Un po di storia: Pompa a vite di Archimede ( A.C.)

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1 Un po di storia: Pompa a ite di Archimede (87- A.C.)

2 Nel corso del I secolo A.C. l architetto e ingegnere romano Vitruio introdusse la ruota idraulica,, una macchina che rioluzionò il sistema di macinazione. Nonostante t le numerose applicazioni i i della fluidodinamica di i ulteriori siluppi in questo campo furono ritardati dal fatto che, poco si sapea dei suoi principi teorici fondamentali. Dopo il contributo di Archimede (II sec. A.C.), doettero passare più di 800 anni prima che enisse compiuto un progresso significatio. ifi Ciò aenne per merito di Eangelista Torricelli ( ) 647), il quale nel 643 inentò il barometro.

3 I successii progressi della meccanica dei fluidi si ebbero per opera di due matematici sizzeri Daniel Bernoulli (700-78) 78) e Leonhard Euler ( ). Bernoulli scrisse nel 738 il trattato Hydrodynamica, ynam sie de iribus et motibus fluidorum commentarii, nel quale risolse molti problemi concreti di dinamica dei fluidi e dimostrò la legge di conserazione che porta il suo nome:teorema di Bernoulli. 3

4 Eulero nel 755, applicando allo studio dei fluidi i tre principi della dinamica enunciati da Isaac Newton, scrisse le equazioni fondamentali per il moto di fluidi ideali, cioè non iscosi. Eulero per primo riconobbe, inoltre, che l unica possibilità di enunciare leggi relatiamente am semplici per la dinamica dei fluidi fosse quella di limitare lo studio ai fluidi incomprimibili e ideali, ossia di trascurare gli effetti dell attrito interno. 4

5 I fluidi ideali sono delle approssimazioni dei fluidi reali. I risultati dell analisi di Eulero possono essere considerati solo una stima approssimata del comportamento dei fluidi reali. I primi i esperimenti sul moto a bassa elocità di fluidi iscosi i furono condotti: - nel 839 dal fisiologo Jean-Lèonard Lèonard-Marie Poiseuille ( ), interessato a determinare le proprietà della circolazione del sangue. -nel 840 dall ingegnere idraulico tedesco Gotthilf-Heinrich- Ludwig Hagen ( ). I primi tentatii di includere gli effetti della iscosità nelle equazioni matematiche del moto dei fluidi si deono inece all ingegnere francese Claude-Louis-Marie Naier ( ) e al matematico britannico George Gabriel Stokes (89-903) il quale, nel 845 formulò le 5 equazioni fondamentali per i fluidi iscosi incomprimibili.

6 Cenni sulla dinamica dei fluidi: Lo sforzo di taglio è una forza per unità di superficie che agisce parallelamente alla superficie considerata. F // S La pressione è una forza per unità di superficie che agisce perpendicolarmente p alla superficie considerata. F S Un fluido è un sistema continuo che non può opporre sforzo di taglio quando è a riposo. 6

7 Esperimento: Si ponga il materiale fra due lastre parallele e lo si sottoponga ad uno sforzo di taglio esterno ottenuto mediante un peso. La lastra che si sposta erso destra si muoerà con una certa elocità che è funzione di una proprietà del fluido che prende il nome di iscosità dinamica. La forza per unità di superficie della lastra, quindi lo sforzo di taglio esercitato sulla lastra, è proporzionale alla elocità di questa ed inersamente proporzionale alla distanza h tra le due lastre: F S // F// h S h 7

8 L equazione per lo sforzo di taglio in un fluido reale F S // h può essere generalizzata a due strati adiacenti di fluido separati da una distanza dy, entrambi in moimento nella direzione x. Adesso d rappresenta la differenza di elocità tra i due strati, e d/dy è la elocità di deformazione tangenziale o gradiente di elocità. L equazione dienta la così detta F d legge di Newton della iscosità: // = (T,p) S F// dy d S dy T - - p 8

9 F d F// S dy d S dy // [] [F] F F [ ][ T ]... [ M ][ L ][ T ] LT S [ S ][ ] L N kg U () SI s Pa s... m s x m dyne U () CGS s Ba s cm Poise 9

10 n = Quando il legame tra lo sforzo di taglio ed il gradiente di elocità é una costante, il fluido iene detto newtoniano. L acqua é un fluido newtoniano. n < F S // d F// dy d S dy Altrimenti il fluido è non newtoniano: n > F S // k d dy n k = iscosità apparente n > fluido dilatante n < fluido pseudoplastico 0

11 Equazione di continuità o bilancio di massa: La massa di fluido che entra da un estremo di un tubo dee uscire dall altro estremo se nel tratto considerato non si erificano altre entrate t o uscite di fluido che aggiungano o sottraggano materia. In un interallo di tempo t: m ( A t ) m ( A t ) A A

12 Portata in massa Q m e portata olumetrica Q V Le due portate sono entrambe costanti in ogni punto lungo un tubo se questo ha un unico punto di entrata ed un unico punto di uscita della corrente fluida. dm Q m dt V At A cos t t t dv Q V dt V A t A cost t t U ( Qm) SI U ( Q V ) SI kg s m 3 s Per es.: carburante Per es.: acqua

13 Teorema di Bernoulli per un fluido ideale, cioè un fluido incomprimibile e non iscoso manometro A cost A A se A A Se il fluido subisce un aumento della quota, la pressione in basso dorà essere maggiore della pressione alla sommità, se la elocità dee rimane costante. 3

14 Teorema di Bernoulli per un fluido ideale, cioè un fluido incomprimibile e non iscoso Non è altro che il principio di conserazione dell energia meccanica applicato ad un fluido ideale in moimento. p gh cost energia J [cos t ] [ ] U SI (cos t ) 3 olume m [ mgh] [ gh ] [ olume] [ m ] [ olume] [ [ psx] [ p] [ olume] ] 4

15 L_TOT = L_GRAV + L_PRESS = E_CINETICA L_GRAV(if) = (-Mg)(h_f h_i) = +Mg(h_i h_f) L_PRESS(if) = (p_i p_f)(m/) ) E_CINETICA = (/)M(_f) - (/)M(_i) Mg(h_i h_f) + (p_i p_f)(m/) ) = (/)M(_f) - (/)M(_i) / M & x g(h_i i h_f) + (p_i p_f) = (/)(_f) - (/)(_i) g(h_i) + (p_i) + (/)(_i) = g(h_f) + (p_f) + (/)(_f) 5

16 Venturimetro: applicazione del teorema di Bernoulli Strumento per la misura della elocità di un fluido in un tubo orizzontale nell ipotesi di un fluido ideale. 6

17 ) ( ) ( p p A A A A A A ) ( ) ( A ) ( ) ( A p p ) ( p p A A ) ( p p A A 7 ) ( ) ( p p A A A

18 Moto dei fluidi ideali e reali in regime laminare In un fluido ideale (non iscoso) tutte le Particelle di fluido in una sezione trasersale del tubo hanno la stessa elocità. In un fluido reale si manifesta Un attrito interno (iscosità) Tra strati adiacenti di fluido che scorrono l uno sull altro. Il fluido è in quiete icino alle pareti del tubo ed ha la massima elocità al centro del tubo. 8

19 Moto dei fluidi reali in regime laminare: Poiseuille Affichè un fluido reale ( 0) possa scorrere con moto laminare stazionario ( = cost) in un condotto cilindrico orizzontale, è necessario applicare una p p = (p p ) 0. 8 L p R R 4 dv dt 9

20 p 8 L dv dv R 4 dt dt R 8 4 L p R (R/) p p p x 4 Per mantenere costante la portata olumetrica Q V di un Fluido reale in moto in un tubo orizzontale in regime laminare se questo si restringe, bisogna aumentare la pressione secondo La Legge di Poiseille non c e una legge corrispondente in regime non laminare (turbolento). 0

21 Moto dei fluidi reali in regime non laminare (turbolento, orticoso) c > c r c R e r 8 L dv 8 L dv p R 4 dt p R 4 dt In regime laminare Q V = dv/dt = costante se manteniamo p p secondo la Legge di Poiseuille Passando da regime laminare a regime turbolento ( > c ) Q V = dv/dt si riduce pur mantenendo p p costante utilizzando la Legge di Poiseuille

22 Moto dei fluidi reali in regime non laminare (turbolento, orticoso) c r c R e r d F F S dr S d ( ) dr [ ] [ p][ T ] [ MLT L [ R e [ ][ r ][ ] ] [ p][ T ] R e r ][ T ] [ ML T 3 [ ML ][ L ][ LT ] 0 0 [ M L T [ ML T ] ] 0 ]

23 Moto dei fluidi reali in regime non laminare (turbolento, orticoso) Nascita di turbolenze se > c e se in presenza di: - ariazioni di sezione - gomiti, - rotture del condotto. Laminare Instabile Turbolento R e 3

24 Moto dei fluidi reali in regime non laminare (turbolento, orticoso) 4