RACCOLTA DI ESERCIZI

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1 RCCOT DI ESERCIZI tratti da temi d esame ndrea Defina aosto --

2 Prefazione Questa dispensa raccolie di fatto alcuni dei temi di esame proposti ali studenti del corso di Complementi di Idraulica sia per la parte relatia al moto ario nelle condotte che per quella relatia alle correnti unidimensionali a superficie libera in condizioni di moto stazionario. Con riferimento alla prima parte, spesso nel testo si chiede di precisare e iustificare le ipotesi semplificatie introdotte. Nella descrizione delle soluzioni dei problemi qui riportate, le ipotesi adottate sono precisate ma non iustificate; e questo per eitare di appesantire l esposizione (le dimostrazioni dell applicabilità delle ipotesi semplificatie introdotte, infatti, sono sempre le stesse, descritte dettaliatamente nella dispensa che riporta li aspetti teorici del moto ario unidimensionale in pressione). In qualche caso, il testo dell esercizio contiene un rimando. d esempio nel testo dell Esercizio iene suerito di edere l Esercizio 7. Ciò sta ad indicare che il modo di risolere questi due esercizi è sostanzialmente lo stesso. Capito, quindi, come si procede nella soluzione di uno dei due esercizi, è possibile erificare l effettia comprensione cercando di risolere l altro. Con riferimento alla seconda parte, relatia ai canali, orrei solo chiarire che la maior parte delle alutazioni quantitatie qui riportate non sono strettamente richieste per superare la proa d esame. E sufficiente, in enere, alutare le caratteristiche del moto uniforme allo scopo di stabilire se la pendenza del fondo è inferiore o superiore a quella critica. Come per tutte le altre mie numerosissime dispense sono rato a quanti orranno senalarmi errori, precisazioni, suerimenti e commenti o orranno indicarmi spieazioni poco chiare o incomprensibili (a questo proposito olio ricordare che questa ersione di esercizi solti è stata preparata un po in fretta). Rinrazio Francesco ono e Matteo Coriele per la senalazione di alcuni errori. ndrea Defina Dipartimento di Ineneria Idraulica, Marittima mbientale e Geotecnica - Uniersità di Padoa. ia oredan, 353 PDOV defina@idra.unipd.it E ietata la riproduzione, interale o parziale, a meno che la stessa non sia stata preentiamente autorizzata dall autore. --

3 moto ario in pressione Esercizio (Vedi anche Esercizio 7). Nell impianto di solleamento illustrato in fiura, la alleria di mandata è luna 6 m ed è a sezione circolare con diametro interno D.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della alleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω8. m. Nell ipotesi semplificatia di trascurare tutte le dissipazioni di eneria si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico (si assuma come oriine per i lielli z la quota del serbatoio di alle). Si aluti inoltre il periodo T dell oscillazione. Per il caso particolare in cui a partire da condizioni iniziali di quiete per il sistema la portata solleata dalla pompa passi istantaneamente da Q p. a Q p Q p.5 m 3 /s si alutino il alore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto. Si determini quindi l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico assumendo che all istante t 3.5 T, la portata pompata sia incrementata al alore Q p 5. m 3 /s. Si alutino, a seuito di questa manora, il alore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto. Si rappresenti infine in un rafico l andamento z(t) per <t<6t. N.. Nel deriare la soluzione enerale à precisato l orientamento scelto per l ascissa curilinea (s) luno la quale si effettua l interazione nello spazio e anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo schema illustrato in Fi., si intera l equazione del moto ario unidimensionale tra i punti (superficie libera nel pozzo piezometrico) e 4 (superficie libera del serbatoio di alle 3 4 E 4 E ds ds ds j ds j ds j ds () t t t

4 moto ario in pressione Immainando che le dimensioni trasersali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano randi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la elocità, sia il termine / t sono piccoli luno i tratti - e 3-4 cosicché i corrispondenti interali possono essere trascurati. uno il tratto -3, inoltre, sia l accelerazione temporale / t che le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall interale. Fi. Non dipendendo la elocità dallo spazio ma solo dal tempo, la deriata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la deriata totale, ottenendo E 4 d E dt j in cui è la lunhezza della condotta tra le sezioni e 3, e j sono rispettiamente la elocità e le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza luno la condotta. eneria E ale E z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto 4 si ha E 4 (immainando che il serbatoio sia di randi dimensioni e quindi sia trascurabile l oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di eneria, come suerito nel testo, l equazione () dienta d z (3) dt questa relazione, nelle ariabili z(t) e (t) a associata l equazione di continuità che, per il nodo si scrie dz Q p ( t) Ω (4) dt essendo Ω(dz/dt) la portata che dal nodo entra nel pozzo e πd /4.767 m l area della condotta. Esplicitata la elocità dalla (4), ricordando che essendo la ariazione di portata pompata istantanea è dq p /dt per t>, si ha z dq ( t) + d Ω d d z p Ω dt dt dt dt () la quale, sostituita nella (3) fornisce z Ω d z dt (5) Posto --

5 moto ario in pressione ω Ω l'equazione (5) si scrie d z + ω z dt (6) (7) a soluzione enerale dell equazione (7) è del tipo z C sen ω t) + C cos( ω ) (8) ( t e costanti di interazione C e C anno determinate utilizzando le seuenti condizioni al contorno t z dz dt Ω ( Q ) p in cui e Q p.5 m 3 /s sono la elocità in condotta e la portata pompata all istante t. Si troa C Q p ω Ω C Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (6)) ale.368 s -, a cui corrisponde il periodo Tπ/ω7.73 s. Si ha inoltre C 8.49 m. Se si considera, per le quote, il riferimento oriinario, il massimo e il minimo liello nel pozzo alono h MX m e h MIN 49.5 m, pertanto le oscillazioni risultano contenute all interno del pozzo piezometrico. In particolare, all istante t 3.5T, il liello nel pozzo (dalla (8)) ale z m mentre la elocità in condotta si troa combinando le equazioni (4) e (8) ( t ) Q p dz Ω dt [ Qp ΩωC cos( ω t )] t (9) [ Q ( Q ) cos( ω t )] p t p Sostituendo i dati del problema nella (9) si troa.89 m/s. ll istante t la portata pompata passa istantaneamente da Q p a Q p 5 m 3 /s. seuito di questa manora si modificheranno le oscillazioni di liello nel pozzo piezometrico. E da osserare che la soluzione enerale resta immutata ed è sempre fornita dalla (8). Per la soluzione particolare deono essere però precisati nuoi alori per le costanti C e C imponendo, in particolare, le seuenti condizioni t t Si troa z z dz dt Ω ( Q ( t ) p ) -3-

6 moto ario in pressione C C per cui, a partire dall istante t, il liello nel pozzo resta costante (z) come pure la elocità in condotta, che dalla continuità dz dt ( Q ( t) ) p Ω risulta alere (t)q p /.89 m/s. andamento nel tempo del liello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fi. mentre nella successia Fi. 3 è riportato l andamento nel tempo della elocità nella condotta. Fi. Fi. 3-4-

7 moto ario in pressione Esercizio (Vedi anche Esercizio 8). a condotta di scarico illustrata in fiura, luna complessiamente 5 m è diisa in due tratti (le cui caratteristiche sono indicate nella stessa fiura) per i quali si può assumere lo stesso alore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f.. Si alutino preliminarmente la portata scaricata e le elocità dell acqua nei due tratti di condotta in condizioni di reime quando la saracinesca R è completamente aperta e non dà luoo a dissipazioni localizzate di eneria. ssumendo che per t< la saracinesca R sia chiusa e ena aperta istantaneamente all istante t, si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l aiamento della condotta. Indiiduata la lee con cui la elocità in uno dei due tratti di condotta (oppure la portata) cresce nel tempo fino a raiunere le condizioni di reime si aluti (analiticamente) l andamento nel tempo dell eneria in corrispondenza della sezione N. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno precisate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. e caratteristiche del moto quando la saracinesca R è completamente aperta si possono calcolare attraerso un semplice bilancio di eneria tra il serbatoio e lo sbocco R. Indicati, per comodità, con i pedici e rispettiamente i tratti -N e N-R di condotta, si ha E j j E R Utilizzando l equazione di continuità per una corrente unidimensionale e la lee di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di eneria si ha Q h f f hr + () d d oero f f h hr d + + () d -5-

8 moto ario in pressione -6- Con i dati del problema, si troa 7.6 m/s,.9 m/s e Q.5 m 3 /s. Consideriamo ora il problema di moto ario. Interiamo l equazione del moto tra il serbatoio e lo sbocco R. Nell ipotesi di trascurare le elocità e le accelerazioni nel serbatoio si troa R N N R N N R ds j ds j ds t ds t E E () Ricordando che, in ipotesi anelastiche, luno le condotte sono costanti nello spazio sia l accelerazione temporale / t che le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza j, l equazione () può essere riscritta come seue d f d f t t h h R + Utilizzando l equazione di continuità () per sostituire la elocità alla elocità, si ottiene d f d f t h h R (3) Posto h h R h + d f d f r + l equazione (3) si semplifica nella seuente r t h ) ( + + (4) Che formalmente corrisponde all equazione ià ista per studiare l aiamento di una condotta. Con i dati del problema, si troa /.5, m, r3.75. Seuendo lo stesso procedimento isto per l aiamento di una condotta, consideriamo la condizione di reime, data dall equazione () che può essere riscritta come seue r h ) ( + Esplicitata la precedente relazione rispetto a (+r) e sostituita l espressione così ottenuta per (+r) nell equazione (4) si troa t h (5) Posto T a /h.7 s, la precedente relazione dienta / / ) / ( T t a la quale, risolta con la condizione al contorno: per t, fornisce

9 moto ario in pressione t T a arctanh oero t tanh T a (6) Per alutare l andamento nel tempo dell eneria nel nodo N, si può, indifferentemente considerare l equazione dinamica interata tra il serbatoio e la sezione N, oppure tra la sezione N e lo sbocco R. In questo secondo caso si ha E R E N R t R ds N N j ds che può essere riscritta come seue f EN hr (7) t d Essendo nota (t), la precedente relazione fornisce l andamento nel tempo dell eneria nella sezione N. Si osseri, per altro, che dalla (5) si può scriere t h a quale, sostituita nella (7) fornisce f EN hr + h + (+ r ) + d andamento nel tempo della elocità nel tratto N-R ( ) e dell eneria E N nella sezione N sono illustrati in Fi. 4. Fi. 4-7-

10 moto ario in pressione Esercizio 3. a condotta di scarico illustrata in fiura, di diametro d.8 m, è luna complessiamente 45 m ed è munita di una saracinesca R che, se completamente aperta, non dà luoo ad alcuna dissipazione localizzata di eneria. Per la alutazione delle dissipazioni di eneria continue luno la condotta si può assumere un alore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f.. Inizialmente (t<), le condizioni di moto sono stazionarie e la saracinesca R è parzialmente chiusa e determina una dissipazione localizzata di eneria pari a ΔE R 37. /. Si aluti, in queste condizioni la elocità nella condotta. ll istante t la saracinesca R iene (istantaneamente) aperta. Si aluti la elocità di reime nelle nuoe condizioni, la lee con cui la elocità in condotta aria da a e l istante in cui la elocità in condotta raiune il alore.99. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno precisate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. e caratteristiche iniziali del moto quando la saracinesca R è parzialmente chiusa si possono calcolare attraerso un semplice bilancio di eneria tra il serbatoio e lo sbocco U E j ΔE E R U Utilizzando la lee di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di eneria, e le altre indicazioni riportate in fiura, si ha h f hu d (8) Con i dati del problema, si troa.36 m/s e Q.87 m 3 /s. Per alutare le condizioni di reime una olta che la saracinesca R ena completamente aperta si utilizza ancora l equazione (8) nella quale, però, è omesso il contributo della dissipazione localizzata. Con i dati del problema, si troa m/s e Q.38 m 3 /s. Consideriamo ora il problema di moto ario. Interiamo l equazione del moto tra il serbatoio e lo sbocco U. Nell ipotesi di trascurare le elocità e le accelerazioni nel serbatoio si troa -8-

11 moto ario in pressione E U E U t U ds j ds (9) Si osseri, nella (9), che non è presente la dissipazione localizzata di eneria. Ricordando che, in ipotesi anelastiche, luno la condotta è costante nello spazio sia l accelerazione temporale / t che la dissipazione di eneria per unità di lunhezza j, l equazione (9) può essere riscritta come seue h U Posto f + h () t d h h h R r f / d l equazione () si semplifica nella seuente h + ( r t + ) () Che formalmente corrisponde all equazione ià ista per studiare l aiamento di una condotta. Con i dati del problema, si troa r.5. Seuendo lo stesso procedimento isto per l aiamento di una condotta, consideriamo la condizione di reime, che può essere riscritta come seue h ( r + ) Esplicitata la precedente relazione rispetto a (+r) e sostituita l espressione così ottenuta per (+r) nell equazione () si troa h t Posto T a /h 5.5 s, la precedente relazione dienta ( t / T a / ) / la quale, interata, si scrie t arctanh T +cost. (3) a a costante di interazione si determina sapendo che per t la elocità in condotta ale. Sostituita questa condizione nella (3) si troa cost-arctanh e quindi () -9-

12 moto ario in pressione t T a arctanh -arctanh (4) oero. t tanh T a + arctanh (5) andamento nel tempo della elocità espressa dalla (5) è illustrato in Fi. 5. Fi. 5 Per alutare a che istante la elocità raiune il alore m/s, basta sostituire questo alore nell equazione (4). Si troa t4.5 s. --

13 moto ario in pressione Esercizio 4 (Vedi anche Esercizio 9). Nel sistema illustrato in fiura, la alleria è luna 8 m ed è a sezione circolare con diametro interno d. m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della alleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω. m. Per t< (t è il tempo) il sistema è a reime e luno la alleria fluisce la portata Q Q f.5 m 3 /s e, nell ipotesi semplificatia di trascurare tutte le dissipazioni di eneria, il liello z nel pozzo coincide con quello nel serbatio di monte. partire dall istante t iene immessa nel pozzo piezometrico la portata ΔQ3. m 3 /s, costante nel tempo (edi fiura). Si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico. Si aluti inoltre il periodo T dell oscillazione e l andamento nel tempo delle elocità in condotta, e si commenti il risultato ottenuto. Si determini quindi l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico assumendo che all istante t.5 T, la portata immessa ΔQ si riduca istantaneamente a zero. Si alutino, a seuito di questa manora, il alore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto. Si rappresenti infine in un rafico l andamento z(t) per <t<6t. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si intera l equazione del moto ario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio (che sarà indicato come punto ) e la superficie libera nel pozzo piezometrico (che sarà indicato come punto ) E E ds ds ds j ds j ds j ds t t t Immainando che le dimensioni trasersali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano randi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la elocità, sia --

14 moto ario in pressione il termine / t sono piccoli luno i tratti - e - cosicché i corrispondenti interali possono essere trascurati. uno il tratto -, inoltre, sia l accelerazione temporale / t che le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall interale. Non dipendendo la elocità dallo spazio ma solo dal tempo, la deriata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la deriata totale, ottenendo E d E dt j in cui è la lunhezza della condotta tra le sezioni e, e j sono rispettiamente la elocità e le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza luno la condotta. Si assume, per comodità, il liello del serbatoio di monte come riferimento. In tal caso l eneria E ale E z (aendo indicato con z il liello nel pozzo piezometrico e nell ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo), mentre nel punto si ha E. m (immainando che il serbatoio sia di randi dimensioni e quindi sia trascurabile l oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di eneria, come suerito nel testo, l equazione (6) dienta z d dt questa relazione, nelle ariabili z(t) e (t) a associata l equazione di continuità. Per il nodo si può scriere Q ( t) + p Q f (6) (7) in cui 3.4 m è l area della condotta e Q p (t) è la portata che dal nodo entra nel pozzo piezometrico (Q f è indicato in fiura e resta costante nel tempo). questa relazione si può associare l equazione di continuità per un serbatoio Q p dz ( t) + ΔQ Ω dt Combinando le due precedenti relazioni si troa dz Ω ΔQ + Q dt f (8) da cui, essendo ΔQ3. m 3 /s costante nel tempo a partire da t, si ha d dt Ω d z dt Sostituita questa espressione per d/dt nella (7) e posto ω Ω si troa d z + ω z dt (9) (3) --

15 moto ario in pressione a soluzione enerale dell equazione (3) è del tipo z C sen ω t) + C cos( ω ) (3) ( t e costanti di interazione C e C anno determinate utilizzando le seuenti condizioni al contorno t z dz dt Ω ( + ΔQ ) Q f la seconda delle quali è l equazione di continuità (8) esplicitata rispetto a dz/dt e calcolata per t. Essendo Q f Q.5 m 3 /s, Q /.477 m/s e ΔQ3. m 3 /s, si troa + ΔQ Qf ΔQ C 6.68 m ω Ω ω Ω C Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (9)) ale.378 s -, a cui corrisponde il periodo Tπ/ω66.34 s. andamento nel tempo dei lielli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla seuente relazione ΔQ z sen( ω t) ω Ω Considerando le quote oriinali, i alori massimo e minimo del liello nel pozzo alono quindi h MX 6.6 m e h MIN 3.38 m. oscillazione, quindi, resta contenuta all interno del pozzo. Con riferimento alla soluzione ottenuta è da osserare che il risultato, in termini di liello nel pozzo piezometrico, è indipendente dal alore assunto dalla portata Q f. Noto l andamento z(t), utilizzando l equazione (8) si ottiene anche l andamento nel tempo della elocità [ Qf + ΔQ ( cos( ω t) ) ] (33) In particolare, all istante t.5t45.85 s, il liello nel pozzo (dalla (3)) ale z m mentre la elocità in condotta dalla (33) ale -.43 m/s. ll istante t la portata immessa si riduce istantaneamente a zero e, a seuito di questa manora, si modificheranno le oscillazioni di liello nel pozzo piezometrico. E da osserare che la soluzione enerale resta immutata ed è sempre fornita dalla (3). Per la soluzione particolare deono essere però precisati nuoi alori per le costanti C e C imponendo, in particolare, le seuenti condizioni t t Si troa z z dz dt Ω ( ) Q f (3) -3-

16 moto ario in pressione C 3.37 C per cui, a partire dall istante t, il liello nel pozzo oscilla con un ampiezza doppia rispetto alla precedente. nche la elocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere alutato utilizzando l equazione di continuità (8) con ΔQ ω ) + [ ΩC ω cos( t ] Q f risulta caratterizzata da oscillazioni di ampiezza doppia rispetto alla precedente pur restando inariato il alore minimo. andamento nel tempo del liello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fi. 6 mentre nella successia Fi. 7 è riportato l andamento nel tempo della elocità nella condotta. seuito di questa seconda manora i alori massimo e minimo del liello nel pozzo alono h MX 33.4 m e h MIN 6.76 m. oscillazione, quindi, non è contenuta all interno del pozzo. Fi. 6 Fi. 7-4-

17 moto ario in pressione Esercizio 5. Nel sistema illustrato in fiura, la condotta è luna m ed è a sezione circolare con diametro interno d.3 m. Il serbatoio è cilindrico con una sezione orizzontale Ω.6 m. Per t< (t è il tempo) il sistema è in quiete con il liello nel serbatoio coincidente con la quota di sbocco. partire dall istante t iene immessa nel serbatoio la portata ΔQ. m 3 /s, costante nel tempo. ssumendo per ipotesi che il liello dell acqua in corrispondenza dello sbocco non scenda mai al di sotto del liello di riferimento e assumendo trascurabili le dissipazioni di eneria e i termini cinetici, si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo del liello z nel serbatoio. Si erifichi quindi la correttezza dell ipotesi fatta. Si aluti inoltre il periodo T dell oscillazione e l andamento nel tempo delle elocità in condotta. Si determini poi l andamento nel tempo del liello z nel serbatoio e della elocità in condotta assumendo che all istante t.5. T, la portata immessa sia istantaneamente incrementata al alore ΔQ.5 m 3 /s. Si erifichi anche in questo caso che il liello dell acqua in corrispondenza dello sbocco non scenda mai al di sotto del liello di riferimento. Si rappresenti infine in un rafico l andamento z(t) per <t<3t. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si intera l equazione del moto ario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio (punto ) e lo sbocco E E ds t ds t j ds j ds -5-

18 moto ario in pressione Immainando che le dimensioni trasersali del serbatoio siano randi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la elocità, sia il termine / t sono piccoli luno il tratto - cosicché i corrispondenti interali possono essere trascurati. uno il tratto -, inoltre, sia l accelerazione temporale / t che le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall interale. Non dipendendo la elocità dallo spazio ma solo dal tempo, la deriata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la deriata totale, ottenendo E d E dt j in cui è la lunhezza della condotta tra le sezioni e, e j sono rispettiamente la elocità e le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza luno la condotta. Nell ipotesi di trascurare i termini cinetici (edi testo), l eneria E ale E z mentre nel punto si ha E. m (immainando che il liello dell acqua nella condotta non scenda mai sotto la quota di sbocco). Trascurando le dissipazioni di eneria, come suerito nel testo, l equazione (34) dienta d z (35) dt questa relazione, nelle ariabili z(t) e (t) a associata l equazione di continuità Per il nodo si può scriere Q p (t) in cui.77 m è l area della condotta e Q p (t) è la portata che dal nodo entra nel pozzo piezometrico. questa relazione si può associare l equazione di continuità per un serbatoio dz Q p ( t) + ΔQ Ω dt (34) Combinando le due precedenti relazioni si troa ΔQ Ω dz dt (36) da cui, essendo ΔQ. m 3 /s costante nel tempo a partire da t, si ha d dt Ω d z dt Sostituita questa espressione per d/dt nella (35) e posto ω Ω si troa d z + ω z dt (37) (38) -6-

19 moto ario in pressione a soluzione enerale dell equazione (38) è del tipo z C sen ω t) + C cos( ω ) (39) ( t e costanti di interazione C e C anno determinate utilizzando le seuenti condizioni al contorno t z dz dt Ω ( ΔQ ) la seconda delle quali è l equazione di continuità (36) esplicitata rispetto a dz/dt e calcolata per t. Essendo m/s e ΔQ. m 3 /s, si troa ΔQ ΔQ C.77 m ω Ω ω Ω C Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (37)) ale.9 s -, a cui corrisponde il periodo Tπ/ω7.4 s. andamento nel tempo dei lielli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla seuente relazione ΔQ z ω Ω sen( ω t) Noto l andamento z(t), utilizzando l equazione (36) si ottiene anche l andamento nel tempo della elocità ΔQ [ cos( ω t) ] a elocità risulta sempre positia o al più nulla e questo arantisce un liello nella parte terminale della condotta sempre coincidente con la quota dello sbocco. ipotesi di laoro è quindi erificata. In particolare, all istante t.5t4. s, il liello nel pozzo (dalla (4)) ale z m mentre la elocità in condotta dalla (4) ale.89 m/s. ll istante t la portata immessa si incrementa istantaneamente al alore ΔQ.5 m 3 /s e, a seuito di questa manora, si modificheranno le oscillazioni di liello nel pozzo piezometrico. E da osserare che la soluzione enerale resta immutata ed è sempre fornita dalla (39). Per la soluzione particolare deono essere però precisati nuoi alori per le costanti C e C imponendo, in particolare, le seuenti condizioni t t Si troa z z dz dt Ω ( ΔQ ) (4) (4) -7-

20 moto ario in pressione C Q Ωω Ωω ( ΔQ ) ( ΔQ Δ ) m C per cui, a partire dall istante t, il liello nel serbatoio oscilla con un ampiezza ridotta. nche la elocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere alutato utilizzando l equazione di continuità (36) nella quale sia sostituito ΔQ a ΔQ, continua ad oscillare con un ampiezza ridotta restando però inariato il suo alore massimo ΔQ ΔQ ΔQ + cos( ω t) (4) andamento nel tempo del liello nel serbatoio è illustrato in Fi. 8 mentre nella successia Fi. 9 è riportato l andamento nel tempo della elocità nella condotta. Fi. 8 Fi. 9-8-

21 moto ario in pressione Esercizio 6. Nel sistema illustrato in fiura, la condotta che collea i serbatoi e è luna m ed è a sezione circolare con diametro interno d. m. I serbatoi e sono cilindrici con sezione orizzontale Ω.3 m e Ω.5 m, rispettiamente Per t< (t è il tempo) il sistema è in quiete con le superfici libere nei due serbatoi alla stessa quota, che può essere assunta come quota di riferimento. partire dall istante t iene immessa nel serbatoio la portata Q. m 3 /s e la stessa portata iene sottratta dal serbatoio. Si aluti, preliminarmente, il leame tra i lielli z nel serbatoio e y nel serbatoio. Successiamente, assumendo, per ipotesi, trascurabili le dissipazioni di eneria e i termini cinetici, si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo dei lielli z e y. Si aluti inoltre il periodo T dell oscillazione e l andamento nel tempo delle elocità nella condotta. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Per la conserazione dei olumi è eidente che, in oni istante, il olume presente nel sistema resta inariato. Pertanto, ad un incremento di olume immaazzinato nel serbatoio pari a Ω. Δz; dee corrispondere un olume sottratto al serbatoio pari Ω. Δy. Essendo y quando z per il riferimento assunto, si arà Ω y Ω z Il problema di moto ario può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si intera l equazione del moto ario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio (punto ) e la superficie libera nel serbatoio (punto 4) nell ipotesi, suerita dal testo, di trascurare le dissipazioni di eneria E 4 E ds t 3 ds t 4 3 ds t Immainando che le dimensioni trasersali dei due serbatoi siano randi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la elocità, sia il termine / t sono (43) -9-

22 moto ario in pressione piccoli luno i tratti - e 3-4 cosicché i corrispondenti interali possono essere trascurati. uno il tratto -3, inoltre, l accelerazione temporale / t è costante nello spazio e può essere portata fuori dall interale. Non dipendendo la elocità dallo spazio ma solo dal tempo, la deriata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la deriata totale, ottenendo E 4 d E dt in cui e sono rispettiamente la lunhezza della condotta e la elocità del fluido. Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile, utilizzando inoltre il leame espresso dalla (43), la precedente relazione può essere scritta come seue Ω Ω + z d dt (44) Indicata con l area della sezione della condotta, per continuità si può scriere dz dz Q Ω oero Q Ω dt dt Sostituita questa espressione per nella (44) si ottiene Ω Ω Ω d z + z dt Posto infine ω si troa Ω Ω + d z + ω z dt Ω (45) (46) (47) (48) a soluzione enerale dell equazione (48) è del tipo z C sen ω t) + C cos( ω ) (49) ( t e costanti di interazione C e C anno determinate utilizzando le seuenti condizioni al contorno t z dz Q dt Ω la seconda delle quali è l equazione di continuità (45) calcolata per t. Con i dati del problema, essendo, si troa Q C.6 m C ω Ω --

23 moto ario in pressione Inoltre, la pulsazione ω (equazione (47)) ale.8 s -, a cui corrisponde il periodo Tπ/ω49. s. Gli andamenti nel tempo dei lielli z e y nei due serbatoi sono quindi forniti dalle seuenti relazioni (Fi. ) Q Ω Q z sen( ω t) y z sen( ω t) (5) ω Ω Ω ω Ω Noto l andamento z(t), utilizzando l equazione (45) si ottiene anche l andamento nel tempo della elocità (Fi. ) Q [ cos( ω t) ] (5) Fi. Fi. --

24 moto ario in pressione Esercizio 7 (Vedi anche Esercizio ). Nell impianto di solleamento illustrato in fiura, la alleria di mandata è luna 8 m ed è a sezione circolare con diametro interno D. m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della alleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω. m. Nell ipotesi semplificatia di trascurare tutte le dissipazioni di eneria si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico (si assuma come oriine per i lielli z la quota del serbatoio di alle). Si aluti inoltre il periodo T dell oscillazione. Per il caso particolare in cui a partire da condizioni iniziali di quiete per il sistema la portata solleata dalla pompa passi istantaneamente da Q p. a Q p Q p 5. m 3 /s si alutino il alore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto. Si determini quindi l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico assumendo che all istante t 3.5 T, la portata pompata si riduca al alore Q p.5 m 3 /s. Si alutino, a seuito di questa manora, il alore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto. Si rappresenti infine in un rafico l andamento z(t) per <t<6t. N.. Nel deriare la soluzione enerale à precisato l orientamento scelto per l ascissa curilinea (s) luno la quale si effettua l interazione nello spazio e anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo schema illustrato in Fi., si intera l equazione del moto ario unidimensionale tra i punti (superficie libera nel pozzo piezometrico) e 4 (superficie libera del serbatoio di alle 3 4 E 4 E ds ds ds j ds j ds j ds (5) t t t

25 moto ario in pressione Immainando che le dimensioni trasersali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano randi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la elocità, sia il termine / t sono piccoli luno i tratti - e 3-4 cosicché i corrispondenti interali possono essere trascurati. uno il tratto -3, inoltre, sia l accelerazione temporale / t che le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall interale. Fi. Non dipendendo la elocità dallo spazio ma solo dal tempo, la deriata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la deriata totale, ottenendo E 4 d E dt j in cui è la lunhezza della condotta tra le sezioni e 3, e j sono rispettiamente la elocità e le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza luno la condotta. eneria E ale E z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto 4 si ha E 4 (immainando che il serbatoio sia di randi dimensioni e quindi sia trascurabile l oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di eneria, come suerito nel testo, l equazione (53) dienta d z (54) dt questa relazione, nelle ariabili z(t) e (t) a associata l equazione di continuità che, per il nodo si scrie dz Q p ( t) Ω (55) dt essendo Ω(dz/dt) la portata che dal nodo entra nel pozzo e πd /43.4 m l area della condotta. Esplicitata la elocità dalla (55), ricordando che essendo la ariazione di portata pompata istantanea è dq p /dt per t>, si ha z dq ( t) + d Ω d d z p Ω dt dt dt dt (53) la quale, sostituita nella (54) fornisce z Ω d z dt (56) Posto -3-

26 moto ario in pressione ω Ω l'equazione (56) si scrie d z + ω z dt (57) (58) a soluzione enerale dell equazione (58) è del tipo z C sen ω t) + C cos( ω ) (59) ( t e costanti di interazione C e C anno determinate utilizzando le seuenti condizioni al contorno t z dz dt Ω ( Q ) p in cui e Q p 5. m 3 /s sono la elocità in condotta e la portata pompata all istante t. Si troa C Q p ω Ω C Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (57)) ale.378 s -, a cui corrisponde il periodo Tπ/ω66.34 s. Si ha inoltre C.3 m. Se si considera, per le quote, il riferimento oriinario, il massimo e il minimo liello nel pozzo alono h MX 69.3 m e h MIN m, pertanto le oscillazioni risultano contenute all interno del pozzo piezometrico. In particolare, all istante t 3.5T, il liello nel pozzo (dalla (59)) ale z m mentre la elocità in condotta si troa combinando le equazioni (55) e (59) ( t ) Q p dz Ω dt [ Qp ΩωC cos( ω t )] t (6) [ Q ( Q ) cos( ω t )] p t p Sostituendo i dati del problema nella (6) si troa 3.83 m/s. ll istante t la portata pompata passa istantaneamente da Q p a Q p.5 m 3 /s. seuito di questa manora si modificheranno le oscillazioni di liello nel pozzo piezometrico. E da osserare che la soluzione enerale resta immutata ed è sempre fornita dalla (59). Per la soluzione particolare deono essere però precisati nuoi alori per le costanti C e C imponendo, in particolare, le seuenti condizioni t t Si troa z z dz dt Ω ( Q ( t ) p ) -4-

27 moto ario in pressione C C per cui, a partire dall istante t, il liello nel pozzo oscilla con un ampiezza superiore del 5% rispetto alla precedente. nche la elocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere alutato utilizzando l equazione di continuità (55) Q dz dt [ Q ΩC ω cos( ω )] p Ω p t risulta caratterizzata da oscillazioni più ampie pur restando inariato il alore massimo. andamento nel tempo del liello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fi. 3 mentre nella successia Fi. 4 è riportato l andamento nel tempo della elocità nella condotta. Fi. 3 Fi. 4-5-

28 moto ario in pressione Esercizio 8 (Vedi anche Esercizio ). a condotta di scarico illustrata in fiura, luna complessiamente 5 m è diisa in tre tratti (le cui caratteristiche sono indicate nella stessa fiura) per i quali si può assumere lo stesso alore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f.. Si alutino preliminarmente la portata scaricata e le elocità dell acqua nei tre tratti di condotta in condizioni di reime quando la saracinesca R è completamente aperta e non dà luoo a dissipazioni localizzate di eneria. ssumendo che per t< la saracinesca R sia chiusa e ena aperta istantaneamente all istante t, si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l aiamento della condotta. Indiiduata la lee con cui la elocità in uno dei tre tratti di condotta (oppure la portata) cresce nel tempo fino a raiunere le condizioni di reime si aluti (analiticamente) l andamento nel tempo dell eneria in corrispondenza della sezione M. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno precisate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. e caratteristiche del moto quando la saracinesca R è completamente aperta si possono calcolare attraerso un semplice bilancio di eneria tra il serbatoio e lo sbocco R. Indicati, per comodità, con i pedici, e 3 rispettiamente i tratti -M, M-N e N-R di condotta, si ha E j j j 33 E R Utilizzando l equazione di continuità per una corrente unidimensionale e la lee di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di eneria si ha Q 3 3 oero h f f f hr + (6) d d d 3-6-

29 moto ario in pressione -7- d f d f d f h h R (6) Con i dati del problema, si troa 3. m/s, 8.49 m/s e Q.4 m 3 /s. Consideriamo ora il problema di moto ario. Interiamo l equazione del moto tra il serbatoio e lo sbocco R. Nell ipotesi di trascurare le elocità e le accelerazioni nel serbatoio si troa R N N M M R N M N M R ds j ds j ds j ds t ds t ds t E E (63) Ricordando che, in ipotesi anelastiche, luno le condotte sono costanti nello spazio sia l accelerazione temporale / t che le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza j, l equazione (63) può essere riscritta come seue d f d f d f t t t h h R Utilizzando l equazione di continuità (6) per sostituire la elocità 3 alle elocità e, si ottiene d f d f d f t h h R (64) Posto h h R h d f d f d f r + + l equazione (64) si semplifica nella seuente r t h ) ( (65) Che formalmente corrisponde all equazione ià ista per studiare l aiamento di una condotta. Con i dati del problema, si troa 3 /., 3 / 4., 8 m, r6. Seuendo lo stesso procedimento isto per l aiamento di una condotta, consideriamo la condizione di reime, data dall equazione (6) che può essere riscritta come seue r h ) ( 3 + Esplicitata la precedente relazione rispetto a (+r) e sostituita l espressione così ottenuta per (+r) nell equazione (65) si troa t h (66) Posto T a 3 /h.36 s, la precedente relazione dienta

30 moto ario in pressione / ( t / Ta ) / la quale, risolta con la condizione al contorno: 3 per t, fornisce t T a arctanh 3 3 oero 3 3 t tanh T a (67) Per alutare l andamento nel tempo dell eneria nel nodo M, si può, indifferentemente considerare l equazione dinamica interata tra il serbatoio e la sezione M, oppure tra la sezione M e lo sbocco R. Nel primo caso si ha E M E M t M ds j ds che può essere riscritta come seue f EM h (68) t d Essendo, dalla continuità, (t) 3 (t), l andamento (t) è noto essendo di fatto espresso dalla (67), e la precedente relazione fornisce l andamento nel tempo dell eneria nella sezione M. Si osseri, per altro, che dalla (66), ricordando che 3, si può scriere t h a quale, sostituita nella (68) fornisce f EM h h + (+ r ) d andamento nel tempo della elocità nei tratti -M e N-R ( 3 ) e dell eneria E M nella sezione M sono illustrati in Fi. 5. Fi. 5-8-

31 moto ario in pressione Esercizio 9 (Vedi anche Esercizio 4). Nel sistema illustrato in fiura, la alleria è luna m ed è a sezione circolare con diametro interno d.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della alleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω. m. Per t< (t è il tempo) il sistema è a reime e luno la alleria fluisce la portata Q Q f.5 m 3 /s e, nell ipotesi semplificatia di trascurare tutte le dissipazioni di eneria, il liello z nel pozzo coincide con quello nel serbatio di monte. partire dall istante t iene immessa nel pozzo piezometrico la portata ΔQ4. m 3 /s, costante nel tempo (edi fiura). Si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico. Si aluti inoltre il periodo T dell oscillazione e l andamento nel tempo delle elocità in condotta, e si commenti il risultato ottenuto. Si determini quindi l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico assumendo che all istante t. T, la portata immessa ΔQ si riduca istantaneamente a zero. Si alutino, a seuito di questa manora, il alore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto. Si rappresenti infine in un rafico l andamento z(t) per <t<6t. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si intera l equazione del moto ario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio (che sarà indicato come punto ) e la superficie libera nel pozzo piezometrico (che sarà indicato come punto ) E E ds ds ds j ds j ds j ds t t t Immainando che le dimensioni trasersali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano randi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la elocità, sia -9-

32 moto ario in pressione il termine / t sono piccoli luno i tratti - e - cosicché i corrispondenti interali possono essere trascurati. uno il tratto -, inoltre, sia l accelerazione temporale / t che le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall interale. Non dipendendo la elocità dallo spazio ma solo dal tempo, la deriata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la deriata totale, ottenendo E d E dt j in cui è la lunhezza della condotta tra le sezioni e, e j sono rispettiamente la elocità e le dissipazioni di eneria per unità di lunhezza luno la condotta. Si assume, per comodità, il liello del serbatoio di monte come riferimento. In tal caso l eneria E ale E z (aendo indicato con z il liello nel pozzo piezometrico e nell ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo), mentre nel punto si ha E. m (immainando che il serbatoio sia di randi dimensioni e quindi sia trascurabile l oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di eneria, come suerito nel testo, l equazione (69) dienta z d dt questa relazione, nelle ariabili z(t) e (t) a associata l equazione di continuità. Per il nodo si può scriere Q ( t) + p Q f (69) (7) in cui.767 m è l area della condotta e Q p (t) è la portata che dal nodo entra nel pozzo piezometrico (Q f è indicato in fiura e resta costante nel tempo). questa relazione si può associare l equazione di continuità per un serbatoio Q p dz ( t) + ΔQ Ω dt Combinando le due precedenti relazioni si troa dz Ω ΔQ + Q dt f (7) da cui, essendo ΔQ4. m 3 /s costante nel tempo a partire da t, si ha d dt Ω d z dt Sostituita questa espressione per d/dt nella (7) e posto ω Ω si troa d z + ω z dt (7) (73) -3-

33 moto ario in pressione a soluzione enerale dell equazione (73) è del tipo z C sen ω t) + C cos( ω ) (74) ( t e costanti di interazione C e C anno determinate utilizzando le seuenti condizioni al contorno t z dz dt Ω ( + ΔQ ) Q f la seconda delle quali è l equazione di continuità (7) esplicitata rispetto a dz/dt e calcolata per t. Essendo Q f Q.5 m 3 /s, Q /.849 m/s e ΔQ4. m 3 /s, si troa + ΔQ Qf ΔQ C 9.98 m ω Ω ω Ω C Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (7)) ale.36 s -, a cui corrisponde il periodo Tπ/ω73.38 s. andamento nel tempo dei lielli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla seuente relazione ΔQ z sen( ω t) ω Ω Considerando le quote oriinali, i alori massimo e minimo del liello nel pozzo alono quindi h MX 7. m e h MIN 8.8 m. oscillazione, quindi, resta contenuta all interno del pozzo. Con riferimento alla soluzione ottenuta è da osserare che il risultato, in termini di liello nel pozzo piezometrico, è indipendente dal alore assunto dalla portata Q f. Noto l andamento z(t), utilizzando l equazione (7) si ottiene anche l andamento nel tempo della elocità [ Qf + ΔQ ( cos( ω t) ) ] (76) In particolare, all istante t.t s, il liello nel pozzo (dalla (75)) ale z m mentre la elocità in condotta dalla (76) ale.849 m/s. ll istante t la portata immessa si riduce istantaneamente a zero e, a seuito di questa manora, si modificheranno le oscillazioni di liello nel pozzo piezometrico. E da osserare che la soluzione enerale resta immutata ed è sempre fornita dalla (74). Per la soluzione particolare deono essere però precisati nuoi alori per le costanti C e C imponendo, in particolare, le seuenti condizioni t t Si troa z z dz dt Ω ( ) Q f (75) -3-

34 moto ario in pressione C C per cui, a partire dall istante t, il liello nel pozzo si mantiene costante e pari a zero. nche la elocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere alutato utilizzando l equazione di continuità (7) con ΔQ, si mantiene costante e pari al alore massimo che caratterizzaa le oscillazioni per t<t Q f.849 m/s andamento nel tempo del liello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fi. 6 mentre nella successia Fi. 7 è riportato l andamento nel tempo della elocità nella condotta. Fi. 6 Fi. 7-3-

35 moto ario in pressione Esercizio. Nel sistema illustrato in fiura, la alleria è luna 3 m ed è a sezione circolare con diametro interno d. m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della alleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω. m. In un punto intermedio, luno la condotta (nodo N), è presente una sottrazione localizzata di portata, costante, pari a Q u.5 m 3 /s. causa di una serie di manore il liello nel pozzo sta oscillando. In particolare, ad un certo istante che assumiamo come istante iniziale (t) si sa che il liello nel pozzo ale z. m e che la elocità luno il tratto N- della condotta ale.5 m/s diretta erso il pozzo piezometrico. Nell ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di eneria, si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo del liello z nel pozzo piezometrico. Si aluti inoltre il periodo T dell oscillazione e l andamento nel tempo delle elocità nei due tratti di condotta. Si alutino infine i alori massimo e minimo del liello nel pozzo piezometrico. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si intera l equazione del moto ario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio (che sarà indicato come punto ) e la superficie libera nel pozzo piezometrico (che sarà indicato come punto ) N E E ds ds ds ds j ds t t t t N Immainando che le dimensioni trasersali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano randi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la elocità, sia il termine / t sono piccoli luno i tratti - e - cosicché i corrispondenti interali possono essere trascurati. uno il tratto -, inoltre, l accelerazione temporale / t è costante nello spazio e può essere portata fuori dall interale. Trascurate inoltre le dissipazioni di eneria e ricordando che la elocità, luno ciascuno dei due tratti di condotta, non dipende dallo spazio ma solo dal tempo, si troa E N d N d E (77) dt dt in cui e sono le elocità luno i tratti N e N di condotta, rispettiamente. -33-

36 moto ario in pressione Si assume, come indicato in fiura, il liello del serbatoio di monte come riferimento rispetto al quale il liello nel pozzo piezometrico è rappresentato dalla quota z. Nelle ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo l eneria E ale E z mentre nel punto si ha E. m. equazione (6) si scrie pertanto d N d z N dt (78) dt questa relazione, nelle ariabili z(t), (t) e (t) anno associate le equazioni di continuità per i nodi N e Qu + dz Ω dt in cui.785 m è l area della condotta. Combinando le due precedenti relazioni si troa Qu Ω dz + dt Ω dz (79) dt Sostituita questa espressione per d/dt nella (7), ricordando che la portata Q u è costante nel tempo si troa N Ω d z N Ω d z N + N Ω d z Ω d z z (8) dt dt dt dt in cui è la lunhezza complessia della condotta. Posto infine ω Ω equazione (8) si scrie d z + ω z dt (8) (8) a soluzione enerale dell equazione (3) è del tipo z C sen ω t) + C cos( ω ) (83) ( t in cui la pulsazione ω (equazione (9)), con i dati del problema, ale. s -, a cui corrisponde il periodo Tπ/ω8.7 s. e costanti di interazione C e C anno determinate utilizzando le condizioni al contorno proposte nel testo t z z. m Ω dz dt.5 m / s la seconda delle quali è l equazione di continuità (8). Si troa C.475 m C z. m ω Ω -34-

37 moto ario in pressione andamento nel tempo dei lielli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla seuente relazione z sen( ω t) + z cos( ω t) (84) ω Ω Noto l andamento z(t), utilizzando le equazioni (8) si ottiene anche l andamento nel tempo della elocità Qu Ωzω Ωzω + cos( ω t) sen( ω ) cos( ω t) sen( ω t) (85) t Gli istanti in cui si realizzano i alori massimi e minimi dei lielli si determinano annullando la deriata temporale del liello z dz T cos( ω t) zωsen( ω t) per t MX arctan( ) + k dt Ω ω Ω zω con k,,, 3,..Sostituiti questi alori del tempo nell equazione (3) si troa z MX.78 m e z MIN -.78 m. Gli andamenti nel tempo del liello nel pozzo e delle elocità luno i due tratti di condotta sono illustrati in Fi. 8. z (m) z (m).5..5 (m/s) (m/s).5.5. (m/s) tempo (s) -.75 Fi

38 moto ario in pressione Esercizio. Nel sistema illustrato in fiura, la condotta che collea il serbatoio al nodo N è luna 5 m ed è a sezione circolare con diametro interno d. m, mentre la condotta che collea il serbatoio al nodo N è luna m ed è anch essa a sezione circolare con diametro interno d.8 m. I serbatoi e sono cilindrici con sezione orizzontale Ω.3 m e Ω.5 m, rispettiamente. Il riferimento per le quote, illustrato in fiura, coincide con la quota delle superfici libere nei due serbatoi quando su queste, in condizioni di quiete, iesse pressione atmosferica. Per t< (t è il tempo) il sistema è in quiete e al di sopra della superficie libera del serbatoio, a tenuta, l aria presente è caratterizzata da una pressione relatia neatia p-. kpa. ll istante t iene rimosso il coperchio C che chiude superiormente il serbatoio ripristinando così pressione atmosferica sulla superficie libera del serbatoio. Dopo aer stabilito il leame esistente tra il enerico liello z nel serbatoio e il corrispondente liello y nel serbatoio si ricai, a partire dall equazione differenziale che esprime la conserazione dell eneria per una corrente unidimensionale, la soluzione enerale che descrie l andamento nel tempo del liello z nel serbatoio. Si trascurino le dissipazioni di eneria localizzate e si assuma un alore costante (f.) del coefficiente di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach. Si assuma, inoltre, per linearizzare le dissipazioni continue di eneria, una elocità caratteristica M.75 m/s per il tratto N di condotta. Si rappresenti raficamente la soluzione dopo aer calcolato il liello z in alcuni istanti caratteristici. N.. Nel deriare la soluzione enerale anno eidenziate e iustificate le ipotesi semplificatie introdotte. Per la conserazione dei olumi è eidente che ad un incremento di quota Δz corrisponde un olume immaazzinato nel serbatoio pari a Ω. Δz; questo olume iene sottratto al serbatoio e corrisponde alla quantità Ω. Δy. Essendo y quando z per il riferimento assunto, si arà Ω y Ω z (86) -36-