(Nel calcolo numerico dei profili si utilizzi un numero di passi pari a 5) Insegnamento: Idraulica Applicata

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1 PROBLEMA Sia assegnato un canale di sezione rettangolare con pareti e fondo rivestiti in calcestruzzo (k s = 70 m /3 /s), lunghezza L = 5000 m, larghezza B = 3 m, pendenza i = 0,% e altezza delle pareti costante lungo lo sviluppo longitudinale pari a 3, m (Figura ). Esso collega un serbatoio di monte ad un serbatoio di valle di cui sono note le quote del pelo libero rispetto al fondo del canale (h = 3 m, h = m). A 4500 m dalla sezione di incile (sezione s) è inserita una strozzatura ben raccordata (così che possano essere trascurate le perdite di carico ad essa connesse) che riduce la larghezza B di 3 m ad una larghezza b di,6 m.. Calcolare il profilo di moto permanente che si stabilisce nel canale in assenza della strozzatura.. Verificare se l inserimento della strozzatura induce delle modifiche al profilo di cui al punto precedente. 3. Calcolare le modifiche nel profilo eventualmente determinate dall inserimento della strozzatura, localizzando l'eventuale risalto idraulico. 4. Si valuti il rischio di allagamento nelle situazioni con e senza strozzatura. (Nel calcolo numerico dei profili si utilizzi un numero di passi pari a 5) Figura Geometria del canale.

2 SOLUZIONE Preliminarmente, si formulino le seguenti ipotesi da verificare in seguito: ipotesi : caratterizzazione dell'alveo. In base al valore della pendenza i si può ragionevolmente ipotizzare che l'alveo sia a debole pendenza; ipotesi : altezza della corrente alla sezione di incile. Ipotizzando che la distanza fra le due sezioni estreme del canale sia sufficiente affinché la condizione di moto di monte non sia perturbata da valle, si può assumere che la corrente attraversi la sezione di incile con tirante idrico h 0, essendo h 0 l'altezza di moto uniforme. Le ipotesi e permettono la scrittura del seguente sistema: / 3 / = k s A R i (equazione del moto uniforme) () h = h0 + (equazione della conservazione dell'energia) () ga con portata transitante nel canale k s coefficiente di scabrezza (70 m /3 /s) A area della sezione bagnata R raggio idraulico h quota del pelo libero del serbatoio di monte rispetto al fondo del canale in cui le incognite sono la portata e l'altezza di moto uniforme h 0. Dalla risoluzione per tentativi del sistema (ad esempio, con un tirante idrico h di tentativo ricavo il valore della portata dalla (); quindi, sostituendo il valore di e h nella () verifico se l'uguaglianza espressa dalla () è soddisfatta) si ottengono i seguenti risultati: h 0 =,76 m = 7,98 m 3 /s Nota la portata è immediato ricavare l'altezza critica k: gb k = 3 =,54 m (3) Poiché h < k, nella sezione di sbocco si stabilisce lo stato critico k. La sezione di sbocco diventa quindi sezione di controllo per un profilo di tipo D, qualitativamente rappresentato in figura.

3 Figura Profilo qualitativo. Il calcolo numerico del profilo procede per passi iterativi, partendo da valle e risalendo verso monte: ad ogni iterazione, fissato opportunamente il valore dell'altezza del profilo, si ricava la posizione della sezione che vi corrisponde. Scegliendo un numero di passi pari a 5, ad ogni iterazione il tirante idrico associato alla sezione è pari a quello del passo precedente incrementato di una quantità δ così determinata: δ = (altezza di moto uniforme altezza critica)/5 = 0,44 m Fissato un asse x immaginario, con origine in corrispondenza della sezione di incile, con verso positivo nella direzione della corrente, si risolve, a ciascuna iterazione, l'equazione dell'energia rispetto al fondo scritta alle differenze finite: E i+ Ei = ( i J m )( xi+ i x ) con E i+ e E i energia rispetto al fondo delle sezioni i e i+ J m valore medio della cadente fra le sezioni i e i+ x i+ e x i ascisse delle sezioni i e i+ (4) La risoluzione iterata della (4), in cui l'incognita è di volta in volta x i, fornisce i risultati raccolti in Tabella. Tabella (h, tirante idrico [m]; x ascissa della sezione in cui la corrente passa con tirante h [m]; E energia della corrente rispetto al fondo [m]; J cadente). sezione i+ sezione i calcolo n passo h i+ x i+ E i+ J i+ h i E i J i J m x i

4 Dai risultati di Tabella, si evince che la condizione di moto uniforme è raggiunta nella sezione che dista 84 m dalla sezione di incile. Inoltre, in assenza di strozzatura, non si verifica alcun rischio di allagamento. (Le ipotesi e formulate inizialmente sono soddisfatte). L'inserimento della strozzatura potrebbe determinare un nuovo profilo e conseguenti rischi di allagamento. Si valuta, innanzitutto, se la strozzatura richiede un recupero di energia da parte della corrente. Il tirante idrico (h*) in corrispondenza della sezione dove è inserita la strozzatura, a 4500 m dalla sezione di incile, deve essere calcolato mediante interpolazione lineare, in quanto non è ancora stata raggiunta la condizione di moto uniforme. h * =,4 m L energia rispetto al fondo, in corrispondenza di h* vale: E* = h * + =, 73 m ga (6) All interno della strozzatura l altezza di stato critico k s vale: k = 3 s =,34 m gb Noto il valore dell altezza di stato critico all interno della strozzatura è possibile calcolare l energia minima necessaria alla corrente per attraversare la singolarità: 3 E min = k s = 3,5 m Poiché E* < E min la corrente deve recuperare energia per oltrepassare il restringimento in condizioni di stato critico, cioè con tirante idrico pari a k s ed energia pari a E min. Per calcolare i tiranti idrici a monte e a valle del restringimento, corrispondenti al valore di E min, si ricorre al grafico (h, q) ad energia costante: nell'ipotesi di conservazione dell'energia, ad ogni valore di portata q, espressa per unità di larghezza, corrispondono due tiranti idrici h, uno di corrente lenta ed uno di corrente veloce. Il grafico (h, q) si costruisce per punti, sostituendo valori arbitrari dell'altezza h nella seguente formula: ( E h) q = h g (5) con q portata per unità di larghezza h tirante idrico E energia della corrente rispetto al fondo, pari ad Emin 4

5 Grafico (h, q) con E = 3,5 m h [m] q [m /s] Figura 4 - Grafico (h, q) ad energia costante E = 3,5 m. Definite q B e q b come segue: q B q b = = 5,993 m s B = =,375 m s b (3) Dal grafico di Figura 4 si deducono i valori delle altezze di corrente veloce a valle della strozzatura, h V, e di corrente lenta a monte della strozzatura, h M, corrispondenti alla portata q B : h M = 3,35 m h V = 0,8 m Con le condizioni al contorno sopra calcolate (h M e h V ), si hanno un profilo di tipo D a monte della strozzatura e un profilo di tipo D3 collegato tramite risalto al D, studiato in assenza della strozzatura, a valle (Figura 5). 5

6 Figura 5 Profilo qualitativo con inserimento della strozzatura. Definito qualitativamente il profilo, si procede al calcolo quantitativo organizzato nelle seguenti fasi: calcolo numerico del profilo di tipo D che si stabilisce a monte della strozzatura; calcolo numerico del profilo di tipo D3 che si stabilisce a valle della strozzatura; localizzazione del risalto che collega il profilo di tipo D3 al profilo di tipo D calcolato in assenza della strozzatura. Profilo D a monte della strozzatura Fissata per ciascuna iterazione il passo δ: δ = ( h M h )/ 5 0, 85m 0 = (6) si procede al calcolo sintetizzato nella Tabella. Tabella (h, tirante idrico [m]; x ascissa della sezione in cui la corrente passa con tirante h [m]; E energia della corrente rispetto al fondo [m]; J cadente). sezione i+ sezione i calcolo n passo h i+ x i+ E i+ J i+ h i E i J i J m x i La condizione di moto uniforme a monte della strozzatura è recuperata nella sezione di ascissa pari a 0643 m. Inoltre, tra le sezioni che distano rispettivamente 409 e 4500 m dalla sezione di incile il tirante idrico che si stabilisce è più alto delle pareti del canale, pertanto sussistono problemi di allagamento. 6

7 Profilo D3 a valle della strozzatura Fissata per ciascuna iterazione il passo δ: δ = ( k hv )/ 5 = 0, 430 m (7) si procede al calcolo sintetizzato nella Tabella 3. Tabella 3 (h, tirante idrico [m]; x ascissa della sezione in cui la corrente passa con tirante h [m]; E energia della corrente rispetto al fondo [m]; J cadente). sezione i sezione i+ calcolo n passo h i x i E i J i h i+ E i+ J i+ J m x i Localizzazione del risalto che collega il profilo D3 al profilo D Per la localizzazione del risalto occorre costruire il grafico (S, h), che fornisce per un'assegnata portata le altezze coniugate al variare della spinta S. Il grafico (S, h) si costruisce per punti sostituendo valori arbitrari del tirante idrico h nella seguente relazione: S =γ hg A+ ρ A (8) con S spinta totale γ peso specifico dell'acqua h G affondamento del baricentro rispetto al pelo libero (=h/) A area della sezione ρ densità dell'acqua portata Si ottiene il grafico di Figura 6. 7

8 Grafico (S, h) con = 8,3 m 3 /s S[N] h [m] Figura 6 Grafico (S, h) a portata costante = 7,98 m 3 /s. Siccome alla progressiva x = 4500 m (sezione S) il profilo D non ha ancora raggiunto il moto uniforme, per stabilire la posizione del risalto idraulico si deve necessariamente costruire il luogo del risalto. Occorre cioè calcolare, per ciascuna altezza di corrente veloce del profilo D3, la corrispondente altezza coniugata (di corrente lenta). Dal punto di vista pratico si valutano (tramite il grafico di figura 6 o analiticamente, tramite la relazione 8) le spinte corrispondenti alle diverse altezze di corrente veloce del profilo D3 (tabella 4). A partire da questi valori di spinta si ottengono, tramite il garfico di figura 6, le altezze coniugate, di corrente lenta. Interpolando le altezze coniugate si otterrà una curva che rappresenta il luogo del risalto. L intersezione fra il profilo D e il luogo del risalto individua la progressiva alla quale si posiziona il risalto e la corrispondente altezza di corrente lenta. Pertanto il risalto che collega il profilo di corrente veloce D3 a quello di corrente lenta D si localizza a 456 m circa dalla sezione di incile (figura 7) Tabella 4, figura 7 Localizzazione del risalto h D3 [m] S [kn] h con [m]

9 h [m] Posizione risalto progressiva [m] Luogo del risalto Profilo D E possibile, per localizzare il risalto, interpolare linearmente sia il profilo D sia il luogo del risalto, utilizzando i punti che definiscono l intervallo di progressive all interno del quale le due curve si intersecano (indicati dalle frecce nel grafico sopra); ovviamente, si otterrà un risultato leggermente diverso. Linearizzazione.6 h [m] h = x h = x x [m] Infine, per quanto riguarda i rischi di allagamento, si può concludere che l'inserimento della strozzatura crea dei problemi in corrispondenza del tratto di canale compreso fra i 409 e i 4500 m. A monte della strozzatura, infatti, il profilo supera l'altezza degli argini per circa 400m. 9