandata serbatoio arrivo A Δ = ; poniamo: α = λ Ap A p 2D A and β = g L Risolviamo alle differenze finite con uno schema esplicito: A A p ' d & % 1 d * ) ( + α d d + β = da cui si ottiene: ' d & % d 1 1 = d * ) = α d ( d β d α d d β da cui si ricava d d da cui si ottiene Δ 1 = Δ + Δt marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa 1

14 d 2 Δ + λ Ap d d 2 2D A si ha: + g L d 2 Δ + α d 2 d + β Δ = OSCILLAZIONI DI MASSA Sistema pozzo piezometrico condotta di mandata serbatoio arrivo A Δ = ; poniamo: α = λ Ap A p 2D A and β = g L Risolviamo alle differenze finite con uno schema esplicito: ' d & % 1 d * ) ( + α d d + β = da cui si ottiene: ' d & % 1 d * ) = α d ( d β A A p d 1 = d da cui si ricava α d d β d d da cui si ottiene Δ 1 = Δ + Δt marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa 1

15 Casse d aria 16 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

16 Casse d aria Eq. moto dw = V A Eq. di continuità Alle due equazioni del moto e di continuità va associata l equazione Della trasformazione politropica. p* W n = p* s W Dividendo tutto per il peso specifico γ s n = 1 trasformazione isoterma (Ys + Δ) W n = Ys W n s n = 1,41 trasformazione adiabatica 17 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

17 Casse d aria dw = V A discretizzazione esplicita delle equazioni alle differenze finite. W r W r 1 = V r 1 A Δt W r = W s ( L g V r V r 1 Δt Y s Y s + Δ r ) 1/n Δ r + λ D V r 1 V r 1 2g L = 18 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa Condizioni iniziali: W, V e Δ W = W s ( Y s Y s + Δ ) 1/n

18 E possibile dimensionare la cassa d aria mediante l abaco di Evangelisti OSCILLAZIONI DI MASSA Casse d aria Abaco di Evangelisti h = Δ Ys, z max = Δ max Ys e zmin = Δ min Ys σ = A L V 2 Y s W s 2g 19 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

19 Casse d aria Abaco di Evangelisti h = Δ Y s, zmax = Δ max Y s e zmin = Δ min Y s 1. Fissata la massima sovrappressione ammissibile Δ max si calcola Z max, si calcola h 2. Si entra nel grafico e si stima σ 3. Noto σ e h ; si stima Z min 4. Noto Z min si calcola Δ min 5. Si cacola W cassa da W cassa = W s ( Ys Y s + Δ min ) 1/n σ = A L V 2 Y s W s 2g Verificare la minima depressione ΔP min = γ Y s (1 z min ) 2 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

20 Casse d aria Abaco di Evangelisti Strozzatura ottima γ (Y s + Δ Λ ) γ (Y s Δ min ) Λ Δ + Δmin Valori maggiori di σ comportano valori minori di Ws σ = A L V 2 Y s W s 2g Valori minori di Ws comportano valori minori di Wcassa W cassa = W s ( Y s Y s + Δ min ) 1/n 21 1 marzo 214 Moto vario nelle condotte in pressione - Oscillazioni di massa

21 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 1/3/214

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