Predittore di Smith. (Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco) y p (t) Figura 1: Schema di controllo in retroazione con ritardo.

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1 Predittore di Smith (Comlementi di Controlli Automatici: rof. Giusee Fusco) Lo schema a redittore di Smith ha come obiettivo il miglioramento delle restazioni di un sistema di controllo in cui è resente un ritardo temorale. È infatti noto che la resenza del ritardo imedisce un aumento della ulsazione di attraversamento ena una riduzione del margine di fase o l instabilità dell anello di controllo. L idea è quella di ortare il ritardo fuori dall anello di controllo così da rogettare il controllore in base alla sola arte razionale del rocesso. Si consideri il seguente schema di controllo in retroazione y des (t) C(s) e τs Figura 1: Schema di controllo in retroazione con ritardo. Per realizzare l idea di escludere dall anello il termine in cui è resente il ritardo bisogna retroazionare la variabile non ritardata. Ne consegue lo schema y des (t) C(s) e τs Figura 2: Schema di controllo con anello di retroazione rivo di ritardo. che uò essere equivalentemente raresentato dal seguente y des (t) C(s) e τs Figura 3: Schema equivalente a quello di Figura 2.

2 Predittore di Smith. Prof. Giusee Fusco 2 Per far fronte alla resenza di eventuali disturbi o incertezze di modello si considera comunque una controreazione, come riortato in Figura 4 y des (t) e(t) e τs P s (s) Figura 4: Schema di Figura 3 con retroazione dell uscita. È facile verificare che tale schema è equivalente a quello illustrato in Figura 5. y des (t) y e (t) u(t) P s (s) e τs Figura 5: Schema equivalente a quello di Figura 4. La funzione di trasferimento di ciclo chiuso degli schemi riortati in Figura 4 e Figura 5 è W (s) = P (s) e τs 1 P (s) e τs P s La funzione di trasferimento P s (s) va determinata in modo tale che la variabile retroazionata nello schema di Figura 5, y e (t), coincida con l uscita non ritardata del rocesso,. A tal roosito, oichè Y e (s) = (P s (s) P (s) e τs ) U(s) affinchè risulti y e (t) = si deve imorre e quindi P s (s) P (s) e τs = P (s)

3 Predittore di Smith. Prof. Giusee Fusco 3 P s (s) = (1 e τs ) P (s) (1) In ratica, il arallelo fra P (s) e τs e P s (s) deve coincidere con P (s). Con questa scelta lo schema di Figura 5 diviene y des (t) e s (t) u(t) e τs (1e τs ) Figura 6: Schema a redittore di Smith. che rende il nome di schema a redittore di Smith. Tale nome deriva dal fatto che viene retroazionata non l effettiva variabile sotto controllo ma la sua redizione = y e (t) = y(t τ). Definendo P (s) = N (s) D (s) C s = N C s (s) D Cs (s) la funzione di trasferimento fra y des (t) ed degli schemi di Figura 1 e Figura 6 è uguale se si one C(s) = = Dalla (2) si nota che: 1 (1 e τs )P (s) N Cs (s)d (s) D Cs (s)d (s) N Cs (s)n (s) N Cs (s)n (s)e τs (2) Tra gli zeri di C(s) ci sono i oli del rocesso (radici di D (s)). Il controllore effettua quindi una cancellazione er cui è oortuno richiedere la stabilita asintotica del rocesso P (s). Il controllore ottenuto risulta caratterizzato da una funzione di trasferimento non razionale er la resenza del termine e τs a denominatore.

4 Predittore di Smith. Prof. Giusee Fusco 4 Se il regolatore è digitale, l imlementazione del ritardo non comorta roblemi. Altrimenti otrebbe essere necessario usare un arossimante di Padè. Si osservi inoltre che dalla (1) risulta P s (0) = 0 e quindi a fronte di segnali di riferimento a gradino, la variabile coincide asintoticamente con l uscita così come le variabili d errore e s (t) = y des (t) ed e(t) = y des (t) coincidono asintoticamente. Perciò, er avere errore nullo a regime ermanente, il comensatore deve includere un azione integrale (olo in s = 0). Più in generale si uò affermare che le classiche considerazioni sulla struttura del controllore che garantiscono il soddisfacimento di secifiche di regime ermanente rimangono immutate in resenza di ritardo nel rocesso e si estendono a. Si osservi che osto W s (s) = C s(s)p (s) 1 P (s) la funzione di trasferimento fra y des (t) ed dello schema a redittore di Smith raresentato in Figura 6, e osto W (s) = C(s)P (s)eτs (3) 1 C(s)P (s)e τs la funzione di trasferimento fra y des (t) ed dello schema di Figura 1, sostituendo la (2) nella (3) si ottiene W (s) = W s (s) e τs (4) Come mostra la (4), la risosta ad un gradino di y des (t) resenta in ogni caso un ritardo temorale causato da e τs. Sebbene quindi vada rogettato unicamente con riferimento a P (s) mediante sintesi diretta o altra tecnica, il ritardo temorale comunque influenza la velocità dello schema di controllo la quale, ertanto, non uò essere arbitrariamente elevata. Per questo motivo non è consigliabile allargare eccessivamente la banda assante del sistema retroazionato. Tutte le considerazioni recedenti hanno come iotesi fondamentale la erfetta conoscenza sia di P (s) che del del ritardo τ. Si definiscono con P (s) e τ le stime risettivamente del rocesso non ritardato P (s) e del ritardo τ. In resenza di incertezza, lo schema a redittore di Smith risultante è mostrato

5 Predittore di Smith. Prof. Giusee Fusco 5 y des (t) y e (t) u(t) e τs (1e τs ) Figura 7: Schema a redittore di Smith (caso erturbato). in Figura 7. Con riferimento a tale schema la funzione di trasferimento fra r(t) e è W s(s) = N W s (s) D W s (s) = P (s)e τs 1 P (s)(1 e τs ) P (s)e τs che ovviamente coincide con W s (s) nel caso in cui P (s) = P (s) e τ = τ. Si noti che nel caso non erturbato i oli della W s (s) sono in numero finito, diversamente da quanto accade er i oli della W s(s) che coincidono con le radici del olinomio non razionale D W s (s). Può quindi accadere che si abbia stabilità asintotica del sistema di controllo solo in condizioni non erturbate. Definito con S l insieme delle arti reali degli zeri di D W s (s) S = {σ i : σ i = Re{z i }, D W s (s) = 0} sussiste il seguente risultato: se S ha un estremo sueriore negativo allora il sistema ad anello chiuso è asintoticamente stabile. In tal modo si elimina la ossibilità dell esistenza di catene di oli del sistema ad anello chiuso che tendano asintoticamente all asse immaginario. Un redittore di Smith è detto raticamente stabile quando è in grado di far fronte a erturbazioni infinitesime nella dinamica del rocesso. In articolare se esistono tre costanti ositive ϵ τ, ϵ ed ω, allora lo schema a redittore di Smith è asintoticamente stabile er tutti i rocessi che soddisfano le seguenti condizioni τ τ < ϵ τ, P (ȷ ω) P (ȷ ω) 1 < ϵ er 0 < ω < ω Infine se lo schema a redittore di Smith è asintoticamente stabile, a regime non si ha diendenza dall errore commesso sulla stima del ritardo

6 Predittore di Smith. Prof. Giusee Fusco 6 τ τ. Inoltre er garantire semre a regime insensibilità anche risetto a incertezze di modello si deve imorre lim P (s) P (s) = 0 s 0