Proprietà Meccaniche dei Fluidi

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1 Prorietà Meccaniche dei Fluidi Fluidi non hanno forma roria, assumono quella del reciiente che li contiene non sostengono gli sforzi di taglio (scorrimenti) GS non hanno forma e olume rori, occuano tutto lo sazio a disosizione sono facilmente comrimibili LIQUIDI hanno olume definito e suerficie limite sono incomressibili, 3,3Kg / m 0 3 Kg/m 3 Comortamenti diersi douti a dierse forze di legame tra le molecole nella fase liquida e gassosa. Romero Fluidi

2 DENSIT M V 3 [ ] [ ML ] Sazio interstellare Vuoto di laboratorio Idrogeno ria Ghiaccio cqua lluminio Mercurio Platino Terra Sole Stelle Nane Bianche T0 o C ; P atm T0 o C ; P atm T00 o C ; P atm T0 o C ; P50 atm T0 o C ; P atm T00 o C ; P atm T0 o C ; P50 atm Densita media Densita del nucleo Densita della crosta Densita media Densita nel centro Densita centrale Unita di misura: S.I. kg m -3. Romero Fluidi Nucleo Uranio Kg/m Kg/m Kg/m 3,3 Kg/m 3 0,95 Kg/m 3 6,5 Kg/m 3 0,9 0 3 Kg/m Kg/m 3 0, Kg/m 3, Kg/m 3,7 0 3 Kg/m 3, Kg/m 3,4 0 4 Kg/m 3 5,5 0 3 Kg/m 3 9,5 0 3 Kg/m 3,8 0 3 Kg/m 3,4 0 3 Kg/m 3 ~,6 0 5 Kg/m Kg/m 3 ~ 0 7 Kg/m 3 Varia con:. ressione. temeratura Varia:. Poco nei liquidi. Molto nei gas

3 Caratteristiche dei fluidi e forze Fluidi sono sistemi continui comosti da infiniti elementi di massa dm dv Caratteristica dei fluidi: ossibilità di scorrimento di una qualsiasi arte di fluido risetto ad una adiacente o alla arete del contenitore L attrito interno si oone allo scorrimento, non c è forza di attrito statico che determina equilibrio come nei solidi quindi se fluido è in quiete le forze tra gli elementi di fluido sono normali alla suerficie di searazione altrimenti gli elementi scorrerebbero tra di loro Non si uò arlare di forza alicata ad un unto di un fluido: er ciascun elemento dm si considerano: Forze di olume roorzionali a dv Forze di suerficie roorzionali a ds Pressione non ha caratteristiche direzionali in figura l elemento di fluido è in equilibrio. Perchè ciò aenga deo aere a b c

4 Pressione La ressione er un fluido non ha caratteristiche direzionali, essa è funzione scalare del unto che si considera all interno del fluido e non diende dall orienzazione della suerficie su cui è misurata La ressione in un unto di un fluido è il raorto tra la forza agente su una suerficie infinitesima che circonda il unto e l area della suerficie stessa lim S 0 F S df ds df ds F S Se nei unti della suerficie S finita, la ressione è costante Unità di misura SI N m altre unità: ( Pa) bar atm Torr 0 5 Pa.03 0 mm Hg Dimensioni: [ MLT ] [ L ] [ ML T ] 5 N m La PRESSIONE è uno scalare.03 Bar. Romero Fluidi 4 la ressione in un fluido 760 mm Hg 760 Torr atm si misura ad es con il Barometro aneroide (scatola deformabile)

5 ( ) df ( S) df ds n Forze di olume Per ciascun elemento di massa dm del fluido si considerano forze di olume roorzionali a dv, come ad esemio la forza eso Forze di suerficie Forze di suerficie si manifestano sulle suerfici di contatto e/o di searazione di fluidi e sono roorzionali alla suerficie. NOT: dfn ds Sforzo normale df V) ( gdm g dv df τ t ds Sforzo di taglio. Romero Fluidi 5 F F t n ( S) ( S) ( S) dft ds dfn ds ( S) τ scalari ( ) df s ds In un fluido in equilibrio sono assenti gli sforzi di taglio e si hanno solo forze normali nei fluidi in moto si hanno anche sforzi di taglio

6 df ds dh dv Laoro delle forze di ressione Suoniamo di aere forza df ds che agisce ortogonalmente a ds, che si sosta di dh. Il laoro è: dwdf dh ds dh dw dv con dv olume infinitesimo W dv Struttura microscoica dei fluidi Solidi forza di legami tra i comonenti atomi o molecole tale che restano fisse o oscillano attorno a osizione di equilibrio. Solidi difficili da deformare alto alore di modulo di Young Liquidi legame meno forte, comonenti si muoono, ma restano legati (no forma roria, imossibilità a resistere a sforzo di taglio, incomressibilità) Gas molecole in moimento e molto distanti tra loro. Forze intermolecolare decrescono con distanza, non riescono a tenere legate le molecole (no forma e olume. Romero rorio, facilmente comressibili, Fluidi no resistenza a sforzi di taglio) 6

7 Equilibrio di un fluido in resenza della forza eso Un fluido si dice in quiete, se tutti gli elementi del fluido hanno accelerazione e elocità nulla, in un sistema di riferimento inerziale Consideriamo un iccolo elemento di olume di fluido in equilibrio Forze agenti sull elemento dm: - forza esterna di olume: forza eso (F ) - forze di ressione, doute al fluido circostante (F ) Forza eso (F ) df df y, gdm gdy Forza di ressione (F ) df ( + d) ( + d) dm dv dy Fluido in quiete df + df 0 dy y 0 y df dy ( + d) df ( + d) gdy 0 d gdy d dy g

8 ( + d) Legge di Steino d dy g d gdy dy y 0 y df dy ( + d) df se in un fluido agisce la forza eso, la ressione nel fluido non uò essere costante, ma aria in accordo con la relazione sora er aere l equilibrio statico Tra due unti qualsiasi alle quote y e y in un fluido: d g y y dy Se y è sulla suerficie libera corrisonde a 0 : 0 gh y Con h rofondità di ( y ) g y y 0 + gh Questa relazione è detta legge di Steino e mostra che in un liquido con costante, la ressione cresce linearmente con la rofondità. Romero Fluidi 8

9 Legge di Steino + gh 0 Se fluido ha densità costante la ressione cresce linearmente con la rofondità Se ho bacino di acqua che ha 3 0 Kg/m 3 sottoosto a ressione atmosferica Pa Ho che la ressione ad una certa rofondità h: (h) (0 5 +9,8 0 3 h ) Pa ogni 0 metri la ressione aumenta di circa un bar (circa atm) Considero l acqua raticamente incomressibile quindi a densità costante E ossibile troare la legge di Steino calcolando il eso di colonna di liquido alta h F ghs mg Vg Shg gh S S. Romero Fluidi 9

10 . Legge di Pascal F h i i 0 h Conseguenze della legge di Steino Dalla legge di Steino: 0 + gh Con 0 ressione esterna Segue che ogni cambiamento della ressione esterna dà luogo a un uguale ariazione di in tutto il fluido 0 + gh i gh i Se la ressione esterna subisce una ariazione: ' + i ' i Tutti i unti nel fluido subiscono la stessa ariazione di ressione. Romero Fluidi 0 s

11 Conseguenze della legge di Steino. Suerfici isobariche La suerficie di searazione di liquidi di diersa densita è semre orizzontale Si suonga che non sia così. 0 h In figura sono raresentati due fluidi di densità dierse e searati da una suerficie non orizzontale. Per la legge di Steino alla stessa quota ci dee essere la stessa ressione indiendentemente dalla coordinata x. Dunque considerando osizioni x dierse osso esrimere come segue: x 0 + gh 0 + gh 0 + gh 0 + gh gh gh Essendo: Perché sia soddisfatta questa eguaglianza bisogna che: h 0. Romero Fluidi

12 3. Paradosso idrostatico Conseguenze della legge di Steino Una conseguenza della legge di Steino è che la ressione diende solo dalla rofondità alla quale essa iene misurata e non dalla forma del reciiente che contiene il fluido. Consideriamo i tre reciienti raresentati in figura aenti ugual base e riemiti con uno stesso liquido fino ad una altezza h. La ressione sul fondo di ogni reciiente douta al eso del liquido, secondo la legge di Steino, assume lo stesso alore nei tre asi. gh La forza F che agisce sul fondo è: F gh Oero la forza è uguale al eso del liquido di olume V h, cioè il eso del liquido contenuto nel aso (). Il aradosso idrostatico consiste rorio in questo: ur essendo il eso del liquido contenuto nei ari reciienti dierso a seconda dei casi, la forza esercitata sul fondo ( nelle condizioni sora indicate ) è uguale er tutti e tre i casi e ari al eso del liquido contenuto nel reciiente ().. Romero Fluidi

13 Conseguenze della legge di Steino Paradosso idrostatico - continuazione La forza esercitata sul fondo è uguale er tutti e tre i casi e ari al eso del liquido contenuto nel reciiente (). Per il reciiente () il eso del liquido contenuto è maggiore della forza esercitata sul fondo. Il aradosso in questo caso si siega con il fatto che arte del eso del liquido contenuto è sostenuto dalla forza normale R, aente comonente P' erso l'alto, esercitata dalle areti del reciiente stesso. In effetti la orzione di liquido ombreggiata è sostenuta dai lati del reciiente. Per lo stesso rinciio nel caso del reciiente (3) la forza di reazione delle areti del reciiente arà una comonente P' erso il basso che andrà a sommarsi al eso del liquido a quella quota e darà comunque come risultato una forza F di intensità equialente al eso del liquido contenuto in () in questo caso il eso del liquido contenuto in (3) è. Romero Fluidi 3 minore di quello contenuto in ().

14 Conseguenze della legge di Steino 4. Vasi comunicanti Conseguenza della legge di Steino è che in un sistema di asi comunicanti il fluido contenuto raggiunge la stessa quota indiendentemente dalla forma dei reciienti. Nel caso raresentato in figura la differenza di ressione tra due unti qualsiasi si calcola attraerso la formula: ( y ) g y Poiché, er la legge di Steino si ha differenza di ressione solo in corrisondenza di ariazioni di quota, se le suerfici e B sono soggette alla stessa ressione, 0, allora saranno alla stessa quota y y Condizione di equilibrio Condizione di non equilibrio. Si ossera un flusso di liquido fino allo stabilirsi della stessa quota. Romero Fluidi 4

15 Conseguenze della legge di Steino 4. Vasi comunicanti - Misura di densità Se il tubo è riemito con liquidi non miscibili di densità dierse e, le altezze raggiunte dal fluido nei due rami saranno dierse: h e h. Sulla suerficie S di searazione tra i due liquidi agiranno risettiamente erso il basso e erso l'alto le ressioni idrostatiche delle colonne h e h. In condizioni di equilibrio le due ressioni si bilanceranno: gh gh h h Pertanto due liquidi non miscibili in asi comunicanti raggiungono altezze inersamente roorzionali alle rorie densità.. Romero Fluidi 5

16 Conseguenze della legge di Steino 4. Vasi comunicanti - Barometri a tubo aerto P +gy + gy Se il fluido ha densità : P h y ( y y ) + gh +g Se 0 ressione atmosferica : y 0 + gh 0 gh ressione differenziale artire dalla misura di h si ricaa il alore di. Romero Fluidi 6

17 Misura della ressione (atmosferica). E. Torricelli ( ) gh h y y Hg y y 0 Per conenzione il liello di riferimento della ressione atmosferica è quello esercitato da una colonna di mercurio: - alla temeratura di 0 C, - con h76 cm, - 3, kg/m ( Kg / m )( 9.8m /s )( 0.76 m).03 0 N / m atm Pa atm bar mbar Pa atm Torr Pa N/m bar 0.MPa mbar 0 Pa atm 760 Torr Romero Torr mm Hg 33.3 Fluidi

18 Caratteristiche medie dell atmosfera ltitudine (Km) Pressione (bar) Densita (Kg/m 3 ) Temeratur a C ltezza di scala (Km) troosfera Nubi(90%H O) trooausa ozono Stratosfera Ionosfera Ionizzata e condutrice, riflessione delle Radioonde, aurore boreali Romero Fluidi 8

19 densità roorzionale a (Tcost.) g costante (indiendente da h) La Pressione tmosferica La ressione atmosferica è originata dall attrazione graitazionale da arte della terra della massa di gas che la circonda. Quindi la ressione atmosferica diminuisce con l altezza: il eso della colonna d aria è minore Iotesi: il gas atmosferico obbedisce alla legge dei gas erfetti (Vcost.) Chiamando y la quota: d dy g con: d dy d g g dy dy a Con: a g 0 0 5, ,95 0 m 8km 9,8,3 0 d a y 0 dy ln 0 z a y ltezza di scala 0 g y y. Romero 0 Fluidi a 0e 0e 9

20 La Pressione tmosferica (atm) aria altezza(km) 0 e y a Nell atmosfera isoterma la ressione decresce esonenzialmente con l altezza. Romero Fluidi 0

21 Princiio di rchimede Un coro immerso in un fluido ricee una sinta dal basso erso l alto ari al eso del fluido sostato. In un fluido in equilibrio sotto l azione della graità isoliamo idealmente un olume finito di fluido V di forma qualsiasi. La risultante delle forze di ressione, esercitate dal resto del fluido sulla arte isolata, è uguale ed oosta alla forza eso della stessa. Infatti er la condizione di equilibrio del olume V, si ha: + mg 0 mg F Forza di ressione esercitata sul fluido di olume V dal resto del fluido r F r m V Con : densità del fluido. Romero Fluidi

22 Princiio di rchimede r F r r mg Vg Se ora sostituiamo allo stesso olume V di fluido un identico olume di qualsiasi altra sostanza di densità e massa: m V. Forza di ressione esercitata sul fluido di olume V dal resto del fluido La risultante F delle forze di ressione esercitate dal fluido circostante non cambia, mentre aria la forza eso del olume reso in considerazione, dunque la forza risultante risulta: r r r r r r mg + m' g Vg + 'Vg ( ' ) Vg F r R r + m'g F F r R F r ( ' ) Vg Se > la forza risultante ha la stessa direzione e erso di g e quindi il coro scende nel fluido, se inece < il coro sale La sinta erso l alto riceuta dal coro è detta sinta di rchimede:. Romero Fluidi R r r F r F r Vg

23 Princiio di rchimede metacentro f C B B' Vgˆj C B F P C B' B Profilo di barca Ccentro di massa (baricentro) Bcentro di sinta Se il centro di sinta ed il centro di graita non sono sulla stessa erticale si hanno momenti che agiscono in modo da riortare o allontanare dall equilibrio il sistema ll equilibrio: Il centro di sinta di rchimede è sulla erticale er C (centro di massa) Se C è iù basso di B eq. stabile Se C B eq. indifferente Se C è meno rofondo di B eq. instabile. Romero Fluidi 3

24 acqua ressione (atm) Esemio rof. (Km) Quale frazione del olume totale di un iceberg emerge dall acqua? Sia la densità del ghiaccio i 0.9 g/cm 3 e quella dell acqua di mare a.03 g/cm 3. eso dell iceberg: P i i V g eso dell acqua sostata ( sinta di rchimede ): ll equilibrio: P a P i i i Con: V i : olume totale dell iceberg V g i a V a g P a a V a g Con: V a : olume sommerso dell iceberg V 0.9 i a 89% a Vi.03. Romero Fluidi 4 emerge % del olume dell iceberg

25 Misura di densità e olume Un coro comatto di massa m c è soseso a un dinamometro che all equilibrio segna T 5,88 N. E oi immerso comletamente in acqua e il dinamometro segna T 3,70 N. Troare il olume V del coro e la sua densità c. T è la forza eso del coro mentre T è il eso meno la sinta di rchimede. Quindi T m c g e T m c g m a g m a g T -T con m a g a Vg Troo la massa m c T /g 0,6 Kg e V da V a g T -T V, 0-4 m 3 c m c /V,7 0 3 kg/m 3. Romero Fluidi 5

26 Misura di densità e olume Se immergo comletamente cilindro di massa m e olume V noto e misuro con una bilancia la tensione T ottengola densità ignota di un liquido T è il eso meno la sinta di rchimede. Quindi T-m c g m l g l Vg T - m c g da cui ricao facilmente la densità del fluido Se ho aralleleiedo di densità immerso in arte in liquido di densità ignota l ho che eso di coro e sinta di archimede sono eguali Vg l V s g V s è la arte di liquido sostatoda cui ricao facilmente la densità del fluido dato che i olumi sonoroozionali a h e h s V h l V. Romero s h s Fluidi 6

27 ttrito interno. Viscosità Quando si erifica una condizione di scorrimento relatio tra due elementi di fluido, comare lungo l area di contatto una forza tangenziale di attrito, detta forza di attrito interno, con erso semre contrario a quello della elocità relatia. L elemento esercita una forza sull elemento e iceersa: le forze sono uguali ed contrarie. Se la elocità >, la forza di attrito interno è ritardante er il rimo elemento e accelerante er il secondo Serimentale si troa che il modulo della forza di attrito interno si uò esrimere come: df ηds d dn Con: ds: area di contatto d/dn: ariazione del modulo di elocità lungo la direzione ortogonale η: iscosità del fluido (diende dal tio del liquido e dalla temeratura nei liquidi η decresce all aumentare della temeratura, nei gas cresce). Romero Fluidi 7

28 d df ηds dn Unità di misura SI Viscosità η: iscosità del fluido N s Kg m s s [ η] m m [ kg m s ] m m Dimensioni di η: [ ] [ ML η T ] m m nche se nel S.I l unità di misura è il kg/ms, nella ratica si usa l unità di misura: oise e il sottomultilo centioise lcun alori: olio ricino: (0 C) Glicerina:.5 (0 C) cqua: (0 C); sangue: (0 C); (00 C) olio lubrificante SE 0: 0.3 (40 C) Fluidi ideali oise 0. Romero Fluidi 8 kg m Si definisce fluido ideale, un fluido la cui iscosità η è nulla (η0) e la cui densità è costante (cost) Un fluido ideale è un fluido non iscoso e incomrimibile s

29 . Romero Fluidi 9

30 Moto di un fluido Regime stazionario Fluido in moto stazionario: la elocita delle articelle in ogni unto del fluido e costante nel temo. Cioè, la elocita di ogni articella che assa in un dato unto e semre la stessa, mentre unti differenti sono in genere caratterizzati da elocità dierse. Nel regime stazionario quindi la elocità è funzione della sola osizione (x,y,z) Fluido in moto non stazionario: la elocità in ogni unto del fluido è, in generale, diendente dal temo. Romero Fluidi 30

31 Tubi di flusso In un fluido stazionario la elocita in ogni unto è costante ogni articella che arria nei diersi unti in P, Q, R ha elocità V P, V Q, V R ). Due linee di flusso non ossono mai Linea di flusso R R incrociarsi. L insieme delle linee di flusso non P Q Q cambia nel temo 3. L insieme delle linee di flusso assanti er una linea chiusa immersa nel fluido definisce un: tubo di flusso In un tubo di flusso: le elocità delle articelle di fluido che si muoono sulla suerficie è arallela alla suerficie stessa Durante il moto nessuna articella uò entrare o uscire dal T.d.F.. Romero Fluidi 3

32 Equazione di continuita Consideriamo un tubo di flusso di sezione infinitesima ds, ortogonale alle linee di corrente: il rodotto dqds è detto ortata del tubo di flusso e raresenta tutto il olume che assa attraerso la suerficie S in un secondo Un tubo di flusso uò cambiare sezione, ma se: - il fluido è ideale (quindi incomrimibile), cioè se la densità è costante - se si è in condizioni di regime stazionario (cioè la configurazione di linee di corrente rimane immutabile) la ortata è la stessa in qualsiasi sezione Infatti fissate due qualsiasi sezione del tubo di flusso, la massa ii contenuta uò entrare e uscire solo dalle sezioni, se è in regime stazionario, e non uò cambiare densità se è un fluido ideale ds costante. Romero Fluidi 3

33 Equazione di continuita ds costante Per un tubo di flusso di dimensioni finite, la ortata è data da: q dq S S ds S m media delle elocità nei ari unti di S m S costante Equazione di continuità er i fluidi ideali in regime stazionario Doe la sezione diminuisce, la elocità aumenta e doe la sezione aumenta la elocità diminuisce. Romero Fluidi 33

34 Equazione di Bernoulli Consideriamo un fluido: incomressibile non iscoso in moto stazionario lungo una tubazione. l y y l Consideriamo lo sostamento del fluido nel condotto che orta la massa che si troa tra le sezioni e a troarsi doo un interallo di temo t tra i unti ' e '. Il olume entrante sarà uguale a quello uscente (er l'incomrimibilità): e la massa di questo fluido sarà: m V l l. Romero Fluidi 34

35 Equazione di Bernoulli Per effetto del moimento del fluido la massa m nel temo t è stata sostata dalla quota y alla quota y e la sua elocità è ariata da a. y l l y Per troare una legge che regola il moto in questo tio di condotto è necessario alicare il teorema dell'energia cinetica al fluido contenuto inizialmente tra i unti e oero alla massa di fluido m. Variazione Energia Cinetica: Laoro della forza eso E W c g m mg m ( y y ) Laoro forze di ressione: W W + W l ) + ( ) ( ) V ( l. Romero Fluidi 35

36 Equazione di Bernoulli Dal teorema dell energia: E W + W c g m ( ) V mg( y ) m y m V y l l y ( ) V g V( y y ) + V ( ) ( ) g( y y ) + ( ) + gy + + gy + + gy + cost. Teorema di Bernoulli Nota: Se il fluido è in quiete Legge di Steino. Romero Fluidi 36

37 . Romero Fluidi 37 Conseguenze del teorema di Bernoulli ) Venturimetro è usato er misurare la elocità dei fluidi. In una condotta orizzontale si ha che: cost. + Per un fluido incomrimibile, se cresce la elocita dee diminuire ( ) ( ) h l 0 ' ( ) ( ) Dalla misura di si ossono ricaare e ( ) costante

38 Conseguenze del teorema di Bernoulli ) Tubo di Pitot usato er misurare la elocità dei gas. In una condotta orizzontale, iene osto un unto di ostacolo. In tale unto b il fluido è fermo b a a b h b: zona di stagnazione + 'gh ' gh a ' a + a a Dalla misura della differenza di ressione tra il unto b in cui il fluido è fermo e il unto a, si ricaa la elocità Si usa er misurare elocità di aereo che si muoe risetto a fluido. Romero Fluidi 38 a a hg' Se ho manometro a Hg che segna disliello di 0 cm calcolare elocità di aereo hg' 0, 9,8 3,6 0,9 m ,7 s 3 aereo b Km 57 h b

39 3) Teorema di Torricelli Conseguenze del teorema di Bernoulli Da un foro osto ad una altezza h dalla suerficie sueriore di un fluido contenuto in un serbatoio, il fluido esce con una elocità ari a quella che arebbe se scendesse in caduta libera er un tratto h. a alicando l'equazione di Bernoulli ai unti (a) e (b) della figura, consederando a (circa) nulla, data la grande massa di fluido nel reciiente y a y b b a + gy a b + gy b + b Essendo sia (a) che (b) in comunicazione con l'atmosfera, a e b saranno uguali e ari alla ressione atmosferica, quindi risolendo risetto b : b g(y y ) gh b gh a b. Romero Fluidi 39

40 Teorema di Torricelli: esemio che distanza arria il getto di acqua che fuoriesce dal foro nella arete erticale con la elocità aena troata se l altezza del fluido nel reciiente è y a? a Il fluido esce con elocità orizzontale b e oi segue il moto del roiettile con equazioni y a y b b ; x gt x b y y b b t y b 0 y gt t b g La gittata si troa mettendo y0 e troando il temo quindi sostituendolo nella esressione di x ( si otea anche usare l equazione della arabola) x gh y g a 4hy b 4(y a y b ) y b Se il foro è ad altezza h y b ho stessa gittata infatti : x' 4y b (y a y b ) L altezza a cui fare il foro er aere la gittata massima è la metà del reciiente er ragioni di simmetria della formula o facendo la deriata. Romero Fluidi 40

41 Fluidi reali il moto laminare Nei fluidi reali η 0 - resenza di attriti interni al fluido -esistenza di forze tangenziali che fanno scorrere strati di fluido gli uni sugli altri Moto laminare: il regime è stazionario, con le linee di corrente costanti nel temo l Suoniamo che il fluido scorra in un condotto cilindrico di raggio R. In questo tio di moto, il fluido a contatto con le areti del condotto è fermo. icinandosi all asse del condotto la elocità aumenta, er cui abbiamo strati cilindrici coassiali di fluido che scorrono l uno dentro l altro con elocità dierse. Velocità massima sull asse del condotto. Romero Fluidi 4

42 Fluidi reali il moto laminare La Forza necessaria er mantenere il moto laminare tra due lastre distanti h in regime stazionaro è F ηs h Si considera un condotto orizzontale, lungo l, con una differenza di ressione - agli estremi, si dimostra:. Velocità massima er r 0 (r) 4ηl ( R r ) max 4ηl er r R, alla arete min 0 La ortata del condotto è data dalla legge di Hagen-Poiseuille: q πr 8η R 4 l NOT: nel regime laminare la ortata, la elocità dei singoli strati e la elocità media sono roorzionali al gradiente di ressione. Romero Fluidi 4

43 Moto orticoso Il moto di un fluido iscoso e incomrimibile uò aere due regimi diersi: il regime laminare o il regime orticoso o turbolento, in cui gli strati liquidi acquistano elocità quasi uguale alla massima a bree distanza dalle areti, inoltre si formano ortici isibili all'interno del liquido. Si ossera serimentalmente che un flusso laminare, al ariare di alcune condizioni, uò dientare turbolento. Osborne Reynolds, attorno al 883, studiò serimentalmente e teoricamente la natura di queste condizioni: attraerso eserimenti nei quali un flusso d'acqua di elocità regolabile era reso osserabile iniettandoi dei coloranti, egli ricaò la formula di un arametro adimensionale che caratterizza il tio di moto del fluido, er un condotto cilindrico: Con: R densità del fluido elocità del fluido raggio del condotto R e R η η coeff. di iscosità del fluido. Romero Fluidi 43

44 . Romero Fluidi 44

45 Moto orticoso R e R η Numero di Reynolds Si ha la transizione da regime laminare a regime orticoso, quando il arametro adimensionale R e ha il alore di 00. La elocità critica er la transizione ale dunque: c η 00 R << c c >> c In regime orticoso si dimostra che: l k R m Il gradiente di ressione è una funzione quadratica della elocità anziché lineare. Romero Fluidi 45

46 Moto in un fluido. Resistenza del mezzo Moto di un coro immersi in un fluido L interazione con il fluido si manifesta attraerso una forza, che si oone al moto e si chiama resistenza del mezzo, il cui effetto diende dal moto relatio tra coro e fluido Si consideri una sfera immersa in un fluido in moto. Se il fluido è ideale (fig.a) si ha comleta simmetria delle linee di corrente e quindi la stessa ressione a monte ed a alle della sfera. La sfera non subisce alcuna sinta e rimane ferma (aradosso di D lembert) Se inece il fluido è reale si forma una scia orticosa. Dunque la ressione a alle è minore di quella a monte e quindi si manifesta una forza che trascina la sfera. I arametri che determinano la resistenza del mezzo sono la forma e le dimensioni del coro. Romero Fluidi 46

47 Moto in un fluido. Resistenza del mezzo Esressione generale della resistenza del mezzo F res cs F C fluido Doe c è un coefficiente adimensionale che diende dalla forma. In regime orticoso c è costante e F res è roorzionale a F res In regime laminare c è funzione dell inerso della elocità, F res F res risulta lineare con la elocità (forza di attrito iscosa già studiata) F Kη η>0:coefficiente di iscosità K > 0 : diende dalla forma del coro Per un coro sferico: K 6πR F 6πRη Legge di Stokes. Romero Fluidi 47

48 Esemio Consideriamo una sferetta S di raggio R e densità che si muoe erticalmente in un fluido di densità < cosicchè S scende erso il basso. La sferetta è sottoosta alle seguenti forze: ' F S fluido F P 4π R 3 3 z F ' 4 P mg R 3 π g forza eso 3 4 m'g ' πr 3 F d 6πRη legge di Stokes P F ' + F 3 g sinta idrostatica (rchimede) d m dt + m R ( ' ) g 6πRη dt ( ' ) g 6πRη m. Romero Fluidi 48 d dt 4π 3 ( ' ) 3 4π R 3 3 d g 6πRη m dt

49 ' F S fluido F P Esemio -continuazione Soluzione dell equazione: αt ( t) + Be ( ) ( )( α t e 0t ) ( ) ( ) con: 6πRη α α m ( ' ) 9η R 0 g,b:dai alori di er t 0.63 ( ) tα 0 e t t. Romero Fluidi 49