TERMOFLUIDODINAMICA FLUIDI COMPRIMIBILI ED INCOMPREMIBILI FLUIDI BIFASE PROF. ING. GIULIANO CAMMARATA LUIGI CAMMARATA

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1 TERMOFLUIDODINAMICA FLUIDI COMPRIMIBILI ED INCOMPREMIBILI FLUIDI BIFASE LUIGI CAMMARATA 06

2 TERMO-FLUIDODINAMICA i FILE: TERMOFLUIDODINAMICA.doc AUTORI: PC E LUIGI CAMMARATA DATA: AGOSTO 06 gcamma@diim.unict.it cammaratagiuliano@tin.it Il resente volume uò essere liberamente coiato e diffuso dagli utenti er uso didattico e a condizione che rimangano invariati i riferimenti sora indicati.

3 TERMO-FLUIDODINAMICA ii INTRODUZIONE Le moderne macchine er generazione di otenza meccanica si basano semre iù sulle turbine, sia a vaore che a gas. Queste sono organi di notevole comlessità rogettuale che coinvolge numerosi disciline quali la Fisica Tecnica, le Macchine e la Fluidodinamica. La Meccanica dei Fluidi è storicamente imostata come Idraulica con nome aarentemente cambiato e non core gli argomenti relativi ai fluidi comrimibili e quindi tiici della Fluidodinamica. In questo breve ouscolo si desidera affrontare alcuni dei concetti fondamentali della Fluidodinamica necessari er le alicazioni imiantistiche e macchinistiche. Si affronteranno, ertanto, i roblemi della comrimibilità dei fluidi e dei loro effetti nel moto in condotti a sezione variabile (equazioni di Hugoniot) e a sezione costante. Sono interessanti i moti di Fanno e di Raileigth e i concetti di arametri di attrito e di lunghezza massima nel moto dei fluidi comressibili. Si lasciano fuori da questa trattazione tutti gli altri (numerosi) roblemi di fluidodinamica che interessano altri cami dell Ingegneria (quale, ad esemio, aeronautica e/o saziale). Gli argomenti qui selezionati, quindi, sono il minimo indisensabile er la moderna formazione di un ingegnere meccanico e trovano immediata alicazione nei corsi di Macchine ed Imianti. Si osserva subito che gli argomenti trattati richiederebbero da soli interi corsi annuali. Tuttavia, data la natura del Corso, si sono sviluati solamente gli argomenti ritenuti fondamentali rimandando l arofondimento ai testi in letteratura. Catania /08/06.

4 TERMO-FLUIDODINAMICA FLUIDI COMPRIMIBILI I fluidi comrimibili sono utilissimi er le alicazioni ingegneristiche, secialmente nei motori a turbina e in Aerodinamica. Il loro comortamento varia notevolmente risetto ai fluidi incomribili, quale ad esemio l acqua, a velocità elevate... INTRODUZIONE AL MOTO MONO E BIDIMENSIONALE Le grandezze fisiche che caratterizzato il moto di un mezzo fluido variano, in generale, tridimensionalmente ertanto elaborare una teoria del moto a tre variabili euleriane risulta di enorme comlessità anche nell iotesi di regime stazionario. Sovente si fa riferimento allo studio del deflusso bidimensionale scegliendo con oortuno criterio la giacitura del iani di riferimento in modo che le variazioni del comortamento del fluido lungo la terza dimensione siano trascurabili. Frequentemente quanto detto risulta ossibile o tutt al iù si rende necessaria qualche correzione da aortare ai risultati lungo la dimensione trascurata; diversamente si uò interretare il fenomeno su iù iani aralleli interolando oi i risultati a quote intermedie, così facendo il moto viene a erdere una dimensione, e quindi una variabile euleriana, cosicché le variazioni delle grandezze fisiche caratterizzanti il moto del fluido vengono considerati solo lungo le linee di corrente e erendicolarmente ad esse. Tutte le volte che le variazioni del comortamento del fluido in direzione erendicolare alle linee di corrente non sono rilevanti di uò fare riferimento alla teoria monodimensionale del deflusso salvo, anche in questo caso, ad aortare oortune correzioni di tio bidimensionale; è PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

5 TERMO-FLUIDODINAMICA in genere lecito ricorrere a questa semlificazione nel moto lungo i condotti, semre a condizione che le dimensioni trasversali siano iuttosto iccole risetto alla lunghezza del condotto stesso e ciò equivale a suorre che lungo le linee di corrente congruenti i fenomeni avvengano identicamente, in tale iotesi è sufficiente studiare quel che avviene lungo la linea mediana dell efflusso (sesso coincidente con l asse del condotto) er oi estraolare i risultati, eventualmente corretti, a tutte le altre linee di corrente. La teoria monodimensionale imlica nel regime stazionario una sola variabile euleriana e si resenta semlice ed efficace, caace di fornire una visione essenziale dei fenomeni; occorre erò dire che essa si resenta concettualmente insufficiente in quanto nel moto di un fluido non uò essere trascurata l esistenza degli attriti i quali roducono variazioni di quantità di moto che sono causa di indesiderate distribuzioni di velocità nella direzione normale a quella del deflusso. D altra arte le forze d attrito, avendo carattere decisamente non conservativo, non sono funzione della sola osizione er cui, anche nel regime stazionario, non sono direttamente valutabili alla maniera euleriana ne tanto meno a quella lagrangiana ne consegue che entrambi i criteri di analisi cinematica debbano limitarsi in ratica, ur mantenendo il loro rigore, al solo studio dei moti ideali. Tale limitazione uò essere tuttavia suerata mediante certi artifici consistenti nel considerare a otenziale, lungo la regione interessata al deflusso, anche le forze di attrito valutandone globalmente, e serimentalmente, il lavoro dissiato. Ma se tale criterio uò essere accettato ai fini del bilancio energetico esso non si resta a definire con semlicità i riflessi degli attriti sulla distribuzione delle velocità cosicché l artificio rimane valido solo a condizione di limitare il camo di moto ad un esiguo tubo di flusso (che al limite degeneri in una linea di corrente) su ogni sezione del quale la velocità ossa ritenersi costante. Questa è robabilmente la ragione che orta a definire euleriana la teoria monodimensionale del deflusso mentre in realtà il criterio euleriano è di carattere generale in quanto si estende alle tre dimensioni dello sazio; in effetti solo in forma monodimensionale il metodo euleriano risulta alicabile, quando si tratta di deflusso con attrito, in virtù della redetta ossibilità di valutare, sia ure er via emirica, il lavoro dissiato in funzione della successione delle velocità nel camo di moto. Facendo riferimento al gas erfetto, arossimazione valida er gas a media e bassa densità, viene qui reso in esame il moto monodimensionale con e senza attrito nei deflussi interni er i quali le variazioni di densità sono della massima imortanza er individuare la natura della corrente; questo modello fisico anche se, come già detto, sembra iuttosto limitato arossima molto bene la realtà di molte correnti fluide. L iotesi di monodimensionalità resuone quindi che tutte le grandezze fisiche interessate (ressione, densità, temeratura, velocità, ecc.) abbiano distribuzione uniforme in qualsiasi sezione del condotto... COMPRIMIBILITÀ ED ESPANSIONE La variazione volumetrica di un fluido influisce sull andamento del moto in maniera alquanto comlessa ed anche nel deflusso in condotti cilindrici, dove er fluidi a densità costante il moto uò essere considerato mediamente uniforme, i cambiamenti di densità fanno variare la velocità anche lungo la direzione di avanzamento; rorio queste variazioni di densità e velocità sono quelle che determinano la necessità di una trattazione di tale deflusso distinta da quella svolta er i fluidi incomrimibili in quanto in tale circostanza il camo dinamico e quello termico interagiscono mutuamente. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

6 TERMO-FLUIDODINAMICA 3 Lo studio del comortamento di un fluido comrimibile in moto necessita ertanto della conoscenza dell equazione cinetica di stato e quella del rocesso termodinamico resonsabile della variazione volumetrica suddetta. Viene qui dedicata articolare attenzione ad deflusso adiabatico, sia nei condotti a sezione variabile che in quelli cilindrici, visto che nella gran arte dei roblemi tecnici è quello che resenta interesse maggiore; viene erò anche analizzato il moto isotermo nei condotti cilindrici anche se la realizzazione di tale deflusso, come si avrà modo di vedere, uò avvenire solo a articolari condizioni. E noto dalla Termodinamica che lo stato fisico di una sostanza ura ed omogenea è descritto attraverso l equazione: f (, v, T) 0 [.] oure in forma eslicita da una delle equazioni: v v (, T ) le quali differenziate divengono: ( v, T ) T T (, v) ovvero in termini di variazione relativa: [.] v v dv dt d T T d dt dv T v v T T dt dv d v v dv v v dt v v T v T T v d d dt dv T v v T dt dv d T T v T T T che ossono essere scritte nella forma: dv dt T d v d dt dv v nelle quali il termine: dt dv T T T T d [.3] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

7 TERMO-FLUIDODINAMICA 4 v v T [.4] rende il nome di coefficiente di esansione isobara ed esrime la variazione relativa di volume secifico al variare della temeratura in un rocesso a ressione costante; il termine: v T v T viene denominato coefficiente di comrimibilità isoterma, esso indica la variazione relativa di volume secifico al variare della ressione in un rocesso a temeratura costante; inoltre: [.6] T v raresenta il coefficiente di tensione isovolumico ed esrime, in una trasformazione a volume costante, l effetto della temeratura sulla ressione. Tale coefficiente e quello di esansione isobara sono in generale funzioni della ressione e della temeratura. Le [.3] costituiscono le equazioni differenziali di stato relative ad un fluido qualsiasi allo stato termodinamico monofase. I coefficienti termodinamici sora definiti non sono indiendenti tra loro, infatti tenuto conto che er una funzione del tio (.) si uò scrivere: ovvero anche: v T v T T v v T v T T v [.5] e quindi dalle (.4), (.5) e (.6) si ottiene: [.7] T relazione che consente il calcolo di uno dei coefficienti noti che siano gli altri due. Se il fluido in esame è un gas erfetto er i coefficienti esansione e di tensione si scrive: il che equivale a scrivere: RT R v T v RT R T v v [.8] T ossia tali coefficienti sono indiendenti dalla ressione. v Sesso detto anche coefficiente di dilatazione cubica dei materiali. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

8 TERMO-FLUIDODINAMICA 5 Integrando la rima delle [.3] lungo un rocesso isobaro e la seconda lungo un rocesso isovolumico si ottiene risettivamente: T v v0 ex dt T0 T 0 ex dt T0 si osserva che se l intervallo di temeratura non è grande i coefficienti e ossono ritenersi con buona arossimazione costanti ertanto le suddette relazioni divengono: v v ex T T 0 0 ex T T 0 0 [.9] inoltre sviluando in serie e trascurando i termini di ordine sueriore si uò scrivere: v v T T 0 0 T T 0 0 [.0] come temeratura iniziale si uò considerare quella del ghiaccio fondente ari a 73,5 K. Per grandi intervalli di temeratura le suddette esressioni ossono ancora essere ritenute valide a condizione che e siano da intendere come valori medi lungo tali intervalli. Semre nel caso di gas erfetto er il coefficiente di comrimibiltà isotermo si ha: ovvero anche: T RT RT v v T T [.] esso quindi non diende dalla temeratura. La comrimibilità di un fluido uò anche avvenire isoentroicamente, in tal caso dalle equazioni del rimo e secondo rinciio della termodinamica risulta: du dv 0 ovvero nella forma equivalente: quindi effettuando il raorto: e scrivendo nella forma: s dh v d s s s 0 u h v v s s h s h v v u u s s v s v h v u s s PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

9 TERMO-FLUIDODINAMICA 6 si uò definire un altro coefficiente termodinamico di variazione volumetrica dato dalla: v s v s [.] denominato coefficiente di comrimibilità isoentroica il quale raresenta la variazione di volume secifico al variare della ressione in un rocesso ad entroia costante; tale coefficiente, come si avrà modo di vedere oco iù avanti, è legato alla velocità di roagazione delle onde di ressione in un mezzo fluido. Pertanto la relazione: h [.3] u s s raresenta l equazione differenziale di una trasformazione isoentroica, nota dalla termodinamica, ed esrime la variazione delle rorietà calorifiche, entalia ed energia interna, del fluido in funzione delle sue rorietà termiche, ressione e volume secifico, in un rocesso isoentroico. La quantità: h k u raresenta aunto l esonente dell isoentroica, sicché er un fluido qualsiasi il coefficiente di comrimibilità isoentroico assume la forma: s [.4] k se il fluido è un gas erfetto risulta: h dh c k u du c ertanto la [.4] diviene: s s v s [.5] k e dal confronto con la [.] ne risulta: T k [.6] s ossia il coefficiente adiabatico k è dato dal raorto tra i due coefficienti di comrimibilità isotermo ed isoentroico, risettivamente. Si osserva altresì che la suddetta esressione, come si uò dimostrare, ha validità anche er un fluido qualsiasi. I gas hanno la tendenza a comrimersi molto iù elevata risetto a quella dei liquidi, in condizioni standard di ressione e temeratura risulta dell ordine di 0-5 m²/n. I liquidi oongono maggiore resistenza alle azioni che tendono a comrimerli. Integrando la rima delle [.3] er un rocesso isotermo si ottiene: v v0 ex T d 0 anche qui considerando non eccessivo l intervallo di ressione si uò scrivere: v v0 ex T 0 [.7] quindi sviluando in serie e trascurando i termini di ordine sueriore al rimo si ha: s PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

10 TERMO-FLUIDODINAMICA 7 Per i liquidi iù comuni v v0 T 0 [.8] T 9 è dell ordine di 0 m / N, in articolare nel caso dell acqua, 0 alle medesime condizioni di ressione e temeratura, esso vale circa 5 0 m / N ossia ventimila volte iù iccolo del corrisondente valore che comete al gas, di conseguenza atteso il iccolo valore di dalla [.8] si deduce che il valore di v è raticamente coincidente con quello di e ciò consente di considerare i liquidi come fluidi incomrimibili. Tuttavia anche i gas v 0 T ossono essere trattati allo stesso modo dei liquidi tutte le volte che il loro movimento non comorta sensibili variazioni di ressione. L iotesi di incomrimibilità orta ovviamente ad una fondamentale semlificazione negli svilui analitici e fornisce al temo stesso risultati di comleta attendibilità er molti roblemi ratici. Non si deve erò dimenticare che il fluido incomrimibile costituisce una semlice astrazione, analoga a quella del coro rigido; in un fluido reale e er rocessi isotermici ad ogni variazione di ressione si associa una variazione dell energia otenziale elastica connessa ai corrisondenti cambiamenti di volume e tale variazione di energia equivale al lavoro meccanico comiuto dalle ressioni esterne sulla suerficie di contorno durante la variazione volumetrica. L iotesi di incomrimibilità resuorrebbe che la ressione del fluido otesse variare indiendentemente da un effettivo lavoro delle ressioni esterne; assume ertanto una certa imortanza stabilire entro quali limiti è effettivamente lecito ammettere l incomrimibilità dei fluidi..3. VELOCITÀ DEL SUONO E NUMERO DI MACH Si consideri un tubo cilindrico nel quale un istone viene sostato con un imrovviso movimento immediatamente vicino al istone un aumento di ressione il quale non si manifesta all istante in tutti i unti del condotto, essendo il fluido dotato di inerzia e di elasticità, bensì si roaga, verso destra, con velocità c; tale velocità di roagazione di questa erturbazione rovocata nel fluido viene denominata velocità del suono. x da sinistra verso destra; a seguito di tale sostamento si viene a generare nel fluido dw d d c a c - dw c.b Figura PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

11 TERMO-FLUIDODINAMICA 8 Per otere determinare questa velocità si consideri un riferimento solidale con l onda di ressione, in tal caso il fluido scorre da destra verso sinistra e assando attraverso il fronte d onda la sua velocità assa dal valore c al valore. Nell iotesi che il fluido si muove di moto stazionario risetto al riferimento solidale col fronte d onda alicando l equazione di bilancio di quantità di moto in due sezioni immediatamente a monte ed a valle di questo si ha: c d ( d )( c dw) c dw e trascurando infinitesimi di ordine sueriore si uò scrivere: d c d c dw Alicando inoltre l equazione di bilancio di massa si scrive: c ( d)( c dw) che diviene: c d dw e sostituita nella recedente fornisce: d c d c d dalla quale si ottiene: c d d [.9] Se si tiene conto che la velocità di roagazione delle vibrazioni sonore nel mezzo fluido è molto grande nessuno scambio di calore, anche se iccolo, riesce a rodursi nelle zone di comressione e di deressione dell onda da una arte ed il mezzo dall altra cosicché le vibrazioni del mezzo dovute alla roagazione dell onda si ossono considerare adiabatiche ed isoentroiche, ertanto la [.9] deve essere scritta: c s [.0] nota come equazione di Lalace. L iotesi che ha condotto alla [.0] è che l eccesso di ressione sia iccolo, al limite infinitesimo; in realtà si dimostra che non essendo tale incremento infinitesimo la velocità di roagazione effettiva esressione, ovvero si verifica che c' c er incrementi di ressione ositivi e viceversa er incrementi negativi. Il valore di c calcolato con la [.0] viene anche denominato velocità del suono di frequenza zero, infatti quando le vibrazioni sonore di frequenza sufficientemente alta si roagano in un mezzo fluido l iotesi sulla loro natura isoentroica cessa di essere valida, er tali situazioni la velocità del suono diende anche dalla frequenza. Tuttavia er un intervallo di frequenze che resentano ratico interesse l equazione di Lalace fornisce valori di c che, a meno di qualche centesimo di ercento, coincidono con i dati serimentali. Esrimendo la [.0] in termini di volume secifico si ha: e tramite la [.4] si ottiene: c v v s s c ' differisce dal valore fornito dalla suddetta v c [.] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

12 TERMO-FLUIDODINAMICA 9 Se il fluido è un gas erfetto, tenuto conto dell equazione di stato, la suddetta relazione diviene: c k R T [.] la velocità del suono diende in tal caso dalla sola temeratura, mentre in un gas reale c è funzione anche della ressione. Osservando la [.0] si deduce che ammettere l incomrimibilità equivale ad assegnare valore infinito alla velocità del suono, ciò significa che ogni iccola variazione di ressione rovocata in un unto qualsiasi della massa fluida venga istantaneamente risentita in tutti gli altri unti. Nell esemio citato il fluido è comrimibile er cui esso non si sosta subito alla velocità del istone, come ciò invece avrebbe luogo se al osto del fluido il istone singesse un cilindro di metallo. Affinché l iotesi di incomrimibilità non dia luogo a contraddizioni troo evidenti le dimensioni della massa fluida devono essere abbastanza limitate in modo tale da otere ritenere trascurabile il temo effettivamente necessario er la trasmissione delle variazioni di ressione fino ai unti iù lontani, oure tali variazioni risultino così lente e graduali ed il temo redetto sia brevissimo. Nel caso di liquidi sarà allora necessario mettere in conto la comrimibilità nello studio dei fenomeni che riguardano l inizio e l arresto del movimento entro lunghi condotti (colo d ariete) e non se ne otrà rescindere nemmeno nel caso di condotti brevi quando l avviamento o l arresto del moto avvengono in un intervallo di temo estremamente breve. La comrimibilità deve sorattutto essere resa in considerazione allorquando il fluido acquista velocità che si avvicina al valore di c, ciò si verifica con relativa frequenza nei rocessi gasdinamici ed aerodinamici sia erché la velocità del suono negli aeriformi è assai minore di quella che comete ai liquidi (da un quarto ad un quinto, circa, di quella dell acqua) e sia erché in seno all aria è iù facile raggiungere velocità di trasorto molto elevate. L esistenza di questa velocità di roagazione è resonsabile di una fondamentale distinzione tra il regime subsonico (w < c) ed il regime suersonico (w > c), tale distinzione si rende necessaria in quanto il comortamento termodinamico del fluido nei due regimi di moto è assai diverso. Si consideri a tal roosito una corrente fluida in moto a sia w la velocità in un unto qualsiasi in corrisondenza del quale lo stato termodinamico è caratterizzato dai valori di,v,t ; allora il raorto adimensionale: w M [.3] c viene denominato numero di Mach e sta ad indicare il raorto tra la velocità del fluido in un unto, in un dato stato termodinamico, e la velocità del suono nel medesimo unto e allo stesso stato; ertanto il regime di deflusso di un fluido, al variare della velocità, viene così classificato: M < regime subsonico M = regime sonico M << regime incomrimibile M > regime suersonico PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

13 TERMO-FLUIDODINAMICA 0 M >> regime iersonico Come visto solo er (in ratica all incirca l iotesi di incomrimibilità; er valori elevati della velocità w non si uò trascurare lo stato termodinamico del fluido il quale sarà sottoosto ad esansioni e comressioni. M.4. STATI TERMODINAMICI PARTICOLARI M 0,3 ) si uò ritenere accettabile E noto che i valori di,v,t individuano lo stato termodinamico di un fluido e questa terna di grandezze in un unto qualsiasi, in corrisondenza del quale il fluido è dotato di velocità w, raresenta uno stato termodinamico generico comunemente chiamato stato locale; questo stato non mette in evidenza nessun articolare circa il comortamento fisico del fluido. Si consideri adesso un deflusso adiabatico senza scambio di lavoro e con variazione di energia otenziale trascurabile; alicando l equazione di bilancio energetico fra uno stato locale (h,w) ed uno stato ( h0, w0 0) risulta: h 0 w h [.4] questo stato fisico articolare viene denominato stato di ristagno ovvero anche stato di arresto adiabatico ed raresenta l entalia di ristagno ossia quel valore di entalia che il h 0 fluido avrebbe se a artire da condizioni locali fosse ortato adiabaticamente fino alla condizione di velocità nulla. Se ( h, w) e ( h, w ) sono due stati locali e se il fluido scambia calore l equazione di bilancio energetico, tenuto conto della recedente, si uò scrivere: w w q h h h h 0 0 [.5] dalla quale si osserva che l entalia di ristagno rimane costante se non vi è scambio di calore con l esterno, anche in resenza di fenomeni dissiativi; essa aumenta, o diminuisce, nel caso di somministrazione, o sottrazione, di calore al fluido. L entalia di ristagno è quindi una grandezza raresentativa del contenuto energetico del fluido, rescindendo dall effettiva utilizzazione di tale energia al fine di ottenere lavoro. Nel caso di gas erfetto la [.4] diviene: T 0 w T [.6] c che raresenta la temeratura di ristagno, definita in maniera analoga a quanto fatto er l entalia; in tal caso dalla [.5] si ha: q c T T [.7] 0 0 ertanto anche la temeratura di ristagno è raresentativa del contenuto energetico er un gas erfetto e varia solo se vi è scambio di calore con l esterno. In un deflusso adiabatico si ha semre: h cos t. T cos t. Scrivendo la [.6] nella forma: 0 0 PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

14 TERMO-FLUIDODINAMICA T0 w k w T c T krt e quindi er le [.] e [.3] risulta: T0 k M [.8] T ossia er un dato gas il raorto tra la temeratura di ristagno e quella locale è funzione del numero di Mach. Inoltre essendo: dalla [.8] si ottiene: 0 k T T 0 0 M k k k k [.9] che raresenta la ressione di ristagno, ossia quella ressione che il gas avrebbe se artendo da condizioni locali (,w) fosse ortato isoentroicamente fino alla condizione di velocità nulla. Facendo riferimento all equazione di bilancio energetico in forma meccanica e trascurando ancora variazioni di energia otenziale si uò scrivere: w w d lr 0 e suosto che gli estremi di integrazione siano due stati di ristagno tale esressione diviene: 0 d0 lr [.30] 0 0 tale eguaglianza è dovuta al fatto che calcolare l integrale suddetto nelle condizioni di ristagno equivale ad eseguire il calcolo considerando, ad ogni asso di integrazione, ressione e densità nelle condizioni di ristagno. Nel caso di gas erfetto e se questo non scambia calore la [.30] si scrive: 0 d0 0 lr RT0 RT0ln [.3] 0 dalla quale risulta: l R ex RT0 [.3] ertanto nel moto adiabatico la ressione di ristagno non è una costante, lo diviene solo che il deflusso avviene isoentroicamente, ovvero: l 0 R sicché la ressione di ristagno è una grandezza raresentativa del contenuto entroico del gas e quindi dalla sua caacità di trasformare in lavoro meccanico l energia osseduta. Essendo inoltre: T T 0 0 k PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

15 TERMO-FLUIDODINAMICA ancora dalla (.8) risulta: k 0 M k [.33] si ottiene la densità di ristagno, definita allo stesso modo della ressione di ristagno e come tale è una costante solo nel deflusso isoentroico. In questo caso sarebbe: k k T T ed essendo costante la temeratura di ristagno sarà anche: Le equazioni [.8], [.9] e [.33] dimostrano che nel caso di deflussi adiabatici reversibili esiste un legame univoco tra il numero di Mach ed i raorti fra le grandezze termodinamiche locali e quelle di ristagno. Si uò concludere che lo stato di ristagno costituisce uno stato di arresto adiabatico er entalia e temeratura mentre er ressione e densità esso è uno stato di arresto isoentroico. Si faccia ancora riferimento alla [.6] che uò essere messa nella forma: ovvero anche: w krt krt0 k k w c c0 k k [.34] dalla quale si osserva che la velocità locale del gas diminuisce all aumentare della velocità del suono e viceversa; da qui si deduce che in corrisondenza di un dato unto, caratterizzato da un dato stato termodinamico, le due velocità hanno eguale valore sicché: w c w c in tale stato il numero di Mach diviene unitario ed il valore comune alle due velocità vale: wc c 0 k [.35] che rende il nome di velocità critica. Essendo noto lo stato di ristagno la temeratura critica si uò determinare dalla [.8], sicché: Tc k T0 [.36] ed è ovvio che tale valore da solo non è sufficiente a definire uno stato termodinamico, sono necessari i valori di ressione e densità er i quali, come si è visto, si rende necessaria la condizione di isoentroicità del deflusso; ertanto dalla [.9] si erviene alla: e dalla [.33] si ha: c k 0 k c 0 k k k [.37] [.38] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

16 TERMO-FLUIDODINAMICA 3 Queste ultime tre equazioni individuano lo stato termodinamico corrisondente alla condizione di Partendo da uno stato locale (,, T, w) combinando le suddette relazioni con le [.8], [.9] e [.33] si uò scrivere: k Tc T M k k M che viene così denominato stato critico. k c M k k k c M k k k k k [.39] lo stato critico isoentroico è ertanto uno stato termodinamico corrisondente alla condizione Essendo il deflusso isoentroico i valori di sono costanti in ogni unto del camo M ottenuto a artire da condizioni locali o di ristagno. Tc, c, c di moto. Questo articolare stato termodinamico è fondamentale nello studio dell efflusso dei gas lungo i condotti a sezione variabile (ugelli e diffusori) nei quali, come si avrà modo di vedere qui di seguito, sia er geometria sia er condizioni di moto l entroia si uò ritenere costante, almeno in rima arossimazione. Dalla [.34] si osserva che nel moto isoentroico la velocità ha un limite sueriore che si ottiene allorquando la velocità locale del suono diviene nulla, in caso si uò scrivere: w c max 0 k [.40] questa velocità in ratica sarebbe realizzata solo allo zero assoluto di temeratura in corrisondenza del quale l entalia del gas sarebbe totalmente trasformata in energia cinetica; tale valore in condizioni isoentroiche non uò quindi essere raggiunto. Facendo riferimento alla [.40] la [.34] assume la forma: w w c [.4] c max 0 la quale mostra come tutti i ossibili regimi di moto sora descritti er un gas erfetto giacciono su un ellisse di assi ( wc, ), come è illustrato nella Figura. c c 0 M M M M M w max w Figura PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

17 TERMO-FLUIDODINAMICA 4.5. FATTORE DI COMPRIMIBILITÀ Si faccia riferimento all equazione energetica er un fluido incomrimibile la quale, trascurando variazioni di energia otenziale e le resistenze er attrito, si scrive: essendo 0 w 0 0 la ressione di ristagno del fluido; scrivendo tale equazione nella forma: w [.4] 0 si osserva che la ressione dinamica del fluido si identifica come differenza tra la ressione di ristagno e quella locale; non si uò dire altrettanto nel caso di un fluido comrimibile. Si consideri infatti il raorto: 0 fk [.43] w che viene denominato fattore di comrimibilità, da esso si deduce che se il fluido è incomrimibile si ha mentre se il fluido è comrimibile deve essere e ertanto si ha: f k w [.44] 0 f Al fine di valutare la differenza di ressione 0 si consideri un gas erfetto che si muove isoentroicamente, in tal caso si uò scrivere: di conseguenza la [.43] diviene: e quindi er la [.9] risulta: f k f w k M k k M 0 k k k M km [.45] ertanto er un dato gas, ovvero er un assegnato valore di k, il fattore di comrimibilità è funzione del solo numero di Mach locale. Sviluando in serie binomiale il termine in arentesi si uò scrivere: e la [.45] diviene: k k k k k k( k) M M M M O( M ) 8 48 M k 4 6 fk M O( M ) [.46] 4 4 sicché dalla [.43] si ottiene la differenza di ressione richiesta, ossia: k PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

18 TERMO-FLUIDODINAMICA 5 w M k M O( M ) 4 [.47] Se il moto del gas è lontano dal regime sonico, ossia er M, i termini alla seconda ed alla quarta otenza delle ultime due relazioni divengono iccolissimi di conseguenza dalla [.46] risulterebbe che, ossia il fluido si uò considerare incomrimibile, mentre la si f k identificherebbe con la [.4]. Tale risultato risulta alquanto significativo, il deflusso adiabatico dei gas attorno ad oggetti e lungo i condotti si uò ritenere incomrimibile finché il numero di Mach è iccolo, M 0,3 circa, ottenendo così nel modello a densità costante una indubbia semlificazione di calcolo. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

19 TERMO-FLUIDODINAMICA 6 MOTO ADIABATICO IN CONDOTTI A SEZIONE VARIABILE Allorquando i fluidi si comortano come comrimibili si hanno interessanti comortamenti er il loro moto all interno di condotti a sezione variabile che qui si resentano.. MOTO ISOENTROPICO: VELOCITÀ E PORTATA SPECIFICA Nello studio dei condotti a sezione variabile il roblema che in ratica si one è quello di analizzare la loro conformazione e le condizioni oerative necessarie al fine di ottenere mentre il fluido scambia lavoro, ed eventualmente calore, che esso subisca determinate trasformazioni; viceversa di individuare le trasformazioni che il fluido subisce nell attraversare un condotto di forma assegnata ed in determinate condizioni. I condotti che vengono qui esaminati sono suddivisi in due classi fondamentali dove il fluido segue un comortamento totalmente diverso, si definisce infatti: - ugello un condotto che, a rescindere dalla sua forma geometrica, consente di ottenere un incremento della velocità a sese di una diminuzione di ressione e densità; - diffusore un condotto che, rescindendo dalla forma geometrica, consente di realizzare una diminuzione della velocità a vantaggio di un aumento di ressione e di densità. Si vedrà nel rossimo aragrafo che la modalità del deflusso in questi articolari condotti diende esclusivamente dal regime di artenza della corrente fluida ur conservando la stessa geometria. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

20 TERMO-FLUIDODINAMICA 7 Si consideri allora un fluido che viaggia in regime stazionario in un condotto a sezione variabile er il quale siano risettate le seguenti iotesi: - areti termicamente isolate, - non vi sia scambio di lavoro meccanico, - le variazioni di energia otenziale dovute al camo gravitazionale siano trascurabili, - deflusso monodimensionale. La rima iotesi è senz altro verificata in quanto trattandosi di condotti corti ed avendo a che fare con velocità elevate ne risulta che la quantità di calore scambiata attraverso le areti è molto iccola ed in ratica quasi semre trascurabile, la terza iotesi si ritiene accettabile aunto erché le alte velocità danno luogo a variazioni di energia cinetica molto grandi risetto e quelle di energia otenziale, anche la quarta iotesi si ritiene valida se il condotto è ad asse rettilineo o comunque oco incurvato di modo che i filetti fluidi siano aralleli e diretti secondo l asse. La seconda iotesi non viene er il momento resa in considerazione. Sotto le suddette condizioni l equazione di bilancio di energia nella forma termodinamica si scrive: dalla quale si ricava: w w h h 0 w w h h [.] che consente la determinazione della velocità del fluido in una sezione generica del condotto a artire da uno stato locale noto, caratterizzato dai valori ( h, w ), e viene denominata velocità adiabatica; mentre l equazione di bilancio di energia nella forma meccanica si scrive: dalla quale risulta: w w d l R 0 d w w l R [.] che consente di determinare la velocità in una generica sezione del condotto a artire dallo stato locale noto caratterizzato dai valori (, w ). Le equazioni [.] e [.] sono di carattere generale nel senso che sono valide er qualsiasi fluido, anche se er dare forma risolutiva alla seconda sono necessarie la conoscenza del rocesso termodinamico e del lavoro delle forze d attrito altrimenti il roblema risulta due volte indeterminato. Se il condotto, ugello o diffusore, è convenientemente breve e la suerficie lambita dal fluido è ben levigata la trasformazione si uò considerare raticamente reversibile in quanto il termine l R diviene iuttosto iccolo risetto al valore che assume l energia cinetica nella sezione finale e ertanto uò essere considerato trascurabile, almeno in rima arossimazione, di conseguenza la (.) diviene: d w w [.3] Si uò dire ertanto che la [.] è valida nel caso di rocesso reversibile ed irreversibile ma necessariamente adiabatico mentre la [.3] è alicabile a qualunque rocesso urché PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

21 TERMO-FLUIDODINAMICA 8 necessariamente reversibile il quale se è anche adiabatico la suddetta esressione viene denominata velocità isoentroica. Facendo riferimento alla [.] e se il fluido è un gas erfetto si uò scrivere: w w c T T ovvero anche: k T w w RT k T e tenuto conto sia dell equazione di stato che l equazione di trasformazione in funzione di ressione e temeratura si ottiene: w w RT k k k k ovvero la velocità isoentroica del gas erfetto; è immediato verificare che alla suddetta equazione si uò ervenire anche attraverso la [.3] sostituendo nell integrale l equazione di trasformazione in funzione di ressione e densità. La ortata di massa secifica si uò ottenere dalla relazione: m w A w nella quale essendo: k RT e tenuto conto della (.4) si erviene alla relazione: m k A RT k k k k w RT ossia la ortata secifica isoentroica di un gas erfetto. Si osserva che qualora la velocità non sia nota si uò mettere la [.4] nella forma: inoltre otendo scrivere: w w RT k k k k w w w w w tenuto conto dell equazione di bilancio di massa: w A w A k [.4] [.6] e dell equazione di trasformazione la recedente esressione diviene: [.5] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

22 TERMO-FLUIDODINAMICA 9 e sostituendo nella [.6] si ottiene: A w w w A k k RT k k w k A A in tal caso la velocità isoentroica viene messa in relazione con la geometria del condotto; er la ortata di massa si uò allora scrivere: A A k m k k k k A R T k tale esressione consente anche di risolvere il roblema inverso, ossia quello di determinare l area della sezione di uscita del condotto, nota che sia quella in ingresso, affinché sia garantita una data ortata di massa di gas comatibile con lo stato termodinamico iniziale e la ressione finale. Per semlificare le esressioni suddette si otrebbe considerare una articolare sezione del condotto ove vi siano condizioni tali er le quali sia nulla, o quanto meno trascurabile, la velocità del fluido; nella maggior arte delle situazioni reali tale sezione non esiste erò ad essa si uò semre fare riferimento in quanto noto che sia il suo stato termodinamico (,, T, w ) si uò semre determinare lo stato di ristagno ad essa associato ( 0, 0, T0 ) attraverso le equazioni [.8], [.9] e [.33] sicché la [.4] w k k k RT 0 k 0 mentre er la ortata di massa secifica risulta: m k 0 A R T k 0 k k k 0 0 k [.7] [.9] [.0] Se si tiene conto della [.9] er la suddetta equazione si uò scrivere: k R m k A R k k k k 0 T k T k 0 k k M M [.8] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

23 TERMO-FLUIDODINAMICA 0 e quindi semlificando ed ordinando si ottiene: m k M A R T M 0 0 k k ( k ) [.] la quale esrime la ortata secifica in funzione dello stato termodinamico di ristagno e del numero di Mach; tale relazione costituisce una forma alternativa alla [.0] ed ha un imortanza notevole nel camo della termofluidodinamica alicata alle macchine. Uno dei roblemi fondamentali nello studio del comortamento degli ugelli e diffusori è quello di determinare il valore massimo di ortata secifica che uò defluire nel condotto in esame e iù recisamente a quale stato termodinamico tale valore corrisonde. Con riferimento alla [.0] si osserva che la ortata secifica varia al variare della ressione ed il valore massimo si ottiene allorquando risulta massimo il termine in arentesi quadra er il quale, in corrisondenza di una data ressione, deve essere nulla la derivata rima: dalla quale si ottiene: k k k k k 0 0 k 0 0 k k 0 c k ertanto la massima ortata secifica si raggiunge in corrisondenza dello stato critico sicché sostituendo questo valore di ressione nella [.0] si erviene all esressione: m m k 0 A A R T k max c 0 k ( k) 0 [.] Dalla [.0] si osserva che la ortata aumenta al diminuire della ressione fino al valore fornito dalla [.] er oi decrescere fino ad annullarsi addirittura laddove la velocità assume valore massimo. Questo non è accettabile; attraverso l osservazione serimentale si è visto che una volta raggiunta la ressione critica la ortata conserva costantemente il valore massimo sicché l andamento della funzione [.0] è quello riortato nella figura 3 dove il ramo di curva tratteggiato ha solo un significato matematico ma non corrisonde ad alcuna situazione reale. m A F H G I K J m A max c Figura PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

24 TERMO-FLUIDODINAMICA Questo fatto one senz altro un limite alla validità della [.0] in quanto non essendo fisicamente giustificabile il secondo ramo della curva suddetta tale equazione è accettabile solo er. c. TEOREMA DI HUGONIOT L iotesi di considerare reversibile il deflusso adiabatico negli ugelli e diffusori costituisce ovviamente solo un arossimazione anche se abbastanza accettabile visto che, er quanto detto in recedenza, si tratta di condotti di caratteristiche geometriche tali che i fenomeni dissiativi non hanno ne lo sazio ne il temo sufficiente er far sentire in modo arezzabile i loro effetti; nella realtà erò questa è una semlificazione che viene fatta solo in una rima fase di calcolo, o di verifica, al fine di determinare i valori teorici di velocità, ortata di massa e le altre grandezze fisiche e successivamente, in un seconda fase, vengono messe in conto le irreversibilità, fra l altro inevitabili, modificando i valori delle suddette grandezze mediante oortuni coefficienti correttivi determinabili solo attraverso l osservazione serimentale. Considerando in una rima arossimazione il moto isoentroico attraverso le equazioni differenziali di bilancio di massa ed energia si uò analizzare il comortamento di un fluido comrimibile che attraversa un condotto a sezione variabile. Per le condizioni oste inizialmente l equazione differenziale di bilancio energetico si scrive: d w dw 0 [.3] che si uò anche mettere nella forma: dw d d 0 w w d ovvero er la [.0] e la [.3]. dw d 0 [.4] w M inoltre differenziando l equazione di continuità: w A cos t. risulta: d da dw 0 A w [.5] quindi sostituendo nella [.4] ed ordinando si ha: da dw M [.6] A w quindi sostituendo nella [.3] si ha: da d M [.7] A w sostituendo ancora la [.5] nella [.4] si ottiene: da d A M s [.8] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

25 TERMO-FLUIDODINAMICA Le [.6], [.7] e [.8]sono le equazioni di Hugoniot le quali descrivono il moto di un fluido comrimibile qualsiasi lungo un condotto a sezione variabile, iù recisamente attraverso le suddette equazioni è ossibile risalire al comortamento totalmente oosto del fluido nei riguardi dei due regimi di deflusso. Nel caso di deflusso subsonico le variazioni della sezione del condotto causerebbero la variazione delle grandezze fisiche nel modo seguente: dw 0 dw 0 da 0 d 0 da 0 d 0 d 0 d 0 mentre in regime suersonico si avrebbe: dw 0 dw 0 da 0 d 0 da 0 d 0 d 0 d 0 Da queste condizioni si vede che er oter incrementare la velocità del fluido, a sese di una diminuzione di ressione e densità, occorre un condotto convergente in regime subsonico ed un divergente in regime suersonico ertanto in un convergente non uò essere realizzato il regime suersonico, al limite si raggiunge il regime sonico; un condotto che realizza questa condizione di moto viene denominato raresenta ugello e uò essere costituito da un solo convergente o da un convergente collegato ad un divergente, come è illustrato nella Figura 4a. Per decelerare il fluido, con recuero di ressione e densità, occorre un convergente in regime suersonico ed un divergente in regime subsonico; un condotto che realizza questo deflusso raresenta un diffusore, illustrato nella Figura 4b. Si osserva quindi come la denominazione, ovvero la caratteristica del condotto, non diende dalla forma geometrica bensì dal regime di moto della corrente. Da queste considerazioni si uò enunciare il teorema di Hugoniot secondo il quale nel moto isoentroico in un condotto a sezione variabile il assaggio da moto subsonico a suersonico, e viceversa, uò avvenire solo in una sezione di area minima che viene chiamata sezione di gola. Con riferimento al gas erfetto che fluisce in regime stazionario è ossibile ricavare una relazione fra il numero di Mach e l area della sezione trasversale del condotto; in tal caso si fa riferimento alla sezione di gola in corrisondenza della quale si è raggiunta la velocità del suono, ovvero la condizione M, e che ertanto viene definita sezione critica. L equazione di bilancio di massa tra la sezione suddetta ed una sezione generica consente di scrivere: w A w A ovvero anche: c c c A c w krt c c c c Tc Ac w M krt M T A c / PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

26 TERMO-FLUIDODINAMICA 3 M Ugello M M M a Diffusore M M M M Figura 4 Tenuto conto della rima e terza delle [.39] si ottiene: A k M A M k k c k ( k ) [.9] questa funzione, raresentata nella Figura, resenta un minimo er M dove si ha A Ac, A er ogni altro valore del raorto si hanno due valori del numero di Mach: uno er il A c A A regime subsonico ed uno di regime suersonico e quindi er aumentare il Ac A M c M numero di Mach la sezione trasversale deve diminuire, nel senso del deflusso, a velocità subsoniche ed aumentare a velocità suersoniche; viceversa er diminuire il numero di Mach. Tutto ciò è in accordo con quanto dedotto dalle equazioni di Hugoniot. I valori del raorto A A c b sono tabulati ed anche diagrammati er dato numero di Mach ma anche er un dato valore di k il quale, come si osserva ancora dal diagramma di Figura 5, influenza il suddetto raorto solo er elevati valori del numero di Mach e iù recisamente nel caso di regimi suersonici. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

27 TERMO-FLUIDODINAMICA 4 A A c A A c M< M> M= Figura 5 M A A c Nello studio del funzionamento degli ugelli e diffusori risulta conveniente esrime il raorto in funzione del raorto di ressione loro raorto risulta: A A 0 k k, infatti facendo riferimento alle [.0] e [.] dal k k k c k k 0 0 dalla quale ad ogni valore del raorto A A c [.0] corrisondono due soluzioni isoentroiche: una di moto subsonico ed una di moto suersonico ; er A Ac si ha la soluzione. 0 M 0 M Si osserva che er dato condotto, ugello o diffusore, e a seconda del regime di moto, subsonico o suersonico, in cui si trova il fluido una delle due soluzioni suddette dovrà necessariamente essere scartata in quanto risulterebbe incomatibile con il comortamento caratteristico del condotto in esame, iù in articolare si ossono fare le seguenti considerazioni conclusive er ciascuno dei due condotti. Nel caso di un ugello si uò dire che se il fluido arriva alla sezione di gola con moto subsonico il deflusso nel divergente, er il teorema di Hugoniot, rosegue subsonicamente e questa è una condizione da non rendere in considerazione in quanto il condotto funzionerebbe come un tubo di Venturi, il fluido nella sezione di gola deve necessariamente arrivare con velocità sonica in tal caso nel divergente il moto o ritorna subsonico, soluzione da scartare, come uò divenire suersonico che raresenta la condizione che si vuole realizzare; questa situazione di moto è schematicamente illustrata nella Figura 6. c 0 PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

28 TERMO-FLUIDODINAMICA 5 Ugello Figura 6 M Diffusore M M M M M x M M M M Figura 7 Oosto è il comortamento del diffusore in quanto se il fluido erviene alla sezione di gola con moto suersonico esso nel divergente rocede suersonicamente, condizione da non rendere in considerazione, il fluido deve arrivare nella sezione di gola con velocità è sonica allora nel divergente il moto uò ritornare suersonico, soluzione da scartare, come uò divenire subsonico e questa raresenta la condizione che si vuole realizzare; la situazione di moto è illustrata nella Figura 7. Una articolare equazione di Hugoniot si uò ottenere artendo dall equazione differenziale di bilancio energetico nella forma: wdw dh 0 la quale er un gas erfetto diviene: kr wdw dt 0 k ovvero scrivendo in termini di variazioni relative: dw krt dt w k w T ed ordinando si ottiene: 0 x PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

29 TERMO-FLUIDODINAMICA 6 dt T [.] ( km ) dw w tale equazione, a differenza delle tre recedenti, vale er moto adiabatico con attrito ma il fluido deve essere un gas erfetto, essa mette in evidenza che nei fenomeni di efflusso la variazione di temeratura è semre oosta in segno alla variazione di velocità e ertanto ad una diminuzione di velocità corrisonde un aumento di temeratura, il gas si comrime, così come ad un aumento di velocità consegue una diminuzione di temeratura, il gas si esande; si uò quindi affermare che, in valore assoluto, ad una variazione di velocità segue una variazione di temeratura tanto iù raida quanto iù è elevato il numero di Mach..3 CONDIZIONE DI FUNZIONAMENTO DI UN UGELLO Si è visto attraverso il teorema di Hugoniot come la trasformazione termodinamica che un fluido subisce nell attraversare un ugello o un diffusore diende, ovviamente er un dato fluido, solo dalla legge con cui la sezione del condotto varia lungo l asse, tale teorema costituisce ertanto la base er otere effettuare una analisi qualitativa del comortamento di un ugello, o di un diffusore, di caratteristiche geometriche refissate una volta assegnato lo stato termodinamico del fluido a monte e facendo variare la ressione a valle. Questo studio viene qui condotto facendo riferimento al moto isoentroico di un gas erfetto che si esande in un ugello considerando searatamente i casi in cui esso è costituito da un solo convergente o da un convergente -divergente in quanto il funzionamento di quest ultimo è leggermente iù comlesso del rimo. Analoghe considerazioni ma nel verso oosto, ovvero a diagrammi caovolti, si ossono oi fare nel caso del diffusore..3. UGELLO CONVERGENTE Nella Figura 8 è raresentato un ugello convergente dove il gas a artire da uno stato termodinamico di ristagno a monte fluisce in un ambiente la cui ressione viene fatta decrescere con continuità a artire dal valore 0. Il funzionamento di questo condotto è caratterizzato da quattro situazioni fondamentali: a) Se s 0 non si ha deflusso in quanto non si realizza alcun gradiente di ressione in seno al fluido ed è quindi nulla la ortata di massa; l andamento della ressione segue ovviamente la linea orizzontale del diagramma di fig..7. b) Se c s 0 si viene ad avere un gradiente di ressione in seno al gas ed essendo il moto subsonico si ha anche s e quindi la velocità nella sezione di uscita vale: mentre la ortata di massa secifica è: w k RT 0 s k 0 k k m k 0 s A R T k k k k s s PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

30 TERMO-FLUIDODINAMICA 7 T 0 0 s 0 a b s o c s o c 0 M= c d s s c c x Figura 8 un ulteriore abbassamento di ressione ma semre comreso nell intervallo suddetto del diagramma, non farebbe altro che aumentare la velocità e la ortata ma il regime di moto nella sezione di uscita rimane subsonico. c) Se s c il regime di moto nella sezione di uscita è sonico: w w k R T ertanto la ortata di massa raggiunge il valore massimo: max 0 c m k 0 A R T k d) Se s c il gradiente di ressione nel convergente rimane come nella curva c così come rimangono inalterate velocità e ortata nella sezione di uscita ma il fluido all uscita del condotto subisce delle onde di esansione e solo iù a valle si adegua alla ressione c k ( k) dell ambiente. L assenza di un divergente a valle di A imedisce ertanto al fluido di raggiungere il regime suersonico e ciò è in erfetto accordo con il teorema di Hugoniot..3. UGELLO CONVERGENTE - DIVERGENTE Si è detto che il funzionamento di questo condotto è un o iù comlesso del recedente se non altro nel divergente visto che dovendosi qui realizzare il regime suersonico è ossibile la formazione di onde d urto anche se questo fenomeno non verrà qui reso in considerazione. s PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

31 TERMO-FLUIDODINAMICA 8 Partendo da una ressione a valle uguale a quella a monte, condizione corrisondente al valore di ortata nulla, la ressione di scarico ristagno 0 a valori via via decrescenti e er ogni valore di s viene al solito ridotta con continuità dal valore di s si calcola un valore di ressione in corrisondenza della sezione di gola. Finché risulta la velocità del fluido il tale sezione è subsonica e ertanto il moto g c risulta subsonico anche nel divergente sicché il condotto si comorta come un tubo di Venturi. Allorquando si ha la sezione di gola diviene critica e la ortata del fluido diviene g c massima a questo unto il moto nel tratto convergente è comletamente definito mentre il moto nel divergente diende dalle condizioni imoste a valle. Si è visto che in questa situazione le soluzioni nel divergente ossono essere due in tal caso la (.0) deve erò essere scritta: A A k k k k k c k k 0 0 e M nella sezione di uscita del divergente. M Per cui si uò trarre una rima conclusione: a) er s 0 il moto del fluido nel divergente risulta subsonico isoentroico, che raresenta la soluzione da scartare; b) er s si ottiene nel divergente il moto suersonico isoentroico, che sarebbe la soluzione ottimale. Resta adesso da chiarire che cosa accade al fluido quando si verifica s ed ancora quando si ha s. Si è detto che se il moto è suersonico è necessario revenire la formazione di onde d urto le quali ossono aver luogo all interno del divergente ed anche nell ambiente dove il fluido avrà lo sbocco. A causa della formazione di un onda d urto la ressione di ristagno diminuisce bruscamente da questa equazione si ossono ricavare i due valori di ressione dal valore a monte 0, dove si ha M, a quello a valle 0, dove si verifica M. Se il fronte d onda uò formarsi in una sezione qualsiasi del divergente si suonga che questo avvenga nella sezione di uscita e ertanto, senza eraltro entrare nei dettagli di questo argomento, si dimostra che: k k M k k nella quale è la ressione che si ha nella sezione rima della formazione dell onda mentre è la ressione immediatamente a valle del fronte d onda, M è il numero di Mach a monte del fronte d onda, non viene considerato quello a valle M. g PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

32 TERMO-FLUIDODINAMICA 9 T 0 0 s 0 M M M s Figura 9 M s x Figura 9 Calcolata la ressione a valle dell onda d urto con l equazione suddetta si ossono fare le seguenti considerazioni: c) er s il moto non è isoentroico con formazione di un onda d urto in una sezione interna al divergente; er s il moto è isoentroico nel divergente con formazione di un onda d urto in corrisondenza della sezione di uscita; e) er s il moto è isoentroico nel divergente ma con formazione di onde d urto esterne di comressione, ovvero il fluido è soraesanso; f) er s il moto è isoentroico nel divergente ma con formazione di onde d urto esterne di esansione, ovvero il fluido è sottoesanso. La curva discreta tracciata nel divergente raresenta il luogo dei unti in corrisondenza dei quali si manifesta un onda d urto normale, tutti i unti di tale curva raresentano ressioni a valle del fronte d onda..3.3 OSSERVAZIONI In tutto ciò che si è detto, anche sull ugello convergente, si osserva che non è stata resa in considerazione la lunghezza del condotto ertanto l ugello otrebbe teoricamente avere qualunque lunghezza, è evidente che se il condotto è molto breve la diminuzione di ressione PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

33 TERMO-FLUIDODINAMICA 30 avviene con forti gradienti nella direzione assiale mentre se esso è lungo si avrebbero gradienti di ressione minori; nella realtà questa lunghezza viene fissata da diversi criteri di carattere costruttivo. Per lo stato termodinamico a monte è stato convenientemente scelto quello di ristagno al quale, come già detto, si uò semre risalire da uno stato locale noto in quanto una velocità nulla all inizio dell esansione significherebbe considerare infinita l area della sezione, si uò erò in ratica tendere a questa condizione costruendo le areti dell ugello tangenti alle areti del serbatoio di monte, come è illustrato nella Figura 0, cosicché la velocità risulta iccola e quindi trascurabile e non è necessario oi che la arte convergente dell ugello abbia un rofilo articolare, qualunque forma è accettabile urché l area decresca gradualmente fino alla sezione di gola; il tronco convergente uò avere una lunghezza abbastanza breve e questo significa che le erdite er attrito fra fluido e arete sono considerate quasi nulle. Figura 0 Molto iù delicato è invece il divergente il quale deve essere realizzato iù accuratamente in quanto qui il fluido ha suerato la barriera del suono, inoltre allorquando il fluido esce dall ugello le areti del divergente devono avere curvatura molto graduale fino a divenire arallele in corrisondenza della sezione di uscita. Inoltre se er ridurre gli attriti occorre che il tratto divergente sia breve l angolo di divergenza non uò essere troo grande altrimenti si avrebbe il distacco della vena fluida dalle areti con formazione di vortici e conseguenti fenomeni dissiativi. Nella maggior arte dei casi ratici il rofilo di un ugello ha forma tronco-conica con angolo convergente fino a circa 45 mentre l angolo di aertura nel divergente è in genere comreso tra i e i 0. Da queste considerazioni si uò dire che er un ugello convergente - divergente le dimensioni fondamentali, cioè quelle da calcolare, si riducono alle aree della sezione di gola ed alla sezione di uscita mentre se l ugello è costituito da un solo convergente il calcolo riguarda solo l area della sezione di uscita. 7 PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

34 TERMO-FLUIDODINAMICA 3 Figura.4 MOTO ADIABATICO CON ATTRITO Il deflusso isoentroico ha una notevole imortanza teorica in quanto costituisce un riferimento limite mentre il moto adiabatico irreversibile riveste grande imortanza ratica in quanto qualunque movimento fluido lungo un condotto di qualsivoglia geometria è semre accomagnato da erdite di energia anche in condotti corti e ben rofilati come lo sono gli ugelli e i diffusori, rinciale resonsabile di tali erdite è l attrito dovuto revalentemente alla viscosità del fluido ed alla rugosità delle areti nonché, con riferimento ai fluidi che qui vengono trattati, all effetto della comrimibilità. Gli effetti dovuti alla viscosità del fluido si manifestano in due modi: - formazione di uno strato limite in una zona a ridosso delle areti er cui anche suonendo isoentroico il deflusso i valori delle aree introdurre nelle esressioni della ortata no sarebbero iù quelli geometrici; - er effetto dell attrito in seno al fluido e tra fluido e arete si avrà nel caso di un ugello una riduzione della velocità di efflusso e di ortata risetto ai corrisondenti valori isoentroici, nel caso di un diffusore una arte della variazione di energia cinetica verrà convertita in calore di conseguenza a arità di variazione di entalia e di energia cinetica l aumento di ressione risulterà minore di quello che si avrebbe nella corrisondente comressione isoentroica. Si consideri il deflusso di un fluido in un ugello dove a causa delle erdite er attrito l entroia cresce nella direzione del moto, inoltre tenuto conto che durante il deflusso, con o senza attrito, il fluido si esande sino alla ressione all uscita dell ugello il unto r corrisondente allo stato termodinamico reale si troverà sulla stessa isobara ma iù a destra del unto e oiché le isobare nel diagramma h-s hanno endenza ositiva si ha che hr h e ertanto durante il deflusso si ha semre h h r h h conseguentemente la velocità del gas w all uscita dall ugello sarà semre inferiore di quella isoentroica. irr Si scriva l equazione di bilancio energetico tra uno stato locale generico ed uno stato locale noto la quale se il moto è isoentroico allora si scrive: PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

35 TERMO-FLUIDODINAMICA 3 w w mentre er il moto adiabatico si ha: h h 0 wirr w hirr h 0 il rendimento isoentroico dell ugello è dato dall esressione: wirr w h hirr ie h h w w ovvero se la velocità iniziale si ritiene trascurabile, er quanto è stato fatto osservare in recedenza, si uò ancora scrivere: wirr ie [.] w in tal caso il rendimento isoentroico di un ugello è dato dal raorto tra l energia cinetica adiabatica e quella isoentroica nella sezione di uscita, ertanto risulta: che si uò anche scrivere come: w sicché la velocità adiabatica irr w irr w w irr w k w [.3] ie si ottiene da quella isoentroica, fornita dalla [.4], moltilicando questa er il fattore kw ie che viene denominato coefficiente di velocità, è un coefficiente di riduzione serimentale che, nella maggior arte dei casi, è oco discosto dall unità e diende dalla forma e dalla rugosità delle areti. Nel caso di ugelli convergenti k w ha un influenza trascurabile sulla velocità in quanto assume valori comresi fra 0,97 0,99 ed il moto si considera abbondantemente isoentroico; nel caso di ugelli convergenti - divergenti i valori di k w sono comresi fra 0,94 0,96 e ciò erché il condotto è iù lungo e sia erché nella arte divergente si realizzano velocità iù elevate. La erdita di energia er attrito uò essere esressa come la differenza tra l energia cinetica isoentroica nella sezione di uscita dell ugello e quella adiabatica irreversibile in corrisondenza della stessa sezione, ossia: che attraverso la [.] diviene: w wirr Eattr [.4] w w Eattr ie [.5] nella quale il termine viene chiamato coefficiente di erdita di energia. Se e sono gli stati termodinamici in cui si trova il fluido, risettivamente, all ingresso e all uscita dell ugello la differenza tra la velocità isoentroica in uscita: w h h PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

36 TERMO-FLUIDODINAMICA 33 e quella adiabatica nella medesima sezione: w h h irr irr la erdita di energia uò essere scritta: E h h [.6] attr irr ed è dunque esressa come differenza tra l entalia adiabatica e quella isoentroica nella sezione di uscita dell ugello. Inoltre tenuto conto della [.5] ed utilizzando la velocità isoentroica la suddetta relazione assume la forma: E h h [.7] attr e quindi eguagliando i secondi membri di queste esressioni si uò determinare il valore dell entalia adiabatica nella sezione di uscita: h h h h [.8] irr Nel diagramma di Figura è raresentato il deflusso adiabatico dell ugello, si osserva che l area sotto la curva irr raresenta il lavoro necessario er vincere le forze d attrito che si trasforma irreversibilmente in calore assorbito dal fluido sicché la temeratura del gas nella sezione di uscita dell ugello è maggiore di quella isoentroica; d altra lungo l adiabatica irr risulta: q attr sirr s T ds T irr Figura s si osserva dal diagramma T s che l area sottesa dalla curva isobarica irr raresenta la erdita di energia cinetica er attrito Eattr ; infatti tenuto conto che er lungo un isobara reversibile si ha: Tds dh allora integrando tra i unti e irr risulta: T irr T ds hirr h [.9] T nella quale il rimo membro raresenta rorio l area della curva tratteggiata soramenzionata, dal confronto con l area sottesa dalla curva si osserva che la erdita di irr PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

37 TERMO-FLUIDODINAMICA 34 energia cinetica er attrito E attr raresenta solo una arte del calore di attrito la rimanente arte, non tratteggiata, viene assorbita dal fluido e si trasforma di nuovo in lavoro meccanico. Pertanto vale semre la disuguaglianza: h h q [.30] irr attr ne consegue che la forma della curva irr, esrimente convenzionalmente un adiabatica irreversibile, non ha alcuna imortanza er l analisi del deflusso con attrito. Nel caso un deflusso adiabatico con attrito essendo risulta: quindi integrando: irr dh vd dq attr q est 0 attr [.3] h h vd q D altra arte tenuto conto che er un rocesso isoentroico si ha: h h vd si uò affermare che i due integrali delle equazioni suddette non sono affatto identici, infatti sottraendo membro a membro si uò scrivere iù recisamente: irr attr [.3] attr rev h h vd vd q e quindi attraverso la (.30) dalla suddetta esressione si deduce che: vd vd attr ertanto il lavoro utilizzabile in un moto adiabatico con attrito è semre maggiore di quello corrisondente al deflusso isoentroico. Tenuto conto della (.6) la (.3) assume la forma: vd vd qattr Eattr [.33] attr rev esressione che risecchia quanto detto in recedenza. rev PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

38 TERMO-FLUIDODINAMICA 35 3 MOTO ADIABATICO NEI CONDOTTI CILINDRICI Il moto dei fluidi comrimibili in condizioni di adiabaticità nei condotti cilindrici conduce al moto di Fanno che resente interessanti caratteristiche. 3. L ATTRITO NEI FLUIDI COMPRIMIBILI. TEOREMA DI FANNO L analisi dimensionale dimostra che nel caso di regimi di moto comletamente sviluati il fattore d attrito diende in generale dal numero di Reynolds, dal numero di Mach e dall eventuale scabrezza relativa, nel caso di condotti con arete a comortamento non liscio; l eserienza erò conferma che er regimi subsonici, o al limite sonici, la diendenza del fattore di attrito è trascurabile nei riguardi del numero di Mach di conseguenza er la determinazione del fattore stesso ossono essere utilizzate con buona arossimazione le stesse correlazioni che riguardano il moto dei fluidi incomrimibili. Diversamente accade nel regime suersonico dove il fattore d attrito diende da altri arametri, oltre a quelli sora citati, e ciò trova siegazione nel fatto che in tale regime non si uò avere un moto comletamente sviluato in quanto la condizione M uò essere mantenuta er una lunghezza di condotto molto limitata oltre la quale vengono a manifestarsi i fenomeni d urto, come verrà illustrato oco iù avanti. In tale circostanza lo sazio attraversato dal fluido raresenta er intero una regione di ingresso nella quale il fattore d attrito risulta variabile sezione er sezione in quanto diende dal numero di Mach, dal numero di Reynolds locale Re( x ), PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

39 TERMO-FLUIDODINAMICA 36 dallo sessore iniziale dello strato limite nonché dal grado di turbolenza iniziale; conseguentemente verrebbe anche a cedere l iotesi di monodimensionalità del moto sicché le equazioni di bilancio recedentemente scritte non sarebbero iù valide. Il fattore di attrito che viene utilizzato nel deflusso suersonico viene definito come un fattore medio aarente che continua a soddisfare ancora le equazioni di bilancio nel deflusso monodimensionale ma molto difficilmente uò essere determinato con considerazioni teoriche. Serimentalmente si è visto che i fattori d attrito che si incontrano nel regime suersonico risultano normalmente iù bassi di quelli che si manifestano nel moto dei fluidi incomrimibili, in articolare nel caso di condotti a sezione circolare con areti a comortamento liscio con riferimento ai cami di variazione: 0 d l 50 d,50 Re , M 3 è stato riscontrato che il fattore di attrito medio è comreso tra i valori: 0,008 0,0 ovvero si ottengono valori di raticamente dimezzati risetto a quelli ottenuti nel moto dei fluidi incomrimibili. Potendo allora esrimere gli effetti dell attrito in termini di rorietà medie del fluido nella sezione considerata e secondo quanto già detto al. sull iotesi di monodimensionalità del moto si faccia riferimento all equazione di bilancio di energia meccanica nella forma differenziale la quale trascurando l energia otenziale del camo gravitazionale, in questo caso del tutto ininfluente, e senza scambi di lavoro con l esterno si scrive: w d d w dx 0 d che uò essere messa nella forma: dw d dx 0 [3.] w w d tale equazione nel caso di gas erfetto ed in funzione del numero di Mach si uò ancora scrivere: dw d dx 0 [3.] w km d L equazione differenziale di bilancio di massa er il caso in esame ha esressione: dw d 0 [3.3] w inoltre differenziando l equazione di stato dei gas erfetti risulta: d d dt [3.4] T di conseguenza la [3.3] diviene: d dt dw 0 [3.5] T w Inoltre dall esressione differenziata del numero di Mach: PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

40 TERMO-FLUIDODINAMICA 37 dm dw dt M w T combinata con la [.] si ottiene la variazione relativa della velocità: dw dm [3.6] w k M M mentre dalla [3.5] ed ancora attraverso la [.]risulta: d dw ( k )M w e quindi er la [3.6] si ottiene: d ( k )M dm k M Sostituendo le [3.6] e [3.7] nella [3.] si scrive: M [3.7] ( k )M dm dx 0 k k M M d km M la quale, sommando dentro arentesi, assume la forma: M dx d k km M 3 dm Si faccia adesso riferimento all equazione: d Tds dh che combinata con la [.4] scritta in forma differenziale: wdw dh 0 diviene: Tds wdw d Ricavando la variazione relativa di ressione dalla (3.) risulta: d wdw w dx d e sostituendo nella recedente si ha: ds ovvero in funzione del numero di Mach: w dx T d ds krm dx d e tenuto conto della [3.8] si erviene all esressione differenziale della variazione di entroia in funzione del solo numero di Mach: [3.8] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

41 TERMO-FLUIDODINAMICA 38 R M ds k M M dm da essa risulta che: s 0 M M inoltre, come è semlice verificare, risultando anche: s 0 M M si deduce che lo stato di massima entroia si ha in corrisondenza del regime sonico. Integrando la [3.9] si ottiene: k k ( k ) s R ln M ln M C [3.9] [3.0] la quale assieme alla [.8] consente di tracciare nel iano T, s le curve del deflusso adiabatico, dette linee di Fanno, iù recisamente fissata una temeratura di ristagno si ottiene un fascio di curve ognuna delle quali è valevole er un dato numero di Mach e ciascuna di esse ha un limite, stato di massima entroia, in corrisondenza di M ; ricavando dalla [.8] il numero di Mach e sostituendo nella [3.0] si ottiene l equazione di una curva er quel dato numero di Mach, ossia: inoltre essendo: R T k T k T k T 0 0 s ln ln C w c T T [3.] 0 [3.] si deduce che le linee a temeratura costante sono anche linee a velocità costante conseguentemente gli stati aartenenti al ramo sueriore di ogni curva corrisondono a velocità subsoniche mentre gli stati corrisondenti al ramo inferiore delle curve suddette corrisondono a velocità suersoniche, Figura 3. Il verso di evoluzione del deflusso è quello indicato dalle frecce in quanto la resenza dell attrito non uò che causare un aumento di entroia e ertanto se il moto è inizialmente subsonico l aumento di entroia orta ad aumento della velocità, ovvero del numero di Mach, mentre se il moto è inizialmente suersonico si ha una diminuzione di velocità sicché in entrambi i casi la velocità del fluido tende al regime sonico. Da queste considerazioni si uò adesso enunciare il teorema fondamentale di Fanno, ovvero: nel deflusso adiabatico non isoentroico in un condotto cilindrico un moto subsonico non uò mai divenire suersonico ed un moto suersonico, in assenza di onde d urto, non uò mai divenire subsonico, lo stato limite comune è il regime sonico. T 0 PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

42 TERMO-FLUIDODINAMICA 39 T M M s max s Figura 3 3. PARAMETRO LIMITE E GRADIENTE DI PRESSIONE Da quanto finora visto si uò dire che facendo riferimento ad uno stato termodinamico in una certa sezione del condotto in corrisondenza della quale il numero di Mach è M esiste una lunghezza massima, valutata a artire dalla sezione medesima, alla fine della quale si ha M. Tale lunghezza si uò ottenere integrando la [3.8], ossia: che fornisce l esressione: lmax ( M ) dx dm d 3 k km M 0 M d km k lmax M k ln k M k M [3.3] la variabile adimensionale a rimo membro rende il nome di arametro limite di attrito e come si uò osservare essa è funzione del solo numero di Mach; ertanto dato il diametro del condotto ed il numero di Mach in una sezione nota il arametro di attrito consente di determinare la lunghezza l residua che si uò assegnare al condotto affinché il moto avvenga adiabaticamente senza che si verifichino fenomeni d urto, al limite er l l il numero di Mach allo sbocco assume valore unitario. Tale lunghezza è molto limitata infatti osservando la (3.3) er una velocità che al limite è infinitamente grande si uò scrivere: lmax k k lim ln d k k M e quindi er k,4 ed un valore medio del fattore di attrito di 0,0 la lunghezza in corrisondenza della quale si raggiunge il regime sonico vale: l 8d max max PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

43 TERMO-FLUIDODINAMICA 40 La lunghezza tra due sezioni del condotto, Figura 4, in corrisondenza delle quali i numeri di Mach sono, risettivamente, e si uò ottenere calcolando darima le lunghezze limiti e attraverso la [3.3] e oi dall esressione: l max M l max M M M l l l [3.4] max M max M l M M M l max M l max M Figura 4 viceversa dato il numero di Mach M la [3.4] consente di determinare il numero di Mach incognito allo sbocco. Sostituendo la [.] nella [3.5] si ricava la variazione relativa di velocità: e quindi tenuto conto che: la (3.) si scrive: dalla quale si ricava: dw d w ( k )M w km [3.5] km d w 0 (k )M dx d d ( k )M dx M d w [3.6] e ertanto risulta: d 0 M dx d 0 M dx sicché si ha una erdita di ressione nel regime subsonico. Si osserva inoltre che er M dalla [3.6] si ottiene: d w dx d ovvero il gradiente di ressione che si manifesta nei fluidi incomrimibili. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

44 TERMO-FLUIDODINAMICA STATO TERMODINAMICO DI RIFERIMENTO Anche er il deflusso adiabatico nei condotti cilindrici viene considerato come stato di riferimento quello corrisondente alla condizione M, dove si è visto che il fluido raggiunge la massima entroia, ma a differenza dello stato critico isoentroico la condizione suddetta viene raggiunta in modo irreversibile e ertanto delle equazioni scritte il recedenza restano valide solo la [.8] e la [.36], ovvero la rima delle [.39], quest ultima viene in tal caso considerata come quella temeratura caratteristica dello stato critico adiabatico. Se si considera un rocesso adiabatico che arte da uno stato locale (,T,,w ) fino a raggiungere lo stato di massima entroia ( c,t c, c,w c ) l equazione di continuità si scrive: ossia anche: w w w M krt T c M wc krt T c c e quindi er la rima delle [.39] si ottiene: k c M M k k c c / Inoltre tenuto conto dell equazione di stato si uò scrivere: c T T c c / [3.7] sicché: c Tc c T e tenuto conto della [3.7] e tramite la rima delle [.39] si erviene all esressione: k c M M k k Ancora dall equazione di continuità risulta: w wc e tramite la [3.7] si ha: w k wc M M k k c / / [3.8] [3.9] la quale unitamente alle [3.7], [3.8] e la rima delle [.39] definiscono lo stato critico adiabatico ovvero lo stato di massima entroia. Nella Figura 5 è raresentato il rocesso i cui estremi sono gli stati sora menzionati, in tal caso in corrisondenza dell isoentroica s s si uò scrivere: max k 0 c mentre lungo l isoentroica aartenente allo stato locale vale la [.9] e dal raorto di queste ressioni di ristagno si ha: k k PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

45 TERMO-FLUIDODINAMICA 4 0 k M 0 c k k la quale tramite la [3.8] assume la forma: 0 k M M k k 0 k ( k ) k k [3.0] che fornisce il raorto tra la ressione di ristagno relativa allo stato locale e quella che si ha nello stato critico adiabatico. T o T T o o c s s max s Figura 5 L aumento di entroia nella suddetta trasformazione vale: Tc c s c ln T d altra arte lungo l isoentroica locale e quella critica si uò scrivere risettivamente: T k k k k To o k k k k c c To o T e dal raorto di ambo i membri ne risulta: k k k k k o k T c T c o e ertanto l aumento di entroia si uò scrivere nella forma: k k o s c ln Rln o o o [3.] ovvero in funzione del raorto tra la ressione di ristagno locale e quella aartenente allo stato di massima entroia. Si uò dire che lo stato critico adiabatico è adesso definito in modo comleto in quanto oltre alle equazioni recedenti la [3.] fornisce il valore della massima entroia a artire da condizioni locali note. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

46 TERMO-FLUIDODINAMICA FUNZIONAMENTO DEI CONDOTTI MISTI Lo studio del moto in ugelli e diffusori è stato trattato searatamente da quello nei condotti cilindrici in quanto benché in entrambi i casi il deflusso è adiabatico si è visto che solo nel rimo caso è ossibile, almeno in rima arossimazione, trascurare gli effetti dell attrito. Viene adesso reso in esame lo studio del moto adiabatico in un condotto cilindrico collegato a monte ad un ugello, questo deflusso si uò definire misto sia er geometria che er comortamento fisico del fluido in quanto se nel condotto cilindrico vale il teorema di Fanno nell ugello vale quello di Hugoniot. Questo studio viene affrontato in maniera ancor iù sintetica di quello fatto er gli ugelli sia erché i fenomeni d urto, rinciali resonsabili del comortamento del fluido, non vengono qui resi in considerazione ed anche er gli asetti iù comlessi che questo deflusso combinato comorta er il quale si rimanda il lettore ai trattati secifici sull argomento. T 0 0 s o c o a b c d e s s o c s o s c c Figura 6 x 3.4. CONDOTTO ALIMENTATO DA UN CONVERGENTE Nella Figura 6 il condotto è collegato, attraverso un ugello convergente, a monte ad un serbatoio con ressione e temeratura di ristagno note ed a valle ad un ambiente la cui ressione viene fatta decrescere con continuità a artire dal valore della ressione di ristagno a monte. s Nell ugello il moto è isoentroico mentre nel tratto cilindrico il deflusso è adiabatico con attrito. Facendo riferimento al diagramma delle ressioni sottostante alla figura si osserva che se la ressione nel serbatoio a valle è uguale a quella di ristagno a monte non c è movimento, curva a, mentre er valori via via decrescenti di s risetto alla 0, curve b e c, si realizza il deflusso in regime subsonico e nella sezione di uscita si ha M ; ad ogni diminuzione di s si verifica un PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

47 TERMO-FLUIDODINAMICA 44 incremento del numero di Mach e quindi un accrescimento della ortata fino a che quando la ressione raggiunge il valore critico, curva d, nella sezione di uscita si ha e la ortata ha s M valore massimo così come in corrisondenza della sezione di imbocco del tratto cilindrico anche il numero di Mach raggiunge un valore massimo. Per valori di minori della, curva e, non si manifesta alcuna variazione della ortata che s c rimane uguale al suo valore massimo corrisondente a anche erché er il teorema di Fanno il numero di Mach in tale sezione non uò suerare il valore unitario. Pertanto il deflusso all interno del condotto rimane inalterato ma oltre la sezione di uscita il fluido subisce delle onde di esansione er oi raggiungere iù a valle l adeguamento alla ressione. s M 3.4. CONDOTTO ALIMENTATO DA UN CONVERGENTE - DIVERGENTE Il condotto cilindrico viene collegato al serbatoio di monte con un ugello convergente - divergente ed anche qui lo stato di ristagno nel serbatoio è noto così come uò essere fatta variare la ressione dell ambiente risetto alla ressione di ristagno del serbatoio; è evidente che in questo caso si deve necessariamente ammettere che nel divergente il moto sia isoentroicamente suersonico altrimenti, er quanto è già noto, si ricadrebbe nel caso recedente. Per studiare l influenza della ressione sul deflusso di ossono distinguere tre casi a s seconda che la lunghezza reale del condotto è minore, uguale o maggiore di quella massima comatibile con lo stato fisico iniziale fissato nella sezione di ingresso del tratto cilindrico, come è raresentato nella Figura 7, nella quale la sezione intermedia raresenta la calcolata in corrisondenza del numero di Mach nella sezione iniziale del condotto cilindrico. in questo rimo caso la sezione di sbocco è la allora er s c - l l max M il moto è interamente suersonico nel condotto e solo nella sezione di uscita si ha M, curva e, mentre se s c si ha ancora M ma il fluido subisce delle onde di esansione e solo iù a valle si ha l adeguamento alla ressione s, curva g; se s c si ha M ma un onda d urto normale si viene a formare nel condotto, curva d, in diendenza del valore di e tale onda si sosta verso monte all aumentare di - l l max M s. s in questo secondo caso la sezione di sbocco è la in corrisondenza della quale, calcolata la ressione con le equazioni di Fanno, si ha che c er cui il moto nel condotto è suersonico senza onde d urto ovvero se s c si ha la curva m mentre se s c si hanno onde di esansione, curva n, e quindi l adeguamento alla ressione s iù a valle, er una articolare ressione s si viene a formare un onda d urto nella sezione di sbocco, curva c. in quest ultimo caso la sezione di sbocco è la e il fluido subisce - l l max M semre un onda d urto all interno del condotto e iù recisamente se s c si ha M e quindi la sezione del condotto nella quale si forma l onda d urto diende dalla s, curva a ; er s c, curva f, si ha M e tale valore vale anche er l max PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

48 TERMO-FLUIDODINAMICA 45 s c anche se il fluido subisce onde oblique di esansione, curva h, e solo iù a valle si ha l adeguamento alla ressione s. T 0 0 s s s c o o isoen. c o adiab. b c m n d e g h a f Figura 7 Si osserva che man mano che la lunghezza del condotto cilindrico viene incrementata a l l onda d urto normale si sosta verso monte fino a formarsi nella sezione artire da max M di conseguenza il moto in tutto il condotto è interamente subsonico ed in corrisondenza della sezione finale si raggiunge il regime sonico. x PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

49 TERMO-FLUIDODINAMICA 46 4 MOTO ISOTERMO NEI CONDOTTI CILINDRICI Il moto dei fluidi comrimibile nei condotti a sezione costante resenta interessanti svilui e limiti dovuti rorio alla comrimibilità. 4. PERDITE DI PRESSIONE E PORTATA DI MASSA Si è detto inizialmente che nel caso di comrimibilità la velocità del fluido anche er condotto a sezione costante varia er effetto dei cambiamenti di densità e ertanto non si annulla la variazione di energia cinetica. Tuttavia se il fluido viaggia di regime laminare stazionario le basse velocità fanno si che le variazioni suddette si ossono ritenere raticamente trascurabili ai fini del bilancio di energia meccanica. Si uò ervenire ad un esressione del gradiente di ressione in tale regime artendo dal gradiente di ressione er un fluido incomrimibile er il quale, come è noto, nel caso di un condotto cilindrico a sezione circolare vale la relazione: 3 w [4.] l d che messa in funzione della ortata di massa diviene: 8 m [4.] 4 l d PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

50 TERMO-FLUIDODINAMICA 47 Questa equazione er un fluido comrimibile deve essere necessariamente scritta er un tronco di condotto di lunghezza elementare dx, ossia: d 8 m 4 dx d che nel caso del gas erfetto si scrive: d 8 RT m 4 dx d sicché integrando su tutto il tronco di lunghezza l si ha: ovvero anche: 8 m l 4 RT d 8 m l RT [4.3] 4 d d altra arte se la temeratura del gas è costante nelle due sezioni estreme si uò scrivere: RT RT quindi dalla semisomma risulta: RT mrt e sostituendo nella [4.3] si ottiene: 8 m 4 l d [4.4] m relazione analoga alla [4.] ertanto il gradiente di ressione di un gas erfetto in regime laminare stazionario si uò ottenere dal corrisondente gradiente di ressione di un fluido incomrimibile adottando er la densità il valore medio delle densità nelle sezioni estreme del condotto. In regime turbolento le variazioni di velocità conseguenti alle diminuzioni di ressione sono sovente iuttosto rilevanti er cui nell equazione di bilancio di energia devono essere comutate le variazioni di energia cinetica anche se, come si avrà modo di vedere, l arossimazione fatta er il regime laminare uò in qualche caso valere anche in tale regime. Se la temeratura è costante l equazione [3.3] diviene: d d e dal confronto con la [3.4] risulta: dw d w sicché la [3.] assume la forma: d d dx 0 [4.5] w d Se lo stato fisico iniziale del fluido è caratterizzato dai valori,,w l equazione di bilancio di massa è data da: w w PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

51 TERMO-FLUIDODINAMICA 48 e quindi scrivendo: w w w w w e tenuto conto dell equazione di stato risulta anche: w w RT w ertanto l equazione [4.5] si scrive: d d dx 0 [4.6] RT w d Se si ammette che f Re di conseguenza è anche che uò essere scritta nella forma: ed essendo in tale deflusso wd Re cos t. cost. risulta che: cos t. e quindi integrando la [4.6] si ottiene: RT w l ln d RT l w ln d Si osserva che il logaritmo del raorto delle ressioni estreme è amiamente trascurabile quando il condotto non sia troo breve; ad esemio er 0,03 e se, che in ratica è un raorto estremamente elevato, in un condotto lungo circa 000 diametri si avrebbe: l 30 ln ln 0,69 d ovvero er le condizioni suddette, abbastanza svantaggiose, il termine logaritmico è circa 45 volte iù iccolo del recedente e quindi raticamente trascurabile; questo significa che la variazione di energia cinetica dovuta alle variazioni di densità risulta trascurabile risetto a quella dissiata er effetto dell attrito sicché la [4.8] diviene: RT l w d che tramite l equazione di stato uò essere anche scritta: w l d esressione che fornisce il gradiente di ressione er il deflusso isotermo il quale uò essere determinato come se il fluido fosse incomrimibile artendo dai valori iniziali di densità e velocità correggendo oi con il fattore in arentesi che a sua volta, essendo, è semre maggiore dell unità. Si uò quindi affermare che: l l T cost cost [4.9] [4.7] [4.8] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

52 TERMO-FLUIDODINAMICA 49 ossia la resistenza effettivamente incontrata dalla corrente fluida è maggiore di quella che si avrebbe se il fluido fosse incomrimibile ed avente una densità è ari a quella del gas in corrisondenza della sezione iniziale del condotto; d altra arte se si ensa che nel moto turbolento la resistenza che incontra il fluido è roorzionale al rodotto e tenuto conto che w cos t. tale resistenza cresce al crescere di w ossia al diminuire della densità, ciò che subisce il fluido durante il deflusso. Si faccia riferimento all equazione [4.7] la quale tramite l equazione di stato del gas uò essere scritta: ovvero anche: m l RT ln A d m l RT ln A d si uò dunque ricavare la ortata di massa secifica: m A RT l ln d [4.0] ovvero la determinazione della ortata di massa note che siano le ressioni nelle sezioni estreme, o quantomeno il valore del loro raorto, in un condotto di dato diametro; nei casi in cui si uò trascurare il termine logaritmico, come visto in recedenza, si ottiene l esressione semlificata: m d A RT l [4.] dalla quale o anche dalla [4.0], semre che siano note le ressioni suddette, si uò determinare quale diametro deve avere il condotto che deve convogliare una data ortata di massa m. w 4. PARAMETRO LIMITE. STATO CRITICO Il gradiente di ressione uò essere anche scritto in funzione del numero di Mach se si considera che l equazione [4.5] uò essere messa nella forma: w d dx d w 0 e tenuto conto della [3.5] la recedente diviene: d w dx km d dalla quale si osserva che in corrisondenza del valore: [4.] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

53 TERMO-FLUIDODINAMICA 50 M k [4.3] si ha che facendo cadere in difetto la [4.]; la [4.3] raresenta lo stato critico isotermo in corrisondenza del quale il regime isotermo uò essere mantenuto solo teoricamente ma in ratica tale regime sarebbe imossibile da realizzare. Si ha allora un effettiva erdita di ressione solo er valori di Mach inferiori al valore critico, ovvero risulta: d M 0 k dx [4.4] d mentre er Mach sueriori al valore critico si ha l inversione del gradiente di ressione, ossia: d M 0 k dx [4.5] Si scriva l equazione [4.7] artendo da condizioni iniziali note e facendo riferimento ad una sezione generica del condotto di ascissa x, er cui: ovvero anche: x w ln d w x ln d quindi ordinando e scrivendo la suddetta relazione in funzione del numero di Mach si uò scrivere: x ln d km [4.6] La (4.6) è raresentata nel diagramma di Figura 8 dalle linee a tratto continuo ognuna delle quali è determinata er un dato numero di Mach iniziale e forniscono l andamento della ressione ( x ) lungo il condotto; le linee a tratto e unto forniscono l andamento della ressione er fluido incomrimibile, in tal caso infatti si avrebbe: ovvero in funzione del numero di Mach: x w d x d km [4.7] che raresenta l equazione delle soraindicate rette ottenute al variare di M PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

54 TERMO-FLUIDODINAMICA 5 0,8 0,6 0,4 0, Figura 8 x d Come si uò osservare il diagramma mette in evidenza ciò che del resto è già stato dimostrato ovvero che la ressione diminuisce iù raidamente er il fluidi comrimibili e gli scostamenti sono tanto maggiori quanto maggiore è il numero di Mach iniziale. Fissata la ortata m e la ressione iniziale restano anche determinati il valore di M ovvero la curva caratteristica della corrente fluida; noti allora la lunghezza e il diametro del condotto si uò leggere sulla curva suddetta il valore del raorto e quindi, noto il fattore d attrito, ricavare la differenza di ressione necessaria affinché il condotto ossa convogliare la ortata assegnata. Si uò altresì osservare che tutte le curve del suddetto diagramma resentano un unto a tangente verticale il quale raresenta il unto raresentativo dello stato critico, ciò significa che se la lunghezza del condotto è tale che il termine x d suera l ascissa in quel unto è imossibile che il condotto ossa convogliare la ortata assegnata qualunque sia il raorto delle ressioni nelle sezioni estreme; uò al massimo essere convogliata quella ortata cui corrisonde un numero di Mach iniziale tale che la curva raresentativa abbia tangente verticale rorio nel l d unto di ascissa. Scrivendo la [4.5] in funzione del numero di Mach si ha: quindi ordinando: d km d d dx 0 km d d dx [4.8] e tenuto conto che, er quanto visto in recedenza er la velocità, si uò anche scrivere: d dm [4.9] M la recedente assume la forma: PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

55 TERMO-FLUIDODINAMICA 5 e quindi integrando si ha: dm dx d km M [4.0] max 3 dx M dm dalla quale si ottiene: l / k / k / k dm dm d km M k M 0 M M M d lmax km ln ( km ) [4.] km dove il termine a rimo membro raresenta il arametro limite di attrito er il deflusso isotermo e la l max raresenta la massima lunghezza di condotto lungo il quale il moto, a artire da una sezione di assegnato numero di Mach, si mantenga isotermo senza che si verifichino fenomeni di discontinuità nella sezione considerata. l M M M k l max M l max M Figura 9 La Figura 9 è analoga alla fig. 3., fatta eccezione er il numero di Mach critico, e dalla quale è ossibile dunque determinare la lunghezza di condotto necessaria affinché il moto assi dalla sezione con M alla sezione con mantenendo il regime isotermo e senza che si verifichino fenomeni d urto; vale ancora l equazione [3.4] dove erò le massime lunghezze relative ai corrisondenti numeri di Mach vengono determinate tramite la [4.]. Si uò adesso determinare il raorto di ressione corrisondente allo stato critico integrando la [4.9], ossia: / k d dm M dalla quale si ottiene: M M M k [4.] ertanto la [4.6] in corrisondenza dello stato critico diviene: lmax ln( M k ) [4.3] d km dalla quale risolvendo er tentativi si ottiene il valore del numero di Mach iniziale che darebbe luogo alla massima ortata di fluido che il condotto uò convogliare sostituendo tale valore nell esressione: PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

56 TERMO-FLUIDODINAMICA 53 m Aw AM max k che uò essere scritta in funzione della temeratura: k m AM R T max [4.4] tale valore, a differenza della ortata massima che si realizza nel deflusso isoentroico, ha solo un significato teorico ma non ha alcuna alicazione ratica in quanto, come verrà recisato qui di seguito, lo stato critico isotermo non uò essere realizzato raticamente. 4.3 CONDIZIONE DI ISOTERMICITÀ Si faccia riferimento alla [.8] la quale differenziata diviene: dt T( k )MdM ovvero in termini di variazione relativa si scrive: dt0 k dm T k 0 M M e quindi er la [4.0] si erviene all esressione: dt0 k( k )M T 0 k KM M 0 dx d la quale assieme alla [4.8] nonché alle già note relazioni: d d dm dw M w [4.5] consente di stabilire il verso di variazione, lungo il deflusso isotermo, delle grandezze dinamiche e termiche che lo caratterizzano, risulta infatti: d 0 d 0 d 0 d 0 M M [4.6] k dw 0 k dw 0 dt0 0 dt0 0 ertanto la [4.3] raresenta il limite a cui tende il numero di Mach sia artendo da condizioni subsoniche che suersoniche, escludendo in questo secondo caso fenomeni d urto. Inoltre differenziando la [.4] si uò scrivere: w dq d h dh c dt 0 0 e ertanto, tenendo resenti le condizioni [4.3], si avrebbe: M dq 0 k PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

57 TERMO-FLUIDODINAMICA 54 ciò significa che l attrito rovoca una diminuzione di temeratura di conseguenza affinché il moto si mantenga isotermo è necessaria una somministrazione di calore dall ambiente al fluido e finché si verifica tale condizione l aorto di calore comensa effettivamente il raffreddamento del fluido mantenendone costante la temeratura. Mentre se si ha: M dq 0 k in tal caso occorrerebbe sottrarre calore al fluido er mantenere il moto isotermo in quanto l attrito causa un aumento della temeratura; in ratica erò questa situazione non è realizzabile in quanto è tecnicamente imossibile effettuare uno scambio termico convettivo talmente intenso che ossa comensare l effetto dell attrito. Infine: M dq 0 k in tale circostanza l aorto o la sottrazione di calore non influenza la temeratura la quale in questa circostanza limite rimarrebbe costante, anche questa situazione è solo teorica ma di imossibile realizzazione ratica. Si conclude che il deflusso isotermo di un gas lungo un condotto cilindrico uò essere realizzato solo er numeri di Mach sufficientemente lontani dal valore critico e lungo condotti con areti molto trasmittenti erché solo a tale condizione l azione dell attrito risulta concomitante ad uno scambio termico con l esterno di entità tale da mantenere costante la temeratura er l intera durata del deflusso, ertanto lo stato critico sora definito nonché il valore della ortata corrisondente determinato con la [4.5] hanno solo un significato teorico. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

58 TERMO-FLUIDODINAMICA 55 5 MOTO CON SCAMBIO TERMICO NEI CONDOTTI CILINDRICI Il moto dei fluidi comrimibili all 0interno di condotti a sezione costante e con scambi di calore con l esterno determina condizioni articolari (moto di rayleigh). 5. DEFLUSSO DI RAYLEIGH Si tratta di un moto a regime stazionario, internamente reversibile lungo un condotto cilindrico che si realizza mediante scambio di calore e senza scambi meccanici; oltre ai fenomeni dissiativi, con riferimento rinciale ovviamente all attrito, viene anche trascurata la variazione di energia otenziale del fluido. Per lo studio di questo tio di deflusso oltre alle equazioni di bilancio di massa ed energia recedentemente utilizzate è necessario fare riferimento all equazione di bilancio di quantità di moto che nel caso in esame deve essere scritta nella forma: w cos t [5.] Viene qui reso in esame solo il caso iù semlice ossia che la somministrazione di energia termica venga effettuata dall esterno, come è illustrato nella fig.5., escludendo il caso in cui vi siano sorgenti termiche all interno del condotto dovuti a fenomeni di combustione. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

59 TERMO-FLUIDODINAMICA 56 w M T q q figura 5. w M T Alicando l equazione (5.) alle sezioni estreme del tronco di condotto si uò scrivere: w w ed essendo: l eguaglianza recedente diviene: ovvero anche: w km km km km [5.] km esressione che collega le ressioni locali nelle sezioni di ingresso e di uscita ai corrisondenti numeri di Mach. Le ressioni di ristagno, a monte della somministrazione di calore, e, a valle, vanno 0 ricavate suonendo che il fluido nell arrestarsi, in corrisondenza delle sezioni medesime, non abbia modo di scambiare calore ed il rocesso sia reversibile; ertanto l equazione (.9) deve essere alicata sia nella sezione iniziale che in quella finale, si deve dunque scrivere: inoltre dividendo membro a membro: 0 k M 0 k M 0 0 e tenuto conto della (5.) risulta: k M k M k k k M 0 km k 0 km M la quale fornisce il raorto tra le ressioni di ristagno 0 e 0, raorto che è diverso dall unità e varia al variare dei numeri di Mach locali; è evidente, er quanto si è detto in k k k k k k [5.3] [5.4] 0 PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

60 TERMO-FLUIDODINAMICA 57 recedenza, che tale raorto diviene unitario se la corrente fluida non scambia calore con l esterno. Pertanto le grandezze di ristagno che nel moto isoentroico costituiscono un stato termodinamico fisso nel deflusso di Rayleigh esse variano al variare dello stato termodinamico locale. Nel deflusso isoentroico di Hugoniot così come in quello adiabatico di Fanno lo stato di riferimento è quello che corrisonde al regime sonico, anche in questo caso torna oortuno scegliere come riferimento la condizione M che viene raggiunta reversibilmente ma con aumento di entroia, come si otrà vedere oco iù avanti osservando la linea di Rayleigh. Considerando uno stato locale generico la (5.) diviene: k [5.5] km che fornisce il raorto tra la ressione in una sezione qualsiasi del condotto e la ressione che si ha in quella sezione dove risulta M. Se 0 è la ressione di ristagno corrisondente alla e stato di ristagno in una sezione generica la (5.4) assume la forma: 0 k k M 0 km k k k k 0 è quella corrisondente ad uno ossia il raorto tra la ressione di ristagno locale e quella di riferimento corrisondente. Per quanto riguarda la temeratura di ristagno vale ancora l equazione (.8) in quanto è da suorre che nell arresto il fluido subisca una trasformazione adiabatica essa erò varia sezione er sezione, secondo l equazione (.7), e ertanto si deve scrivere: T0 k M T T0 k M T e quindi facendo il raorto dei membri: k M T 0 T T k 0 T M [5.7] [5.6] Dall equazione di stato alicata alle sezioni e si uò scrivere l eguaglianza: T T dalla quale si ricava il raorto tra le temerature: T T inoltre dall equazione di bilancio di massa, in funzione del numero di Mach, deve essere: w M krt M T w M M krt T sostituendo tale raorto nella recedente risulta: / [5.8] PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

61 TERMO-FLUIDODINAMICA 58 T M T M e tenendo conto della (5.) si uò ancora scrivere: T M km T M km ertanto la (5.7) assume la forma: k M T 0 M km k T 0 M M km [5.9] [5.0] si ottiene dunque il raorto tra le ressioni di ristagno relative agli stati locali delle sezioni e in funzione dei numeri di Mach corrisondenti. Se adesso si considera una generica sezione del condotto il raorto tra la temeratura locale e quella di riferimento corrisondente risulta dalla (5.9): M k T T km [5.] mentre il raorto tra la temeratura di ristagno locale e quella di riferimento corrisondente si ottiene dall equazione (5.0): k M k M T 0 [5.] T 0 km In maniera analoga si uò determinare il raorto tra le densità locali, infatti facendo riferimento alla (5.8) si uò scrivere: e quindi er la (5.9) risulta: M T M T km M km M / [5.3] allora scrivendo la (.33) in corrisondenza degli stati e si ha: 0 k M 0 ovvero facendo il raorto dei membri: k M k k PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

62 TERMO-FLUIDODINAMICA 59 k M k M 0 0 e quindi er la (5.3) si ottiene il raorto tra le densità locali di ristagno in funzione dei soli numeri di Mach corrisondenti: k M 0 km M k 0 km M M k k [5.4] inoltre considerando uno stato locale e quello di riferimento si uò scrivere, tramite la (5.3) il raorto: km k M [5.5] mentre il raorto tra le corrisondenti grandezze di ristagno si ottiene dalla (5.4), ovvero: 0 0 km k M k M k k k [5.6] Anche la variazione di entroia tra gli stati e uò essere esressa in funzione dei numeri di Mach corrisondenti, infatti essendo: tramite le (5.) e (5.9) si ottiene: k T k s s c ln T s s c ln k M k km M KM [5.7] Considerando uno stato locale generico di entroia s e lo stato di riferimento la cui entroia è s la suddetta esressione diviene: k k k s s c ln M km dalla quale è immediato verificare che: s M s M M M 0 0 [5.8] e ertanto anche nel deflusso di Rayleigh lo stato di massima entroia si ha in corrisondenza del regime sonico. Portando in un diagramma ( s,m ) la (5.8) si ottiene la linea di Rayleigh illustrata nella figura sottostante. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

63 TERMO-FLUIDODINAMICA 60 s 0 s s figura 5. M 5. SOMMINISTRAZIONE MASSIMA DI CALORE I raorti tra le varie grandezze in funzione del numero di Mach forniti dalle recedenti esressioni consentono di oter caire come deve avvenire lo scambio termico affinché ossa essere realizzato il deflusso di Rayleigh. Facendo riferimento alla (5.) si osserva che er un dato valore di T 0 un incremento ositivo del raorto fornito da tale esressione comorta un aumento della temeratura T 0 cui corrisonde una somministrazione di calore, a norma della (.7), mentre un incremento negativo di tale raorto causa una diminuzione di con conseguente sottrazione di calore. Inoltre dalla 5.), come è immediato verificare, si uò scrivere: T0 M T 0 T 0 T M T 0 M M T 0 max 0 ertanto la temeratura di ristagno resenta un massimo in corrisondenza di M, ovvero nel unto di massima entroia, e oiché la somministrazione di calore tende a far crescere la, e quindi anche il raorto T 0 / T 0, il fluido in moto ricevendo calore tende a ortarsi al regime sonico di conseguenza in regime subsonico il numero di Mach cresce così come in regime suersonico esso decresce ed entrambi hanno come limite M ; si deduce ertanto che non è ossibile assare dal regime subsonico a quello suersonico, e viceversa, somministrando semre calore; in corrisondenza della sezione in cui si raggiunge il valore M occorre iniziare a sottrarre calore altrimenti si verifica la formazione di onde d urto. In sintesi se il fluido si trova in regime subsonico somministrando calore il fluido accelera e tende al regime sonico che uò venire suerato solo effettuando una sottrazione di calore a valle della sezione M in tal caso il fluido incrementa la sua velocità, mentre una sottrazione di calore comorta una diminuzione della velocità. Se il fluido si trova in regime suersonico una somministrazione di calore rovoca una diminuzione della velocità fino al regime sonico mentre una sottrazione di calore comorta un aumento della velocità. Da quanto detto si deduce che il calore che si uò somministrare al fluido ha un limite che diende dalle condizioni in cui viene effettuato il moto. Se in corrisondenza di una sezione le 0 0 PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

64 TERMO-FLUIDODINAMICA 6 condizioni sono date da T ed M la quantità di calore necessaria er ortare il fluido fino alla condizione M è data da: max 0 0 q c T T [5.9] e tale quantità raresenta il massimo calore somministrabile in quanto, come si è visto, è il massimo di T 0. Per otere esrimere tale calore in funzione del numero di Mach si considerino due sezioni generiche e del condotto er cui la quantità di calore da somministrare al fluido er ortarlo dallo uno stato all altro sarebbe data dalla (.7) che in questo caso conviene scrivere nella forma: ovvero anche: T 0 q ct0 T0 T T 0 0 q ct T T0 esressione che, er le (5.0) e (.8), diviene: k M km M k q ct M M k km M ertanto se lo stato corrisonde al regime sonico in corrisondenza di uno stato locale generico si uò scrivere: k k km q max ct M M k k M quindi sviluando ed ordinando si ottiene: dalla quale si osserva che: q ct M max M k M 0 q max [5.0] è evidente che questa è una situazione limite, essa erò serve ad indicare che quando si arte da bassi valori del numero di Mach er incrementare la velocità del fluido si devono somministrare quantità di calore molto elevate. Torna iù conveniente disegnare la linea di Rayleigh nel iano termodinamico (T,s ) le cui equazioni arametriche sono date dalle (5.9) e (5.7) scritte in corrisondenza di una stato iniziale noto, caratterizzato dai valori (T,s,M ), e da uno stato locale generico (T,s,M ) : T 0 PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

65 TERMO-FLUIDODINAMICA 6 M km T T M km s s c ln k k M km M km attraverso le quali ad ogni valore del numero di Mach M corrisonde una coia di valori di (T,s ) ottenendo così la curva illustrata nella figura sottostante; si osserva dal diagramma che la massima temeratura locale si raggiunge in condizioni di moto subsonico, d altra arte facendo riferimento alla (5.) se si one: T M M q 0 q 0 M ne risulta l equazione: che fornisce la soluzione: T M 0 3 M k 4kM k km km 3 0 M [5.] k ertanto la temeratura locale massima sarebbe: T max figura 5.3 T k [5.] 4k Si osserva che se nella linea di Rayleigh il fluido evolve in modo internamente reversibile si uò allora scrivere l eguaglianza di Clausius: dq Tds inoltre l equazione di bilancio di energia orge: w dq d c dt c dt e dal confronto con la recedente risulta: Tds c dt 0 0 s max s PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

66 TERMO-FLUIDODINAMICA 63 tale relazione conferma quanto detto in recedenza ossia che il unto di massima entroia lungo la linea di Rayleigh è anche il unto di massima temeratura di ristagno, nella fig. 5.4 sono raresentati, dalle linee tratteggiate, gli stati di ristagno della linea di Rayleigh. T M 0 0 ( s,t ) M s M M figura 5.4 s 5.3 VELOCITÀ DI RIFERIMENTO E VELOCITÀ MASSIMA Per un deflusso reversibile che avviene con scambio di calore l equazione di bilancio di energia er un gas erfetto si scrive: T 0 w 0 c T T q avendo fatto riferimento ad uno stato iniziale dove il fluido ha velocità nulla e temeratura, tale esressione, er quanto è già stato fatto in recedenza, si uò scrivere nella forma: w c c0 q k k max [5.3] dalla quale si osserva che anche se il deflusso avviene con scambio termico la velocità locale del gas diminuisce all aumentare della corrisondente velocità del suono, e viceversa, er cui in un dato unto le due velocità assumono ugual valore w fornito dalla suddetta esressione: k c0 w q max k k [5.4] ertanto la velocità di riferimento nel deflusso di Rayleigh è semre maggiore di quella che si realizza nel moto isoentroico e tale aumento è funzione della quantità di calore scambiata, in assenza di scambio di calore la (5.4) si identifica con la (.35). La velocità di riferimento uò essere esressa in funzione del numero di Mach locale, infatti dall equazione di bilancio di massa scritta nella (5.8) e tenuto conto della (5.3) risulta: w M km w M km [5.5] che fornisce il raorto delle velocità locali. Allora considerando uno stato locale generico caratterizzato dai valori w,m e quello di riferimento w, M si uò scrivere: PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

67 TERMO-FLUIDODINAMICA 64 w km w M k [5.6] ed è facile verificare che alla suddetta esressione si uò ervenire anche attraverso la (5.4), con rocedimento meno immediato del recedente EVOLUZIONE DEL DEFLUSSO SULLA LINEA DI RAYLEIGH Per un fluido che si muove lungo la curva di Rayleigh il roblema fondamentale di imortanza ratica è quello della determinazione dello stato termodinamico finale (,T,w,M ) allorquando, come si osserva dalla fig. 5., a artire da uno stato termodinamico iniziale noto (,T,w,M ) ad esso viene somministrata la quantità di calore Lo stato termodinamico iniziale determina nel iano una articolare linea di Rayleigh ed inoltre calcolata la temeratura di ristagno iniziale, tramite la (.8), resta anche determinata la temeratura di ristagno nello stato di riferimento la temeratura di ristagno finale verificare che T 0 T 0 oure T T 0 0 T 0 T 0 (T,s ) T 0 q., attraverso la (5.), nonché, mediante la (.7); tra queste temerature si uò allora. T T 0 0 T 0 0 figura 5.5 s Nel caso in cui T0 T 0 se inizialmente M lo stato finale si trova ancora nel ramo sueriore della linea di Rayleigh, fig.5.5, il deflusso è dunque caratterizzato dal tratto ed è univocamente determinato dalle relazioni sora scritte; se inizialmente è M si ossono verificare due situazioni: - il fluido si muove lungo il tratto ' della linea di Rayleigh, fig.5.6, questa è una soluzione accettabile e ertanto lo stato finale ' è ancora univocamente determinato; - il fluido artendo dallo stato iniziale in corrisondenza di un generico stato a sul tratto suersonico della linea di Rayleigh subisce un onda d urto assando allo stato b del ramo subsonico della stessa linea di Rayleigh, accade in questo caso che T0a T0b, er oi roseguire subsonicamente fino allo stato finale ", questa è una soluzione da scartare. PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

68 TERMO-FLUIDODINAMICA 65 T T 0a T T 0' 0" T 0b T 0 0 0a 0b 0' 0" '' b ' Nel caso limite in cui T 0 T 0 regime subsonico che suersonico. Nel caso in cui T 0 T 0 figura 5.6 il fluido evolverebbe fino allo stato M sia che viaggia di il deflusso non è realizzabile in quanto la quantità di calore q somministrata al fluido sarebbe maggiore della massima quantità di calore che il fluido uò scambiare lungo la linea di Rayleigh: q c T T max 0 0 ovvero non verrebbe risettata la condizione rinciale T0 T0 T 0. a s PROG. ING. GIULIANO CAMMARATA

69 6 FLUIDI INCOMPRIMIBILI I fluidi incomrimibili sono di grande imortanza nelle alicazioni tecnologiche. Solitamente lo studio è revalentemente svolto sul fluido incomrimibile er eccelleza, l acqua, dando luogo all Idraulica. In questa sede ci si intende rivolgere iù in generale a qualsivoglia fluido comrimibile di interesse alicatico sia nell imiantistica che nell indutria. 6. PREMESSE La Fluidodinamica ha grande imortanza non solamente nell ambito degli Imianti Termotecnici. I fluidi sono caaci di modificare la loro forma e sono suddivisi in liquidi e in aeriformi. Il moto dei fluidi ed il loro comortamento sono soggetti a secifiche leggi fisiche. Si vuole qui arofondire maggiormente la roblematica relativa al moto dei fluidi e alle reti di condotti. Si generalizzerà la trattazione al caso generico di fluidi erché è imortante conoscere sia il comortamento dei liquidi che quello degli aeriformi. Questo Caitolo è quasi del tutto rireso dal corso di Fisica Tecnica ed è qui riortato er comodità degli Allievi. Si sono integrati i aragrafi rogettuali anche alla luce di quanto emerso sin qui dai caitoli recedenti. Anche le conoscenza di Meccanica dei Fluidi ossono risultare utili all Allievo secialmente er gli asetti matematici che in questa sede sono necessariamente ridotti.

70 Ad esemio nell ambito dell imiantistica civile si hanno reti er il trasorto di acqua (calda e/o fredda) er gli imianti idrotermici come anche reti er il trasorto di aria (vedansi gli imianti di climatizzazione ad aria) che reti di gas tecnologici in genere (ad esemio di gas medicali er gli osedali). Doo avere rireso i concetti fondamentali di Fluidodinamica già visti, er altro, in Fisica Tecnica, si arofondiranno gli asetti rogetti delle reti tecnologiche, cioè di quelle reti di distribuzione di fluidi di lavoro (acqua, aria, vaore, aria comressa, gas medicali,.) funzionali agli imianti ai quali sono asservite. Una rete di distribuzione di acqua sanitaria o non tecnologica in genere non roduce malfunzionamenti negli imianti nei quali sono inserite: in ratica se da un rubinetto sanitario esce una ortata di acqua fredda o calda maggiore o minore di quella nominale di rogetto non succede nulla se non un ossibile disturbo dell Utente. Se una rete tecnologica fallisce il suo obiettivo allora tutto l imianto ne risente. Ad esemio se ad un radiatore arriva una ortata di acqua calda minore di quella di rogetto allora (ricordando la relazione Q mc T esso cede all ambiente una quantità di calore minore e quindi in quest ultimo non si raggiungeranno le condizioni termo-igrometriche di rogetto. 6. CARATTERISTICHE TERMOFLUIDODINAMICHE Un fluido è caratterizzato da alcune caratteristiche termofisiche e fluidodinamiche che qui brevemente si cercherà di richiamare. Intanto alcuni di questi arametri sono già noti dallo studio della Termodinamica. 6.. CARATTERISTICHE ELASTO -TERMOMETRICHE Fra le caratteristiche elastiche si ricorda: v volume secifico, [m³/kg]; massa secifica (detta anche densità) con =/v, [kg/m³]; Fra le caratteristiche termometriche: c cv k calore secifico a ressione costante, [kj/kg]; calore secifico a volume costante, [kj/kg]; raorto di adiabacità k=c/cv; v coefficiente di dilatazione isobaro, vt, [K- ]. 6.. CARATTERISTICHE FLUIDODINAMICHE Fra le caratteristiche iù imortanti vi è la viscosità di un fluido che caratterizza l attitudine che esso ha a non cambiare il suo stato di quiete o di moto. Si consideri la situazione di Figura 3 ove una suerficie S è fatta scorrere con velocità w risetto ad un iano fisso. La distribuzione della velocità è triangolare, come indicato in Figura 3. Newton ha mostrato che la forza da alicare er mantenere le condizioni di moto è: dw F S [7] dy

71 Distribuzione di velocità 3 Il coefficiente è una rorietà del fluido e rende il nome di viscosità dinamica. Le sue unità di misura sono [Ns/m²] o anche [Pa.s]. Osservando la distribuzione della velocità si uò anche dire che ogni strato del fluido agisce n modo da rallentare lo strato iù veloce che lo sovrasta e da velocizzare lo strato iù lento sottostante. La relazione di Newton uò anche scriversi in una forma oortuna: F grad w [8] S e quindi lo sforzo tangenziale che ogni strato esercita è funzione del gradiente trasversale di velocità e quindi è tanto maggiore quanto maggiore è la variazione di velocità imosta. Se si mantiene costante con il gradiente il fluido si dice newtoniano. Nella realtà si hanno quasi semre fluidi non newtoniani (fanghi, acque nere, acque reflue, ) il cui studio risulta molto comlesso e al di fuori dei limiti di questo corso. In Figura 4 si ha l andamento tiico di alcune varietà di fluidi reali. Il fluido newtoniano è raresentato da una retta con inclinazione costante. Gli altri fluidi hanno variabile con dw/dy = grad(w) e ossono essere di diverso tio (cori lastici, tiici delle acque nere). Si hanno anche fluidi con uno sforzo iniziale 0 residuo, come avviene, ad esemio er alcuni fluidi usati nell industria o anche er le aste dentifrice er le quali occorre uno sforzo iniziale rima che avvenga il moto. y Piano mobile F dw dy S w Forza da alicare Piano Fisso x Figura 3: Moto di Couette fra due iani aralleli Lo studio dei fluidi non newtoniani, invero assai comlesso, esula dal resente corso. Si ossono trovare notizie utili nei testi di Reologia. o Paste dentifricie Fluidi non newtoniani (coro lastico) Fluidi newtoniani dw/dy Figura 4: Diagramma sforzo scorrimento er i fluidi

72 4 Viene sesso utilizzata un altra grandezza fluidodinamica imortante detta viscosità cinematica (o anche diffusività meccanica) definita dal raorto: Le unità di misura di sono quelle di una velocità areolare [m²/s]. Per l'acqua si uò calcolare la viscosità cinematica mediante l'utile relazione: con t in C [9] 6 3 [30] t t t Per l acqua (fluido di lavoro fra i iù imortanti nell imiantistica, secialmente negli imianti di riscaldamento e di condizionamento) si ha la seguente tabella di riferimento: Temeratura ( C) Viscosità cinematica (m²/s) Viscosità dinamica (cst) Massa volumica (kg/m³) Tabella : Valori termofisici er l acqua 6.3 REGIMI DI MOTO Il moto dei fluidi uò avvenire in due regimi fondamentali 3 detti: Laminare: quando gli strati di fluido si muovono gli uni arallelamente agli altri. Il moto è ordinato e non si hanno oscillazioni interne. Se iniettassimo getti di inchiostro colorato a varie altezza questi scorrerebbero arallelamente senza mescolamenti. Turbolento: quando le articelle di fluido sono dotate di moto casuale e ertanto si ha mescolamento fra gli strati di fluido. I getti di inchiostro a varie altezze si mescolerebbero raidamente fra loro er la vorticosità del moto. Il moto turbolento è quindi un moto disordinato. Vi è anche un terzo regime di moto, detto di transizione e che corrisonde ad un regime non definito che orta il fluido a assare, in modo alternato, dal regime laminare a quello turbolento e viceversa. Questo regime è fortemente dissiativo ed è oortuno evitarlo nelle alicazioni imiantistiche. Un modo er caratterizzare il regime di moto è di verificare il Numero di Reynolds. Questo, infatti, è definito, come iù volte detto anche nei caitoli recedenti, dal raorto: 3 Questo è vero er fluidi monofase mentre er i fluidi bifase o multifase in genere si hanno moltelici regimi di moto (a nebbia, a tai, anulare, ). Si tralascia questa trattazione considerata la finalità del resente corso.

73 5 Re w Forze vis cos e d wd w Forze di inerzia Pertanto se il Numero di Reynolds è elevato (risetto ad un valore limite caratteristico del tio di moto, come si vedrà fra oco) allora revalgono le forze di inerzia (roorzionali a w²) ed il moto è turbolento. Se, invece, Re è iccolo (semre risetto al valore limite) allora revalgono le forze viscose (roorzionali al w/d er la [7]) e il moto è laminare. Vedremo fra oco i valori limiti di riferimento er i regimi di moto STRATI LIMITI DINAMICI Il moto dei fluidi a contatto con le areti generano un fenomeno molto interessante detto strato limite dinamico. Se si osserva la seguente Figura 5 si ha alla sinistra una corrente di fluido indisturbata con distribuzione costante della velocità. Non aena il fluido tocca la arete fissa i rimi strati molecolari del fluido aderiscono ad essa fermandosi. L azione di aderenza viene esercitata, tramite la viscosità dinamica, anche agli strati sorastanti che, ur non arrestandosi del tutto, vengono rallentati. La distribuzione di velocità cambia, come si uò osservare nella stessa Figura 5: solo al di sora della zona tratteggiata il diagramma è ancora invariato mentre al di sotto della zona tratteggiata la velocità varia da zero (alla arete) fino al 99% della velocità indisturbata. La zona ove il disturbo è manifesto e la velocità varia al di sotto del 99% del valore iniziale viene detta strato limine dinamico. Essa caratterizza l azione di attrito e quindi di modifica del rofilo iniziale della velocità del fluido. Se le condizioni iniziali sono tiiche del regime laminare lo strato limite è detto laminare altrimenti è detto turbolento. Si osserva, erò, che anche se lo strato limite è turbolento si ha semre, nelle immediate vicinanze della arete, uno strato limite detto sublaminare nel quale è forte l azione di attrito della arete e in esso il regime di moto è tiicamente laminare. C o rr e n t e f lu id a in d is t r u b a t a W w w w S tra to li m it e t u r b o l e n to S tra to li m it e l a m i n a r e Z o n a d i e f f e t t o d e ll a a r e t e P A R E T E F I S S A S u b s t r a t o l a m i n a r e Figura 5: Formazione dello strato limite dinamico Lo sessore,, dello strato limite dinamico er il caso dello strato iano si dimostra essere roorzionale alla distanza dal bordo di attacco e inversamente roorzionale al numero di Reynolds secondo la relazione:

74 6 x 4.9 [3] Re Il valore limite caratteristico er il assaggio dal regime laminare a quello turbolento è Re=5.0 5, ertanto er valori inferiori ad esso si ha il regime laminare mentre er valori sueriori si ha il regime turbolento. Un fenomeno analogo si ha nel moto all interno dei condotti. In questo caso il moto è confinato sueriormente dalle areti del condotto e quindi lo sessore non uò crescere indefinitamente erché si ha il congiungimento sull asse degli strati limiti generati da areti ooste. In Figura 6 si ha una resentazione schematica del fenomeno. Come si vede a artire da un certo unto lo strato limite dinamico raggiunge l asse del condotto. w Z on a lam in are Z on a turb ole n ta w w w Lunghezza di imbocco Figura 6: Lunghezza di imbocco nei condotti. A artire da questo unto il rofilo di velocità si stabilizza. In figura sono anche raresentate le zone laminari e quelle turbolente. La lunghezza di imbocco uò essere stimata ari a 70 diametri. Per condotti inferiori o comarabili con questa lunghezza (tubi corti) si hanno notevoli erdite er attrito (vedi 6.5.) e quindi è oortuno evitarli. Il regime di moto è laminare, nei condotti circolari o ad essi assimilabili, er Re<300. Diviene turbolento er Re>900. Nell intervallo 300 < Re < 900 il moto si dice di transizione e, come già accennato, è oortuno evitarlo erché fortemente dissiativo. 6.4 LEGGI FONDAMENTALI DELLA FLUIDODINAMICA Scriviamo subito alcune equazioni valide in generale er il moto di qualunque fluido. Si è già arlato di questo argomento in altri volumi ma si vuole qui resentare in forma organica l aarato matematico-fisico 4 che interessa le alicazioni delle quali si arlerà in seguito EQUAZIONE DELL ENERGIA PER I SISTEMI APERTI STAZIONARI Abbiamo già scritto l equazione dell energia in regime stazionario er i sistemi aerti che qui si riete er comodità: 4 In questa breve introduzione si tralasciano le equazioni costitutive di Navier Stokes alle quali si rimanda er uno studio iù arofondito dell argomento.

75 7 w w g z z h h q l [3] Possiamo scrivere ancora la stessa equazione nella forma: w w h gz h gz q l [33] Pertanto la metalia 5 nella sezione di uscita è ari alla somma della metalia nella sezione di ingresso iù la somma algebrica (riferita alla convenzione dei segni er la Termodinamica) della quantità di calore e di lavoro scambiati er kg di fluido fra le due sezioni. Ciò, evidentemente, esrime in arole diverse il Primo Princiio della Termodinamica o di Conservazione dell energia. Qualora si desideri riferire la [3] ad una ortata m si ha, er estensione diretta: ove è: mq Q w w m g z z h h m( q l) Q L il flusso termico totale scambiato, [W]; il lavoro totale effettuato, ositivo se fatto dal fluido, [W]. L equazione [34] è ancora il Primo Princiio scritto in forma globale (regime stazionario). ml L 6.4. EQUAZIONE DI BERNOULLI PER I SISTEMI APERTI STAZIONARI L equazione dell energia [34] si uò scrivere in una nuova forma che utilizza solamente termini meccanici e detta equazione di Bernoulli. Infatti se si ricorda che (er fluidi ideali) vale l equazione: q h vd [35] Nella quale non è eslicitato il lavoro resistivo che degrada in calore. Allora la [34] diviene: w w da cui: w w g z z h h h h vd l g z z vd l 0 Il lavoro l uò ancora essere esresso come somma del lavoro motore e del lavoro resistente (attrito): l l l [37] e ertanto si ha: w w m r m r 0 [38] g z z vd l l [36] [34] w 5 Si definisce metalia la somma dei termini energetici h scambia lavoro e calore essa rimane costante. gz. Nel caso di condotto isolato che non

76 8 In questa equazione il lavoro motore è quello effettuato nel tratti - del condotto considerato ed analogamente lr è il lavoro resistivo (semre resente) nello stesso tratto di condotto. Per fluidi incomressibili (quali l acqua o anche gli aeriformi a velocità iccole risetto alla celerità del suono 6 e in gran arte delle alicazioni si è certamente in queste condizioni) la recedente relazione si uò scrivere in forma iù diretta, risolvendo l integrale che diende dalla trasformazione che qui si suone a v = costante: w w L equazione [39] diviene: g z z v( ) l l 0 [39] w w v gz v gz lm lr [40] w In Idraulica si definisce iezometrica la somma v gz ; quest ultima, semre a condotto isolato, si mantiene invariata assando dalla sezione alla sezione er un fluido ideale (resistenze interne nulle) mentre er un fluido reale viene diminuita del lavoro comlessivamente svolto nel tratto di condotto. L alicazione delle recedenti equazioni [39] e [40] richiede che ci si riferisca ad un tubo di flusso di sezione molto iccola in modo che si ossa arlare, senza commettere errore, di un unica velocità, un unico volume secifico, di una sola quota e rorietà termofisiche costanti nella sezione di condotto considerata. Se, invece, la sezione del condotto è molto grande allora le variazioni dei arametri sono significative ed occorre riscrivere le recedenti equazioni in forma differenziale e oi integrate all intera sezione. In forma differenziale si ha, er l equazione dell energia: wdw gdz dh dq dl e ancora: wdw gdz vd dl dl 0 m Si vuole qui osservare che le due equazioni [4] e [.3] sono solo aarentemente diverse: in realtà esse esrimono semre il rinciio di Conservazione dell energia già citato. Nell equazione dell energia [4] si hanno forme energetiche anche termiche mentre nell equazione di Bernoulli [.3] si hanno solo forme energetiche meccaniche. Ma l equazione [35] lega le due forme di energia e ertanto solo aarentemente nella [36] si hanno termini meccanici oiché nel lavoro è anche resente il calore scambiato (anche er attrito visto che lr degrada in calore e si trasforma internamente al fluido in energia interna). In alcuni casi uò essere utile vedere l equazione di Bernoulli [39] in modo diverso er esaltarne alcune caratteristiche fisiche. Ad esemio se dividiamo er l accelerazione di gravità g tutti i termini dell equazione [38] si ottiene: r m r [4] [4] c F H 6 Si dimostra (vedi Fluidi comrimibili) che la celerità del suono è data dalla relazione I K s krt er i gas a comortamento ideale. Se un gas si muove a velocità elevate (>0.c) gli effetti della variazione di ressione comortano anche sensibili effetti nella variazione della densità (o del volume secifico v) che non ossono essere trascurati. La Gasdinamica si occua di questo tio di fluidi detti comressibili e che trovano grande riscontro in Aeronautica ed Astronautica.

77 9 w w v l m l z z d r 0 g [43] g g g Si osservi che ogni termine della [43] esresso nel S.I. è omogeneo a ad un altezza e quindi si esrime in metri. Si tenga ancora resente che nella [43] si ha: v g g [44] ove è il eso secifico del fluido (N/m³). Per la loro caratteristica unità di misura la recedente equazione è detta equazione delle altezze e i singoli termini sono detti: z-z w w g l v d g r r g z altezza geometrica; altezza dinamica; altezza di ressione altezza di erdita di carico er attrito. Qualche volta è anche comodo scrivere l equazione di Bernoulli [39] in termini di ressione: w w gz gz lm lr [45] In questo caso ogni termine della [45] è omogeneo ad una ressione e quindi si esrime in termini di Pascal ([Pa]=[N/m²]). Dalla [45] si uò ancora ricavare un interessante esressione molto utile nelle alicazioni future: w w g( z z) m r [46] Quindi la differenza di ressione (rimo membro) è dovuta alla somma di tre effetti: la caduta cinetica iù la caduta gravimetrica iù la caduta er lavoro (motore e resistivo). Data l arbitrarietà nello scegliere le sezioni e si uò fare in modo che il lavoro motore non sia resente nel bilancio [45] e ertanto ossiamo scrivere che la caduta di ressione in un tratto di condotto è data dalla relazione: w w g( z z) r [47] 6.5 LE PERDITE DI PRESSIONE PER ATTRITO Le erdite er attrito sono dovute essenzialmente a due cause: le erdite er attrito distribuito (dovute all interazione fra fluido e areti) e erdite er attrito concentrato (dovute a bruschi cambiamenti di direzione o er la resenza di ostruzioni lungo tratti molto iccoli di condotto) PERDITE PER ATTRITO DISTRIBUITO Per calcolare r er attrito distribuito occorre utilizzare la relazione di Weissbach -Darcy:

78 0 lw a [48] d ove è detto fattore di attrito distribuito. La [48] ci dice che le erdite distribuite sono direttamente roorzionali alla lunghezza del condotto e all energia cinetica er unità di volume e sono inversamente roorzionali al diametro del condotto. Il fattore di attrito è funzione dai seguenti arametri:, w, d,, e [49] ove: è la densità del fluido, [kg/m³]; w è la velocità del fluido, [m/s]; d è il diametro del condotto, [m]; è la viscosità dinamica del fluido, [kg.s/m²]; e è la scabrezza assoluta, [m]. La scabrezza assoluta è l altezza delle singole aserità suerficiali resenti nel condotto. Esse sono semre resenti, qualunque sia il grado di finitura suerficiale del condotto; in alcuni casi, tubi er imiantistica in genere, si hanno valori assoluti molto iccoli tanto da far ritenere questi condotti come lisci, cioè rivi di aserità. E comunque una semlificazione di calcolo. Alicando il Teorema di Buckingam 7 alla [49], assumendo come unità fondamentali [M,L,T] e iotizzando una funzione monomia 8 del tio: a b c f g C w d e [50] con le dimensioni: =[ML -3 ] [w]=[lt - ]; [d]=[l]; [e]=[l] []=[ML - T - ] ]=[] si erviene alla seguente equazione di omogeneità dimensionale 3 a b c f C ML LT L ML T L [5] da cui deriva il sistema: 0 a f Per M 0 3 a b c f g Per L 0 b f Per T Si hanno 5 incognite e 3 equazioni indiendenti (minore caratteristico ari a 3) e quindi si ossono avere infinito elevato a 5-3= soluzioni. g 7 L analisi adimensionale qui resentata è una semlificazione della trattazione generale tramite le equazioni di Navier Stokes già vista nel corso di Trasmissione del Calore. Quanto qui resentato vuole essere un raido richiamo ed una resentazione di un nuovo unto di vista semlificato. trattazione. 8 Si ricordi che la diendenza di tio monomiale non è necessaria ma viene qui iotizzata er semlificare la

79 Scelte due variabili indiendenti e risolvendo il sistema si trova che la [50] diviene: m wd e C d n [5] I grui dimensionali sono, quindi: wd wd Re Numero di Reynolds; e d Scabrezza relativa. Possiamo scrivere la [5] nella forma: C Re m n [53] Per regimi laminari (Re<300) si usa la relazione di Weissbach: 64 Re Una relazione che risetta il legame funzionale della [53] er regimi turbolenti è la relazione eslicita di Haaland: log 3.7d Re Un altra relazione eslicita er il fattore di attrito è data dalla relazione di Swamee e Jim: 0.5 (55) 5.74 log 3.7 D.9ReD Per tubi lisci si uò utilizzare la relazione di Weissbach: valida er 0. [56] 0.84 Re Re 3 0. Un altra relazione valida er tubi lisci è quella di Blasius 9 : Re [57] 4 5 valida er 0 Re 5 0. Il calcolo del fattore di attrito uò agevolmente essere effettuato utilizzando l abaco di Moody riortato nella Figura 7. In esso abbiamo in ascissa il numero di Reynolds (Re), in coordinate logaritmiche, e in ordinate il fattore di attrito. Nella zona relativa al regime laminare (Re<300) si dimostra essere (regime di Poiselle): 64 [58] Re e ertanto il fattore d attrito non diende dalla scabrezza relativa. Nella zona relativa al regime turbolento (Re>900) è ben visibile la diendenza, oltre da Re, da. Tuttavia osservando le curve al variare di si uò notare che non varia iù con Re a artire da una certa ascissa er ogni valore della scabrezza relativa. In effetti una curva trasversale ben 9 Per acqua a 70 C si ha la comoda relazione: Re = 385 w d Con velocità esressa in m/s e il diametro interno del condotto in mm. [54]

80 indicata nella Figura 7 individua due zone: nella rima (a sinistra) varia sia con Re che con mentre nella seconda (a destra, detta anche regione di turbolenza comleta) varia solo con. Dalla [48] si uò ancora ricavare il lavoro erduto er attrito distribuito dato da: l rd lw [59] d le cui unità sono [J/kg] essendo semre omogeneo ad un lavoro secifico. La scabrezza relativa indicata in Figura 7 diende dal tio di tubazione. Figura 7: Abaco di Moody Materiale costituente la tubazione Vetro 0,00 0,00 PVC, PEAD, PP 0,00 0,004 Rame, Ottone 0,004 0,0 Alluminio 0,05 0,05 Acciaio zincato 0,0 0,03 Acciaio saldato nuovo 0,04 0, Acciaio trafilato nuovo 0, 0,5 Acciaio incrostato e corroso 0,,0 Acciaio trafilato in uso 0,6, Ghisa nuova 0,6, Ghisa in uso 4 Ghisa centrifugata in uso 4 Ghisa in uso da vari anni 3,5 6 Ghisa incrostata 6 0 Tabella : Valori medi del coefficiente di scabrezza relativa Ai fini delle alicazioni imiantistiche si fa sesso l iotesi che i tubi in ferro Mannesmann, i tubi zincati o in rame siano lisci e che ertanto valgano le relazioni ridotte di Weissbach [56] e di

81 3 Blasius [57] sora descritte er il calcolo del fattore di attrito in regime turbolento. Per gli altri casi si utilizzano le relazioni iù comlete e comlesse quali la [54] di Colebrook:.5 Log Re 3.7d Questa relazione è data in forma imlicita (cioè è funzione di sé stessa) e richiede una risoluzione numerica iterativa, contrariamente a quella di Haaland che è eslicita ma che fornisce un errore inferiore al 3% (accettabilissimo nelle alicazioni ratiche). La relazione di Colebrook uò essere utilizzata anche er tubi lisci (=0) er regimi turbolenti con Re oltre (relazioni di Weissbach e Blasius). In questo caso la relazione, ancora imlicita, diviene (Prandtl Von Karmann Nikuradze):.5 Log Re Nella zona di regime di transizione (cioè fra 300 < Re < 900) si alica ancora la relazione imlicita di Colebrook:.5 Log Re 3.7d Qualora il regime di moto sia turbolento, detto anche regime idraulico sviluato, cioè quando risulta al di là della curva di Rouse 0 data dall equazione: 00 allora si uò orre: Re D Log [6] 3.7d e ertanto il fattore di attrito diende solo dalla scabrezza relativa e non da Re PERDITE PER ATTRITO CONCENTRATO Le erdite er attrito concentrato (dette anche erdite localizzate) sono esresse dalla relazione di Darcy er il lavoro resistivo: e er le erdite di ressione: l rc w c [63] w c c [64] Il fattore c è detto di Darcy e varia in funzione del tio di erdita localizzata esaminata. Sesso si utilizza un modo diverso er esrimere lc o c ricorrendo al concetto di lunghezza [6] [60] 0 Se si osserva l abaco di Moody si uò constatare che al di là di un certo valore di Re il fattore di attrito diende solo dalla scabrezza relativa e non iù da Re. La curva di Rouse individua questo limite. Il regime di moto oltre la curva di Rouse viene detto idraulico sviluato.

82 4 equivalente. Si suone, infatti, di avere un tratto di condotto lungo l in modo da avere erdite distribuite ari alla erdita localizzata che si desidera eguagliare, cioè si one: dalla quale deriva: d l' c l ' w w c d e quindi la lunghezza equivalente è funzione del fattore di Darcy, del diametro del condotto e del fattore di attrito. Nei manuali si hanno tabelle o nomogrammi che consentono di avere sia il fattore di Darcy che la lunghezza equivalente. Nella Figura 8 si hanno alcune erdite er il fitting (raccorderia) er le tubazioni utilizzate negli imianti idro-termo-sanitari. Nella Figura si hanno i fattori di erdita er alcuni tii di valvolame utilizzato nello stesso tio di Imianti Termotecnici. Nella Errore. L'origine riferimento non è stata trovata. si hanno i fattori di Darcy e le lunghezze equivalenti er alcuni comonenti di Imianti Termotecnici. Nelle seguenti tabelle si hanno i valori iù ricorrenti er l imiantistica di riscaldamento e condizionamento. [65] DIRAMAZIONI Lungo il tronco che si dirama a T.5 Idem ma con angolo a Lungo il tronco che confluisce a T.0 Idem ma con angolo a Lungo i due tronchi con una doia diramazione a T 3.0 Idem ma con curve di raccordo.0 Lungo i due tronchi con una doia confluenza a T 3.0 Idem ma con curve di raccordo.0 Lungo la linea rinciale che non cambia sezione 0.0 Lungo la linea rinciale che cambia sezione 0.5 VARIAZIONI DI DIAMETRO Restringimento brusco 0.5 Restringimento raccordato (valore medio) 0.35 Allargamento brusco.0 Allargamento raccordato (valore medio) 0.75 COMPONENTI Radiatore 3.0 Caldaia 3.0 Piastra 4.5 Tabella 3: Valori serimentali del fattore di Darcy er alcune erdite localizzate RACCORDERIA E VALVOLAME D D D 8 6 mm 8 8 mm > 8 mm Gomito a Curva a 90 normale Curva a 90 larga Doio gomito a Curva a 80 normale Saracinesca a assaggio ieno Saracinesca a assaggio ridotto Valvola inclinata a Y

83 5 Valvola a sfera a assaggio ieno Valvola sfera a assaggio ridotto Valvola a d angolo Valvola di ritegno a Claet Valvola a farfalla Valvola a tre vie Valvola a quattro vie Tabella 4: Valori del fattore di Darcy er la raccorderia e Valvolame Si osservi come tali fattori diendono anche dal diametro della tubazioni in cui tale resistenze concentrate sono inserite. Di questo fatto si dovrà tener conto allorquando arleremo dei criteri er il dimensionamento delle reti idriche er l imiantistica. Analoghe tabelle si hanno er il moto dell aria nei canali di distribuzione. Nella Figura 8 si hanno le erdite localizzate er una curva di un canale d aria a sezione rettangolare. Analogamente nella Figura si hanno le erdite localizzate er una curva in canali a sezione circolare. Nella Figura 3 e nella Figura 4 si hanno i fattori di erdita localizzata er varie tiologie (curve, raccordi, searazioni, unioni,.) er canali d aria. Si osservi come in alcuni casi si ha solamente i fattore di Darcy e in altri la sola lunghezza equivalente (magari esressa in numero di diametri o di altra grandezza geometrica caratteristica del canale) o in altri ancora entrambi i arametri. Perdite localizzate er i canali dell aria A causa delle dimensioni dei canali d aria le erdite localizzate assumono grande imortanza. Nelle seguenti figure si ossono osservare gli effetti di creazione di turbolenza e di vortici dissiativi er curve e/o er confluenze e diramazione dei canali d aria. Gli abachi e le tabelle seguenti consentono di calcolare i fattori di Darcy o le lunghezze equivalenti er varie tiologie di erdite localizzate. Il manuale ASHRAE Foundamentals riorta con grande dettaglio le metodologie di calcolo delle erdite localizzate er i canali dell aria. Al fine di ridurre sia le erdite di ressione che la rumorosità rodotta è ossibile inserire all interno dei canali oortuni setti guida che hanno lo scoo di evitare il distacco dei filetti fluidi e quindi evitare la formazione dei vortici. Figura 8: Perdite localizzate er una curva a sezione rettangolare

84 6 Figura 9: Perdite localizzate er le curve e nei canali rettangolari Figura 0: erdite localizzate er confluenze e searazioni

85 7 Figura : Combinazione dei flussi in una convergenza o searazione Figura : Perdite localizzate er una curva a sezione circolare

86 8 Figura 3: Perdite localizzate er i raccordi dei canali d aria

87 9 Figura 4: erdite localizzate er variazione di sezione dei canali d aria TEOREMA DI BORDA CARNOT Fra le erdite concentrate rivestono articolare imortanza le erdite di imbocco nel condotto e di sbocco dal condotto. Si dimostra er allargamenti o restringimenti bruschi (teorema di Borda Carnot) la erdita di ressione vale: w w [66] e quindi la erdita è data dalla variazione cinetica corrisondente alla variazione di sezione considerata. Se il fluido è fermo in un reciiente allora w =0 e quindi risulta: w imbocco [67]

88 0 Analogamente se il fluido sbocca in un grande reciiente nel quale la velocità finale è nulla DIAMETRO EQUIVALENTE AI FINI DELLA PORTATA Le relazioni finora riortate utilizzano il diametro del condotto quale elemento geometrico di riferimento. Sesso, erò, occorre utilizzare sezioni aventi geometria diversa e/o iù comlessa di quella circolare. Ad esemio sono molto utilizzate le sezioni rettangolari er i canali d aria o si ossono configurare geometrie iù comlesse negli scambiatori di calore (ad esemio a sezione esagonale er meglio riemire una sezione di assaggio). Ci chiediamo allora se è ossibile definire una grandezza di riferimento er qualsivoglia geometria in modo da otere continuare ad utilizzare le relazioni recedenti senza dover ricorrere a nuove riscritture e arzializzazioni. In effetti se ricordiamo l equazione di continuità (o di Leonardo) a regime stazionario er fluidi non comressibili: m w S [68] ossiamo dire che una equivalenza fra geometrie si ha sulla base del valore dell area della suerficie della sezione di assaggio S. Per la sezione circolare (suosta tutta bagnata dal fluido di assaggio) è ossibile scrivere: d P S d d [69] 4 4 dalla quale si uò ricavare: 4 S d [70] P La [70] consente, allora, di esrimere il diametro equivalente di una qualsivoglia sezione nella forma: 4 Sezione _ Passaggio dequivalente [7] Contorno _ Bagnato E bene che l Allievo ricordi questa definizione e si abitui ad usarla nel modo indicato. Facciamo qualche esemio. Se utilizziamo una sezione rettangolare di dimensioni a e b tutta bagnata dal fluido allora il diametro equivalente è dato dalla relazione: 4a b a b de [7] a b a b Se l altezza a è iccola risetto a b allora la [7] diviene: ab d e a [73] a b Pertanto il diametro equivalente è dato dalla somma delle due lati di dimensioni minori e le erdite di ressione, er la [73], sono tanto maggiori quanto minore è l altezza a. Segue da quanto detto che utilizzare i canali a sezione rettangolare non è semre del tutto equivalente risetto I canali circolari sono quelli che hanno erdite di ressione minore, a arità di ortata, risetto a qualsivoglia altra geometria. Purtroo non è agevole sistema questi canali all interno delle abitazioni oiché si verrebbe ad abbassare notevolmente l altezza utile dei vani ove questi canali assano. Si utilizzano, quindi, le sezioni rettangolari che resentano il grosso vantaggio di otere fissare liberamente l altezza e quindi di ridurre l inconveniente sora indicato. Ad esemio una sezione rettangolare di 300x00 mm equivale ad una sezione circolare di 480 mm: si vede bene come l abbassamento di un eventuale controsoffitto onga minori roblemi con il canale rettangolare che non con quello circolare.

89 all uso dei canali circolari a causa degli effetti di bordo che roducono maggiori erdite er attrito risetto ai condotti circolari. Questi effetti sono tanto maggiori quanto iù sono schiacciati i condotto rettangolari DIAMETRO EQUIVALENTE AI FINI DELLA PERDITA DI PRESSIONE Un concetto diverso si ha quando ci one il roblema di determinare il diametro equivalente non iù solamente a ari ortata di fluido bensì anche a ari erdita di ressione. Lo sviluo analitico è iù comlesso di quanto visto nel aragrafo recedente. Canali rettangolari Con riferimento alle geometrie circolari e rettangolari si erviene alla seguente relazione analitica: d ' e.3 ab a b con dimensioni tute esresse, come si è soliti fare nelle alicazioni imiantistiche, in mm. [74] Figura 5: Abaco er la selezione dei diametri equivalenti dei canali rettangolari

90 Figura 6: Canali a sezione rettangolari Si osserva che, a arità di ortata e di erdita di ressione, anche in conseguenza della [48], la velocità nel canale rettangolare è inferiore risetto a quella che avrebbe nel canale a sezione circolare e quindi la sezione del canale rettangolare equivalente deve essere maggiore di quella del canale circolare. Nei manuali secializzati è ossibile avere la [74] anche sotto forma tabellare, come riortato nella Tabella 5 e nella Figura 5. Canali ovali Per canali ovali il diametro equivalente a ari caduta di ressione è data dalla relazione: d e A.55 P 0.65 con A la sezione di assaggio del condotto ovale (mm²) data da: 0.5 b A ba b 4 e il erimetro P (mm) calcolato con la relazione: P b a b Ove a e b sono i diametri maggiore e minore del condotto ovale. Figura 7: Canali a sezione ovale

91 3 Tabella 5: Diametri equivalenti er sezioni rettangolari 6.6 RETI DI CONDOTTI Quanto sin qui esaminato consente di affrontare il roblema di rogettare le reti di condotti. E questo un roblema imortante sia er l imiantistica termotecnica (riscaldamento e condizionamento) che er quella idrica (sia er acqua fredda che calda di consumo) e antincendio. Progettare una rete vuol dire, sostanzialmente, determinare i diametri dei condotti che la comongono visto che le loro lunghezze sono, quasi semre, un roblema geometrico imosto dalla configurazione di imianto. Il roblema resenta asetti diversi a seconda che si abbiano circuiti aerti o circuiti chiusi COLLEGAMENTO IN SERIE DEI CONDOTTI Si ha un collegamento in serie quando la ortata di fluido che attraversa i condotti è semre la stessa, come indicato in Figura 9.

92 4 Ciascuno dei condotti ha suoi arametri: diametro, velocità e fattori di attrito (distribuito e localizzato). Se indichiamo con lt ed lt le lunghezze totali somma di quelle reali (resonsabili delle erdite er attrito distribuito) e quelle equivalenti di tutte le resistenze localizzate resenti in ciascun condotto, allora ossiamo alicare la [59] e scrivere : lt w lt w totale t t d d [75] Figura 8: Perdite localizzate er la raccorderia delle tubazioni Possiamo scrivere diversamente la [75] esrimendo la velocità in funzione della ortata mediante l equazione di continuità [68]. Infatti si ha: da cui deriva: m w S w d [76] 4 Si ricordi che l=.v e ertanto risulta =l.

93 5 4 m w m k [77] d d ove k indica un valore costante 4 caratteristico del fluido che scorre nel condotto. Tenendo conto della [77] la [75] diviene: lt l t totale t t 4 k m 4 d d d d che ossiamo ancora ordinare nella forma: totale R R m k [78] avendo indicata con resistenza totale fluidodinamica di ciascun tratto l esressione: l t 5 R K [79] d diendente solamente dai arametri fluidodinamici del tratto di condotto considerato. In K sono inglobati tutti i valori costanti numerici. Si conclude che er condotti in serie di sommano le resistenze fluidodinamiche di ciascun tratto COLLEGAMENTO IN PARALLELO DEI CONDOTTI Si ha un collegamento in arallelo quando i vari rami artono e arrivano tutti negli stessi unti e ertanto quando la caduta di ressione ai loro estremi è costante, come indicato in Figura 0. Adesso la ortata entrante in A si divide in due: ed. m m d,w, d,w, l l Figura 9: Collegamento in serie di condotti L elemento comune ai due tronchi è la differenza di ressione A-B.Semre alicando la [68] e la [48] si uò scrivere: l m l k K m 5 d d d [80] l,d,w, A B l,d,w Figura 0: Collegamento in arallelo dei circuiti

94 6 Allora la ortata totale diviene: m m m d Y d Y A A 5 5 l l ove nella [8] si sono indicate con A le aerture equivalenti dei singoli tronchi: 5 d A Y [8] l ove Y è una costante che raggrua tutti gli altri termini derivanti dalla relazione di Darcy. Possiamo dire, er la [8], che er i circuiti in arallelo si sommano le aerture equivalenti di ogni ramo collegato. [8] Figura : Perdite localizzate er alcuni tii di valvole er tubazioni

95 7 Figura : Lunghezze equivalenti di alcune resistenze localizzate Figura 3: Lunghezze equivalenti di alcuni tii di valvole

96 8 Figura 4: Lunghezze equivalenti er bruschi allargamenti o restringimenti Diametri nominali delle tubazioni Per le tubazioni in acciaio si hanno i dati riortati nella Tabella 6 er le tubazioni Gas e nella Tabella 7 er le tubazioni DIN. Tabella 6: Dati er tubazioni in acciaio Gas Per le tubazione in rame si hanno i dati di Tabella 8.

97 9 6.7 DISPOSITIVI PER LA CIRCOLAZIONE DEI FLUIDI Prima di rocedere alle roblematiche del dimensionamento delle reti occorre fare un breve cenno alle macchine che consentono ai fluidi di circolare: le ome er i liquidi e le soffianti er gli aeriformi LE POMPE DI CIRCOLAZIONE Le ome di circolazione sono di vario tio a seconda dell esigenza imiantistica da soddisfare. Non affronteremo in questa sede lo studio di questi comonenti di imianti in senso macchinistico ma vedremo solamente gli elementi necessari alla loro utilizzazione in sede rogettuale e imiantistica. Gli elementi che le caratterizzano sono: La ortata volumetrica qv [m³/s] o la ortata massica m [kg/s]; La revalenza in termini di altezza di colonna di fluido, z [m], (equazione [43]) o di ressione, [Pa], (equazione [46]); La otenza imressa al fluido, Pi [W]; La otenza elettrica imegnata nel motore di alimentazione, [W]; Il rendimento esresso come raorto fra la otenza ceduta al fluido e la otenza elettrica Pi imegnata nel motore di alimentazione: ; P L NPSH, altezza ositiva netta di asirazione, [m]. La velocità di rotazione n (giri al secondo, [s - ]. In Figura 8 si ha una raresentazione tiica delle caratteristiche di una oma di circolazione er una data velocità di rotazione (oma centrifuga). In ascissa è indicata la ortata volumetrica ma è anche ossibile avere la ortata massica 3. La otenza elettrica imegnata è data da: m g z P [83] Con P otenza elettrica, il rendimento globale della oma e z la differenza di revalenza manometrica. Per ome di tio centrifugo (quali sono le ome alle quali ci riferiremo nel rosieguo) al variare del numero di giri della girante si hanno le seguenti relazioni: qv n qv n [84] z n z n er le quali si uò suorre, con buona arossimazione, =. Queste relazioni risultano comode sia er costruire le curve caratteristiche al variare del numero di giri della girante, come raresentato in Figura 30 che er modificare i dati di imianto in sede di bilanciamento 4 della rete. 3 La ortata volumetrica è qv = ws mentre la ortata onderale è m ws q v. 4 Si vedrà in seguito cosa si intende er bilanciamento di una rete. Adesso basti saere che è un oerazione comlessa con la quale si cerca di equilibrare le ortate nei vari rami di un circuito.

98 30 Tabella 7: Dati er tubazioni in acciaio DIN Tabella 8: Dati er tubazioni in rame I Costruttori di circolatori sono soliti resentare una famiglia di comonenti con caratteristiche tali da ricorire aree di lavoro diverse. Le curve caratteristiche comlessive formano una diagramma a zone (o anche a conchiglia) come indicato in Figura 3.

99 3 Come si uò osservare, al variare della ortata volumetrica e della differenza di ressione generata si hanno famiglie, indicate con numeri, di curve in gradi di soddisfare le varie esigenze di imianto. All interno di ogni zona numerata si hanno iù curve caratteristiche del tio indicate in Figura 30 al variare del numero di giri: questi vengono variati mediante un reostato elettrico con tre o quattro osizioni (numeri di giri) ossibili. In Figura 3 si hanno le curve caratteristiche reali dei circolatori di Figura 5 sia installati singolarmente che in arallelo. Figura 5: Esemio di circolatori er acqua fredda e/o calda in versione singola o gemellata Figura 6: Schema di una elettrooma centrifuga Figura 7: Sezione di una elettrooma centrifuga

100 3 Figura 8: Curve caratteristiche di una oma di circolazione Figura 9: Zona di funzionamento ottimale di una oma Figura 30: Curve caratteristiche al variare del numero di giri

101 33 Figura 3: Diagramma a zone er le ome di circolazione Figura 3: Curve caratteristiche reali di circolatori singoli e in arallelo

102 LE SOFFIANTI Per muovere i fluidi aeriformi si utilizzano le soffianti (dette anche ventilatori). Esse sono macchine dotate di alette in grado di imrimere all aria (o al gas in generale) che l attraversa energia cinetica sufficiente a vincere le erdite di ressione della rete (o canalizzazione) seguente. In conseguenza dell incremento della velocità si ha un incremento della ressione dinamica ( ) che si aggiunge alla ressione statica rodotta. La somma della ressione statica e della ressione dinamica è detta ressione totale della soffiante. Le curve caratteristiche di queste macchine sono del tio indicato in Figura 33. Vi sono due tiologie di soffianti: a ale in avanti e a ale indietro. Esse si diversificano er la ressione totale che riescono a creare sul fluido. Le soffianti a ale in avanti sono utilizzate quando si richiedono elevate revalenze. In Figura 34 si ha una fotografia di un ventilatore reale inserito all interno di un contenitore insonorizzato er ridurre la rumorosità trasmessa nei canali d aria che da esso si diartono. Ventilatori centrifughi con ale in avanti Questo tio di ventilatore trova alicazione nelle Unità di Trattamento Aria costruite in serie e nelle quali la ressione statica rodotta non suera 00 Pa (0 mm. c.a.). w Figura 33: Curve caratteristiche di una soffiante del tio a ale in avanti Questi ventilatori hanno una curva caratteristica iatta e quindi con ridotto incremento di ressione con ortate d aria inferiori. Hanno anche un ingombro ridotto e costo inferiore alle altre tiologie. Per contro questi ventilatori resentano un rendimento inferiore risetto agli altri tii, la otenza assorbita dal motore aumenta roorzionalmente alla ortata d aria trattata e ertanto il motore deve essere necessariamente dimensionato er la ortata massima e rotetto dai sovraccarichi. Inoltre questi ventilatori non sono in genere adatti in imianti con elevate erdite di carico e quando si richiede una forte regolazione della ortata d aria trattata.

103 35 Figura 34: Ventilatore nel suo contenitore insonorizzato Ventilatori centrifughi con ale rovesce Questo tio di ventilatore viene imiegato nel caso si richiedano grandi ortate e con ressioni statiche sueriori a 00 Pa. In alcuni casi (con ortate elevate e quindi con grandi dimensioni frontali) le ale rovesce sono sostituite da ale con rofilo alare. Questi ventilatori hanno buoni rendimenti ed una curva caratteristica non soggetta a sovraccarichi: la otenza elettrica assorbita dal motore raggiunge un valore massimo er oi diminuire. Inoltre resentano buone caacità di adattamento alle condizioni di carico desiderate. Per contro la curva caratteristica resenta una notevole endenza e quindi generano un aumento rilevante della ressione quando la ortata d aria varia. In genere la configurazione a ale rovesce necessita di un maggiore ingombro ed ha un maggior costo risetto alle altre tiologie. Ventilatori assiali Questi ventilatori hanno ale a asso variabile e vengono imiegati negli imianti con ortate d aria molto elevate con ressioni statiche fini a 000 Pa. Presentano un buon rendimento ed una buona caacità di adattamento ai carichi grazie all orientabilità delle ale. Per contro la loro curva caratteristica resenta una endenza notevole. La loro convenienza si ha nei modelli che consentono la variazione del asso con giranti in moto. Hanno un costo elevato e ertanto non sono convenienti er unità di trattamento aria di tio standard.

104 36 Figura 35: Curve caratteristiche di un ventilatore a ale in avanti Figura 36: Curve caratteristiche di un ventilatore a ale rovesce

105 COLLEGAMENTI DI POMPE IN PARALLELO E IN SERIE Sesso occorre collegare fra loro due o iù ome er modificare in modo oortuno le caratteristiche comlessive. Se colleghiamo in arallelo due ome della stessa famiglia si ottiene un gruo che, oerando a ari erché in arallelo, consentono di avere ortate doie, come indicato in Figura 38. Se si collegano due ome in serie (stessa ortata di fluido) le curve caratteristiche si modificano come indicato in Figura 39: a ari ortata si ha un raddoio della differenza di ressione generata. Pertanto il collegamento in serie o in arallelo uò fornire curve caratteristiche comlessive che meglio si adattano alle esigenze imiantistiche nei casi in cui non siano disonibili a listino circolatori che risondono direttamente a queste esigenze erché si hanno ortate volumetriche troo grandi o differenze di ressioni troo elevate. Quanto detto er le ome di circolazione si uò alicare anche al collegamento in serie e in arallelo delle soffianti. Naturalmente sono da considerare con attenzione le roblematiche sui collegamenti delle soffianti. Figura 37: Curve caratteristiche di un ventilatore a ale rovesce a rofilo alare