Cristian Secchi Pag. 1

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1 Controlli Digitali Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLORI PID Tel Introduzione regolatore Proorzionale, Integrale, Derivativo PID regolatori standard con tre azioni di controllo combinate: azione roorzionale all'errore azione roorzionale all'integrale dell'errore azione roorzionale alla derivata dell'errore standard industriale ed utilizzabile er moltissimi imianti imlementabile con molte tecnologie elettriche (analogiche e digitali) meccaniche neumatiche oleodinamiche disonibile a software sui sistemi di controllo industriale PID-- 2 Pag. 1

2 Motivazioni del successo del PID Notevole efficacia nella regolazione di un amia gamma di rocessi industriali Tecniche di taratura semlici ed automatiche alicabili anche quando il modello dell'imianto è oco noto Imortanza e convenienza economica della standardizzazione Possono essere usati come elementi base di schemi di controllo articolati (es.: controllo in cascata) ortando notevolissimi miglioramenti delle restazioni Consente di ottenere restazioni accettabili anche con una scarsa conoscenza del modello del sistema I PID hanno successo erchè raresentano una soluzione non facilmente suerabile, in generale, nel raorto efficacia/costo PID-- 3 Il controllore PID se e(t) è il segnale di errore avremo t 1 u( t) = K e( t) + Td e& ( t) + e( τ ) dτ Ti 0 con K costante roorzionale e con T i e T d constanti di temo della arte integrale e derivativa f.d.t. del controllore: G U ( s ) 1 ( s ) = = K 1+T T s + d E( s) Ti s PID 1 PID-- 4 Pag. 2

3 Significato delle tre azioni di controllo azione roorzionale: maggiore è l'errore, maggiore è l'azione di controllo azione integrale: errore nullo a segnali di riferimento o disturbi costanti azione derivativa: azione di controllo reventiva anticio di fase i termini derivativo e/o integrale ossono essere assenti regolatori P regolatori PI regolatori PD PID-- 5 F.d.t. del controllore PID - Considerazioni abbiamo che la f.d.t. resenta due zeri a arte reale negativa un olo nell origine il controllore PID risulta essere un sistema imrorio, ovvero non fisicamente realizzabile la forma reale revede con N = 5 20 er osizionare il olo all'esterno della banda di interesse. Il olo reale modifica un o' la osizione degli zeri. In seguito si farà comunque riferimento alla forma ideale PID-- 6 Pag. 3

4 Regolatore P regolatore P: T i = 1 e T d = 0 usato er rocessi asintoticamente o semlicemente stabili quando le restazioni statiche non richiedano l inserimento di un olo nell origine nel guadagno d anello R(s) E(s) P G(s) Y(s) PID-- 7 Regolatore P - Esemio 1 G( s) = 1 +τs Luogo delle Radici i Secifica: Portare a regime il sistema nel minor temo ossibile Il sistema chiuso in retroazione è del rimo ordine Mediante un controllore roorzionale osso rendere il temo di assestamento del sistema iccolo quanto si vuole τ =1 K 1+ K Gcl ( s) = τ 1+ s 1+ K Attenzione al valore a regime! PID-- 8 Pag. 4

5 Regolatore PI regolatore PI: T d = 0 Hanno un il olo nell'origine e lo zero in s = -1 / T i molto diffusi a livello industriale in quanto consentono il soddisfacimento delle secifiche statiche (consentono di inserire un olo nell origine nella funzione di trasferimento d anello) e sono di facile taratura er semlici rocessi Grazie allo zero è ossibile anche rendere agire sul temo di assestamento del sistema controllato PID-- 9 Regolatore PI - Esemio 1 G( s) = 1 +τs Secifica: Portare a regime il sistema nel minor temo ossibile e con errore di osizione nullo R(s) E(s) PI G(s) Y(s) Per soddisfare la secifica statica è necessario aggiungere un olo nell origine al guadagno d anello mediante il controllore Come scegliere T i? PID-- 10 Pag. 5

6 Regolatore PI - Esemio T < T 1 T > T 1 Per nessun valore di K >0 il temo di assestamento sarà inferiore a T 1 La resenza dello zero limita la ossibilità di sostare a sinistra il olo nell origine K τ =1 PID-- 11 Regolatore PI - Esemio T < T 1 T > T 1 Per nessun valore di K >0 il temo di assestamento sarà inferiore a T 1 La resenza dello zero limita la ossibilità di sostare a sinistra uno dei due oli Per guadagni bassi il sistema ha un alto temo di assestamento. Per evitare oscillazioni nel transitorio il guadagno deve essere scelto sufficientemente alto PID-- 12 Pag. 6

7 Regolatore PI - Esemio Se la conoscenza del modello è sufficientemente accurata, si uò usare lo zero del PI er cancellare il olo del lant In tal modo il sistema chiuso in retroazione diventa un sistema del rimo ordine la cui dinamica uò essere resa veloce a iacimento all aumentare di K All aumentare di K, diminuisce il temo di assestamento e la risosta non ha oscillazioni K τ =11 PID-- 13 Casi articolari (3) regolatore PD: T i = 1 Hanno lo zero in s = - 1 / T d ed il olo reale fuori banda (all'infinito nel caso ideale) usato quando non vi siano roblemi di instabilità o di restazioni statiche, ma sia necessario allargare la banda assante PID-- 14 Pag. 7

8 Regolatore PD - Esemio 1 G( s) = s(1 +τs) Secifica: Portare a regime il sistema nel minor temo ossibile e con errore di osizione nullo La secifica statica è soddisfatta grazie al olo nell origine di G(s) T < T 1 T > T 1 La struttura del lant è tale er cui non è ossibile, mediante un regolatore roorzionale, ottenere un temo di assestamento inferiore a T 1 PID-- 15 Regolatore PD - Esemio R(s) E(s) PD G(s) Come scegliere T d? Y(s) Scegliendo N abbastanza grande è ossibile ortare il unto di emergenza a sinistra quanto si vuole e, di conseguenza, il minimo i temo di assestamento ottenibile iccolo quanto si vuole τ =1 K PID-- 16 Pag. 8

9 Regolatore PID regolatore PID comleto: 1 olo nell'origine e due zeri zeri reali se T i 4T d zeri coincidenti (in s= -1/ 2T d )set T i =4T d nella realtà è necessario introdurre un secondo olo in alta frequenza a ulsazione maggiore di quella degli zeri er rendere il sistema fisicamente realizzabile E utilizzato quando è necessario cancellare iù di un olo e imorre un errore di osizione nullo PID-- 17 Regolatore PID - Esemio G( s) = s ω 2 + 2δω n s + ω n n Secifica: Portare a regime il sistema nel minor temo ossibile, con errore di osizione nullo e senza sovraelongazioni E necessario inserire un olo nell origine er soddisfare le secifiche statiche Per evitare che la risosta abbia una sovraelongazione, occorre che il sistema chiuso in retroazione non abbia oli comlessi coniugati PID-- 18 Pag. 9

10 Regolatore PID - Esemio Scegliendo T d e T i in modo che gli zeri del PID cancellino i oli del controllore e N grande abbastanza è ossibile soddisfare le secifiche di controllo Sistema non controllato Sistema controllato con PID δ = 0.3 =10 ω n K PID-- 19 Taratura automatica dei Parametri Per la taratura razionale dei PID si fa riferimento al modello del sistema da controllare e si usano, ad esemio, le tecniche basate sul luogo delle radici viste finora. La costruzione di un modello del lant a artire dalle leggi fisiche che lo governano uò richiedere un imegno sroorzionato risetto alle esigenze di rogetto In questi casi esistono delle strategie er tarare i arametri del PID a artire da rove sul camo effettuate sul lant Esistono svariati metodi, alcuni dei quali già imlementati su alcuni controllori industriali commercializzati su larga scala PID-- 20 Pag. 10

11 Taratura automatica dei Parametri Considereremo metodi di taratura automatica ad anello aerto Tali metodi valgono er i lant stabili la cui risosta al gradino non è oscillante. Ciò uò essere testato sul camo semlicemente eccitando il lant con un gradino. E oi necessario arossimare il lant come un sistema del rimo ordine con ritardo Esistono tabelle che consentono di determinare i arametri del PID utilizzando i arametri del sistema arossimato PID-- 21 Taratura automatica dei Parametri Una volta testato che il lant risonde a un gradino in ingresso senza oscillazioni, è necessario arossimarne il modello con un sistema del rimo ordine con ritardo del tio K Ga ( s) = e 1+ τs θs Esistono svariati metodi er ottenere G a (s) a artire dalla risosta al gradino del lant. Verrà illustrato il metodo delle aree. PID-- 22 Pag. 11

12 Taratura automatica dei Parametri Si considera la risosta del lant a un gradino di amiezza A y S1 y K = A S τ +θ = 1 y Guadagno statico S2 es τ = 2 y Costante di temo θ +τ ( S 1 yτ ) θ = Ritardo y PID-- 23 Taratura automatica dei Parametri L algoritmo da seguire er trovare il modello arossimato è: 1. Eccitare il sistema con un gradino di amiezza A e graficare la risosta 2. Ottenere il guadagno statico K mediante y K = A 3. Trovare, anche in via arossimata, l area S1 4. Ottenere l ascissa τ+θ mediante τ +θ = y e tracciare una retta verticale assante er τ+θ 5. Trovare, anche in via arossimata, l area S2 6. Ottenere la costante di temo τ e il ritardo θ mediante es2 τ = y θ = S yτ ) / y ( 1 S 1 PID-- 24 Pag. 12

13 Taratura automatica dei Parametri Una volta arossimato il lant come K Ga ( s) = e 1+ τs θs esistono due categorie rinciali di criteri er la taratura automatica dei arametri: a) quelli che utilizzano alcuni unti caratteristici della risosta y(t) al gradino er imorre l andamento transitorio desiderato. Si imone ad esemio il raorto di smorzamento r tra due icchi successivi della risosta y(t); PID-- 25 Taratura automatica dei Parametri b) criteri di tio integrale che utilizzano come indice di costo funzioni integrali della variabile errore e(t). Di articolare interesse sono i seguenti indici: ISE = IAE 0 = 0 2 e ( t) dt e( t) dt Integral Square Error Integral Absolute Error ITAE = 0 t e( t) dt Integral Time Absolute Error PID-- 26 Pag. 13

14 Taratura automatica dei Parametri Esistono alcune tabelle er il tuning dei arametri dei regolatori PID. Nella seguente tabella sono riortate indicazioni er fare il tuning corrisondente ad un raorto di smorzamento r = 0.25 secondo i criteri della categoria (a). PID-- 27 Taratura automatica dei Parametri Al fine di tarare un PID con i metodi della categoria (a), basta scegliere il tio di controllore da imlementare e dedurre i arametri dalle relazioni in tabella 1 G ( s ) = 2 (0.5s + 1)(1 + s) (2s + 1) 1.46s e G ( s ) = a s Si desideri imlementare un PID mediante le regole di Ziegler- Nichols corrisondenti a un raorto di smorzamento r=0.25 Dalle tabelle si ricava KK = 2.74 T / τ = 0.87 T / τ = 0.22 i d K = i d 2.74 T = 1.27 T = 0.1 PID-- 28 Pag. 14

15 Taratura automatica dei Parametri Risosta al gradino del sistema descritto da G(s) controllato con un PID tarato mediante il metodo di Ziegler-Nichols usando il modello arossimato PID-- 29 Taratura automatica dei Parametri Nelle seguenti tabelle sono riortate indicazioni er fare il tuning secondo i criteri di ottimizzazione dell errore della categoria (b). Nel caso di utilizzo di criteri i integrali er il tuning, la rima tabella fornisce dei arametri che ottimizzano le restazioni nel caso di variazioni nel lant da controllare mentre la seconda tabella fornisce dei arametri che ottimizzano le restazioni nel caso di variazioni del setoint di riferimento. PID-- 30 Pag. 15

16 Taratura automatica dei Parametri Variazioni di Carico Criterio Controllore Azione A B IAE P P ISE P P ITAE P P IAE PI P I ISE P I ITAE P I IAE P I D ISE P I D ITAE P I D PID-- 31 Taratura automatica dei Parametri PID-- 32 Pag. 16

17 Taratura automatica dei Parametri Nel caso di criteri integrali, una volta che si siano scelti il criterio (IAE,ISE o ITAE), il tio di controllore (P, PI o PID) e l azione di controllo (P, I o D), dalla tabella si individuano due arametri A e B che sostituiti nella relazione θ Y = A τ B θ (oure Y = A + B ) τ forniscono un valore Y che deve essere interretato come Y = KK nel caso di azione roorzionale (P), come Y = τ/t i nel caso di azione integrale (I), e come Y = T d d/ /τ nel caso di azione derivativa (D). PID-- 33 Taratura automatica dei Parametri Si consideri il sistema dell esemio recedente che uò essere arossimato con 1.46s e G ( s ) = a s si desidera rogettare un controllore PI er variazioni di setoint utilizzando il criterio integrale ITAE Dalla tabella si ricava che KK θ = τ = 1.24 τ θ = = 0.96 T τ i K 1.24 T = 3.48 = i PID-- 34 Pag. 17

18 Taratura automatica dei Parametri Risosta al gradino del sistema descritto da G(s) controllato con un PID tarato mediante il metodo di ottimizzazione dell errore usando il modello arossimato PID-- 35 Realizzazioni dei Regolatori PID P R(s) + E(s) + + U(s) I + - D G(s) Y(s) Schema classico del PID In resenza di un gradino sul segnale di riferimento R(s), l uscita del derivatore, di conseguenza, la variabile di controllo U(s) è di tio imulsivo Brusche variazioni del controllo ossono essere indesiderate in quanto ossono ortare a una saturazione o a un deterioramento degli attuatori. PID-- 36 Pag. 18

19 Realizzazioni dei Regolatori PID R(s) + E(s) - P I + + U(s) + + D G(s) Y(s) PID con derivazione dell uscita Y(s) è l uscita di un sistema che solitamente ha le caratteristiche di un filtro assa basso e le sue variazioni istantanee (e quindi la sua derivata) sono contenute. Pertanto l uscita del termine derivativo non ha andamenti imulsivi Inoltre, quando R(s) è costante lo schema PID con derivazione sull uscita si comorta come lo schema PID classico. PID-- 37 Realizzazioni dei Regolatori PID 1 G( s) = K 2 = 2 Td = 0.25 Ti = 2 ( s + 1) u(t) PID classico r(t) y(t) PID classico y(t) PID con derivata sull uscita Calo di restazioni ma azione di controllo senza icchi u(t) PID con derivata sull uscita PID-- 38 Pag. 19

20 Gestione dei ritardi R(s) + E(s) - PID U(s) G(s) G (s) ( t) = y( t θ ) Y(s) Y (s) e θs y Un altro unto imortante da considerare nell uso dei regolatori PID è la resenza di ritardi significativi nel rocesso da controllare. Si noti che nella sintesi di controllori a struttura libera si uò tener conto di tali ritardi comrendendoli intrinsecamente nella legge di controllo, mentre ciò non è ossibile nel caso dei controllori a struttura fissa come il PID. Il ritardo nell anello di retroazione deteriora notevolmente le restazioni e uò addirittura rendere instabile il sistema PID-- 39 Gestione dei ritardi Se fosse ossibile retroazionare y(t) anzichè y (t), tramite il PID sarebbe ossibile controllare l andamento di y(t) controllanda G(s). Doodichè l uscita y (t) avrebbe lo stesso andamento di y(t), soltanto ritardato di θ s. Schema Desiderato G (s) R(s) + E(s) - PID U(s) G(s) Y(s) e θs Y (s) Non è ossibile accedere fisicamente alla variabile y(t) erchè l uscita del lant è y (t) ma se si conosce il modello del lant (cioè G(s) e θ) è ossibile utilizzare lo schema basato sul Predittore di Smith er risolvere i roblemi legati al ritardo PID-- 40 Pag. 20

21 Gestione dei ritardi R(s) + E(s) - PID U(s) G(s) Y(s) e θs Y (s) Schema a + redittore P(s) + di Smith Z(s) θs P( s) = (1 e ) G( s) θ s θ s Z ( s ) = G ( s ) e U ( s ) + (1 e ) G ( s ) U ( s ) = G ( s ) U ( s ) = Y ( s ) PID-- 41 Gestione dei ritardi Utilizzando il redittore di Smith lo schema di controllo diventa equivalente a R(s) + E(s) - PID U(s) G(s) Y(s) e θs Y (s) Il ritardo non entra iù nel loo di controllo ed è ossibile disegnare un PID in modo che y(t) (e, di conseguenza, y (t)) abbia le caratteristiche desiderate Si annulla la retroazione dall uscita ritardata inserendo un anello interno in cui comare un modello del rocesso comrensivo del ritardo suosto noto. Si releva la variabile non ritardata, resa disonibile dal modello, er chiudere la retroazione. In tal modo si cancella il ritardo nel loo di retroazione ed è come se retroazionassimo l uscita non ritardata. PID-- 42 Pag. 21

22 Gestione dei ritardi Nel caso in cui il modello del sistema non sia reciso e la conoscenza del ritardo sia arossimativa, non si ottiene una cancellazione erfetta dell uscita ritardata. Tuttavia, l azione del redittore di Smith è ancora utile in quanto mitiga l effetto etto del ritardo nel loo di retroazione. o e Per oter utilizzare il redittore di Smith è NECESSARIO che il ritardo sia costante. PID-- 43 Gestione dei ritardi - Esemio 1.2s e G ( s) = 2 ( s + 1) K PID = d i 2 T = 0.25 T = 2 Uscita Uscita con uno schema a redittore di Smith Uscita con uno schema a redittore di Smith con una conoscenza imrecisa del ritardo (θ=1) PID-- 44 Pag. 22

23 Disositivi anti-saturazioni (anti-windu) L uscita del regolatore è alicata a disositivi di attuazione che nella realtà resentano saturazioni. È oortuno evitare che, nel caso in cui la variabile di controllo saturi, il regolatore continui ad integrare l errore, fenomeno detto windu. In tal caso infatti l integratore uò assumere valori molto elevati e richiedere molto temo er tornare a valori normali. Un intervento uò essere quello di bloccare la sommatoria dell azione integrale allorché l uscita raggiunge il valore limite, oure quello di attivare l azione lazione integrale solo quando lerrore l errore è iccolo. Nel caso in cui sia disonibile un modello (anche algebrico) dell attuatore, si ossono utilizzare vari schemi di anti-windu. Verrà illustrato il metodo dell integrazione condizionata. PID-- 45 Disositivi anti-saturazioni (anti-windu) Nel caso in cui sia disonibile un modello (anche algebrico) dell attuatore, si ossono utilizzare vari schemi di anti-windu. Verrà illustrato il metodo dell integrazione condizionata. In questa tecnica l ingresso del termine integrale viene azzerato nel caso in cui e s (t) = v(t) u(t) non sia nullo Se chiamiamo e i (t) l ingresso del termine integrale, allora l integrazione condizionata si esrime matematicamente come e i e( t) ( t) = 0 se se v( t) = u( t) v( t) u( t) PID-- 46 Pag. 23

24 Disositivi anti-saturazioni (anti-windu) Lo schema di antisaturazione con integrazione condizionata è il seguente: Quando il valore imosto dall attuatore è diverso da quello richiesto dal controllore l ingresso del termine integrale viene osto a zero. PID-- 47 Disositivi anti-saturazioni (anti-windu) Nel caso in cui non sia ossibile misurare l uscita dell attuatore si costruisce un modello statico che tenga conto della saturazione dell attuatore e si utilizza l uscita del modello statico er decidere se imorre a zero l ingresso del termine integrale. PID-- 48 Pag. 24

25 Esemio PID 1 G ( s) = K = 2 Td = 0.25 Ti = 2 s( s + 1) Attuatore 0.5 se v( t) 0.5 u( t) = v( t) se 0.5 v( t) se v( t) 0.5 R(s) + - E(s) PID V(s) U(s) G(s) Y(s) PID-- 49 Esemio PID senza integrazione condizionata Uscita Azione integrale Quando l integratore è in saturazione, il sistema evolve come se non fosse in retroazione. Cio eggiora le restazioni. Inoltre l integratore imiega del temo a tornare in un camo di valori utili er il controllo. PID-- 50 Pag. 25

26 Esemio PID con integrazione condizionata Uscita Azione integrale L integrazione condizionata mantiene l azione integrale semre in un camo di valori utile er il controllo migliorando le restazioni. PID-- 51 PID Digitale Per imlementare un PID su un sistema di elaborazione digitale è necessario ottenerne un equivalente discreto Esistono svariati metodi er discretizzare un controllore temo continuo. Verrà illustrata una delle discretizzazioni iù utilizzate er i PID P I D T s 1 K K T s d d U ( s) = K 1+ + E( s) = K E( s) + E( s) + E( s) Td T 1 s Ti s Ti s d + 1+ s N N PID-- 52 Pag. 26

27 PID Digitale Azione Proorzionale u ( t) = K e( t) u ( kt ) = K e( kt ) Azione Integrale t K ui ( t) = e( τ ) dτ T i 0 u ( kt) ui (( k 1) T ) T i = K T i e( kt) du ( ) K i t = dt T i e( t) K T ui ( kt ) = ui (( k 1) T ) + e ( kt ) T i PID-- 53 PID Digitale Azione Derivativa Td dud ( t) ud ( t) + = K T N dt d de( t) dt Td ud ( kt ) + N ud ( kt ) ud (( k 1) T ) = K T T d e( kt ) e(( k 1) T ) T Td ud ( kt ) = ud (( k 1) T ) + K NT + T NTd NT + T d + d e( kt) e(( k 1) T ) T PID Digitale u( kt) = u ( kt) + u ( kt) u ( kt) i + d PID-- 54 Pag. 27

28 PID Digitale Pseudocodice Codice di Controllo Inizializzazione Codice di Calcolo Ricorsivo Eseguita una sola volta all accensione del regolatore Eseguita ad ogni eriodo di camionamento PID-- 55 PID Digitale Pseudocodice Inizializzazione %Assegnamento e calcolo dei coefficienti costanti a 1 =K T/T i b 1 =T d /(NT+T d ) b 2 =KNb 1 %inizializzazione dello stato %si suone che y s sia in una memoria interna al regolatore Lettura di y s e acquisizione e conversione A/D di y e old =y s -y u i =u 0 +K c e old u d =0 %u 0 corrisonde al valore attuale della variabile di controllo %suosto disonibile PID-- 56 Pag. 28

29 PID Digitale - Pseudocodice Pseudocodice ricorsivo 1. Attesa attivazione del clock (clock interrut) 2. Acquisizione e conversione A/D di y s e y 3. e=y s -y 4. u i =u i +a 1 e 5. u d =b 1 u d +b 2 (e-e old ) 6. u=k e+u i +u d 7. Emissione di u e conversione D/A 8. e old =e 9. Ritorno a 1 PID-- 57 PID Digitale - Osservazioni Il rogetto di un PID digitale è tiicamente un rogetto er discretizzazione. E quindi fondamentale: Scegliere il eriodo di camionamento in base alle secifiche ad anello chiuso Aggiungere la dinamica (eventualmente arossimata) del ricostruttore alla dinamica del lant da controllare rima di fare il tuning dei arametri Per la taratura automatica dei arametri si rocede come segue Si Sceglie il eriodo di camionamento in base alle secifiche ad anello chiuso Si arossima il lant con un sistema del rimo ordine con ritardo. Sia θ tale ritardo Si aggiunge un ritardo T/2 a θ in modo da considerare la dinamica del ricostruttore di ordine 0. Si rocede a fare il tuning considerando il sistema arossimata con il ritardo modificato PID-- 58 Pag. 29

30 Controlli Digitali Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLORI PID FINE Tel Pag. 30