Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche

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1 Aunti ed Esercizi di Fisica ecnica e Macchine ermiche Ca. 4. I sistemi aerti a regime Paolo Di Marco Versione La resente disensa è redatta ad esclusivo uso didattico er gli allievi dei corsi di studi universitari dell Università di Pisa. L autore se ne riserva tutti i diritti. Essa uò essere rirodotta solo totalmente ed al fine summenzionato, non uò essere alterata in alcuna maniera o essere rivenduta ad un costo sueriore a quello netto della riroduzione. Ogni altra forma di uso e riroduzione deve essere autorizzata er scritto dall autore. L autore sarà grato a chiunque gli segnali errori, inesattezze o ossibili miglioramenti.

2 Ca. 4. I sistemi aerti a regime Introduzione In questo caitolo vengono trattati i iù comuni organi che comongono le macchine termiche. ali organi sono generalmente sistemi aerti, che noi suoniamo di considerare in regime stazionario o eriodico (in altre arole, non ci interessiamo dei transitori dovuti all avviamento o alla regolazione delle macchine suddette). Le equazioni di bilancio di massa, energia ed entroia vengono semlificate er considerare condizioni stazionarie ed in seguito alicate ai modelli che vengono comunemente adottati er raresentare gli organi suddetti. Il testo è corredato da una serie di esemi significativi, che il lettore è invitato a non tralasciare. URBINE ED ESPANSORI Una turbina è un disositivo in cui si ha roduzione di lavoro come conseguenza del assaggio del fluido attraverso una serie di alettature, oortunamente sagomate, connesse ad un albero rotante. Le turbine sono usate ad esemio er azionare gli alternatori negli imianti termoelettrici (il fluido è in genere vaore acqueo, ma anche gas di combustione, oure anidride carbonica od elio in alcuni tii di reattori nucleari); a causa del loro vantaggioso raorto eso-otenza, sono usate anche nei motori aeronautici ed in alcuni motori navali. G W'm G Figura. Schematizzazione di una turbina. Una turbina viene in genere schematizzata come in Figura. Il fluido in ingresso è in genere un gas ad elevata temeratura, che subisce nel assaggio una diminuzione di ressione e temeratura. Il fluido uò ertanto trovarsi all uscita nelle condizioni di vaore saturo, sebbene si tenda ad evitare tale situazione (o comunque a fare in modo di avere un titolo in uscita molto vicino a ) er evitare l erosione delle alettature dovute agli urti delle goccioline di fluido condensato. Per una turbina, le variazioni di energia cinetica e otenziale tra ingresso ed uscita sono trascurabili. Inoltre, er massimizzare il lavoro ottenuto, si fa in modo da rendere lo scambio termico con l ambiente minimo, er cui il sistema si uò considerare adiabatico. I bilanci di energia ed entroia (vedi ca.3, tab.) si riducono ertanto a 4-

3 Ca. 4. I sistemi aerti a regime G ( hh ) W ' G ( s s ) S irr m (4.) Rendimento isoentroico della turbina A causa degli inevitabili attriti, la esansione in turbina resenta semre le caratteristiche di un fenomeno irreversibile. Se la trasformazione si uò considerare adiabatica, questo comorta, come risulta dalla seconda delle Eq.(4.), che si abbia in uscita una entroia maggiore di quella in ingresso e che quindi in un diagramma h-s (vedi Fig.) il unto finale della trasformazione cada sulla destra risetto alla verticale assante er il unto iniziale. Se aragoniamo la esansione reale a quella ideale reversibile (che è isoentroica, vedi Fig.), vediamo che, a arità di ressione in uscita, si ha una riduzione del salto entalico in turbina e quindi (a arità di ortata massica) una riduzione di otenza. h (A) (B) h, C x i i s Figura. Esansione reale ed ideale nel diagramma h-s er: (A) fluido reale, (B) gas ideale. Si tiene conto di questo definendo il rendimento isoentroico della turbina come W ' h h m η (4.) W ' m, id hi h unicamente nel caso di un gas ideale con c cost si ha anche, ovviamente η (4.3) i Il rendimento isoentroico uò assumere valori comresi tra 0 ed ; er una turbina ben costruita oscilla tra 0.8 e 0.9. s ESEMPIO 4. - Esansione adiabatica di un gas ideale In una turbina a regime adiabatica, una ortata G 0. g/s di azoto si esande in maniera adiabatica da 0 bar, 700 C a bar, 00 C. Valutare la otenza all asse della turbina e la variazione di entroia nelle tre iotesi seguenti: a) considerando il fluido un gas ideale con R 97 J/g K, c costante 039 J/g K; 4-3

4 Ca. 4. I sistemi aerti a regime 4-4 b) considerando il fluido un gas ideale con c diendente dalla temeratura secondo la relazione (con le temerature esresse in K): 4 3 R c ε δ γ β α , dove , , 0.34, , ε δ γ β α c) ricavando i dati dalle tabelle termodinamiche del fluido La otenza all asse della turbina (considerata adiabatica) è data comunque dalla relazione ) ( ' h h G W m in tutti i casi, bisogna inoltre verificare che la variazione di entroia tra ingresso ed uscita sia ositiva o nulla (in caso contrario la trasformazione è imossibile, o la turbina non uò essere considerata adiabatica) Caso a - calore secifico costante ( ) 40 J/g K 97 ln(0) ln(.06) - ln ln 50 J/g 00) (700 R c s s c h h Caso b - calore secifico diendente dalla temeratura In questo caso le relazioni sono ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )d ( R c h h ε δ γ β α ( ) ( ) ( ) ( ) ln 4 3 ln ln ) ( R R d c s s ε δ γ β α Caso c - tabelle termodinamiche In questo caso, basta consultare le tabelle che forniscono i seguenti dati, C, bar h, J/g s, J/g K La tabella seguente riassume i risultati er i tre casi considerati

5 Ca. 4. I sistemi aerti a regime caso h -h, s -s, J/g W m, W J/g K a b c Come si vede, la revisione fatta nel caso b è molto vicina a quella delle tabelle, ma anche il modello con calore secifico costante (caso a) fornisce un risultato sufficientemente accurato, almeno er quanto riguarda la otenza erogata. ESEMPIO 4. - Esansione adiabatica di un vaore surriscaldato Una turbina a vaore che si uò considerare adiabatica oera in regime stazionario nelle seguenti condizioni ortata di fluido G 4.6 t/h; condizioni in ingresso: 60 bar, 600 C; condizioni in uscita: 0. bar, x 0.9. Calcolare la otenza erogata ed il rendimento isoentroico della turbina. La soluzione è riortata nel file C4URBVAP.XLS La otenza erogata è data da W ' m G ( h h ) la ortata deve essere esressa in unità SI 3 t 0 g g G h 3600 s s Per valutare il rendimento isoentroico, bisogna valutare le condizioni di uscita nelle condizioni ideali i (ovvero quelle corrisondenti ad una esansione adiabatica reversibile), tenendo conto che in tale trasformazione s i s. ramite le tabelle termodinamiche dell acqua o un codice di calcolo si ricavano i valori contenuti nella seguente tabella (dove le caselle ombreggiate indicano i valori usati come inut) unto, C, bar h, J/g s, J/g x K i da cui si ha G ( h h ).8 ( ) W ' m.68 h h η 0.95 h hi Nel caso si disonga solo di una tabella del vaore saturo, er valutare l entalia nel unto i si deve rocedere come segue: MW 4-5

6 Ca. 4. I sistemi aerti a regime ottenere dalle tabelle i valori dell entalia e dell entroia del liquido saturo (x0, 0. bar, h f 9.8 J/g, s f J/g K) e del vaore saturo secco (x, 0. bar, h g J/g, s g 8.5 J/g K); calcolare il valore del titolo nel unto i tramite il valore noto dell entroia (s i s J/g K) sis f x 0.87 sg s f calcolare l entalia del vaore saturo nel unto i h i h f + x ( hg h f ) ( ) 74 J/g che come si vede, a meno delle inevitabili imrecisioni di calcolo, coincide con quanto ottenuto con il calcolatore. ESEMPIO Esansione adiabatica irreversibile di un vaore surriscaldato In una turbina a regime adiabatica, una ortata G 0.5 g/s di vaore acqueo si esande in maniera adiabatica irreversibile da 40 bar, 350 C a 0.03 bar. Il rendimento isoentroico di esansione vale η t Valutare il titolo in uscita e la otenza all asse della turbina. Anche in questo caso, come nell Esemio, la otenza erogata dalla turbina è data da W ' m G ( h h ) Il fluido non uò essere considerato un gas ideale e bisogna ricorrere alle tabelle termodinamiche. Lo stato finale è caratterizzato dal solo valore della ressione e non è ertanto determinato: tuttavia si disone dell esressione del rendimento isoentroico di esansione. In questo caso si determina rima l entalia in uscita er una turbina ideale (reversibile), er la quale lo stato finale è caratterizzato dal valore di entroia s i s. Si fa quindi uso dell esressione del rendimento isoentroico er calcolare il valore dell entalia reale in uscita, h h h η η ( ) ( ) h h h h i J/g h hi Lo stato finale reale risulta ertanto determinato dai valori della ressione e dell entalia h ed a artire da essi è ossibile calcolare i valori di tutte le altre variabili di stato, comreso il titolo x 0.8. I risultati sono riassunti nella seguente tabella (dove le caselle ombreggiate indicano i valori usati come inut). unto, C, bar h, J/g s, J/g x K i La otenza erogata dalla turbina vale infine G ( h h ) 0.5( ) 496W W ' m 4-6

7 Ca. 4. I sistemi aerti a regime Quest ultimo risultato, come è ovvio, oteva anche essere ottenuto direttamente moltilicando il valore della otenza ideale er il rendimento isoentroico: W ' m η G ( hh i ) ESEMPIO Esansione adiabatica irreversibile di un gas ideale con calore secifico costante In una turbina a regime adiabatica, una ortata G 0.3 g/s di azoto (che si uò considerare un gas ideale con calore secifico costante) si esande in maniera adiabatica reversibile da 0 bar, 300 C a bar. Valutare la otenza all asse della turbina. Rietere i calcoli er nel caso che la turbina abbia un rendimento isoentroico di esansione η t 0.8. Anche in questo caso, come nell Esemio, la otenza erogata dalla turbina è data da W ' m G ( h h ) che er le rorietà del fluido (gas ideale con c costante) è esrimibile anche come W ' m G ( hh ) G c ( ) er comletare il calcolo ci manca il valore di, che erò è ricavabile considerando che la trasformazione è adiabatica reversibile e quindi isoentroica: ln s s c R ln 0 cln R ln R c c R K 0 Notare che è stato necessario convertire le temerature in K, dato che esse comaiono all interno di raorti. Si uò quindi calcolare facilmente la otenza erogata dalla turbina W ' m ( ) 86.3W, id G c ( ) Si noti anche che la legge della trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale con calore secifico costante aena ottenuta cost è riconducibile alla iù nota v cost er mezzo della equazione di stato dei gas. La verifica è lasciata er esercizio al lettore. Nel caso che la esansione sia irreversibile la otenza è data semlicemente da W ' m, r W ' m, id η t W e la temeratura di uscita è ricavabile da 4-7

8 Ca. 4. I sistemi aerti a regime W ' r m, r G c W ' G c ( m, r r ) C 35 K ed è sueriore al valore ideale recedentemente calcolato. POMPE E COMPRESSORI Questi disositivi assorbono lavoro er innalzare la ressione di un fluido: si arla in genere di ome se il fluido è un liquido e di comressori se il fluido è un aeriforme. Per roblemi tecnici, connessi al danneggiamento degli organi meccanici, si evita in genere di comrimere un vaore allo stato saturo. Il comressore si indica in generale come in Fig.3. G W'm Figura 3. Schematizzazione di un comressore. Anche in questo caso, le variazioni di energia cinetica e otenziale sono trascurabili er cui le equazioni di bilancio si riducono a G ( h h) Wt W' Wt G ( s s) + S ms m irr dove ms è la temeratura media di scambio, già definita nel Ca.3, data da G (4.4) Wt Wt ms (4.5) Wt Wt In generale, quindi, la otenza meccanica assorbita da un comressore è data da W [ G ( s s + S ] ' m G ( h h ) + Wt G ( hh ) ms ) irr (4.6) Si vede ertanto che nel caso generale la valutazione della otenza scambiata in caso di comressione non adiabatica è abbastanza comlessa. Fortunatamente molto sesso lo scambio termico con l esterno è trascurabile, sebbene non si ottenga vantaggio da questo 4-8

9 Ca. 4. I sistemi aerti a regime (anzi, il lavoro necessario in genere aumenta) ed il comressore si uò considerare adiabatico. In tal caso, le equazioni di bilancio assumono forma identica a quelle date er le turbine, Eqq.(4.). Esistono numerosissime tiologie tecniche, basate su rincii diversi, er ome e comressori. Per il momento è sufficiente ricordare che esistono macchine di tio alternativo (a istone) che funzionano a regime eriodico, e comressori assiali o centrifughi, che sono dotati di alette rotanti come le turbine e lavorano a regime stazionario. Non semre, er motivi di carattere tecnico, è ossibile realizzare l intero rocesso nello stesso organo: la comressione viene allora frazionata in iù macchine collegate in serie, e si arla in tal caso di ome o comressori multistadio. Rendimento isoentroico ed isotermo del comressore Come er le turbine, anche nel caso dei comressori l attrito e gli urti con le arti in movimento fanno sì che la trasformazione sia in genere irreversibile. Anche in questo caso, iotizzando che la trasformazione sia adiabatica, il unto finale della trasformazione cade quindi alla destra di quello iniziale sul diagramma h-s (Fig.4): quindi, a arità di ressione finale e ortata, il salto entalico, e la otenza richiesta aumentano risetto al caso ideale. Anche in questo caso si uò definire un rendimento isoentroico di comressione come W ' h h m, id i η C (4.7) W ' m h h che, nel caso che il fluido sia gas ideale con c cost, uò anche essere esresso come: i η C (4.8) h (A) i h, (B) i C x s Figura 4. Comressione reale ed ideale nel diagramma h-s: (A) fluido reale (vaore saturo secco), (B) gas ideale Il rendimento isoentroico di comressione assume valori comresi tra 0 ed ed oscilla indicativamente tra 0.7 e 0.85 er macchine ben realizzate. Notare che il numeratore ed il denominatore sono invertiti risetto al rendimento isoentroico di esansione er ottenere anche in questo caso un numero minore di. s 4-9

10 Ca. 4. I sistemi aerti a regime ESEMPIO Comressione di un gas ideale Un comressore oerante in regime stazionario, che si uò considerare adiabatico, comrime una ortata volumetrica in ingresso G v 0 m 3 /h di aria (gas ideale con c 005 J/g K costante e R 87 J/g K) alle seguenti condizioni: Ingresso: bar, 90 K Uscita: 7 bar, 560 K Calcolare la otenza necessaria, verificare che la trasformazione è irreversibile e valutare il rendimento isoentroico del comressore. Calcolare inoltre la otenza necessaria in una trasformazione adiabatica reversibile ed in una trasformazione isoterma reversibile a artire dalle stesse condizioni di ingresso fino alla stessa ressione di uscita. La soluzione è riortata nel file C4COMPID.XLS Bisogna innanzitutto valutare la ortata in massa nel comressore G ρ G ρ v R v g/m m m 3 Gv m / s h 3600 s G g/s Essendo il comressore adiabatico, le equazioni di bilancio di energia ed entroia si riducono (indiendentemente dal fluido considerato e dal tio di trasformazione) alla forma G ( hh ) W ' m G ( ss) S irr 0 Per un gas ideale con calore secifico costante si ha hh c ( ) 005 (560-90) 7 J/g s ln ln s c R 005 ln (.93) - 87 ln (7) 03 J/g K da cui infine W ' m G( hh ) W S irr G ( ss) 0.7 W/K > 0 Il segno negativo nel rimo risultato indica che la otenza è assorbita dal sistema. La seconda equazione ci dice che la trasformazione è effettivamente irreversibile. Per calcolare il rendimento isoentroico, valutiamo la temeratura di uscita in una trasformazione ideale (adiabatica reversibile: vedi Esemio 4) R / c 0.86 i r P K da cui si ottiene il rendimento isoentroico del comressore η i C La otenza necessaria er una comressione adiabatica e reversibile è ricavabile semlicemente da 4-0

11 Ca. 4. I sistemi aerti a regime W ' m, id W ' m η c W Mentre er la comressione isoterma reversibile bisogna riscrivere le equazioni di bilancio G ( hh ) Wt W ' m Wt G ( ss) Che nel caso di gas ideale divengono (notare che il salto entalico è nullo in una trasformazione isoterma di un gas ideale) G c ( ) 0 Wt W ' m W t G c ln R ln G R ln dalla seconda equazione si uò ricavare la otenza termica scambiata (essendo essa negativa è necessario raffreddare il comressore durante il rocesso). W t G R ln ln(7).3w Ed infine dalla rima equazione W ' m W t.3w da cui si vede che una comressione isoterma necessita di meno otenza di una adiabatica L esemio recedente dimostra che la comressione iù vantaggiosa dal unto di vista energetico è quella isoterma, che tuttavia è difficile da realizzare tecnicamente in quanto comorta una cessione di calore ben recisa all esterno. Questa comunque è un ottima ragione er non isolare mai termicamente i comressori, a meno che il fluido al suo interno non si trovi a temeratura inferiore a quella ambiente: in tal modo, ur non arrivando ad una trasformazione isoterma, si riduce comunque il lavoro di comressione. Per valutare le restazioni del comressore non isolato termicamente, si uò quindi far riferimento anche al rendimento isotermo, definito come W ' m, isot ( h h ) ( ss ) η C, (4.9) W ' W ' m m che confronta il lavoro di comressione con quello minore ossibile er un comressore non adiabatico, ovvero quello dell isoterma. L indice si riferisce alle condizioni di uscita di una comressione isoterma reversibile che orta il fluido alla stessa ressione. Come abbiamo visto, nel caso generale, la valutazione teorica del termine a denominatore non è semlice, v. Eq.(4.5), quindi questa definizione è utile sorattutto quando viene eseguita una misura in camo delle restazioni. Infatti, se il comressore non è adiabatico, esso uò assorbire una otenza inferiore a quella della adiabatica reversibile, er cui il rendimento isoentroico otrebbe risultare er assurdo maggiore di uno. Si otrebbe anche definire un rendimento olitroico del comressore, che confronta il lavoro di comressione con quello di una trasformazione olitroica reversibile che orta il fluido nello stesso stato finale a cui effettivamente esce dal comressore stesso: tale rendimento è 4-

12 Ca. 4. I sistemi aerti a regime di facile valutazione solo nel caso di gas ideali e, a giudizio di chi scrive, non è articolarmente significativo. Il lettore interessato è rimandato al ca. del testo di Della Vole. Comressione multistadio Abbiamo già accennato che è tecnicamente difficile realizzare comressori monostadio er elevati raorti di comressione. Si uò vedere inoltre facilmente sul diagramma -v (vedi Fig.5) che è vantaggioso refrigerare il fluido tra uno stadio e l altro di comressione (la refrigerazione si uò considerare isobara): in questo modo si ottiene infatti una riduzione del volume secifico del fluido stesso e quindi un risarmio nel lavoro secifico dello stadio di comressione successivo. L insieme della macchina uò essere schematizzato come in Fig.6. Il refrigeratore intermedio è detto in inglese intercooler. lavoro nell'isoterma lavoro nell'adiabatica lavoro risarmiato it ad i" i' Figura 5. Lavoro di comressione reversibile in un comressore a regime sul diagramma -v. Nasce quindi il roblema di quale sia la suddivisione ottimale del raorto di comressione tra i vari stadi della macchina. Limitiamoci a considerare il caso semlice di una comressione isoentroica a due stadi di un gas ideale con c costante, in cui l intercooler riorti il gas alla temeratura iniziale. Il lavoro di comressione è dato semlicemente dalla somma di quelli relativi ai due stadi, ovvero, dato che i dove W ' m a a l ' c ( i ' ) + c ( ) c ( ra ) + c ( rb ) (4.0) G a R i ; rarb (4.) c i v 4-

13 Ca. 4. I sistemi aerti a regime G G Wa A Wt B Wb i' i" Figura 6. Schema di un comressore bistadio con refrigeratore intermedio. Esrimendo quindi r B in funzione di r A e derivando l esressione del lavoro risetto a r A, si uò dimostrare che essa ha un minimo er A rb (4.) r il che imlica (4.3) i Questo risulta evidente anche dal grafico di Fig.7, in cui si riorta il raorto tra il valore del lavoro necessario risetto a quello della comressione monostadio in funzione del raorto di comressione del rimo stadio, er un raorto di comressione totale ari a 6. Si vede che il lavoro ha un minimo er r W tot / W m r Figura 7. Comressione multistadio: raorto tra la otenza di comressione effettiva e quella del comressore monostadio in funzione del raorto di comressione del rimo stadio (raorto di comressione totale 6). 4-3

14 Ca. 4. I sistemi aerti a regime i' (K) i" s (J/g K) Figura 8. Comressione adiabatica reversibile multistadio con refrigerazione intermedia: raresentazione sul diagramma -s. Fluido: aria con c cost, raorto di comressione totale 6:. Le linee tratteggiate raresentano le isobare. Il rocesso è raresentato sul diagramma -s in Fig.8. E facile verificare che, dato che i due stadi hanno lo stesso raorto di comressione, i. Generalizzando, si otrebbe vedere che (nelle stesse iotesi di cui al unto recedente) anche nel caso di una comressione multila ad N stadi il raorto di comressione ottimale è uguale er tutti gli stadi e dato da r... rn N (4.4) r il lavoro di comressione assume ertanto la forma l a R c ; r O ( r ) a ' Nc N O (4.5) Sul diagramma -s ci si uò facilmente rendere conto che er N il rocesso tende a diventare isotermo. L intercooler è un elemento aggiuntivo della macchina costoso, esante ed ingombrante, er cui in alcuni casi la sua adozione è antieconomica od addirittura imossibile (es. motori aeronautici): quindi, non semre viene effettivamente adottato, secie nei turbocomressori. rova maggiori alicazioni nel caso dei comressori alternativi (a istoni), nei comressori ad alto raorto di comressione (da cui il fluido uscirebbe e temerature troo elevate) e sorattutto nei motori a scoio turbocomressi, er refrigerare il fluido rima della introduzione nei cilindri (aumentandone così la densità e quindi la massa caricata a arità di cilindrata). uttavia, si intuisce che comunque, salvo casi molto articolari, non ha senso coibentare i condotti di trasferimento da uno stadio di comressione all altro, e, iù in generale, i comressori stessi: anzi, talvolta si cerca di favorire lo smaltimento di calore alettandone le suerfici esterne. 4-4

15 Ca. 4. I sistemi aerti a regime ESEMPIO Comressione multistadio dell aria Si deve comrimere una ortata G 0. g/s di aria (da considerare come un gas ideale con c costante con R 87 J/g K,.4) da bar, 93 K a 00 bar. Considerare la comressione reversibile e determinare la otenza di comressione necessaria nel caso di trasformazione adiabatica e trasformazione isoterma. Determinare inoltre la otenza necessaria nel caso di comressione multistadio con N stadi ad uguale raorto di comressione e refrigerazioni intermedie fino alla temeratura iniziale er N, 4, 8, 6, 3. La soluzione è riortata nel file C4COMPMUL.XLS Comressione adiabatica Il lavoro er unità di massa è dato da ' a l ( h h ) c ( ) c ( r ) AD P dove R 87.4 R c 005 J/g K ; a c er cui 0.86 l ' AD ( 00 ) 805J/g la otenza è quindi data da W ' AD Gl' AD 80.5 W Comressione isoterma In questo caso si ha l ' I R lnr 388 J/g e conseguentemente W ' I Gl' I 38.8 W Comressione multistadio Il lavoro di comressione, detto N il numero degli stadi, è dato da a l ' ( ) N MS Nc ro la tabella seguente riassume i risultati er le varie comressioni studiate Comressione a / N r [K] W [W] max adiabatica revers stadi stadi stadi stadi stadi isoterma come si vede, al crescere del numero di stadi la otenza di comressione tende al valore di quella isoterma. In ratica, tuttavia, la suddivisione in un numero eccessivo di stadi è antieconomica. 4-5

16 Ca. 4. I sistemi aerti a regime rasformazione Fluido reale Gas ideale a c cost Adiabatica W' m G ( hhi) W' m Gc( i) reversibile s s R/ c i (isoentroica) i Adiabatica G( h hi ) Gc( i) W' ( irreversibile m G h h) W ' m Gc( ) ηc ηc Isoterma W' m G( hh) G ( s s) W' ln reversibile m GR Politroica n W' m G( hh) msg ( ss) v cost < n reversibile n Rn n W ' m G rp n abella. Rieilogo delle varie esressioni er il calcolo della otenza di comressione. CALDAIE E GENERAORI DI VAPORE Un generatore di vaore (o caldaia) è un organo in cui un fluido subisce un innalzamento di temeratura e talvolta anche un cambiamento di stato. La suerficie delle caldaie non resenta arti mobili, er cui il lavoro scambiato con l esterno è comunque nullo. Le cadute di ressione tra ingresso ed uscita sono dovute soltanto all attrito, e ossono quindi molto sesso essere considerate trascurabili: la trasformazione è ertanto isobara. I bilanci energetico ed entroico assumono la forma G ( hh ) Wt G ( ss) W t + S irr (4.6) ESEMPIO Generatore di vaore Un generatore di vaore lavora a regime nelle seguenti condizioni: ortata di acqua G.5 g/s ressione Ma (si uò considerare costante nel generatore, trascurando gli attriti) temeratura in ingresso 30 C temeratura di uscita 400 C Determinare la otenza termica totale fornita al vaore W t, e quella fornita nel fascio bollitore (ovvero la otenza termica necessaria a ortare il fluido dallo stato di liquido saturo, x0, a quello di vaore saturo, x). Il bilancio di energia in questo caso è dato da G ( h h ) W t dalle tabelle del vaore si ricava h 7 J/g (liquido sottoraffreddato), h 347 J/g (vaore surriscaldato) da cui W t 4.68 MW 4-6

17 Ca. 4. I sistemi aerti a regime Per determinare la otenza scambiata nel fascio bollitore consideriamo il sottosistema (incluso nel recedente) in cui il liquido entra in saturazione (x0) e da cui esce vaore saturo secco (x). Dette h f e h g le risettive entalie, si ha W tb G ( hgh f ) Gh fg le tabelle forniscono,er MPa, r 894 J/g, er cui W tb.84 MW SCAMBIAORI DI CALORE Gli scambiatori di calore sono disositivi in cui si utilizza un fluido caldo er scaldarne un altro (non necessariamente di diversa natura) iù freddo. Gli scambiatori di calore ossono distinguersi in: scambiatori di calore a suerficie, (Fig. 9-a) in cui i due fluidi, che ossono essere di diversa natura, sono searati da una suerficie imermeabile alla massa e non si mescolano; scambiatori a miscelamento, (Fig. 9-b) in cui i due fluidi hanno in genere la stessa natura e si mescolano tra loro. Ga Ga Gb 4 Wt 3 Gb (A) Figura 9. G G 3 G3 (B) Schemi di scambiatori di calore a suerficie (A) ed a miscelamento (B). La suerficie esterna degli scambiatori è in generale isolata er cui il sistema si uò considerare adiabatico; inoltre, dato che la suerficie non resenta arti mobili, il lavoro scambiato con l esterno è comunque nullo. Dato che anche i termini di energia cinetica e otenziale sono trascurabili, i bilanci di massa, energia e di entroia si riducono a: 4-7

18 Ca. 4. I sistemi aerti a regime Gi Gu 0 i u Gh i i Guhu 0 i u Gs Gs S u u u i i irr i (4.7) A rima vista uò sembrare contraddittorio definire adiabatico uno scambiatore di calore. Ma ci si rende subito conto (vedi Fig.9) che lo scambio di calore W t avviene tra i due fluidi internamente al sistema (e non fra sistema ed esterno) e ertanto non deve essere considerato nel bilancio energetico. Per gli scambiatori a miscelamento con due ingressi ed una uscita, la rima delle Eq.(4.7) diviene G h G h G h 0 (4.8) 3 3 che va associata al bilancio di massa G + (4.9) 3 G G ESEMPIO Scambiatore a miscelamento Un reriscaldatore di acqua di alimento di una centrale termoelettrica lavora a regime nelle seguenti condizioni: Ingresso : liquido sottoraffreddato a 7 bar, 40 C;. Ingresso : vaore surriscaldato a 7 bar, 00 C; Uscita 3: liquido saturo, 3 7 bar, x 3 0. Determinare il raorto tra le due ortate in ingresso, G /G, er ottenere in uscita le condizioni desiderate. Suorre il sistema adiabatico ed il lavoro meccanico nullo. I bilanci di massa e di energia valgono risettivamente G3 G+ G G3h3 Gh+ Gh da cui con semlici assaggi algebrici G hh3 G h3h dalle tabelle del vaore si ricava h 68. J/g, h J/g, h J/g, e sostituendo G 4.06 G il bilancio entroico, ricavando i valori delle entroie dalle tabelle del vaore, risulta in G3 G G3s3 Gs Gs G s3 s s 0 G G S irr G3 G s3 s s J/ g K 0 G G G e conferma che la trasformazione di miscelamento è irreversibile. 4-8

19 Ca. 4. I sistemi aerti a regime G4 Wt 4 3 G3 Figura 0. Scambiatori a suerficie: sistema ausiliario (non adiabatico) costituito da uno soltanto dei due fluidi. Per uno scambiatore a suerficie ci si uò aiutare considerando un sottosistema costituito da uno solo dei due fluidi (vedi Fig.0, in cui si considera solo la arte del fluido freddo) er ottenere G3 G4 Gb (4.0) Gb( h4 h3) Wt ed in definitiva, er lo scambiatore nel suo comlesso G ( h h ) G ( h h ) (4.) a b 4 3 ESEMPIO Scambiatore di calore a suerficie In uno scambiatore a suerficie scorrono i seguenti fluidi: Lato a: rodotti di combustione (ovvero fumi, arossimabili come un gas ideale con c a 00 J/g K cost) a bar, ortata G a 0.05 g/s, temeratura di ingresso 450 C, temeratura di uscita 00 C; Lato b: acqua a bar, ortata G b 0.5 g/s, temeratura di ingresso 3 45 C;. Determinare la temeratura di uscita dell acqua ( 4 ) ed il calore scambiato. Dal bilancio di energia dello scambiatore a suerficie Ga( h h) Gb( h4 h3) tenuto conto che l acqua si uò considerare un fluido incomrimibile (con c 487 J/g K, costante) ed il fumo un gas ideale, si ha Gaca( ) Gbcb( 4 3) da cui (noto che il calore secifico dell acqua è c b 487 J/g K) Gaca( ) (450-00) C Gc b b er trovare il calore scambiato, si uò restringere il bilancio al sistema a regime costituito dal lato b dello scambiatore, che non è adiabatico (scambia calore con il lato a) ma non ha comunque suerfici in moto er cui il lavoro meccanico è nullo Wt Gbcb( 4 3) (67-45) 3.8 W Il bilancio entroico dell intero scambiatore risulta in G ( s s ) + G ( s s ) S 0 a b 4 3 irr 4-9

20 Ca. 4. I sistemi aerti a regime G c a aln + Gbcbln ln ln 8.67 W/ K e conferma che la trasformazione è irreversibile, a causa dello scambio di calore con differenza di temeratura finita. IL PROCESSO DI LAMINAZIONE Si uò ottenere una consistente riduzione di ressione in un fluido semlicemente interonendo una restrizione od un ostacolo nel suo ercorso lungo una tubazione. La trasformazione che avviene, in cui il fluido erde ressione er attrito, è, ovviamente, intrinsecamente irreversibile. In genere, il sistema uò essere considerato adiabatico e, dato che non vi sono suerfici mobili, il lavoro scambiato con l esterno è nullo; inoltre, le variazioni di energia otenziale e cinetica ossono essere trascurate. I bilanci di energia ed entroia si riducono ertanto a: G ( hh ) 0 h h (4.) G ( ss) S irr> 0 s> s di conseguenza, la laminazione è un rocesso adiabatico, irreversibile, isoentalico. E facile rendersi conto che er un gas ideale tale rocesso è anche isotermo. Fu rorio mediante misure molto accurate di questo tio che Joule e homson dimostrarono definitivamente che i fluidi reali, in condizioni sufficientemente lontane dal unto critico, tendono a comortarsi come gas ideali. ESEMPIO Laminazione del vaore Del vaore saturo viene laminato in una valvola a artire dalle seguenti condizioni iniziali 0 bar, x 0.98 fino alla ressione bar. Determinare la temeratura di uscita. Dato che h h e bar, è determinato lo stato finale del vaore. ramite le tabelle termodinamiche si ottiene h 76 J/g In uscita si ha quindi vaore surriscaldato a 4.6 C. Si uò verificare, come atteso in un rocesso adiabatico irreversibile, che l entroia finale è maggiore di quella iniziale. Il rocesso è raresentato sul diagramma h-s in Fig.. La tabella seguente riassume le rorietà termodinamiche, ottenute tramite il rogramma CA. I valori di inut sono evidenziati in grigio. unto, C, MPa v, m 3 /g u, J/g h, J/g s, J/g K x

21 Ca. 4. I sistemi aerti a regime h x C s Figura. Laminazione del vaore saturo nel diagramma h-s. ESEMPIO 4. - Laminazione di R34a Il refrigerante R34a entra in una valvola allo stato di liquido saturo alla ressione 0.7 Ma e viene laminato fino alla ressione finale 0.5 MPa. Determinare le condizioni in uscita. La tabella seguente, ottenuta tramite il rogramma CA, riassume le condizioni termodinamiche in ingresso ed uscita. Le variabili utilizzate come inut sono evidenziate in grigio. Si è tenuto conto del fatto che il rocesso di laminazione è isoentalico, ovvero h h. unto, C, MPa v, m 3 /g u, J/g h, J/g s, J/g K x UGELLI E DIFFUSORI Si dice ugello un condotto a areti rigide di sezione variabile in cui la velocità del fluido aumenta a sese della sua ressione, diffusore un condotto a sezione variabile in cui la ressione del fluido cresce a sese della sua velocità. Generalmente, er flussi subsonici (ovvero er velocità del fluido inferiori a quella del suono nel fluido stesso) gli ugelli sono condotti convergenti ed i diffusori divergenti. Nell Aendice si mostra come le cose siano sostanzialmente diverse in caso di moto suersonico del fluido. Questi disositivi trovano numerose alicazioni, tra cui nei motori a turbogetto, nei razzi e nei veicoli saziali, e si trovano anche all interno delle turbine. Ugelli e diffusori ossono essere considerati, almeno in rima arossimazione) adiabatici; essendo la loro suerficie rigida, il lavoro utile scambiato è comunque nullo. Anche le variazioni di energia otenziale tra ingresso ed uscita ossono essere trascurate (anche nel 4-

22 Ca. 4. I sistemi aerti a regime caso in cui il disositivo non sia disosto orizzontalmente, le variazioni di quota tra ingresso ed uscita sono comunque basse), mentre le variazioni di energia cinetica non sono trascurabili. Il bilancio di massa ci dice che la ortata in ingresso uguaglia quella in uscita. Le equazioni di bilancio di massa, energia ed entroia si riducono dunque a G G G w w G ( h+ ec h ec ) 0 h h ec ec G ( s s) S irr (4.3) Dato che tali equazioni sono alicabili tra due sezioni qualunque dell ugello, aggiungendo l iotesi di trasformazione reversibile ( S 0, esse si ossono anche riformulare come irr G ρ wa cost w s cost h + e c h + h 0 cost (4.4) ESEMPIO 4. Diffusore di un motore turbogetto In un diffusore di un motore turbogetto entra aria (assimilabile ad un gas ideale con calore secifico costante) a 0 C e 80 Pa con una velocità w 00 m/s. La sezione di uscita è molto iù grande di quella di ingresso. Determinare la temeratura di uscita dell aria e, nell iotesi che la trasformazione sia reversibile, la ressione di uscita. Dato che la sezione di uscita è molto iù grande di quella d ingresso, è lecito trascurare la velocità in uscita, ovvero orre w 0. Il bilancio di energia diviene allora w h h e nel caso di gas ideale a c cost 005 J/g K w c ( ) si ha dunque w C c 005 La ressione uò essere determinata considerando che la trasformazione, essendo adiabatica e reversibile, è isoentroica, ertanto, er un gas ideale a c cost (vedi anche Esemio 4.4) 4-

23 Ca. 4. I sistemi aerti a regime s s c ln R ln 0 c R c 3.5 R Pa 83 L aria incrementa dunque la sua temeratura e la sua ressione a sese dell energia cinetica che ossiede in ingresso. Il fenomeno viene detto comressione dinamica e nei motori a getto viene adottato er eliminare il rimo stadio del comressore. Notare che in un ugello (condotto convergente) sarebbe avvenuto il fenomeno oosto: la velocità sarebbe aumentata a sese di una riduzione di ressione e temeratura. Ci si uò rendere conto di questo semlicemente rietendo l esercizio invertendo ingresso ed uscita. Nel caso di trasformazione adiabatica e reversibile si uò mostrare (v. A. ) che la relazione tra area del condotto e velocità del fluido è data dalla equazione di Hugoniot: da A ( M ) dw (4.5) w dove M, detto numero di Mach, è il raorto tra la velocità del fluido e la velocità del suono nello stesso. Questa relazione imlica alcune imortanti conseguenze: Nel caso di moto subsonico (M < ) le variazioni di area e quelle di velocità sono discordi: questo imlica che un ugello (aumento di velocità del fluido) debba essere convergente ed un diffusore debba essere divergente. Nel caso di moto suersonico (M > ) vale esattamente il contrario: gli ugelli debbono essere divergenti ed i diffusori convergenti. La velocità del suono (M ) si uò raggiungere solo dove l area del condotto resenta un massimo od un minimo. Dalle considerazioni suddette deriva che: E ossibile realizzare un condotto che acceleri il fluido a velocità suersoniche (ugello di De Laval), costituito da un convergente seguito da un divergente; quando al termine di un convergente si è raggiunta la velocità del suono, la ortata nell ugello non uò iù aumentare: si dice che l ugello è bloccato (ingl. choed) o in efflusso critico; questo asetto è chiarito dagli esemi seguenti. La ragione di questo ultimo comortamento, aarentemente strano, uò essere qualitativamente siegata come segue. Le informazioni sulle variazioni di ressione a valle vengono trasmesse a monte del condotto sotto forma di erturbazioni elastiche, che risalgono il condotto alla velocità del suono. Se in un unto del condotto il fluido si muove alla velocità del suono, le erturbazioni non ossono iù risalire il condotto (analogamente ad una barca che non uò risalire un fiume se non si muove a velocità maggiore di quella della corrente) e quindi il comortamento dell ugello a monte di tale sezione diviene indiendente da tutto quello che accade a valle, e quindi anche dal valore della ressione all uscita. 4-3

24 Ca. 4. I sistemi aerti a regime La relazione di Hugoniot (4.) er un fluido incomrimibile, er il quale la velocità del suono c, e quindi M è semre nullo, diviene da A dw w A A w w come risulta anche dal fatto che G ρ A w cost. ESEMPIO 4.3 Ugello di De Laval In un ugello di sezione A m entra vaore saturo secco a 550 C e 4 MPa con una velocità iniziale w 3 m/s. La ressione a valle è MPa. Nell iotesi che il condotto sia adiabatico e la trasformazione sia reversibile, determinare l andamento della sezione dell ugello e l andamento della velocità e del numero di Mach lungo di esso. La soluzione è riortata nel file C4DELAVAL.XLS Numero di Mach Raggio (mm) Raggio Mach Pressione (MPa) Figura. Andamento della sezione e del numero di Mach nell ugello. Le rorietà del vaore devono essere ricavate da tabelle o rogrammi, in questo caso faremo uso del software PX er Excel. La trasformazione è isoentroica, e assumeremo che lo stato del vaore in ogni sezione del condotto sia determinato dal valore dell entroia (costante) e della ressione, che suoniamo di fare decrescere con assi arbitrari. Possiamo quindi ottenere i valori della densità e dell entalia in funzione della ressione in ogni unto del condotto, e quello della velocità dal bilancio di energia: w w h + h La sezione del condotto rimane quindi determinata dal bilancio di massa 4-4

25 Ca. 4. I sistemi aerti a regime G ρ w A A ρ w ρ w Si vede dalla Fig. che la velocità aumenta monotonicamente, mentre il raggio del condotto ha un minimo nel unto in cui si raggiunge la velocità del suono (M ) e torna oi a crescere: l ugello suersonico deve infatti essere divergente. E da notare che non otteniamo alcuna informazione sulla lunghezza del condotto. Essa è determinata dalle regole di buona fluidodinamica, che rescrivono di non suerare determinati valori della conicità er evitare eccessive irreversibilità: in genere si assume una conicità di 7 5 nel divergente e si assume la lunghezza del convergente circa /3 di quella del divergente. ESEMPIO 4.4 Ugello ercorso da gas ideale In un ugello entra aria (assimilabile ad un gas ideale con calore secifico costante) a 80 K e 30 Pa con una velocità iniziale trascurabile. La sezione di uscita è A m e la ressione a valle è bar. Nell iotesi che il condotto sia adiabatico e la trasformazione sia reversibile, determinare la temeratura di uscita dell aria e la ortata nell ugello. Determinare inoltre come varia la ortata al decrescere della ressione a valle. La soluzione è riortata nel file C4UGELLO.XLS Si uò dimostrare, tramite la Eq. -7 dell A.5., che in un gas ideale la velocità del suono è data da: c R Nell A.5. vengono introdotte le seguenti due relazioni, che danno il valore della temeratura e della ressione er un gas ideale che fluisce reversibilmente in un ugello, in funzione del numero di Mach, M + M + M (E4-) dall esressione suddetta er bar, nell iotesi (da verificare) che il moto sia subsonico, ovvero M <, si ricavano i valori del numero di Mach e della temeratura in uscita M M K.3 La velocità e la densità in uscita sono date risettivamente dalla definizione di numero di Mach e dall equazione di stato 4-5

26 Ca. 4. I sistemi aerti a regime w M c M R m/s ρ.34 g/m v R da cui si ottiene la ortata G ρ w A g/s (nel caso reale, non isoentroico, la ortata sarebbe inferiore a causa delle irreversibilità). Se si varia la ressione in uscita, le grandezze in gioco variano come riortato nella tabella seguente (ottenuta con l alicazione Excel). uscita crit c M w ρ G bar bar bar K m/s m/s g/m 3 g/s Si vede che la ortata aumenta fin quando all uscita dell ugello non si raggiunge la velocità del suono. Quando questo avviene, la ressione raggiunge un valore * detto ressione critica (nonostante non abbia nulla a che vedere col valore della ressione della sostanza al unto critico, introdotto nel Ca.3). Il valore di * è ottenibile dalla relazione generale (E4-) onendo M : + * + e vale quindi circa * 0.53 er.4 (esattamente, * bar nel nostro caso). Successivamente, all ulteriore decrescere della ressione in uscita, il numero di Mach nella gola dell ugello (che coincide con la sezione di uscita ) rimane fissato ad e la ortata rimane costante e non è influenzata dal valore della ressione a valle. In altri termini, quando a valle di un ugello la ressione è inferiore a circa metà del valore della ressione a monte, l ugello è in condizioni di efflusso sonico e la ortata diende solo 4-6

27 Ca. 4. I sistemi aerti a regime dal valore della ressione a monte (si veda l A.5. in merito). In tali condizioni, bisogna assumere che nella sezione di uscita la ressione sia ari al valore della ressione *: la rimanente arte dell esansione fino ad bar avviene irreversibilmente all esterno dell ugello. Andamento della ressione e della ortata negli ugelli Sulla base dei concetti esosti nei aragrafi recedenti, siamo ora in grado di fare un quadro generale sul comortamento degli ugelli, nel caso che sia imosta una determinata ressione in ingresso i e venga variata la ressione in uscita e. Suoniamo inoltre che il flusso in ingresso sia subsonico. Cominciamo con il considerare il caso di un ugello convergente, raresentato in Fig.3. Essendo il moto subsonico, in accordo con la equazione di Hugoniot (4.5) la velocità aumenta e quindi, in forza della Eq.(4.-5) (A.4.) la ressione diminuisce. L andamento della ressione lungo l ugello è raresentato nel diagramma: quando la ressione in uscita raggiunge il valore della ressione critica nella sezione di uscita si raggiunge la velocità del suono e da quel valore in oi l andamento di ressione lungo l ugello non uò variare, e la ortata rimane bloccata al valore critico, che er un gas ideale è dato dalla Eq.(4.-9) G crit A i * R + i + (4.6) dove A* raresenta la sezione di uscita dell ugello. Ogni ulteriore diminuizione della ressione di uscita non comorta nessuna variazione nè sull andamento di ressione all interno dell ugello nè sulla ortata che rimane fissata al valore critico: queste condizioni sono dette in di blocco sonico o in inglese choed flow. La ressione si adatta al valore imosto all esterno dell ugello con una esansione irreversibile al di fuori dell ugello stesso. G i e Gcr choed flow ecr ei cr M choed flow Figura 3. Comortamento di un ugello convergente, con ressione di ingresso imosta e moto subsonico all ingresso. 4-7

28 Ca. 4. I sistemi aerti a regime Passiamo ora a considerare un condotto convergente-divergente nelle stesse condizioni di cui sora, v. Fig.4. Via via che si riduce la ressione in uscita, il moto subsonico comorta una diminuizione di ressione nel convergente seguita da un aumento nel divergente. La ressione ha quindi un minimo nella gola dell ugello: questo comortamento interamente subsonico è tiico del cosiddetto ugello di Venturi. ale situazione ermane finchè la ressione in uscita non si abbassa fino ad un valore tale che nella gola dell ugello si raggiunge la ressione critica, a artire dalle quali si assa al comortamento da ugello di De Laval, in cui la ressione nel tratto convergente non varia iù con il diminuire della ressione imosta in uscita. Nel tratto divergente sono ossibili solo due tii di evoluzione reversibile: una di carattere subsonico, con aumento di ressione, che orta la ressione di uscita al valore, e uno suersonico, nel quale la ressione continua a diminuire fino al valore 3 : il tio di comortamento effettivamente seguito diende dal valore della ressione imosta in uscita, e i valori di e 3 diendono dalla sezione di uscita dell ugello. Ogni valore della ressione di uscita minore di e diverso da 3 imlica un comortamento irreversibile: er u > 3 si creeranno delle onde di urto all interno del divergente, con ossibilità di ritorno ad un comortamento subsonico; er u < 3 tali onde d urto sono localizzate all esterno dell ugello. In ogni caso, nel comortamento da ugello di De Laval ( u < ) la ortata rimane bloccata al valore critico dato dalla Eq.4.6. G Gcr choed flow i M M < e e ei cr M choed flow M > 3 Figura 4. Comortamento di un ugello convergente-divergente, con ressione di ingresso imosta e moto subsonico all ingresso. ESEMPIO 4.5 Ugello ercorso da gas ideale In un ugello convergente entra vaore surriscaldato a 800 K e 4 MPa. La sezione di uscita è A 0.00 m. Nell iotesi che la trasformazione sia adiabatica e reversibile ed il vaore sia assimilabile ad un gas ideale con calore secifico costante (.33, R 46.7 J/g K) determinare la ortata in condizioni di blocco sonico e il valore massimo della ressione a valle er cui tale condizione si instaura. Nelle iotesi considerate, la ortata critica è data dalla Eq.(4.6) 4-8

29 Ca. 4. I sistemi aerti a regime + A i * Gcrit 8.85 g/s R + i e tale condizione si instaura quando la ressione a valle è minore della ressione critica, Eq.(4-.6) + *.6 MPa Ugello reale. Rendimento isoentroico dell ugello Nel caso reale, la trasformazione nell ugello non è isoentroica e si otrebbe dimostrare (ma ci accontentiamo della intuizione) che questo comorta una diminuzione della velocità di uscita dall ugello. Si uò ertanto definire il rendimento isoentroico dell ugello come il raorto tra l energia cinetica effettiva del gas in uscita e quella del corrisondente rocesso isoentroico w h h η s, ug (4.7) w h h eff isoentr. i dove la seconda esressione (analoga a quella er una turbina) vale solo nel caso che la velocità in ingresso all ugello sia trascurabile. BIBLIOGRAFIA Mastrullo, Mazzei, Vanoli, ermodinamica er Ingegneri, Liguori, Ca.. 4-9

30 Ca. 4. I sistemi aerti a regime 4-30 APPENDICE 4. Il moto isoentroico nei condotti a sezione variabile In questa aendice ci si roone di studiare genericamente il moto del fluido in un condotto a sezione variabile (ugello o diffusore). Il condotto viene suosto orizzontale, rigido ed adiabatico e la trasformazione del fluido reversibile. I bilanci di massa, energia ed entroia sono dunque + 0 ) ( 0 ) ( s s G w w e e h h e h e h G G G G c c c c (4.-) e ossono essere riformulati come + cost s cost h w h cost w A G 0 ρ (4.-) Dove con w, h, s sono i valori di velocità, entalia ed entroia in una sezione generica del condotto e h 0 è detta entalia di ristagno e raresenta l entalia che il fluido assume se viene ortato in condizioni di velocità nulla senza scambi energetici con l esterno. Si noti che abbiamo imlicitamente assunto che il moto sia unidimensionale, ovvero che i valori di w, h, s siano uniformi in ogni sezione del condotto. Differenziando la seconda delle recedenti equazioni si ha w w h d d (4.-3) Questa equazione indica (come è ovvio) che la velocità aumenta a sese dell entalia e viceversa. Dal bilancio entroico, tenendo conto della seconda equazione di Gibbs, si ha ρ ρ h h s d d 0 d d d (4.-4) La quale indica che le variazioni di entalia e di ressione hanno lo stesso segno. Eliminando l entalia dalle due equazioni recedenti, si ottiene ρ w w d d (4.-5) E ancora necessario eliminare la ressione dalla relazione recedente, e questo si uò fare esrimendo la medesima in funzione della densità e dell entroia s s s d d d + ρ ρ (4.-6) il secondo termine è ovviamente nullo er una trasformazione isoentroica, mentre si uò dimostrare che il rimo coefficiente

31 Ca. 4. I sistemi aerti a regime ρ s c (4.-7) raresenta il quadrato della velocità di roagazione delle erturbazioni elastiche nel mezzo, ovvero la velocità del suono. In definitiva si ottiene dρ w dw c (4.-8) ρ che mostra che le variazioni di velocità e di densità lungo l ugello hanno segno oosto. Abbiamo infine bisogno di legare le variazioni di sezione dell ugello a quelle di velocità, ed a tal fine esrimiamo anche il bilancio di massa in termini differenziali ( ρ w A) dg 0 d 0 ρ w da + ρ A dw + w A dρ 0 e dividendo quest ultima er G da dw dρ + + A w ρ 0 Non rimane che eliminare la densità ρ dalle Eq. -8 e -0 er ottenere da A ( M ) (4.-9) (4.-0) dw w dw (4.-) w c w La relazione suddetta è detta equazione di Hugoniot (da P. Hugoniot, fisico francese, ). Il termine w/c viene detto numero di Mach, M, (da E. Mach, fisico austriaco, ) e raresenta il raorto tra la velocità del fluido e la velocità del suono nel fluido stesso; quest ultima diende dalla natura del fluido e dal suo stato termodinamico. Bisogna notare anche che queste equazioni sono valide in generale e nessuna iotesi articolare è stata fatta sulla natura del fluido che scorre nel condotto. La velocità del suono è esrimibile in funzione dei coefficienti termodinamici come c (4.-) ρ κ / v β / c s nel caso di gas ideale, la relazione recedente si semlifica in c R (4.-3) Notare che dalla - discende che la velocità del suono è infinita er un fluido incomrimibile, er il quale si ha κ β 0. κ / v v / con c /c v. Si faccia attenzione a non confondere ( ) 4-3