Esercitazione 3. Esercizio 1

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1 Esercitazione 3 Esercizio 1 Una pompa centrifuga opera con velocità di rotazione n d = 1450 rpm. Al punto di massimo rendimento la pompa elabora una portata volumetrica pari a V d = m 3 /s di acqua, ha una prevalenza manometrica pari a H d = 39 m ed assorbe una potenza meccanica uguale a Ẇd = 68 kw. Il diametro della girante è D d = 300 mm. Si calcoli in nuovo puno di funzionamento di massimo rendimento quando: a) la velocità di rotazione passa da n d a n a = 100 rpm ed il diametro resta invariato, D d = D a ; b) il diametro si riduce a D b = 00 mm e la velocità di rotazione resta invariata e pari ad n d, n b = n d. Dati: n d = 1450 Vd = m 3 /s H d = 39 m D d = 0.3 m n a = 100 Va =? H a =? D a = D d = 0.3 m n b = n d Vb =? H b =? D b = 0. m Soluzione: Poiché nell analisi si vuole mantenere invariato il rendimento, è necessario operare in condizioni di similitudine. Dunque, confrontando il caso di progetto (d) con i due nuovi casi (a) and (b) si deve innanziutto garantire che i parametri adimensionali di portata (φ) e lavoro (prevalenza) (ψ) restino invariati. Inoltre, nel caso (a) resta inalterato il diametro, mentre nel caso (b) resta inalterata la velocità di rotazione. a) V a = V ω a d = ω V n a d = 0.17 m 3 /s d n d 1

2 b) ( ) ( ) ωa na H a = H d = H d = 6.7 m ω d n d ( ) 3 V b = V Db d = m 3 /s D d H b = H d ( Db D d ) = m

3 Esercizio Una turbina idraulica deve essere progettata per l installazione in un impianto caratterizato da un salto di 100 m e da una portata disponibile di 4 m 3 /s. Per tale applicazione i diagrammi statistici (diagramma di Baljé) indicano come più appropriata (in termini di massimo rendimento ottenibile) una turbina Pelton. I parametri adimensionali scelti per il progetto sono ω s = e D s = 16; in corrisponenza di questo punto operativo il rendimento stimato (sempre sulla base dei diagrammi statistici) è Prima della costruzione ed installazione della macchina viene richiesta una validazione sperimentale eseguita su un modello di laboratorio. Il salto disponibile in laboratorio è pari a 00 m mentre la potenza del freno è pari a 15 kw. Si calcolino velocità di rotazione e diametro della turbina reale e del modello di laboratorio. Dati: turbina da progettare H A = 100 m VA = 4 m 3 /s η = 0.88 D sa = 16 ω sa = modello turbina laboratorio H L = 00 m Ẇ L = 15 kw Soluzione: Usando i parametri adimensionali assegnati nella fase di progetto della macchina reale è possibile calcolare facilmente la velocità di rotazione ed il diametro della macchina reale utilizzando le definizioni di velocità specifica e diametro specifico ed invertendo le loro espressioni: VA (gh A ) 3/4 ω sa = ω A ω (gh A ) 3/4 A = ω sa VA = 5.5 rad/s (gh A ) 1/4 VA D sa = D A D A = D sa = 3.07 m VA (gh A ) 1/4 Per dimensionare il modello di turbina del laboratorio è innanzitutto necessario calcolare la portata volumetrica compatibile con il vincolo imposto dalla potenza del freno, che assorbe la potenza meccanica all albero della turbina di laboratorio. 3

4 Nota tale portata, si procede al calcolo della velocità di rotazione e del diametro del modello esattamente come nel caso della macchina reale. La potenza della turbina può essere espressa come: Ẇ turbina = ṁ w = ρ V gh η Poiché si vuole mantenere la similitudine idraulica tra la macchina reale e quella di laboratorio (in modo che le macchine abbiano le medesime prestazioni e le prove di laboratorio risultino rappresentative del comportamento della macchina reale) è possibile assumere che il rendimento sia lo stesso: η A = η L = η = 0.88 Da questa condizione si calcola la massima portata utilizzabile nei test di laboratorio: Ẇ L V L = = m 3 /s ηρ gh L Infine, nota la portata volumetrica e il salto disponibile in laboratorio, si effettua il calcolo della velocità di rotazione e del diametro che permettono di rispettare la similitudne con la macchina reale: VL (gh L ) 3/4 ω sa = ω sl = ω L ω (gh L ) 3/4 L = ω sa VL = 93.4 rad/s 800 rpm (gh L ) 1/4 VL D sl = D sa = D L D L = D sa = 0.4 m VL (gh L ) 1/4 4

5 Esercizio 3 Una pompa centrifuga è installata nel circuito di raffreddamento di un condensatore; la potenza termica scambiata al condensatore è pari a 15 MW. L acqua calda in uscita dal condensatore viene inviata ad una torre di raffreddamento, che può essere considerata come un sistema costituito da due serbatoi a differente altezza: il pelo libero del serbatoio superiore (a pressione atmosferica) si trova alla quota z 1 = 7m, mentre l acqua raffreddata dalla torre viene raccolta in un serbatoio inferiore (sempre a pressione atmosferica) il cui pelo libero si trova alla quota z = m. La curva caratteristica della pompa che aspira acqua fredda dal serbatoio inferiore è data dall equazione (1). Il circuito è costituito da tubi di diametro D = 300 mm, all interno dei quali le perdite ammontano a quote cinetiche nel condotto di aspirazione e a 3 quote cinetiche nel condotto di mandata. Calcolare: a) Il punto di funzionamento del sistema (analiticamente). b) L incremento di temperatura dell acqua nel condensatore, trascurando le perdite nei condotti del condensatore. c) La quota di aspirazione massima z a della pompa, che ne garantisce un funzionamento esente da cavitazione, noto che NPSH richiesto è pari a 3 m e che, alla temperatuta operativa, la pressione di saturazione del fluido di lavoro (comprensiva della pressione parziale dei gas disciolti) è (P v + P g ) = 0.04 bar. Come si modifica il valore massimo di z a se la tubazione di aspirazione presenta perdite pari a 5 quote cinetiche? 5

6 Dati: Q = 15 MW z 1 = 7 m z = m Y a = V a g Y m = 3 V m g D = 0.3 m H = 6 + V 85 V dove V = [m 3 /s], H = [m] (1) Soluzione: a) Per calcolare il punto di funzionamento della pompa è necessario determinare l espressione analitica della curva caratteristica dell impianto (curva caratteristica del circuito o caratteristica esterna), ovvero la funzione H c = H c ( V ), dove H c rappresenta la prevalenza richiesta dall impianto. Tale funzione può essere ottenuta scrivendo il blancio di energia meccanica per il sistema tra le sezioni e 1: w w w g = ( V 1 g + P ) ( 1 V ρg + z 1 g + P ) ρg + z + Y a + Y m dalla definizione di prevalenza di una pompa (termine a sinistra nel bilancio dell energia meccanica sopra scritto) e del circuito (termine a destra nel bilancio dell energia meccanica sopra scritto), e considerando che P 1 = P e V 1 = V = 0, è possibile esprimere la condizione che il punto di lavoro del sistema deve soddisfare: H = w w w = (z 1 z ) + Y a + Y m = H c. g Poiché le tubazioni di aspirazione e mandata hanno lo stesso diamtro, il bilancio di massa (equazione di continuità), nel caso (come questo) di liquido perfetto, 6

7 implica V a = V m = V e possiamo ottenere l espressione della caratteristica del circuito esprimendo le perdite in funzione della portata volumetrica: ed infine: H c = (z 1 z ) + 5 V g = (z 1 z ) + 5 ( ) 4 V g πd H c = V. Il punto di lavoro del sistema può essere calcolato mettendo a sistema le espressioni di H and H c, ovvero imponendo H = H c : { H = 6 + V 85 V H c = V che fornisce il punto di funzionamento seguente: { V = 0.4 m 3 /s H = 13. m b) Il calcolo dell incremento di temperatura dell acqua nel condensatore viene eseguito scrivendo il bilancio di energia tra le sezioni di ingresso (in) e di uscita (out) del ramo acqua del condensatore: u out,c u out,c + P out,c P in,c ρ + V out,c Vin,c + g(z out,c z in,c ) = q + w osservando che nel condensatore non c è scambio di lavoro, che le perdite sono trascurabili e che velocità e quote in ingresso e uscita sono uguali, si ottiene: u out,c u out,c = C L (T out,c T out,c ) = Q ρ V Q (T out,c T out,c ) = ρ V = 8.96K C L con C L = kj/(kgk) calore specifico dell acqua in fase liquida. c) La quota di aspirazione massima a cui si può collocare la pompa per evitare cavitazione può essere calcolata imponendo la seguente condizione su NPSH: NP SH disp NP SH rich 7

8 dalla definizione di NP SH disp per una pompa si ha: NP SH disp = P a ρg + V a g P v + P g ρg dove i pedici a e m si riferiscono alle flange di aspirazione e mandata della pompa. Dall equazione dell energia meccanica (teorema di Bernoulli generalizzato) scritta tra le sezioni e a si ottiene il seguente risultato per z a : z a z + P (P v + P g ) ρg mentre nel caso in cui Y a = 5 V a g, si ottiene: z a z + P (P v + P g ) ρg Y a g NP SH rich = 5.65 m Y a g NP SH rich = 0.75 m 8