DINAMICA DEI FLUIDI. Diretta generalizzazione della meccanica del punto materiale. Procedimento estremamente complicato.

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1 DINMIC DEI FLUIDI PPROCCIO LGRNGINO Descrie il moto di un fluido ensandolo scomosto in elementi infinitesimali di olume (le articelle fluide) di cui si cerca di esrimere osizione e elocità in funzione del temo. Diretta generalizzazione della meccanica del unto materiale. Particella fluida: orzione (macroscoica) di fluido sufficientemente iccola da essere in grado di descriere le rorietà locali del sistema, ma sufficientemente grande da far si che il fluido risulti costituito da un numero relatiamente iccolo di tali articelle. Procedimento estremamente comlicato. PPROCCIO EULERINO Descrie il moto di un fluido esrimendo, in ogni unto dello sazio occuato dal fluido, la massa olumica e la elocità del fluido stesso in funzione del temo. roccio statistico molto iù coneniente.

2 CRTTERISTICHE GENERLI DI UN FLUIDO IN MOTO Viscosità Fluidi newtoniani Suoniamo di intraolare un fluido tra due iani orizzontali distanti y e di muoere uno di essi risetto al sottostante (. figura); la forza che dobbiamo esercitare er mantenere il iano in moto relatio uniforme è (in modulo): F µ S u y con: µ coefficiente di iscosità (in kg m - s - ); S area dei iani; u elocità relatia.

3 ossia: F u τ µ S y con τ sforzo di taglio (in N m - ). La iscosità è una forma di attrito interno al fluido che si oone al moto relatio di uno strato sull altro. (edi sotto) Un fluido è definito newtoniano se µ diende solo dalla temeratura e dalla ressione e non dalla forza alicata. I fluidi newtoniani raresentano la maggior arte dei fluidi che si incontrano nella ita quotidiana (aria, acqua, olio...). Non sono inece newtoniani le ernici, il sangue, il dentifricio.

4 CRTTERISTICHE GENERLI DI UN FLUIDO IN MOTO ltre definizioni imortanti. Il fluido in moto uò essere comrimibile o incomrimibile. Se la massa olumica è costante risetto a x, y, z e t, il fluido è definito incomrimibile. In caso contrario iene detto comrimibile. N.B.: nche er gas largamente comrimibili, in molte situazioni le ariazioni di massa olumica sono trascurabili in tali casi essi ossono essere considerati incomrimibili.. Il fluido in moto uò essere iscoso o non iscoso. Il fluido si dice iscoso se un elemento di fluido, in moimento risetto ad elementi confinanti (o risetto a areti di confinamento), è soggetto ad una forza che ne ostacola il moto (iscosità o attrito interno). Se tale attrito interno uò essere trascurato, il fluido si uò considerare non iscoso. N.B.: Quanto maggiore è la iscosità tanto iù intensa è la forza esterna da alicare er mantenere il flusso. 3. Il regime di flusso uò essere stazionario o turbolento. Se in ciascun unto le grandezze che descriono il flusso (ressione, massa olumica, elocità) non ariano nel temo, il regime di flusso è detto stazionario. In caso contrario è detto turbolento. N.B.: In un flusso stazionario i alori delle arie grandezze ossono ariare da unto a unto, ma in ciascun unto non cambiano nel temo.

5 4. Il regime di flusso uò essere rotazionale o irrotazionale. Se un minuscolo oggetto, muoendosi con la corrente, non ruota intorno ad un asse assante er il suo centro di massa, il regime di flusso è chiamato irrotazionale. ltrimenti è detto rotazionale. N.B.: nche se un elemento di fluido descrie una traiettoria circolare, il regime di flusso uò aere ancora caratteristiche irrotazionali. Un fluido in moto si definisce ideale se è incomrimibile e non iscoso ed è in regime stazionario ed irrotazionale. LINEE E TUBI DI FLUSSO In un flusso stazionario il moto del fluido è descritto dalle cosiddette linee di flusso. In ciascun unto di una linea di flusso il ettore elocità risulta semre tangente alla linea stessa. Due linee di flusso non si ossono mai intersecare (nel unto d incrocio il ettore elocità non sarebbe uniocamente determinato ed il flusso non sarebbe iù stazionario).

6 Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso. La suerficie laterale di un tubo di flusso è costituita da linee di flusso nessuna linea di flusso uò attraersare tale suerficie il tubo di flusso si comorta come una conduttura reale La stessa quantità di fluido che entra da una estremità di un tubo di flusso dee uscire dall altra estremità.

7 L EQUZIONE DI CONTINUIT La massa di fluido che nel temo dt attraersa la sezione centrata intorno a P (. figura recedente) è: dm dv dt Si definisce ortata massica in P la grandezza: dm dt nalogamente in Q: dm dt Per la caratteristica di imermeabilità del tubo di flusso si ha: Essendo P e Q due unti qualsiasi si uò scriere, in generale: costante (Equazione di continuità: esrime la conserazione della massa nella dinamica dei fluidi)

8 Se il fluido è incomrimibile ( ), la recedente dienta: costante Per un fluido incomrimibile in regime stazionario la elocità di scorrimento in un tubo è inersamente roorzionale all area della sezione trasersale del tubo stesso. Ricordando che dv dt è il olume di fluido che nel temo dt attraersa la sezione trasersale di area, allora, introducendo la cosiddetta ortata olumica, si ha: dv Q dt costante Nel SI l unità di misura della ortata olumica è il m 3 /s.

9 Esemio di ortata olumica costante del flusso d acqua che esce da un rubinetto: allontanandosi da quest ultimo, il getto dienta semre iù sottile.

10 L EQUZIONE DI BERNOULLI Si consideri un fluido ideale che scorre in un tubo. Il laoro esterno totale eseguito sul sistema è: dl ext dl dm g ( y ) + dl + dl3 F dx F dx y dl ext dx dx dm g ( y ) () y

11 Per la incomrimibilità del fluido, risulta: dx dv dv dx dx dx dv dm Sostituendo in () si ha ertanto: dl ext dm ( ) dm g ( y y) La ariazione di energia cinetica nel temo dt è: dk dm dm Per il teorema dell energia cinetica: dk dl ext Quindi: dm dm dm ( ) dm g ( y y ) + g y g y ()

12 Poiché gli indici e raresentano osizioni scelte arbitrariamente (generiche), si uò scriere iù in generale: + + g y costante (Equazione di Bernoulli er fluidi ideali: esrime il rinciio di conserazione dell energia). Casi articolari della () a) Il fluido non scorre ( 0) + + g y g y ossia: + g ( y ) y Legge di Steino (ressione idrostatica) b) Il fluido scorre orizzontalmente (y y ) + +

13 Nei unti in cui la ressione è iù bassa la elocità del fluido è iù eleata, e iceersa. La grandezza ½ è detta ressione dinamica. PPLICZIONI DELL EQUZIONE DI BERNOULLI Il tubo di Venturi arecchio er determinare la elocità di un fluido in un condotto, tramite la misura della ressione nel condotto ed in una strozzatura in esso inserita (effettuata con i due manometri G e G ).

14 Per l equazione di continuità: Essendo il condotto orizzontale er l equazione di Bernoulli si ha: + + che dienta: + + In definitia: ) ( K doe K è una costante che diende dalla geometria del tubo e dalla densità del fluido.

15 La ortanza La ortanza, o forza di solleamento dinamico, è la forza diretta erso l alto che agisce su un coro er effetto del suo sostamento in un fluido. Esemio di ortanza sull ala di un aerolano. L ala è sagomata in modo tale che >, il che imlica er l equazione di Bernoulli che <. Ne scaturisce una ortanza: F ( ) ( ) doe è l area dell ala. questa forza si aggiunge quella douta al fatto che l ala deflette l aria erso il basso e quindi subisce una forza di reazione diretta erso l alto.