Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale. Moto vario nelle correnti a superficie libera

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1 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Moto vario nelle correnti a superficie libera Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marcis 28/04/2014

2 VARIAZIONI GRADUALI Nelle correnti a superficie libera, uno dei fenomeni di moto vario più importanti è costituito dal fenomeno di propagazione di un onda di piena. Tale fenomeno si registra quando in una certa sezione di un alveo si produce un incremento rilevante della portata immessa (onda di piena), dovuta all adduzione in tale sezione di un apporto di portata, da parte della rete idrica di monte, notevolmente superiore alla portata stagionale Q0; tale incremento di portata ΔQ è, in genere, prodotto da eventi meteorici rilevanti o eccezionali. Per lo studio del fenomeno dell onda di piena si può utilizzare il metodo delle caratteristice già studiato nelle correnti in pressione: Equazione del moto Equazione di continuità 3 28 aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

3 VARIAZIONI GRADUALI Ponendo Q=UA le equazioni possono essere riscritte nella forma 1 g t Q A + s + Q s Q A = i U2 χ 2 R Derivando le funzioni composte si a: 1 t Q A 2 t + s + Q 2 s Q2 A 3 s = i U2 χ 2 R da=b*d B Considerando ce l area della sezione trasversale cambia nel tempo in funzione del tirante, si a ce: A t = A t = B t Diversamente l area A può variare nello spazione per effetto di variazioni di forma dell alveo, da cui: A s = A s + A s!!! = B s + A s!!! 4 28 aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera si tiene conto di variazioni per effetto del tirante e per effetto della forma dell alveo d

4 1 t Q A 2 t + s + Q 2 s Q2 A 3 s = i U2 χ 2 R VARIAZIONI GRADUALI A t = A t = B t A s = A s + A s!!! = B s + A s!!! Introducendo nell equazione del moto le variazioni di area nel tempo e nello spazio si ottiene: 1 t QB 2 t + s + Q 2 s Q2 B 3 s Q2 A 3 s " "" = i U2 χ 2 R da=b*d d B Equazione di continuità s + B t = aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

5 VARIAZIONI GRADUALI 1 t QB 2 t + s + Q 2 s Q2 B 3 s Q2 A 3 s " "" s + B t = 0 = i U2 χ 2 R Equazioni di compatibilità valide lungo le linee caratteristice. Sono due equazioni differenziali in due incognite funzioni di spazio e tempo; Q=Q(s,t); =(s,t) Moltipliciamo la prima per e la seconda per t QB + A t s + Q A s Q2 B A 2 s Q2 A A 2 s " "" = g A i gpu2 χ 2 B $ B $ s $+$ B$ t $=$0$ sommando e sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene: t +! "# Q A ± s + B! "# Q A + -- ' () t +! "# Q A ± $ %& B s* +, Q2 A A 2 s... = g A i gpu2 χ aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

6 VARIAZIONI GRADUALI t +! "# Q A ± s + B! "# Q A + -- ' () t +! "# Q A ± $ %& B s* +, Q2 A A 2 s... = g A i gpu2 χ 2 Poniamo: ds dt =! "# Q A ± Allora considerando il significato di derivata totale si ottiene: t t dq dt + B! "# Q A + -- d dt Q2 A A 2 s ( (( = g A i gpu2 χ 2 Δt P Δt P Se la corrente è veloce Q = V- Vc >0 A > B Q A < B Se la corrente è lenta = V- Vc >0 A sp B s A B Corrente lenta a) Corrente veloce b) sp s 7 28 aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

7 VARIAZIONI GRADUALI dq dt + B! "# Q A + -- d dt Q2 A A 2 s ( (( = g A i gpu2 χ 2 t Moltiplicando tutto per dt si ottiene: dq + B " # Q! A + -- d =! "# g A i gpu2 χ 2 + Q2 A A 2 s) )) $ %& dt Nel piano orario s e t le due equazioni vengono discretizzate nella forma: QP QA + BA " # $ Q P Q B + B B " # $ Q A A A QB + AB A B % &' * 2 (P A) = ) Q A -, A ), ( AA 2 " #$ A... % &' + g AA ia gp 2 AU A s A + B % &' * - ( P B ) = ) QB 2, BB ), ( AB 2 " #$ A.. s. % &' + g A B i B gp 2 BUB B + χa 2 Δt χb 2 Δt Dove Q A e Q B sono ottenute dalle condizioni iniziali, Q P e P sono invece le incognite ce si ottengono una volta sommando e una volta sottraendo le due equazioni sopra discretizzate. Δt P A sp B Corrente lenta a) s 8 28 aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

8 VARIAZIONI GRADUALI Nel metodo delle caratteristice applicato al moto vario il problema è quello di individuare di volta in volta le coordinate del punto P mediante le equazioni delle linee caratteristice: t sp sa = " # $ QA A A + A B % &' Δt A s P s B = # $ QB B " A % &' Δt B B B Poicé Q A e Q B possono variare da punto a punto, così come l area A e la dimensione della superficie libera B, non si riesce ad ottenere un reticolo nel piano s e t regolare. t s i-1 i i+1 R T s 9 28 aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

9 MODELLO CINEMATICO Una notevole semplificazione del sistema di equazioni ce regola il moto vario in un corso d acqua può essere conseguita considerando ce, in molti casi, come in particolare quelli in cui è analizzata la propagazione di un onda di piena, il processo è caratterizzato da una notevole lentezza e da variazioni molto limitate dei tiranti idrici da una sezione all altra. In tali condizioni, nell equazione del moto (3.18) è possibile trascurare i termini di natura inerziale ed il gradiente del tirante, riconducendosi, quindi, alla semplice condizione i = J Ne consegue, con tali ipotesi, la possibilità di sostituire l equazione completa del moto, cioè l equazione di de Saint Venant, con la scala di deflusso (tipica del moto uniforme): dq Q=kA m derivando rispetto ad A si ottine: da da cui si ottine ce m = $ Q A Attraverso l equazione di Cezy è possibile derivare il valore di m, si a infatti ce: Q = c A R 2/3 i 1/2 = c A 5/3 P -2/3 i 1/2 da cui e Q/A = c A 2/3 P -2/3 i 1/ aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

10 MODELLO CINEMATICO Q = c A R 2/3 i 1/2 = c A 5/3 P -2/3 i 1/2 da cui e Q/A = c A 2/3 P -2/3 i 1/2 m= A P dp da = B + 2 = B/ L equazione di continuità poicé si a ce: s $+$ A t $=$0$ t = dq da A t sostituendo nell equazione di continuità si ottiene: ds dt = dq da = m Q A s + 1 dq da Ponendo ce e sostituendo nella formula precedente si a: t = 0 t + ds s dt = dq dt = 0 Forma particolare dell equazione di compatibilità valida sulle linee caratteristice ds dt = dq da = m Q A aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

11 MODELLO CINEMATICO La derivata totale della funzione incognita rispetto al tempo è nulla per un osservatore ce si muove lungo una cosiddetta curva caratteristica. Su ciascuna di tali curve, dunque, la portata Q si mantiene costante. Ma se si verifica tale condizione ance la celerità c= ds dt = dq da = m Q A risulta costante, dunque le curve caratteristice sono in realtà rette caratterizzate dalla pendenza costante c, quindi funzione di m= A P dp da = B + 2 = B/ Si considera il piano orario (x, t) e si rappresenta lungo l asse delle ordinate l andamento della funzione A 0 (t) ce identifica l idrogramma iniziale. Da ciascun punto dell asse delle ordinate (cioè a ciascun istante iniziale t) è quindi possibile far partire una retta di pendenza costante 1/ c(a 0 (t)). Su ciascuna di tali rette il valore di A si mantiene costante e pari ad A 0 (t). Tale condizione consente di costruire l idrogramma in ogni sezione x semplicemente traslando i valori iniziali di A lungo ciascuna curva caratteristica aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

12 MODELLO CINEMATICO La costruzione grafica illustrata nella figura mostra ce: nella fase crescente della piena, la celerità cresce e la pendenza delle linee caratteristice diminuisce, siccé esse convergono: l effetto della convergenza è un irripidimento del fronte dell onda; nella fase decrescente della piena, la celerità cresce e la pendenza delle linee caratteristice cresce, siccé esse divergono: l effetto della divergenza è un appiattimento della coda dell onda. il modello cinematico: a) non è in grado di rappresentare i fenomeni di attenuazione del colmo di piena osservati durante l evoluzione del fenomeno b) sovrastima la velocità di propagazione dell onda aprile 2014 Moto vario nelle correnti a superficie libera

13 Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA KORE FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marcis 28/04/2014