Modello di Greitzer (1976) Simulazione del comportamento dinamico di compressori

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1 Modello di Greitzer (1976) Simulazione del comortamento dinamico di comressori Iotesi del modello. Si consideri un sistema fisico comosto, nell ordine, da un comressore, un lenum ed una valvola di strozzamento. L c L t P, ρ,v P, ρ P, ρ lenum comressore valvola Si assuma che il diametro del condotto d uscita sia molto minore del diametro del lenum e er questo il sistema ossa essere descritto come un risonatore di Helmholtz. Questa assunzione imlica che tutta l energia cinetica dell oscillazione è associata al moto del fluido nei condotti del comressore e della valvola e che l energia otenziale è associata alla ressione del gas nel lenum. Il modello sviluato vale er sistemi di comressione che hanno bassi numeri di Mach all ingresso e incrementi di ressione ridotti risetto alla ressione ambiente. Il comressore è simulato come un disco attuatore er tenere conto dell aumento di ressione e come un condotto di area costante er tenere conto della fluidodinamica. La stessa assunzione è fatta er la valvola benché entrambi i disositivi non abbiano area costante. Il fluido elaborato è considerato incomrimibile, con densità ari a quella ambiente, dato che il fenomeno del surge ha una frequenza di oscillazione bassa. Per ogni istante la velocità assiale è considerata costante in ogni condotto. 1

2 La lunghezza dei condotti equivalenti è determinata in modo che un dato cambiamento della ortata rovochi il medesimo cambiamento di ressione che avviene nel condotto reale, mentre l area è scelta ari ad un area caratteristica del condotto reale. Detta quindi s una coordinata curvilinea lungo l asse del condotto, deve valere la relazione L A eq ds = A reale () s (G.1) Equazioni costitutive del modello. Le equazioni sulle quali si basa il modello sono le seguenti: ( P P ) dc x + C = ρlc (G.) che uò essere riscritta in termini di ortate in massa come Lc dm& c P + C = (G.3) A c L Eq. (G.3) raresenta il bilancio della quantità di moto nel condotto del comressore. Analogamente er il condotto della valvola ( throttle ) si uò scrivere Lt dm& t P F = (G.4) A t Poiché le dimensioni del lenum sono molto minori della lunghezza d onda di un onda acustica associata al surge (che è infatti in genere caratterizzato da una bassa frequenza), si uò considerare che la ressione al suo interno sia uniforme in ogni istante. L equazione di continuità scritta er il lenum è quindi dρ m& c m& t = V (G.5) Considerando una trasformazione isoentroica si uò scrivere

3 dρ ρ dp = (G.6) γp Avendo assunto che gli incrementi di ressione (e quindi di densità) siano iccoli (così che T ~T), si uò scrivere: ρ P ~ ρ = (G.7) P mediante l utilizzo dell Eq. (G.6), l Eq. (G.5) diventa ρv dp m& c m& t = (G.8) γp Le curve di restazione che forniscono l aumento di ressione nel comressore in funzione della ortata elaborata sono rilevate serimentalmente in maniera stazionaria. Durante i transitori queste curve non valgono e quindi uò essere utilizzato un temo di ritardo er la lettura della maa, come esresso nell Eq. (G.9). dc τ = ( C C) (G.9) ss Il significato fisico dell Eq. (G.9) è che se il temo di ritardo è grande, sono sufficienti iccole variazioni del raorto di comressione er avere grandi differenze fra i valori del raorto di comressione stesso in condizioni stazionarie e non-stazionarie. Il temo di ritardo uò oi essere osto in relazione alla velocità di rotazione del comressore (mediante la velocità eriferica ) come nell Eq. (G.10), dove N raresenta un coefficiente di roorzionalità. N πr τ = (G.10) Il significato fisico dell Eq. (G.10) è che il temo di ritardo diminuisce al crescere della velocità eriferica, cioè er valori elevati della velocità eriferica il sistema si orta a regime in un temo minore. 3

4 La caduta di ressione nella valvola uò essere descritta mediante la seguente equazione: 1 = (G.11) F ρc xt e in termini di ortate in massa F m& t ρat = (G.1) Le equazioni vengono oi adimensionalizzate: ortate in massa, ressioni e temo sono risettivamente divise er frequenza di Helmholtz definita come 1 ρ Ac, ρ ed ω 1, dove ω è la Ac ω = a (G.13) V Lc dove a raresenta la velocità del suono. Riassumendo, il sistema di equazioni differenziali ordinarie, adimensionalizzate a artire risettivamente dalle Eq. (G.3), (G.4), (G.8) e (G.9), diviene d m ~ & c ~ = B C ~ dm ~ & t ~ B = G ( P ~ ) ( P ~ F ~ ) (& & ) d P ~ 1 ~ = m ~ c m ~ t B dc ~ 1 ~ ~ = τ ( C ~ C ~ ) ss Si riconoscono tre arametri adimensionali: B, G e τ ~. (G.14) (G.15) (G.16) (G.17) B = ω Lc = a V Ac Lc (G.18) Lt Ac Lc At G = (G.19) 4

5 ~ πnrω πr N τ = = Lc B (G.0) Il sistema alle derivate ordinarie comosto dalle Eq. (G.14-17) accoiato con l Eq. (G.1) adimensionalizzata ed alle mae di restazioni adimensionalizzate è ciò che deve essere risolto al fine di redire il comortamento dinamico del comressore. F ~ Ac m ~ & t At = (G.1) Simbologia adottata a A c A t C C ss C x F L c L t m P P R V γ velocità del suono area del condotto del comressore area del condotto della valvola incremento di ressione nel comressore incremento di ressione nel comressore in condizioni stazionarie velocità assiale caduta di ressione nella valvola lunghezza del condotto del comressore lunghezza del condotto della valvola massa ressione ambiente ressione nel lenum raggio caratteristico del comressore velocità eriferica volume del lenum raorto tra il calore secifico a ressione costante e quello a volume costante 5

6 ρ densità ω frequenza di Helmholtz P =P -P Sorasegni ortata ~ grandezza adimensionalizzata Pedici C comressore P lenum t valvola (throttle) 6