Idraulica Equazione Indefinita Teorema di Bernoulli

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1 Idraulica Equaione Indefinita Teorema di Bernoulli armando carraetta 9/03/007

2 Equaione indefinita del moimento Consideriamo l equilibrio di un rismetto elementare di fluido in moimento Per l equilibrio del risma dee essere risettata la rima equaione cardinale della dinamica d dm 9/03/007

3 Equaione indefinita del moimento d dm d dmρ dxdyd è la massa elementare contenuta nel rismetto. è la risultante delle fore aenti sulla massa fluida, cioè : delle fore di massa ρfdm, deli sfori aenti attraerso il contorno del risma. è l acceleraione cui detta massa è soetta. 9/03/007 3

4 Equaione indefinita del moimento La risultante deli sfori aenti sulle coie di faccie ortoonali a ciascun asse è data dai tre termini: Φ x x Φ y Φ di conseuena la relaione di equilibrio si scrie: y ρ ( F ) Φ x x Φ y y Φ Equaione indefinita del moimento 9/03/007 4

5 Fluido ideale Per un fluido ideale, nel quale il moimento non da luoo a sfori taneniali, l equaione indefinita del moimento si scrie: ρ F i j k x y ( - ) rad () Equaione di Eulero 9/03/007 5

6 Iotesi del teorema di Bernoulli Per un fluido ideale: ρ ( - ) F rad () Soetto al solo camo raitaionale: F - rad () Incomrimibile ρ F - ρ rad () - rad ( ) 9/03/007 6

7 Terna intrinseca L equaione di Eulero si scrie: dv dt rad Introduciamo la terna intrinseca: s 9/03/007 7

8 9/03/007 8 Proieione sulla terna intrinseca artire dalla roieione luno s si ottiene: dt d s s t s t dt ds s t dt d s t dt d s )),s( ( t t

9 Variabilità della quota ieometrica b Per la: 0 la quota ieometrica luno la binormale è costante. n r Per la: la quota ieometrica luno la normale è eneralmente ariabile, tale ariabilità diende dal modulo della elocità e dal raio di curatura delle traiettorie. 9/03/007 9

10 9/03/007 0 Variabilità della quota ieometrica Per la: r n B B B dr r

11 Correnti radualmente ariate n r Per la: se il raio di curatura è molto rande risulta: costante Nel caso in cui i filetti fluidi siano sensibilmente rettilinei e aralleli la corrente si dice radualmente ariata e la ressione aria con lee idrostatica luno la normale n ai filetti. n 9/03/007

12 Teorema di Bernoulli Nell ulteriore iotesi di moto ermanente, (x, y, ), introducendo il carico totale: H Sinificato eneretico Otteniamo il teorema di Bernoulli: H s 0 9/03/007

13 Teorema di Bernoulli Nel moto ermanente di un fluido erfetto esante incomrimibile il carico totale si mantiene costante luno oni traiettoria H s 0 9/03/007 3

14 licaione Tubo di Pitot Per un fluido erfetto il carico totale è costante: Lo sarà anche tra le seioni e del disositio cost essendo e 0 si ha: e in definitia 9/03/007 4

15 Sinificato del teorema di Bernoulli d oni incremento di altea cinetica corrisonde una riduione di quota ieometrica 9/03/007 5

16 Estensione ad una corrente La otena della corrente, eneria che detta corrente fa assare nell unità di temo, dee essere costante P Q H dq H d d Nell iotesi di corrente radualmente ariata è ossibile interare i rimi due termini, ottenendo: V P α Q 9/03/007 6

17 Estensione ad una corrente Si è introdotto il coefficiente di Coriolis: α d V 3 Con questo artificio abbiamo eitato di solere il tero interale che diende dalla distribuione delle elocità untuali nella seione trasersale. Per la costana di P e di Q dorà risultare: H α V costante 9/03/007 7

18 9/03/007 8 licaione Venturimetro Per un corrente di fluido erfetto il carico totale è costante: Tra le seioni e del disositio Per la continuità della massa fluida e in definitia cost V α V V V V - m V V δ h δ V V Q m Q δ

19 Interretaione eneretica Il teorema di Bernoulli si resta alla seuente interretaione: V α l deflusso dq della massa fluida all interno del condotto è associato una eneria somma di tre contributi: quota della massa risetto al iano cui l eneria è riferita; altea ieometrica (quota irtualmente raiunta er effetto della ressione); eneria cinetica. costante 9/03/ H / V /

20 Estensione a fluidi reali Nelle correnti costituite da fluidi reali, er la resena delle dissiaioni, risulterà: H V α funione decrescente Potremo eraltro scriere una equaione di bilancio che tena conto delle erdite di carico di tio continuo o localiato: H ( s) H ( s0) s J( s) ds s 0 i λ i 9/03/007 0

21 Perdite continue e localiate 9/03/007