CAP.3 LA LEGGE COSTITUTIVA ELASTO-PLASTICA

Транскрипт

1 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA CAPOLO LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA. ntroduzione Le microstruttura dei materiali olicristallini è all origine del comortamento elasto-lastico che sarà considerato e formalizzato in questo caitolo. Questo comortamento è alla base del successo dei materiali metallici in ambito strutturale. La funzione strutturale, infatti, deve essere svolta soddisfacendo i requisiti fondamentali di rigidezza e di resistenza, due caratteristiche che i materiali metallici resentano in modo eculiare. Le caratteristiche del legame metallico conferiscono elevati valori di rigidezza e la ossibilità, quindi, di soortare carichi elevati con limitate deformazioni. noltre, il comortamento lastico, originato dal moto e dalla generazione delle dislocazioni come descritto nel caitolo recedente, ha un imortanza centrale er gli asetti tecnologici e le restazioni strutturali dei metalli. ecnologicamente, infatti, la lasticità consente l alicazione di rocessi di grande efficienza e recisione er la realizzazione di arti strutturali e l ottenimento di elementi metallici semilavorati o finiti con le forme iù svariate. Non deve essere trascurato, tuttavia, anche il ruolo strutturale della lasticità, che riduce la fragilità del materiale, aumenta l energia necessaria er ortarlo a rottura e conferisce un carattere rogressivo ai fenomeni di rottura. La lasticità, quindi, ermette di garantire l integrità strutturale anche quando, localmente, il materiale suera i limiti del camo elastico ed è fondamentale er comrendere i criteri di rogetto alicati nelle strutture aerosaziali. La rima arte del caitolo resenta gli asetti di base del comortamento elasto-lastico descrivendo e commentando i fenomeni che avvengono durante la rova di trazione uniassiale di un rovino metallico. La seconda arte del caitolo, che uò essere omessa er i lettori in già ossesso dei fondamenti della meccanica dei continui, resenta i concetti di deformazione e sforzo in stati di sforzo luriassiali. nfine, l ultima arte del caitolo è dedicata alla formalizzazione della legge costitutiva in camo elastico, dei criteri che ermettono l individuazione del limite elastico dei materiali e del comortamento in camo lastico.. Asetti fenomenologici del comortamento elasto-lastico.. Sforzi e deformazioni in una rova di trazione uniassiale La rova di trazione uniassiale raresenta l eserimento cardine er la caratterizzazione delle rorietà dei materiali metallici. n estrema sintesi, la rova consiste nell alicazione di un carico a un rovino di materiale e nella misura dell allungamento di un tratto del rovino stesso sotto l azione del carico alicato. Si esegue su rovini di diverse tiologie e misure, secondo il materiale da esaminare, come quelle riortate in Figura..

2 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Figura. - Forme e normative di rovini er la rova di trazione uniassiale Una tiica modalità di esecuzione della rova è schematizzata in Figura.. l rovino è vincolato a una macchina di rova attraverso due afferraggi, l uno solidale con una arte fissa e l altro con una arte mobile della macchina. Un sistema di attuazione, idraulico o meccanico, è installato fra la arte fissa e quella mobile e ermette di alicare il carico al rovino. Sostamento Attuatore controllato in forza o sostamento Forza Parte mobile Cella di carico Estensometro La legge di alicazione del carico è imostata agendo sul sistema di controllo della macchina di rova. La rova uò quindi avvenire alicando direttamente una storia di carico al rovino e, in questo caso, si definisce controllata in forza. n alternativa, la rova uò essere eseguita imonendo una legge temorale di sostamento alla arte mobile della macchina e il sistema di controllo, grazie a un meccanismo di retroazione, consentirà di alicare il carico necessario a ottenere lo sostamento desiderato. n quest ultimo caso, la rova si definisce controllata in sostamento. Le velocità di alicazione del carico o dello sostamento sono, er il tio di rova reso in esame in questo aragrafo, molto basse e certamente tali da ermettere di assumere che il sistema evolva attraverso una serie di stati di equilibrio. La misura del carico alicato è eseguita da una cella di carico, installata in serie fra il rovino e una delle due arti della macchina di rova. L allungamento misurato durante la rova non è lo sostamento della arte mobile della macchina, ma si riferisce a un tratto centrale del rovino di materiale, a sezione costante. Si deve considerare, infatti, che lo sostamento della arte mobile della macchina non è uguale all allungamento del tratto a sezione costante del rovino, ma comrende anche l allungamento delle arti di rovino vincolate e gli allungamenti o i giochi di tutto il sistema comosto da afferraggi, cella di carico, struttura fissa e mobile della macchina. Per tale motivo, uno secifico strumento di misura, generalmente un estensometro, è alicato al rovino nella zona centrale di misura. ale strumento, raresentato in Figura., è in grado di misurare la variazione della distanza fra due unti del rovino stesso, che, inizialmente, sono osti a distanza l. Parte fissa afferraggi Carico, P Figura. - Estensometro installato su un rovino di trazione Allungamento, l l Figura. - Schema di esecuzione della rova di trazione uniassiale La cella di carico e l estensometro misurano il carico P e l allungamento l = l-l nella zona di misura del rovino. E intuibile che il carico P, da alicare er ottenere un determinato allungamento l nella zona di misura, sarà roorzionale alla sezione del rovino, A. D altra arte, se un tratto di lunghezza iniziale l di un rovino soggetto a un carico P subisce un

3 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA allungamento l, un tratto di lunghezza iniziale doia andrà necessariamente soggetto ad un allungamento doio. L allungamento è quindi roorzionale alla lunghezza iniziale del tratto di misura. La curva carico-sostamento ottenuta è ertanto diendente non solo dal materiale di cui è costituito il rovino, ma dalle dimensioni della sezione e dalla lunghezza della zona di misura considerata. Le recedenti considerazioni imlicano che, dividendo il carico er la sezione del rovino e l allungamento er la lunghezza iniziale, si ottengono grandezze indiendenti da tali caratteristiche geometriche. n via reliminare, ertanto, si uò definire uno sforzo nominale o ingegneristico, dato dal raorto fra il carico alicato durante la rova e la sezione originale del rovino, A (Eq.. ). Fissata la lunghezza della zona di misura, quindi, si definisce inoltre una deformazione nominale o ingegneristica come raorto fra l allungamento della zona di misura e la sua lunghezza iniziale (Eq.. ). P A Eq.. ~ ll l l l Eq.. Assumendo che lo sforzo e la deformazione siano costanti nella zona di misura del rovino, la curva sforzo-deformazione ottenuta misurando il carico e l allungamento e alicando le definizioni in Eq.. e Eq.., è una caratteristica del materiale del rovino. Dimensionalmente, lo sforzo raresenta una forza er unità di suerficie, [ ]=[F][L] -, ed ha le unità di misura di una ressione (Pa = Nm -, nel S). La deformazione, invece, è adimensionale. La deformazione è sesso esressa come deformazione ercentuale, moltilicando er un fattore il valore ottenuto dall Eq.. o in termini di microdeformazioni,, ottenute moltilicando er 6 il valore fornito dall Eq... La deformazione nominale in Eq.. misura l allungamento del rovino nella direzione di alicazione del carico, ma questa misura non descrive comletamente il cambiamento di configurazione che il rovino subisce durante la rova. nfatti, con l alicazione del carico di trazione, il rovino si allunga e, contemoraneamente, la sua sezione trasversale si contrae. ale contrazione dà luogo a una trasv deformazione trasversale ~. Quando il rovino si allunga la deformazione definita in Eq.. è ositiva. Poiché la sezione si contrae quando il rovino si allunga, la deformazione trasversale è, nella rova di trazione, negativa. L andamento del raorto fra l oosto della deformazione trasversale e la deformazione nella direzione di allungamento è una rorietà del materiale. ale raorto è chiamato coefficiente di Poisson ed è universalmente indicato con la lettera v. La sua definizione è data in Eq... ~trasv ~ Eq.. l coefficiente di Poisson er i materiali isotroi deve, er ragioni fisiche, essere minore di.5. Esso è tiicamente comreso fra. e -.5, sebbene ossano esistere materiali, detti auxetici, che resentano coefficienti di Poisson negativi. valori fra -. e. sono infatti ammissibili. l Figura.4 Processo deformativo di un rovino cilindrico durante la rova di trazione uni assiale La Figura.4 schematizza il rocesso di deformazione durante la rova di trazione di un rovino cilindrico. La lunghezza assa da l a l, mentre il raggio diminuisce da r a r. La deformazione trasversale, er il rovino cilindrico risulta: ~ trasv rr r Eq..4 X r X X Poiché la sezione si contrae durante la rova, l area trasversale del rovino, sulla quale agisce lo sforzo cambia e, nella rova di trazione, diminuisce. l valore dell area sulla quale effettivamente agisce lo sforzo durante la rova è A < A. Analogamente, si uò osservare che la deformazione definita in Eq.. misura l allungamento risetto alla dimensione iniziale della zona di misura, l che, durante la rova, cambia. Pertanto gli sforzi e le deformazioni ingegneristiche, definiti in Eq.. e Eq.. sono riferiti alle dimensioni iniziali del rovino e si one il roblema di differenziare tali misure da quelle riferite alla configurazione deformata. l x x r x

4 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Nella gran arte delle alicazioni strutturali dei metalli, tale differenza è trascurabile, oiché il materiale raggiunge, anche nelle condizioni di esercizio iù gravose, livelli di deformazione molto iccoli, dell ordine di -4 - (.%.% o ). Considerando il limite indicato in recedenza er il coefficiente di Poisson, anche le deformazioni trasversali saranno molto iccole. A livelli di deformazione iù elevati, quali quelli che ossono essere ottenuti nei rocessi di lavorazione dei materiali, la variazione di configurazione uò essere tenuta in considerazione, utilizzando gli sforzi veri, o di Cauchy, definiti in base alla sezione deformata del rovino, A. La Figura.5 riorta l andamento della deformazione nominale e della deformazione logaritmica al variare del raorto fra lunghezza deformata e lunghezza indeformata del tratto di misura. Aare evidente che er iccole deformazioni le differenze siano trascurabili. La differenza fra sforzo nominale e sforzo vero è invece diendente dal comortamento del materiale, che determina la contrazione della sezione al variare della configurazione... Curve sforzo-deformazione di materiali metallici elasto-lastici P A Eq.. 5 Anche le deformazioni ossono essere riferite alla configurazione deformata in cui si considera la lunghezza effettiva l della zona di misura. A tale scoo si introduce una deformazione incrementale infinitesima d, corrisondente a un allungamento dl riferito alla configurazione indeformata, come in Eq.. 6. dl d l Eq.. 6 La deformazione vera, o logaritmica, si ottiene integrando l Eq.. 6 durante l intero rocesso di deformazione, che orta la zona di misura dalla lunghezza l alla generica lunghezza l = l + l. l l dl l ll d ln ln ln ~ l l l l l Eq.. 7 La curva sforzo-deformazione nominale ottenuta in una rova di trazione controllata in sostamento ha tiicamente, er i materiali metallici elasto-lastico, una forma riconducibile a una delle due tiologie mostrate in Figura.6. A O B,, O A A A A A A e B Figura.6 - iici andamenti delle curve sforzo-deformazione in materiali elastolastici C C Figura.5 - Deformazione ingegneristica e logaritmica al variare di l/l La curva ermette di identificare diverse fasi che sono legate a fenomeni che avvengono a livello microstrutturale del materiale. n questo caitolo, tuttavia, tali fenomeni saranno er lo iù considerati, classificati e modellati da un unto di vista macroscoico, focalizzandosi sui loro effetti sulla curva sforzo-deformazione. ali effetti, d altra arte, sono quelli rilevanti er il rogetto e l analisi di strutture realizzati con materiali metallici elastolastici. 4

5 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Da questo unto di vista è sicuramente riconoscibile, in entrambe le curve riortate in Figura.6, un rimo tratto di curva in cui la risosta è lineare. n questo tratto, OA, la rimozione del carico alicato comorta il ritorno del rovino alla configurazione indeformata. l comortamento del materiale si dice elastico-lineare ed è caratterizzato dal fatto che il lavoro comiuto er deformare il rovino è conservato sotto forma di energia elastica nel materiale ed è comletamente restituito rimuovendo il carico alicato, senza effetti dissiativi. Per lo stato di sforzo uniassiale corrisondente alla rova, la relazione fra lo sforzo e la deformazione è caratterizzata da una costante di roorzionalità, E, che raresenta il modulo elastico o modulo di Young del materiale. E Eq.. 8 l modulo di Young raresenta la endenza della retta - in camo elastico-lineare e ha dimensioni identiche a quelle dello sforzo, essendo la deformazione adimensionale. l modulo di Young è uguale al valore dello sforzo che è teoricamente necessario er ottenere una deformazione ari a, cioè del %, corrisondente al raddoio della lunghezza del rovino er la definizione di deformazione ingegneristica, riortata in Eq..,. ale livello di deformazione, com è intuibile, è molto sueriore a quello cui ossono essere sottoosti in realtà i materiali metallici rima di subire rotture. Doo il tratto elastico-lineare, le curve ossono anche resentare un tratto AA che non è iù lineare, ma è semre caratterizzato da un comortamento elastico e imlica, er definizione di elasticità, la restituzione dell intera energia di deformazione in assenza di deformazioni residue allo scarico. L elasticità, quindi, non comorta necessariamente la linearità della risosta. l comortamento nel tratto OA è definibile elastico e lineare, mentre nel tratto AA il comortamento è solo elastico e il limite individuato dal unto A è definito limite di roorzionalità. Quando lo sforzo alicato suera il livello corrisondente ad A si attivano meccanismi anelastici che comortano la comarsa di deformazioni lastiche ermanenti. ale fenomeno è definito snervamento del materiale metallico e il carico al quale avviene è definito limite di snervamento ( Y ). Le deformazioni ermanenti sono collegate al moto delle dislocazioni e, a differenza delle deformazioni che avvengono rima dello snervamento, sono irreversibili. Quando il carico è rimosso, quindi, il materiale non ritorna alla configurazione indeformata. uttavia la comarsa delle deformazioni lastiche non influenza la rigidezza del materiale in camo elastico. Ciò è rilevabile dal comortamento del materiale allo scarico: se lo sforzo è gradualmente rimosso doo che si è suerato il limite A la curva sforzo-deformazione allo scarico è una retta, con una endenza identica a quella del tratto OA. Allo scarico, quando lo sforzo è 5 comletamente rimosso, si uò misurare il livello di deformazione ermanente,. La deformazione totale raggiunta durante la rova, uò ertanto essere decomosta in una arte elastica, e ed in una lastica, come formalizzato dall Eq.. 9. e Eq.. 9 Un asetto articolarmente significativo delle deformazioni lastiche è che l evidenza serimentale mostra come esse si sviluino mantenendo costante il volume del materiale. l rocesso di deformazione lastica avviene dunque a volume costante e ciò ha una conseguenza diretta sul valore del coefficiente di Poisson, definito in Eq.., in camo lastico. Se si considera, infatti, un rovino cilindrico come quello raresentato in Figura.4, la variazione di lunghezza e la varazione di area er un incremento infinitesimo di deformazione lastica, d, risultano: dl ld da Eq.. r dr r rdr r vrd Se il volume rimane costante, la variazione di volume dv deve essere nulla. assaggi riortati in Eq.. dimostrano che la condizione dv = imlica un valore aro a.5 er il coefficiente di Poisson in camo lastico. dv lda A dal dl Adl v 5. Eq.. l r vd r Al ld dvrl Doo lo snervamento, i materiali metallici ossono resentare andamenti diversi. Nel comortamento in Figura.6-A, tiico degli acciai dolci a basso tenore di carbonio o degli acciai ricotti, lo snervamento è seguito da una diminuzione dello sforzo, che si stabilizza su un valore costante fino al unto A. n questo tio di comortamento, lo snervamento è immediatamente rilevabile. l valore di sforzo corrisondente ad A è detto limite di snervamento sueriore, mentre quello corrisondente ad A è detto limite di snervamento inferiore. Quest ultimo valore di sforzo è il limite convenzionalmente utilizzato come carico di snervamento nelle rogettazione strutturale con questo tio di materiali. Nella curva sforzo-deformazione descritta in Figura.6-A, il livello di sforzo si mantiene costante doo lo snervamento, fino a un unto B, oltre il quale lo sforzo torna a salire. l comortamento fra A e B è detto comortamento erfettamente lastico. n Figura.6-B è raresentato il comortamento di tiico di altri materiali metallici elasto-lastici, quali, ad esemio, le leghe di alluminio, gli acciai legati o le

6 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA leghe di titanio. n questo tio di comortamento non è ossibile identificare con chiarezza lo snervamento del materiale e si usa un limite convenzionale, basato su un livello re-definito di deformazione lastica sviluatasi doo l attivazione dei meccanismi anelastici. iicamente, si definisce come limite di snervamento, il livello di sforzo cui corrisonde, allo scarico, una deformazione lastica dello.%. ale unto è indicato da A in Figura.6-B, n entrambi i casi riortati in Figura.6, doo lo snervamento e l eventuale fase di comortamento elastico-erfettamente lastico, lo sforzo ingegneristico aumenta. E quindi necessario incrementare lo sforzo alicato er generare altre deformazioni lastiche. Questo fenomeno è noto con il nome di incrudimento. l valore dello sforzo ingegneristico sale fino al valore massimo nel unto indicato con C in entrambe le curve resentate in Figura.6. Si osservi che il rovino, nella condizione indicata con C, non è rotto, ma che comunque il corrisondente livello di sforzo è il valore massimo, ingegneristico, che uò essere trasmesso attraverso il rovino. ale valore è definito carico unitario a rottura o resistenza a trazione del materiale ( U ). n corrisondenza di tale unto si uò definire una deformazione a rottura, U. Questo valore di deformazione non deve essere mai essere confuso con l allungamento a rottura, che verrà definito in seguito. n realtà, oltre il unto C, gli andamenti degli sforzi veri e degli sforzi ingegneristici divergono in modo rilevante. L andamento degli sforzi veri è qualitativamente raresentato in Figura.6 dalle linee tratteggiate. l brusco incremento della divergenza fra le due misure di sforzo è dovuto al meccanismo di cedimento del rovino, che si attiva in rossimità dello sforzo ingegneristico di rottura e che, er i materiali metallici, è tiicamente caratterizzato da un fenomeno definito strizione. A livello semlificato il fenomeno uò essere comreso con alcune considerazioni di base. nfatti, lo sforzo ingegneristico non è altro che il carico P, alicato al rovino, diviso er il fattore costante A. l carico è erò dato dal valore dello sforzo vero, (che diende dal livello di deformazione raggiunto secondo la curva sforzi veri-deformazioni vere) er l area effettiva A, che, durante la rova di trazione, si contrae. La variazione del carico dp è ertanto data da: dp da Ad Eq.. l carico massimo, corrisondente al unto di stazionarietà nell andamento dello sforzo ingeristico (che corrisonde al unto C in Figura.6), si ottiene quando dp=. Alicando l Eq.. risulta: d da dp A Eq.. L Eq.. indica che il carico massimo uò raggiungersi anche in resenza di un incremento ositivo d che riesce, tuttavia, aena a comensare la riduzione di area da. Poiché, come sarà evidenziato anche in seguito, la deformazione lastica avviene ressoché a volume costante, è ossibile legare la variazione di area alla deformazione, alicando i seguenti assaggi: V Al cost dv da A Eq.. 4 lda dl l Adl Alicando l Eq.. 4 nella condizione riortata in Eq.. si ottiene: d d dp d d Eq.. 5 L Eq.. 5 mostra che quando la endenza della curva sforzi veri deformazione vere, che tende a diminuire come indicato in Figura.6, eguaglia il valore dello sforzo, il carico P non uò aumentare. Conseguentemente la curva sforzi-deformazioni ingegneristica avrà un massimo. Poiché il materiale non è omogeneo a livello micro strutturale, non tutte le sezioni giungeranno contemoraneamente alla condizione indicata dall Eq.. 5, ed il rocesso di cedimento inizierà in una determinata zona del rovino. Dal verificarsi di tale condizione in oi, tuttavia, il carico trasmesso attraverso le sezioni coinvolte nel rocesso uò solo diminuire e, oiché le sezioni sono oste in serie nel rovino, deve diminuire il carico alicato al rovino. Ciò comorta che le altre zone, che erano giunte in rossimità della condizione descritta in Eq.. 5, iniziano a scaricarsi elasticamente, oiché sarebbe necessario un incremento di carico er giungere in corrisondenza dello sforzo al quale la condizione è verificata. Queste considerazioni indicano come la deformazione debba localizzarsi in una zona limitata del rovino, che soggetta a sforzi veri crescenti e a crescenti contrazioni dell area diviene la sede del fenomeno della strizione raresentato in Figura.7. Nell area effettiva della zona soggetta a strizione lo sforzo vero aumenta, ma lo sforzo ingegneristico, che raresenta il carico totale alicato al rovino, diminuisce. n seguito alla strizione la curva sforzi-deformazioni ingegneristica uò tiicamente resentare un tratto discendente, rima della rottura vera e roria. Si osservi, tuttavia, che in tale tratto il concetto di deformazione ingegneristica erde di significato, oiché, a seguito della localizzazione delle deformazioni, la deformazione non è iù uniforme nella zona di misura. l livello di deformazione ingegneristico misurato in tale fase è quindi un valore medio nella zona di misura di lunghezza iniziale l, che è molto differente dai livelli di deformazione raggiunti localmente nella zona di strizione e che diende in 6

7 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA modo sostanziale dalla lunghezza l della zona di misura. uttavia, l allungamento cui è soggetto un tratto di lunghezza definita del rovino, all interno del quale avviene la rottura, indica la caacità del materiale di deformarsi in camo lastico senza resentare fratture. ale indice è definito allungamento a rottura, ma è difficilmente misurabile dall andamento della curva sforzo-deformazione ingegneristica... Lavoro di deformazione e tenacità L alicazione di uno stato di sforzo a un continuo rovoca, in generale, un rocesso di deformazione. l legame fra lo sforzo alicato e la deformazione ottenuta è detto legge costitutiva (o risosta costitutiva) del materiale. Senza secificare tale legame, si uò affermare che lo sviluo di deformazione comorta che le comonenti dello stato di sforzo svolgano un lavoro durante il rocesso di deformazione, detto lavoro di deformazione. Per ottenere un esressione del lavoro di deformazione occorre far rocedere il rocesso di deformazione sotto l azione dello stato di sforzo er successivi incrementi infinitesimi. A d du du dx dx l dx du X Figura.7 - Strizione in rovini metallici nella rova di trazione uniassiale La rocedura corretta er misurarlo consiste nel contrassegnare con tacche equidistanti il rovino e nell avvicinare i lembi del rovino sezzato doo la rova. La misura dell allungamento ercentuale subito da un tratto all interno del quale si è verificata la localizzazione delle deformazioni e la strizione, è definito allungamento ercentuale a rottura, ed indicato con A R. ale allungamento è una misura della duttilità del materiale, cioè della ossibilità di deformarlo lasticamente senza indurre la formazione di fratture. materiali duttili resentano tiicamente una marcata strizione nella rova di trazione uniassiale. Un ulteriore misura della duttilità è la riduzione di area della sezione trasversale in cui si è verificata la strizione risetto all area originale del rovino. n rima, arossimazione, la conoscenza della deformazione in corrisondenza dello sforzo di rottura, U, uò fornire una indicazione della duttilità del materiale. Z Y Figura. 8 Lavoro di deformazione in una rova di trazione uniassiale La Figura. 8 si riferisce a una barra di area A e lunghezza l, soggetta a una trazione uniassiale, sotto l azione di uno sforzo uniforme nella sua sezione trasversale, che è erendicolare all asse X del sistema di riferimento. Lo sforzo uò essere fatto aumentare gradualmente, er ermettere di considerare il fenomeno come una successione di stati di equilibrio, e a ciascun livello di sforzo far corrisondere un incremento infinitesimo di sostamento du, nella direzione X, che determina l allungamento dl del rovino. Si consideri l incremento di allungamento di un tratto lungo dx. La sezione inferiore della orzione infinitesima, raresentata in Figura. 8, sarà soggetta ad uno sostamento du, mentre lo sostamento della sezione sueriore sarà du+(d(d u)/dx). 7

8 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA l lavoro infinitesimo svolto nella orzione dx della barra è ari alla forza risultante, A, er gli sostamenti di entrambe le sezioni. Poiché d(du)/ dx è il raorto fra l allungamento (infinitesimo) del tratto inizialmente lungo dx e la sua lunghezza iniziale, esso raresenta una deformazione infinitesima d e risulta: d du dw d A du dx A du dx ddu A dx A d dx dx Eq.. 6 l lavoro calcolato nell Eq.. 6 si riferisce a un tratto di barra di lunghezza dx. L esressione uò essere integrata in tutta la barra, che è soggetta a uno stato di sforzo-deformazione uniforme, ottenendo: dw d Ald Eq.. 7 l lavoro in Eq.. 7 è semre infinitesimo oiché si riferisce ad un incremento di deformazione d, sebbene sia riferito all intera barra, di volume V. E ossibile definire il lavoro di deformazione er unità di volume, dato da: dl d d Eq.. 8 l rocesso di deformazione, comiuto sotto l azione dello sforzo, uò essere fatto rogredire fino a uno stato finale di deformazione,. Si osservi, che nell ambito dell iotesi di deformazioni infinitesime, anche la deformazione sarà infinitesima, ma non è da confondersi con l incremento di deformazione infinitesima d. ntegrando l Eq.. 8 si erviene all esressione del lavoro di deformazione, er unità di volume, necessario er far arrivare il materiale a uno stato -. d Eq.. 9 dw l lavoro di deformazione er unità di volume è ertanto l area sottesa alla curva sforzi-deformazioni, come illustrato in Figura.9. l lavoro di deformazione comiuto dagli sforzi durante il rocesso di deformazione nell intera rova di trazione uniassiale, corrisonde al lavoro delle forze esterne e quindi all energia fornita al rovino er ortarlo a rottura. Si osservi, infatti, che il legame fra area sottesa alla curva sforzo-deformazione e lavoro comiuto, uò essere facilmente ottenuto considerando le definizioni di sforzo e deformazione vere date nelle Eq.. 5 e Eq Figura.9 - Raresentazione grafica del lavoro di deformazione er unità di volume Per un incremento di allungamento dl, infatti, la forza alicata alla zona di misura comie un lavoro infinitesimo dw = Fdl. Se si considera che la deformazione è, er l Eq.. 6, d = dl/l, si giunge all Eq... W O Fdl Eq.. Ald d d Al dw Poiché Al raresenta il volume della zona di misura, l Eq.. mostra che l area sottesa alla curva sforzi veri deformazioni vere fino ad un determinato livello di deformazione, è il lavoro er unità di volume alicato al materiale, come già visto in Figura.9. Per ortare il materiale a rottura è quindi necessario comiere un lavoro er unità di volume ari all intera area sottesa sotto la curva sforzi veri-deformazioni vere. Questa energia secifica er unità di volume, che deve essere fornita al materiale er ortarlo a rottura, è un imortante caratteristica meccanica del materiale ed è chiamata enacità. La tenacità indica quindi quanta energia il materiale uò assorbire localmente senza che si roducano fratture e influenza una serie di rorietà del materiale di grande imortanza in ambito tecnologico e strutturale. Ad esemio, asetti caratteristiche che sono grandemente influenzate dalla tenacità sono la caacità di una struttura di tollerare, senza la formazione di fratture, la resenza di difetti, dovuti a rocessi tecnologici o a urti e la caacità di assorbire energia durante un imatto. La tenacità di un materiale non è immediatamente misurabile dalla curva sforzi-deformazioni, sorattutto oiché, doo la strizione, la distribuzione degli sforzi e delle deformazioni non è iù omogenea e la curva sforzi-veri deformazioni non uò iù essere ottenuta con facilità. uttavia la curva sforzi-deformazioni fornisce un indicazione significativa del livello di tenacità del materiale. n articolare, è ossibile comarare indicativamente la tenacità di due materiali (o dello stesso materiale, sottoosto a diversi trattamenti termici) valutando l area sottesa alla curva sforzi-deformazioni fino alla strizione e quindi fino alla deformazione corrisondente allo sforzo di rottura, U. Nel caso resentato in Figura., ad esemio, il materiale A è sicuramente iù resistente del materiale

9 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA B, che è tuttavia in grado di subire deformazioni molto iù grandi rima della strizione ed ha una maggiore tenacità. Figura. Confronto fra la tenacità e la resistenza di due materiali Si osservi che il materiale C, che è verosimilmente iù duttile del materiae B, oiché resenta robabilmente un maggiore allungamento a rottura, è tuttavia meno tenace di B, oiché richiede una minore energia er essere ortato a rottura. uttavia, i materiali iù tenaci hanno anche, in generale, buona duttilità e resentano quindi grandi allungamenti a rottura. La rottura di un metallo con una curva simile a quella del materiale A in Figura. avviene tiicamente senza un evidente strizione e con basso allungamento a rottura. Un materiale di questo tio si dice fragile, mentre un materiali con una curve simili a quelle dei materiali B e C, si dicono duttile. L integrale dell area sottesa sotto la curva sforzodeformazione fino al valore di sforzo di rottura R è detto modulo di tenacità, ed ha la definizione riortata in Eq... R Eq.. Materiale A d n assenza dell intera curva sforzo-deformazione è ossibile arossimare il modulo di tenacità mediante di valori di sforzo di snervamento, di rottura e di deformazione a rottura, come indicato in Eq... UY U Eq.. Materiale B Materiale C..4 dealizzazioni del comortamento elastolastico L andamento della curva sforzo-deformazione è, in generale, iuttosto comlesso ed esistono diversi arocci er arossimare la curva a forme iù semlici. Le semlificazioni introdotte hanno in genere l obiettivo di ermettere una formalizzazione iù semlice del comortamento elasto-lastico da introdurre in formulazioni teoriche er modellare il comortamento dei materiali in condizioni comlesse, i rocessi tecnologici e la risosta strutturale in resenza di deformazioni lastiche. La validità delle arossimazioni introdotte in tali idealizzazioni del comortamento elasto-lastico diende dall alicazione. n alcuni ambiti, arossimazioni molto schematiche del comortamento otranno essere adeguate er ottenere affidabili valutazioni quantitative, mentre in altri casi il comortamento dovrà essere raresentato con maggiore dettaglio. La iù semlice di tali idealizzazioni è il comortamento rigido-erfettamente lastico che considera trascurabili le deformazioni elastiche e l incrudimento del materiale (Figura.-A). Se l incrudimento è invece ritenuto un asetto non trascurabile, si uò assare a un generico comortamento rigido-lastico con incrudimento lineare, raresentato in Figura.-B. A B O O A A Figura. - dealizzazioni rigido-lastiche del comortamento del materiale l tratto elastico uò essere incluso nel modello semlificato del materiale, semre schematizzando il comortamento lastico con un tratto a sforzo costante (comortamento elastico-erfettamente lastico, schematizzato in Figura.-A) o con un tratto a endenza costante (comortamento elasto-lastico bilineare, schematizzato in Figura.-B). C 9

10 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA A H Eq..5 s n O A C = () o = () A A C O Figura. - Arossimazioni analitiche B O Figura. - dealizzazioni elasto-lastiche del comortamento del materiale con incrudimento linerare modelli iù comleti considerano un tratto elastico lineare e introducono un esressione analitica della curva della curva sforzo deformazione nel tratto AC. ali esressioni analitiche diendono da arametri che sono calcolati in modo da minimizzare la differenza fra la curva sforzi-deformazione effettiva e l arossimanzione analitica. Una delle arossimazioni iù utilizzate è quella di Ramberg- Osgood (94) che è riferita alla curva sforzi veri deformazioni vere e diende da due arametri, H ed n, come indicato in Eq... n H E E Eq.. L arossimazione di Voce (948), esressa in forma = () utilizza come arametri il limite di snervamento, Y, e il limite di rottura, U, ed un arametro n come esresso in Eq.. 4. Eq.. 4 n nfine, in Eq..5, è riortata l arossimazione di Swift (947), riortata in Eq..5, anch essa nella forma = () con tre arametri di calibrazione: H, S ed n...5 Asetti fisici del comortamento lastico Come descritto nel Ca., dedicato alla struttura dei materiali olicristallini, la deformazione in camo elastico comorta lo sostamento degli atomi della loro osizione di minima energia nel reticolo cristallino. ale deformazione è reversibile e l energia alicata er la deformazione è restituita se il carico è rimosso. Le deformazioni lastiche sono invece irreversibili e sono il risultato dello sostamento irreversibile di una arte del reticolo cristallino risetto al resto. Questi sostamenti sono a loro volta riconducibili al moto delle dislocazioni resenti nei reticoli cristallini, che raresentano imerfezioni nella struttura del reticolo e alla generazione di nuove dislocazioni a causa degli sforzi alicati (cfr. il meccanismo definito sorgente di Frank-Read, descritto nel ca. ). l moto delle dislocazioni è in rima arossimazione indotto dagli sforzi di taglio che agiscono nel materiale. Lo sforzo critico risolto o sforzo di Peierls-Nabarro, introdotto dall Eq... del Ca., è lo sforzo necessario er muovere una dislocazione ed è, aunto, uno sforzo di taglio. E necessario introdurre alcuni concetti sulla natura dello sforzo er illustrare come si ossano sviluare sforzi di taglio nella rova di trazione uniassiale. nfatti, nella descrizione della rova è stato introdotto lo sforzo, la cui risultante sull area A equivale al carico P alicato al rovino. rascurando in questa sede la differenza fra sforzo ingegneristico e sforzo vero, va osservato che lo stato di sforzo diende in realtà dalla giacitura della suerficie su cui esso agisce. YUY e Lo sforzo che è stato definito nel ar... agisce in una sezione ottenuta tagliando il rovino con un iano erendicolare all asse longitudinale del rovino stesso. Variando la giacitura della sezione, ad esemio cambiando l angolo indicato in Figura.4, si ottiene un valore diverso dello sforzo,. Lo sforzo introdotto nel ar..., inoltre, raresenta un tio articolare di sforzo che è caratterizzato dalla rorietà

11 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA di essere diretto erendicolarmente alla sezione su cui agisce. Si deve erò osservare che, attraverso una sezione ricavata in un solido, ossono trasmettersi anche comonenti di sforzo aralleli alla sezione stessa, che sono chiamati sforzi di taglio ed indicati, in generale, con il simbolo. Se si ricava una sezione tagliando con un iano avente diversa giacitura risetto a quella normale all asse del rovino, nella sezione agirà, oltre a, anche uno stato di sforzo di taglio che diende dalla giacitura, come indicato in Figura.4. L esressione dello sforzo in funzione di, riortata in Figura.4, è un caso articolare delle formule che esrimono la variazione dello stato di sforzo con la giacitura, che saranno trattate in seguito. Nella rova di trazione uniassiale, il massimo dello sforzo di taglio si ottiene er giaciture corrisondenti a =45. Per questo motivo, sotto alcune condizioni, lo snervamento uò essere evidenziato dalla formazione di bande di scorrimento che si manifestano come linee sottili inclinate a 45 sulla suerficie del rovino (bande di Lüders o Lueders). P P P P A Figura.4 - Sforzi di taglio in una rova di trazione uniassiale Come si uò evincere dalla trattazione svolta nel ca., gli sforzi interni al materiale olicristallino devono suerare una serie di ostacoli er attivare e far roseguire il moto delle dislocazioni e rodurre deformazioni ermanenti. ali ostacoli hanno ertanto un influenza diretta sul limite di snervamento e sul successivo andamento della curva sforzi-deformazioni. Essi sono stati descritti nel ca. e ossono essere schematicamente riassunti nell elenco seguente: sin P cos i. Effetto dei bordi dei grani cristallini, che ossono saltare dalle dislocazioni alicando sforzi maggiori a quelli necessari er muovere la dislocazione all interno del grano. ii. La resenza di reciitati disersi nei grani del materiale, comosti da elementi di lega introdotti nella comosizione del materiale metallico iii. Moltilicazione delle dislocazioni e mutua interferenza con generazione di microautotensioni e di difficoltà cresecenti al moto delle dislocazioni stesse. ali meccanismi sono stati trattati in dettaglio nel ca.. E comunque interessante sottolineare come i rimi due tii di ostacoli alla generazione e al moto delle dislocazioni sieghino le influenze sul comortamento lastico dei metalli dell aggiunta di elementi di lega e dei trattamenti termici, che modificano la microstruttura del materiale (formazioni di soluzioni solide, reciitazione degli elementi di lega, modifica delle dimensioni dei grani cristallini). l terzo unto (iii), invece, è all origine del fenomeno dell incrudimento e cioè l incremento necessario dello sforzo er generare deformazioni lastiche, descritto nel ar... n sintesi, l alicazione dello sforzo aumenta inizialmente la distanza fra gli atomi del reticolo cristallino, roducendo una deformazione elastica e reversibile. Quando lo stato di sforzo suera la soglia necessaria er attivare la generazione e il moto delle dislocazioni (indicativamente quando gli sforzi di taglio raggiungono una determinata soglia), il reticolo si modifica irreversibilmente e si sviluano deformazioni lastiche. Se il comortamento è elastico-erfettamente lastico, non è necessario un nuovo incremento di sforzo er generare altre deformazioni lastiche, e la curva sforzo-deformazione ingegneristica avrà l asetto riortato in Figura.5-A. Questo comortamento è tuttavia una idealizzazione cui ossono avvicinarsi alcuni tii di materiali ma, in generale, l interazione fra la generazione ed il moto di moltelici dislocazioni rovocherà incrudimento e la necessità di incrementare lo sforzo er sviluare ulteriori deformazioni lastiche, come indicato in Figura.5-B. Sulla base delle definizioni di sforzo e di deformazione ingegneristica (Eq.ni e ) si uò comunque affermare che sarà necessario comiere un lavoro, dato dall integrale del carico P er l allungamento dl della zona di misura, er deformare lasticamente il rovino anche nel caso di materiale elastico-erfettamente lastico.

12 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA A B O O (A ) A A A A A A 4 A e A A 4 e A A Figura.5 - Sviluo di deformazioni lastiche in un materiale elasticoerfettamente lastico ed in un materiale incrudente n ogni caso, a seguito dello sviluo di deformazioni lastiche, si verifica un cambiamento irreversibile risetto allo stato originale, cui ci si riferisce come stato vergine. Se, giunti in uno stato di sforzodeformazione oltre lo snervamento, indicato con A in Figura.5, il carico è rimosso, solo la deformazione elastica è recuerata, ristabilendo le distanze originarie fra gli atomi dei reticoli cristallini, ma gli sostamenti relativi fra le arti dei reticoli dovuti al moto delle dislocazioni rimangono imresse nella microstruttura del materiale. Pertanto, allo scarico, il ercorso seguito nel iano - dallo stato di sforzo-deformazione del materiale è una retta con inclinazione uguale alla endenza iniziale, ari al modulo di Young E, fino allo stato A che è caratterizzato da uno sforzo nullo (come in O) e dalla deformazione lastica (A ). Se il materiale è nuovamente sottoosto a sforzo, non si genereranno deformazioni lastiche fino al raggiungimento dello sforzo necessario a muovere o generare dislocazioni che, er un materiale incrudente, non è iù ari al limite di snervamento del materiale vergine, ma diende in generale dalla deformazione lastica sviluata nella storia recedente del materiale. Suerato A, la generazione di nuove deformazioni lastiche, ad esemio fino al unto A indicato in Figura.5, avviene a arità di sforzo, er il materiale elastico-erfettamente lastico o con ulteriore incremento di sforzo, er il materiale incrudente. E imortante osservare che un aumento di sforzo, quale quello necessario er generare nuove deformazioni lastiche nel materiale incrudente, corrisonde semre a un incremento di deformazione elastica oiché, se lo sforzo aumenta, anche la distanza fra gli atomi nei reticoli cristallini, che raresenta la deformazione elastica reversibile aumenta. nfatti, se consideriamo la decomosizione delle deformazioni in deformazione elastica e lastica, introdotta nell Eq..7, e semre ossibile scrivere: e E Eq..9 Pertanto, se in A lo sforzo è maggiore che in A, anche la corrisondente deformazione elastica, e A, sarà maggiore di quella in A, e A, come indicato in Figura.5-B. Nel caso di materiale elastico erfettamente-lastico, al contrario, la deformazione elastica fra A ed A non cambia. Se giunti ad A si considera un nuovo ciclo di scarico fino a uno stato caratterizzato da uno sforzo non nullo,, si raggiunge lo stato indicato come A 4 in Figura.5. Si osservi che, nell ambito del comortamento elastolastico, la stato di deformazione corrisondente ad un determinato livello di sforzo non è iù univocamente definito. nfatti, dato il valore, lo stato del materiale otrebbe essere raresentato da uno qualsiasi dei unti sulla retta orizzontale di ordinata. L effettivo stato del materiale, dunque, non diende iù solo dal valore dello sforzo alicato, come avviene in camo elastico. Per definirlo è anche necessario conoscere la storia di carico cui è stato sottoosto il materiale stesso. Un altro asetto di questa diendenza è dato da un fenomeno che uò verificarsi all inversione del carico. Se il carico assa da trazione a comressione, i valori dei massimi sforzi di taglio, dati dall esressione riortata in Figura.4, rimangono uguali. Ci si asetta, quindi, che il materiale abbia un comortamento elasto-lastico simmetrico a trazione e comressione, e che, di conseguenza, il limite di snervamento a comressione sia uguale a quello a trazione. Questa iotesi è in generale verificata er il materiale allo stato vergine. Per un materiale che ha subito un incrudimento, il comortamento simmetrico dovrebbe imlicare un identico incremento del valore assoluto del limite di snervamento a trazione e a comressione. Con riferimento alla Figura.6, ertanto, se doo lo scarico del rovino si alica uno stato di sforzo a comressione, il limite di snervamento dovrebbe situarsi al valore corrisondente ad A, che, in valore assoluto, corrisonde uno sforzo uguale a quello di trazione, in A. n realtà le microautotensioni accumulatesi nel materiale durante il ciclo di carico a trazione ossono ridurre il valore assoluto del limite di snervamento che uò situarsi, indicativamente, in corrisondenza di A 5, come indicato in Figura.6. l modulo del limite di snervamento a comressione diviene quindi inferiore a quello dovuto ad un rocesso

13 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA di incrudimento a trazione. ale fenomeno è noto con il nome di Effetto Bauschinger e raresenta, ertanto, un ulteriore ossibile effetto della storia di carico sulle caratteristiche del materiale. A O Figura.6 - Effetto Bauschinger A A A A 5 A 4 storia di carico del materiale er definire il legame fra sforzi e deformazioni nel materiale...6 Diendenza del comortamento elastolastico dalla temeratura e dalla velocità di deformazione l comortamento elasto-lastico descritto nei recedenti aragrafi uò essere significativamente influenzato dall effetto della temeratura. uttavia, a temerature minori della temeratura di ricristallizzazione, definita nel ca., gli asetti globali, qualitativi, del comortamento non cambiano ed è ossibile semre identificare un comortamento elastico, un limite di snervamento ed osservare i fenomeni di incrudimento. L effetto dunque, sotto la temeratura di ricristallizazione, è sorattutto quantitativo. L aumento di temeratura diminuisce lo sforzo di snervamento, aumenta l allungamento a rottura e favorisce, comlessivamente, la duttilità e la tenacità a scaito del limite di snervamento e dello sforzi di rottura. n conclusione, la discussione degli asetti fisici del comortamento elasto-lastico rende evidenti alcuni unti che sintetizzano alcuni asetti essenziali del comortamento elasto-lastico: il comortamento iniziale del materiale è elastico e lineare, caratterizzato da un modulo di Young che diende dalla forza del legame metallico e dalla distanza fra gli atomi nel reticolo cristallino; Se in camo elastico il carico è rimosso, la deformazione è interamente recuerata e il legame sforzi-deformazioni è univocamente determinato (nota la deformazione è noto lo sforzo alicato e viceversa); Suerato il limite di snervamento, si attiva il moto delle dislocazioni e si roducono delle deformazioni ermanenti; A causa dell incrudimento, tuttavia, il limite di snervamento cambia durante la storia di carico del materiale; Anche in resenza di deformazioni ermanenti, è ossibile un comortamento elastico e lineare, ad esemio durante le fasi di scarico e quando, in generale, lo sforzo si trova al di sotto del limite di snervamento; n base alle recedenti considerazioni, alcuni rami del ercorso seguito dagli stati del materiale nel iano - ossono essere ercorsi in un solo verso: vi è differenza fra comortamento durante il carico e lo scarico del materiale; Nel comortamento lastico è necessario conoscere o raresentare in qualche modo la O Figura.7 - Effetto della temeratura sul camo lastico della curva sforzideformazioni Un ulteriore e molto imortante effetto sul camo lastico è dato dalla velocità di deformazione. nfatti, fino a questo unto, si è iotizzato che il carico o lo sostamento fossero alicati molto lentamente, in condizioni che sono definite quasi-statiche. L alicazione del carico e/o di deformazione a velocità sueriori roduce variazioni significative sul comortamento lastico. La velocità di deformazione, definita in Eq..6 è il arametro iù largamente utilizzato er caratterizzare il regime di alicazioni dei carichi d d ll dl dt dt ll dt Eq..6 La velocità di deformazione ha le dimensioni [] - e si misura in s -. Sotto determinati limiti di velocità di deformazione, il comortamento del materiale non cambia al variare di d/dt. ali limiti definiscono il 4

14 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA regime quasi-statico di alicazione dei carichi e variano er differenti tii di materiali. Per i metalli, velocità di deformazione dell ordine di - s - - s - sono considerate in regime quasi-statico. ale definizione sarebbe inadeguata, ad esemio, er un olimero che, già a - s -4 manifesta variazioni nel comortamento lastico. L effetto della velocità di deformazione sul camo lastico è qualitativamente indicato in Figura.8, dove è chiaramente osservabile un incremento del limite di snervamento con l aumentare di d/dt. O Figura.8 - Effetto qualitativo della velocità di deformazione sul camo lastico di un metallo Occorre sottolineare che l effetto riortato in Figura.8 è da interretare come effetto della velocità di deformazione sui meccanismi anelastici attivati a livello micro-strutturale, e non è dovuto alla dinamica del rovino e alla resenza di forze di inerzia a livello macroscoico. L esecuzione di rove ad alta velocità di deformazione er caratterizzare questo effetto è articolarmente comlicata e revede, comunque, che i fenomeni dovuti alla dinamica del rovino siano controllati in modo da misurare solo gli effetti di d/dt sul comortamento elasto-lastico del materiale. Come si è detto l aumento della velocità comorta un incremento dello sforzo di snervamento. Definendo uno sforzo di snervamento in condizioni dinamiche, Yd, si uò valutare l incremento di sforzo di snervamento risetto a quello in condizioni quasistatiche. Per le leghe di alluminio, il materiale metallico iù utilizzato in camo aerosaziale, la sensibilità alla velocità di deformazione è tanto maggiore quanto minore è lo sforzo di snervamento in condizioni quasi-statiche, come si uò desumere dalla Figura.9, che resenta l andamento dell incremento ercentuale del limite di snervamento er un valore fisso d/dt = s -. Figura.9 - ncremento ercentuale dello sforzo di snervamento dinamico in funzione del valore in condizioni quasi-statiche Alcuni semlici modelli sono stati roosti er caratterizzare emiricamente la sensibilità alla velocità di deformazione. Uno dei iù utilizzati è la legge di Cower-Symonds che esrime l andamento del raorto fra lo sforzo di snervamento dinamico e quello in condizioni quasi-statiche, in funzione di due arametri D e q, riortati in Eq..7. Yd Y Eq..7 q D Per le leghe di alluminio, la sensibilità alla velocità di deformazione è tiicamente contenuta. l arametro D, che raresenta in base all Eq..7 il valore di d/dt er il quale lo sforzo di snervamento raddoia, assume, secondo diversi autori, valori fra 65 s - e oltre s -. l arametro q è comreso fra 4 e 5. La sensibilità alla velocità di deformazione er gli acciai a basso contenuto di carbonio è, invece, iù rilevante, con valori di D fino a 4 s - e q ari a 5. La Figura. riorta gli andamenti del raorto Yd / Y er leghe di alluminio e acciai a basso tenore di carbonio, ottenuti alicando la legge di Cower- Symonds, calibrata er leghe di alluminio e acciai a basso tenore di carbonio. 4

15 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Figura. - Variazione del raorto fra sforzo di snervamento dinamico statico seconda la legge di Cower-Symonds n alternativa alla legge di Cower-Symonds, è ossibile utilizzare la legge di Johnson-Cook, che non descrive solo la variazione dello sforzo di snervamento, ma raresenta l andamento della curva sforzodeformazione in camo lastico, al variare di d/dt. La legge, esressa in Eq..8, revede la conoscenza dello sforzo di snervamento in condizioni quasistatiche, Y, e la calibrazione di tre ulteriori arametri: B, n e C. ln Eq..8 ny CB. Deformazione, sforzo e lavoro di deformazione in stati di sforzo luriassiali.. Deformazione in coordinate Lagrangiane Per rocedere allo studio del comortamento dei materiali elasto-lastici in generici stati di sforzo e deformazione è necessario disorre di definizioni iù comlete di queste grandezze fisiche, risetto alle semlici definizioni oerative fornite nella resentazione della rova uniassiale, descritta nel ar.... La deformazione di un coro, che sarà trattata in questo sottoaragrafo, è un concetto cinematico, legato al cambiamento di configurazione del coro stesso, comletamente definibile senza conoscere le cause che la hanno originata. Per introdurre il concetto di deformazione, il coro, sebbene costituito da entità discrete quali atomi o molecole, è idealizzato come un continuo consistente di articelle uniformemente distribuite in un dominio saziale tridimensionale. Per introdurre il concetto di deformazione è necessario considerare una configurazione di riferimento che raresenti la osizione delle articelle del coro rima del rocesso di deformazione. La deformazione comorta un cambiamento di configurazione che otrà essere indotto da cause differenti quali la variazione di temeratura, l alicazione di sistemi di forze in equilibrio al coro o l assorbimento di umidità. Nell ambito della resente trattazione si considereranno descrizioni della configurazione e della deformazione in assi cartesiani, sebbene i concetti che saranno introdotti ossano essere generalizzati a sistemi arbitrari di coordinate. n assi cartesiani, dunque, la configurazione del coro è descritta dalla osizione di ogni articella del continuo, che è descrivibile da un vettore X, che in notazione vettoriale è esrimibile come in Eq.. 9. X Eq.. 9 XXX l cambiamento di configurazione comorta, in generale, lo sostamento di ogni unto materiale del continuo, che va ad occuare la osizione x. Assumendo di utilizzare lo stesso sistema di riferimento, la nuova osizione sarà descritta dal vettore definito in Eq... x Eq.. xxx E ossibile creare una corrisondenza biunivoca, una maa, che lega la nuova osizione x a quella occuata in recedenza X. ale maa è descrivibile da una funzione, introdotta in Eq... Xx Eq.. L Eq.. descrive la osizione della articella del coro nella nuova configurazione in funzione della osizione che essa aveva nella configurazione di riferimento. l moto delle articelle è dunque descritto sulla base delle loro osizioni iniziali e, er questo motivo, il unto di vista adottato è definito Lagrangiano. n termini di comonenti la funzione include tre funzioni scalari i, definite in Eq.., che indica come la coordinata k-esima del nuovo vettore osizione ossa in generale diendere da una qualsiasi delle comonenti del vettore osizione nella configurazione indeformata. x xxx Eq.. Lo sostamento di ogni unto è la differenza fra X ed x ed è esresso in funzione della maatura come in Eq... XXX uuu XXx u Eq.. Si iotizzi, ora che la funzione sia derivabile, in modo che sia ossibile introdurre un oeratore lineare F, esrimibile in notazione matriciale come indicato in Eq

16 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA X F X Eq.. 4 XXX Si considerino ora due unti che, nella configurazione di riferimento, siano searati da un tratto di lunghezza XXX infinitesima ds, descritto da un vettore dx, mostrato in XXX Figura.. La lunghezza ds è il modulo del vettore dx XXX e vale la seguente relazione: XXX XXX ds d dxx Eq.. 6 L oeratore F definito in Eq.. 4 è chiamato gradiente di deformazione ed è esrimibile, alicando l Eq.., anche in funzione dello sostamento u. Nell Eq.. 5 si sono introdotte le derivate dello sostamento u in funzione del vettore di coordinate X. ali derivate sono esrimibili, in notazione matriciale, da matrici quadrate di ordine, in modo analogo all oeratore gradiente di deformazione, definito nell Eq.. 5. F X u u X X u u X X u u X X Eq.. 5 X Xu X X X X u X u u X X u X Doo la variazione di configurazione descritta da, il rimo unto si sarà sostato in x X, mentre il secondo sarà in d XX. Quindi il vettore dx si sarà trasformato in. La trasformazione è esrimibile sfruttando la definizione di gradiente di deformazione, come indicato in Eq.. 7. d d d X dx Eq.. 7 XXXx XXX dx dd XFX X n base all Eq.. 7, dunque, il gradiente di deformazione è l oeratore lineare che trasforma il vettore dx nella configurazione indeformata in. noltre, la distanza ds fra i due unti doo la variazione di configurazione è data dal modulo di e si ottiene dalla seguente relazione: ij ds d Eq.. 8 d d dx FXx X X+dX Figura. - Variazione della osizione relativa di due unti in un generico cambiamento di configurazione x x+ L Eq.. 8 indica come il gradiente di deformazione F contenga tutte le informazioni necessarie er valutare la variazione della lunghezza, ds, risetto a quella originale, ds. ale variazione è la caratteristica distintiva di un rocesso deformativo oiché, se le lunghezze rimangono uguali è evidente che ci troviamo di fronte ad un moto rigido. Quindi se il rodotto è F ari alla matrice identità non esiste deformazione, mentre tanto iù il rodotto si discosta dalla matrice identità si ha un rocesso de formativo. Una misura della deformazione, che è riferita alla configurazione iniziale, è raresentata dalla seguente quantità: Eq.. 9 FFE Sebbene E sia stato ricavato alicando una notazione matriciale, è ossibile dimostrare che, er un cambiamento di coordinate, le nove comonenti E ij variano come le comonenti di un tensore doio. Per definizione di tensore, come sarà accennato nel aragrafo successivo, E è ertanto un tensore. Esso è chiamato tensore di deformazione di Almansi-Hemel 6

17 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA (o, in alcuni testi, tensore di deformazione di Lagrange). Se si considera la relazione fra F ed u, esressa in Eq.. 5, è ossibile esrimere il tensore di deformazione E in funzione dello sostamento u. ale esressione è fornita in Eq.. 4 e fa uso degli oeratori u/x, già utilizzati nell Eq.. 5. ~ u u E X X u X Eq.. 4 u u X X u X.. l tensore delle deformazioni infinitesime l tensore di deformazione E descrive, da un unto di vista Lagrangiano, la deformazione anche in resenza di cambiamenti di configurazione caratterizzati da sostamenti e da gradienti di sostamento elevati. La deformazione descritta da E è riferita alla configurazione iniziale del coro. Esistono altre misure di deformazione che ermettono di riferirsi alla configurazione deformata. Vi sono tuttavia notevoli comlicazioni insite nel considerare variazioni di configurazione con deformazioni finite, e, in molti ambiti, le deformazioni si ossono assumere infinitesime. L Eq.. 4 ermette di valutare come il tensore di deformazione si semlifica rendendo in considerazione deformazioni infinitesime. n tale equazione E è esresso in funzione delle derivate saziali dello sostamento u ed è ossibile osservare che, in generale, il legame fra E e le derivate di u non è lineare. La singola comonente E ij ha infatti l esressione data in Eq.. 4, dove sono resenti termini lineari, u i /X j, e sommatorie di rodotti fra le diverse comonenti u i /X j, che raresentano termini quadratici. E ij Eq.. 4 m u X m i u X m j u X j i u X Se le deformazioni sono infinitesime, anche le derivate u i /X j saranno infinitesime ed i termini quadratici otranno essere trascurati. ale semlificazione dà origine alla definizione del vettore delle deformazioni infinitesime, la cui esressione in notazione matriciale è fornita in Eq.. 4. i j Anche i termini di, come quelli di E, raresentano i comonenti di un tensore doio simmetrico. Si osservi che il tensore delle deformazioni infinitesime uò anche essere ottenuto in modo diretto considerando l esressione dello sostamento u in un intorno infinitesimo di un unto X. n tale intorno, infatti, lo sostamento uò essere esresso noto lo sostamento u(x) e la matrice delle derivate u/x, che a sua volta uò essere decomosta in una arte emisimmetrica e in una arte simmetrica come indicato in Eq.. 4. u XuXu dx X u u u u X X X X d Xu dx dx Eq.. 4 l terzo termine dell esressione in Eq.. 4, cioè la arte simmetrica della matrice delle derivate u/x, contiene le comonenti del tensore, definito in Eq.. 4, che, come si è affermato, descrivono il rocesso di deformazione nell iotesi di deformazioni infinitesime. l rimo termine, u(x) raresenta uno sostamento comune a tutti unti dell intorno di X e quindi una traslazione del coro nell intorno. Per indagare il significato del secondo termine, si suonga uno sostamento dove sia la traslazione u(x) che la deformazione siano nulle. Se la deformazione è nulla vale l Eq u j X i Eq.. 44 ui X j Lo sostamento descritto dal solo secondo termine in in Eq.. 4 è raffigurato un intorno infinitesimo di X nel iano i-j in Figura.. utti i unti sull asse i si muovono con una comonente in direzione j ari a (u j /X i )dx i. Se gli sostamenti sono infinitesimi, lo sostamento uò essere interretato come una rotazione dell asse i di un angolo infinitesimo, d = tan - (u j /X i ) u j /X i. n virtù dell Eq.. 44, anche l asse j uò essere considerato soggetto a una rotazione infinitesima di modulo d, nello stesso verso: la orzione di continuo nell intorno di X ruota senza cambiare forma e subire deformazioni. Pertanto, nell iotesi di deformazioni e sostamenti infinitesimi, i rimi due termini dell Eq.. 4 raresentano una rototraslazione rigida dei unti aartenenti all intorno di X, mentre il terzo termine raresenta una vera e roria deformazione. u X Eq.. 4 u X 7

18 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA j (u i /X j )dx j = -(u j /X i )dx j u dx dx dx Eq.. 45 dx dx X dx dx X dx dx X u u d d (u j /X i )dx i = = -(u i /X j )dx i Figura. - Sostamento in un intorno di un unto materiale nell iotesi di tensore delle deformazioni infinitesime nullo Nell ambito delle deformazioni infinitesime è ossibile fornire un esressione delle variazione di volume subita, in un generico rocesso deformativo, da un cubetto infinitesimo di dimensioni originali dx, dx e dx, raffigurato in Figura.. i l raorto fra il volume deformato dv e quello originale dv è esrimibile alicando le Eq.. 45, dove, con il simbolo tr(), si indica la somma delle comonenti ad indici uguali del tensore doio di deformazione. dv dv dx dx dx dx ˆ dx ˆ dx ˆ tr Eq.. 46 dx dx dx Attraverso il raorto dv/dv si definisce una comonente idrostatica di deformazione,, la cui esressione è riortata in Eq dx X X dv dv dv dv Eq.. 47 dv dv tr X X X dx X dx (u /X )dx Figura. - Variazione di volume in un elemento infinitesimo Le relazioni fra le dimensioni del cubetto infinitesimo nella configurazione originale e deformata ossono essere scritte in termini di sostamenti e quindi di deformazioni infinitesime: dv Attraverso la articolare esressione di, è ossibile individuare, nel generico stato di deformazione, una comonente caratterizzata da una ura deformazione volumetrica del volumetto infinitesimo, in assenza di variazioni di forma. Questo è quanto accade quando i raorti /dx, /dx e /dx sono uguali, e quindi =. Se le altre comonenti del tensore di deformazione sono nulle, il cubetto infinitesimo si dilata conservando la roria forma. Nel generico stato di deformazione, allora, è ossibile individuare una comonente resonsabile della sola deformazione volumetrica, caratterizzata da un valore ottenuto dall Eq Eq.. 48 l tensore delle deformazioni infinitesime er uno rocesso di deformazione caratterizzato da una ura variazione di volume ha quindi la forma generale definita in Eq

19 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Eq.. 49 n definitiva, mediante l introduzione di, è ossibile scomorre lo stato deformazione in una deformazione volumetrica, che avviene a forma costante, e in una deformazione resonsabile del cambiamento di forma, che avviene senza variazione di volume. Quest ultimo tio di deformazione è definito deformazione deviatorica ed ha er definizione l esressione riortata in Eq.. 5. e Eq.. 5 La deformazione deviatorica è, er sua natura, anch essa un tensore e uò essere esresso in notazione matriciale, come in Eq.. 5, o in notazione vettoriale. Per come è stata ottenuta, la deformazione deviatorica raresenta rocessi deformativi a volume costante. nfatti, alicando l Eq.. 48, risulta: tr e Eq.. 5 Nel seguito della trattazione ci si orrà, er semlicità, sotto le iotesi di deformazioni infinitesime. Oltre a semlificare l esressione delle deformazioni, con l eliminazione dei termini quadratici, l iotesi di deformazioni infinitesime comorta anche che la configurazione del coro doo il rocesso di deformazione differisca in misura trascurabile dalla configurazione originale. ale considerazione ermette innanzitutto di trascurare la differenza fra una misura di deformazione riferita alla configurazione originale, quale quella descritta dal tensore E, e quella riferita alla configurazione deformata. Si vedrà, inoltre, come l iotesi di deformazioni infinitesime elimina anche le ambiguità concernenti la configurazione da considerare nella descrizione dello stato di sforzo del coro. Sotto questa iotesi, dunque, lo stato di deformazione otrà quindi essere descritto dalle 9 comonenti del tensore delle deformazioni infinitesime, che hanno esressione u ij u Eq.. 5 i j u u j i Le 9 comonenti del tensore delle deformazioni infinitesime, che è er natura simmetrico, ossono essere raresentate da una matrice del secondo ordine, come in Eq.. 5. Eq.. 5 Essendo il tensore simmetrico, tuttavia, le comonenti indiendenti del tensore delle deformazioni infinitesime ossono essere anche convenientemente arrangiate in un vettore di 6 comonenti, come in Eq ˆ Eq.. 54 Nella notazione vettoriale, che è sesso utilizzata in ambito ingegneristico, le comonenti ad indici diversi del tensore di deformazione sono sostituite dai termini definiti in Eq u u u u u u Eq.. 55 u u u u u u ali termini, chiamati scorrimenti, definiscono i rocessi di deformazione a taglio, come sarà chiarito nel ar..., e consentono di semlificare l esressione del lavoro di deformazione quando si utilizzando le notazioni vettoriali. l vettore di deformazione iù usato in ambito ingegneristico è ertanto quello descritto in Eq Eq.. 56 Si osservi, comunque, che le raresentazioni matriciali e vettoriali riortate in Eq.. 5 e in Eq.. 54 sono funzionali alla ossibilità di utilizzare le notazioni e le oerazioni dell algebra matriciale er descrivere relazioni che coinvolgano le comonenti del tensore di deformazione. Lo stato di deformazione, tuttavia, non è una matrice né un vettore, ma un tensore doio con rorietà del tutto analoghe al tensore doio di sforzo che sarà introdotto nel ar

20 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA.. Esemi di stati di deformazione n questo aragrafo si considereranno alcuni cambiamenti articolari di configurazione di cori continui e sarà esaminato il corrisondente stato di deformazione. l rimo caso considerato è relativo all allungamento e alla contrazione di un elemento cilindrico. La variazione di configurazione considerata, resentata in Figura.4, è analoga a quella di un rovino soggetto a una rova di trazione uniassiale. Figura.4 - Allungamento e contrazione di un rovino cilindrico La variazione di configurazione è descritta dalla maa in Eq L Xx L Xx R R Xx Eq.. 57 Dove: l L L r R R Eq.. 58 R X x X x Nel caso di trazione si ha L > e R <. l valore di L e R diendono dal carico alicato e dalla risosta del materiale. l vettore sostamento u e il gradiente di deformazione: l X x r Eq.. 59 L XXXxu L XXXxu R R XXXxu R R l gradiente di deformazione F è calcolato in base alle esressioni in Eq.. 57 ed assume un forma articolarmente semlice: XXX XXX X XXX F X XXX XXX XXX L R R Eq.. 6 Una volta noti F ed u, è ossibile ricavare l esressione dei tensori di deformazione E ed : ~ FFE L L R R R R L R R Ll L Rr R Rr R Eq.. 6 L u u R X X r Ll L Rr R Rr R Eq.. 6

21 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA l confronto fra Eq.. 6 e l Eq.. 6 consente di individuare alcune conseguenze dell adozione di una definizione rigorosa di deformazione (valida er deformazioni finite relative in stati tridimensionali di deformazione) e delle semlificazioni introdotte dal assaggio a deformazioni infinitesime. Si osservi, infatti, che la comonente E non corrisonde all allungamento (l-l)/l, che è intuitivamente definibile come la deformazione nella rova uniassiale. Nel tensore di deformazioni infinitesime, d altra arte, la comonente è ari a (l-l)/l. La differenza è limitata anche er allungamenti non rigorosamente trascurabili. Ad esemio, ammettendo L =., risulta ~ E =.5 e =.. Si ricordi, inoltre, che nell iotesi di deformazioni infinitesime la differenza fra la configurazione deformata e indeformata è trascurabile e ertanto la deformazione infintesima uò anche essere assimilata alla deformazione logaritmica. nfine, riferendo l esemio al comortamento di un rovino metallico in una rova di trazione uniassiale, il raorto fra l oosto della deformazione nelle direzioni erendicolari all allungamento, - o, e la deformazione longitudinale, definisce il coefficiente di contrazione trasversale (o di Poisson ) del materiale: X x L L l dv dv L X X x v Eq.. 6 l l Figura.5 - Dilatazione di un risma x La Figura.5 resenta un cambiamento di configurazione caratterizzato da una dilatazione delle dimensioni di un coro a forma rismatica, identica in tutte le direzioni. l coro conserva quindi la forma variando unicamente il suo volume. La maa della variazione di configurazione è fornita in Eq Xx Xx Xx Eq.. 64 dove: l L l L l L Lo sostamento ed il gradiente di deformazione sono riortati in in Eq.. 65 e in Eq.. 66.

22 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA dv XX Xxu dx dx dx dv dx dx dx dx dx dx XX Xxu Eq.. 69 XX Xxu Eq.. 65 Si osservi che il raorto dv/dv risulta ari al determinante della matrice F che contiene le comonenti del gradiente di deformazione. E ossibile XXX dimostrare che questo risultato è del tutto generale, e XXX che, er qualsiasi variazione di configurazione risulta: X XXX F X XXX dv XXX detf dv XXX Eq.. 7 Nell ambito delle deformazioni infinitesime, il raorto fra i volumi del cubetto infinitesimo, calcolato alicando l Eq.. 46, non è erfettamente consistente Eq.. 66 con la variazione di volume del risma finito. nfatti, alicando l Eq.. 46 al caso in esame si ottiene: tensori di deformazione E ed sono calcolati in Eq.. 67 e in Eq Le differenze fra le comonenti ad indici uguali dei due tensori sono analoghe a quelle riscontrate nel caso dell allungamento del risma cilindrico considerato in recedenza. Eq.. 67 u X FFE u X Ll L Ll L Ll L Eq.. 68 l risma ha volume iniziale V=L L L che diviene v=l l l doo il rocesso di deformazione. l raorto fra i due volumi è ari a. ale raorto è identico a quello che si ottiene considerando un volumetto infinitesimo all interno del coro, come riortato in Eq dv dv Eq.. 7 quadrato, L. La differenza è comunque contenuta. otizzando una dilatazione con =., corrisondente dunque a un aumento del % delle dimensioni lineari del risma, si ha det(f)= =., mentre il risultato dell Eq.. 7 è ari a., con una discreanza del.4% fra le due misure. La Figura.6 resenta il cambiamento di configurazione della base originariamente quadrata di un risma con altezza indefinita, in direzione X. La distorsione della forma quadrata in un arallelogramma è il tiico effetto di una deformazione a taglio. Nel caso considerato, solo le coordinate X dei unti vengono modificate e la sezione si distorce conservando l altezza del arallelogramma uguale al lato iniziale del

23 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA X L FFE L Eq.. 75 x L X L u u X X tan tan Eq.. 76 Figura.6 - Deformazione semlice a taglio La maa del cambiamento di configurazione è la seguente: XXx Xx Xx Eq.. 7 dove tan. Lo sostamento e il gradiente di deformazione sono esressi in Eq.. 7 e Eq XXxu Xxu Xxu Eq.. 7 X F X Eq.. 74 Dalle esressioni di F ed u è ossibile calcolare il tensore delle deformazioni Lagrangiane e il tensore delle deformazioni infinitesime, riortati in Eq.. 75 e Eq x Si uò osservare come, er il tensore di deformazioni infinitesime il rocesso di deformazione comorta solo comonenti non nulle. Estendendo i ragionamenti a deformazioni analoghe che avvengono sugli altri iani coordinati, si uò affermare che le comonenti ad indici misti del tensore di deformazione raresentano deformazioni di uro taglio, come quella raffigurata in Figura.6. l valore di tali comonenti è ari alla metà dell angolo di scorrimento e, ertanto, il valore degli scorrimenti, introdotti in Eq.. 55, è ari all angolo di scorrimento in una deformazione di uro taglio. Si osservi che le comonenti E del tensore E hanno identico valore a. E resenta anche una comonente E non nulla, dovuta all allungamento dei lati originariamente verticali e lunghi L, necessario er conservare l altezza del arallelogramma. Questa deformazione di ordine sueriore è correttamente colta dal tensore E, che resenta un termine E =. Si osservi, comunque, che il rocesso di deformazione avviene a volume costante, sia considerando le deformazioni finite, oiché det(f)=, sia considerando le deformazioni infinitesime, essendo tr()=. l meccanismo di deformazione considerando è quindi un esemio di rocesso di deformazione uramente devia torico...4 Sforzo La deformazione è un concetto uramente cinematico che descrive una variazione di configurazione di un continuo non riducibile a uno sostamento rigido. Una delle ossibilità er rodurre un rocesso deformativo

24 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA in un continuo è l alicazione di un sistema di forze che, agendo sul coro, roducono in generale moto e deformazione. Le forze che agiscono su un coro ossono essere classificate come esterne o interne. Le forze esterne ossono essere a loro volta suddivise in forze di suerficie, che agiscono ai contorni del coro e sono tiicamente dovute ad interazioni di contatto, oure forze di volume, che agiscono direttamente sulle articelle del continuo in virtù di interazioni con sorgenti esterne, quali cami di forze gravitazionali, elettrici o magnetici, ad esemio. Le forze interne, invece, raresentano azioni comiute da una arte del coro su un altra arte del coro. L esistenza di queste azioni interne è un assunzione lausibile che si uò ricondurre a un ostulato noto come rinciio degli sforzi di Eulero-Cauchy. Secondo tale rinciio attraverso ogni sezione che uò essere ricavata all interno di un coro si trasmettono delle forze di suerficie. Con l introduzione di tali forze le leggi della statica e della dinamica si alicano a ogni regione interna del coro nello stesso modo in cui si alicano al coro considerato nella sua totalità. suerficie uò essere definito come lo sforzo suerficiale unitario t n. t n lim a a Eq.. 78 Dalla definizione recedente è evidente che lo sforzo suerficiale unitario non diende solo dalla osizione del unto nell intorno del quale si considera a, ma diende dalla giacitura del iano con cui si è tagliato il coro, individuata dalla normale n. Per definire la variazione dello sforzo dalla giacitura vanno definite, nel unto considerato, gli sforzi suerficiali unitari trasmessi attraverso iani con normali uscenti uguali alle direzioni degli assi coordinati,, e. n assi cartesiani, le comonenti di tali sforzi suerficiali unitari sono riortate in Eq.. 79, dove con i, i e i si sono indicati i versori degli assi cartesiani x, x e x. Eq.. 79 iii iii iii n x R C - a n -n a R - - n A - n O x B Figura.7 - Azioni interne all interno di un continuo Se un coro è sezionato con un iano avente normale n, le due arti R ed R in cui esso risulta diviso si scambieranno forze interne in base alle leggi della statica e della dinamica. Si consideri una orzione a della sezione, nell intorno di un unto individuato dalla osizione x. Attraverso tale orzione di suerficie si trasmetterà una forza, che otrà essere considerata come il rodotto di una forza er unità di suerficie n distribuita sull area a er l area stessa, come indicato in Eq n a Eq.. 77 n base al rinciio di Eulero-Cauchy il limite del raorto /a er a esiste e non diende dalla forma di a. l valore limite della forza er unità di x Figura.8 - etraedro di Cauchy Si consideri ora il tetraedro riortato in Figura.8, con tre lati aventi gli assi coordinati come normali entranti. Su tali facce agiscono gli sforzi suerficiali unitari -, - e -. La quarta faccia del tetraedro, di vertici ABC, è un iano di giacitura generica, individuata dalla normale n con comonenti cartesiane definite in Eq.. 8. nnn iiin Eq.. 8 Le comonenti n, n e n sono i coseni direttori della normale n. Detta a l area della faccia ABC, si uò osservare che l area delle facce OAC, OBC e OCB del tetraedro si ossono ottenere roiettando a sui iani coordinati e quindi moltilicando a er i coseni direttori n, n e n come indicato in Eq

25 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA OBC OAC a na OAB a na Eq.. 8 a na L equilibrio del tetraedro di Figura.8 comorta quindi: aobc aoac aoab t Eq.. 8 n a L alicazione delle relazioni riortate in Eq.. 8 conduce alla seguente relazione, detta relazione di Cauchy: L alicazione dello sforzo rovoca un cambiamento di configurazione del continuo con deformazioni e rotazioni. A rigore lo stato di sforzo deve essere riferito a una ben definita configurazione ed è necessario secificare se la terna di riferimento usata er definire le comonenti dello sforzo ruota er seguire il cambiamento di configurazione del sistema. Nella trattazione fin qui sviluata, la configurazione che si è resa in considerazione è quella già deformata, modificata dall alicazione dello stato di sforzo stesso. Lo sforzo definito in questo modo è quindi da intendersi come lo sforzo vero o di Cauchy. Come nel caso delle deformazioni, l iotesi di deformazioni infinitesime ermette comunque di trascurare le differenze fra configurazione deformata e indeformata. t Eq.. 8 nnn n Si osservi che l eventuale resenza di forze di volume non modifica l Eq.. 8, oiché essa resuone un assaggio al limite er a ed in tale assaggio il volume raresenta un infinitesimo di ordine sueriore risetto alla suerficie. Per tale motivo le forze di volume ossono essere a rigore trascurate. Anche il caso dinamico uò essere considerato comreso, oiché, in base al rinciio di D Alembert, esso uò ricondursi al caso statico con l introduzione di forze di inerzia che raresentano un caso articolare di forze di volume. L Eq.. 8 indica che lo sforzo suerficiale su una qualsiasi giacitura, t n, è determinabile se sono noti gli sforzi suerficiali sui tre iani mutuamente ortogonali. tre vettori, e o le loro nove comonenti definite nell Eq.. 79, che raresentano gli sforzi suerficiali unitari su tali iani, sono dunque sufficienti a definire comletamente lo stato di sforzo nel unto considerato. Per una rotazione del sistema di coordinate, che comorti il assaggio da vecchi assi x, x e x a nuovi assi x, x e x è ossibile definire una legge di trasformazione er le 9 comonenti considerate. Detti ij il coseno direttore fra il vecchio asse x i ed il nuovo asse x j, la legge di trasformazione uò essere derivata dall Eq.. 8 ottenendo il risultato riortato in Eq ij Eq.. 84 ik k, l, jl ij La trasformazione di coordinate indicata dall Eq.. 84 definisce il carattere di tensore doio dell ente descritto dalle nove comonenti ij. n altri termini, se un ente è formato da nove comonenti che si comortano al variare del sistema di riferimento come indicato dall Eq.. 84, tale ente è definito un tensore doio. Questa stessa regola di cambiamento di riferimento si alica ertanto anche ai tensori di deformazione definiti nel ar.... n base alle definizioni date in Eq.. 79, le comonenti del tensore aventi indici uguali sono le comonenti degli sforzi suerficiali unitari che hanno direzione uguale alla normale al iano su cui agiscono. Una comonente di sforzo di questo tio è detto sforzo normale ed è comunemente indicato con il simbolo. Le comonenti ad indici diversi sono diretti invece arallelamente alle facce su cui gli sforzi suerficiali agiscono e sono detti sforzi di taglio. n molti casi vengono indicati con il simbolo. Se si considera un cubetto infinitesimo di materiale, con facce arallele ai iani coordinati e lati, e, l insieme delle nove comonenti del tensore di sforzo uò essere raresentato nel modo indicato in Figura.9. La figura considera un camo di sforzo variabile all interno del continuo e indica le comonenti agenti sulle facce che resentano gli assi cartesiani come normali uscenti. Gli sforzi agenti su tali facce sono incrementati di un termine infinitesimo er tenere conto della distanza dall origine degli assi che raresenta il unto nel quale si vuole considerare lo stato di sforzo. Le facce ooste del cubo, non raresentate er semlicità in Figura.9, sono in corrisondenza dell origine degli assi ma hanno come normali uscenti i versori degli assi coordinati. Su di esse, ertanto, agiscono le comonenti del tensore di sforzo, senza termini incrementali e con il segno cambiato. Si osservi che la variazione di segno della comonente er una rotazione di 8 di una faccia attorno ad un asse è revista dalle Eq.. 8 così come dall Eq

26 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Figura.9 - Comonenti del tensore degli sforzi in coordinate cartesiani L equilibrio alla rotazione del cubo infinitesimo attorno ad un asse assante er il centro della faccia con normale i deve tenere conto dei momenti originati dalle comonenti e sulle facce aventi risettivamente normali i ed i. ali momenti si calcolano considerando la forza risultante dal rodotto dello sforzo er l area delle facce ed il braccio di tale forza risetto all asse considerato. Ragionando in modo analogo er le rotazioni attorno agli altri assi si erviene alle seguenti equazioni: x x x x x x x Eq.. 85 x x x x x x x x x x x Se si eliminano i termini con infinitesimi di ordine sueriore e si semlifica, si giunge al seguente notevole risultato: Eq.. 86 Si osservi che l eliminazione degli infinitesimi di ordine sueriore orterebbe anche ad eliminare eventuali forze di volume o di inerzia che non sono state considerate in Figura.9, rendendo il risultato ottenuto in Eq.. 86 del tutto generale. Per le Eq.. 86 dunque il tensore dello sforzo è simmetrico, oiché, in generale è ossibile scrivere: ij ji Eq.. 87 n modo del tutto analogo alle comonenti del tensore delle deformazioni infinitesime, introdotto nel ar..., le comonenti del tensore degli sforzi ossono essere organizzate secondo una notazione matriciale, che raresenta il tensore come una matrice simmetrica del secondo ordine, raresentata in Eq Eq.. 88 uttavia, le comonenti indiendenti del tensore di sforzo sono solo 6, in virtù delle relazioni di simmetria introdotte dall Eq Questo ermette di arrangiare le comonenti del tensore di sforzo in notazione vettoriale, come riortato in Eq Eq.. 89 Analogamente al caso del tensore delle deformazioni infinitesime, è necessario rilevare come le Eq.. 88e Eq.. 89 raresentino una ossibile notazione er le comonenti del tensore di sforzo che ermette di sfruttare le oerazioni definite nell algebra matriciale. uttavia, le notazioni matriciali e vettoriali introdotte sono solo un utile raresentazione delle comonenti dello stato di sforzo, la cui natura è tensoriale, come sancito dalle relazioni riortate in Eq.. 8 e in Eq Direzioni rinciali e invarianti dei tensori di sforzo e deformazione Lo stato di sforzo in un unto è caratterizzato dal tensore degli sforzi che è determinato se sono noti gli sforzi suerficiali unitari agenti su tre iani coordinati. Come si è visto nel ar...4, le comonenti del tensore di sforzo ossono essere suddivise in sforzi 6

27 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA normali, con direzione erendicolari alle suerfici sulle quali agiscono ed in sforzi di taglio, con direzione arallela alle suerfici stesse. E ossibile indagare la ossibilità di individuare delle direzioni di riferimento in cui gli sforzi di taglio sui iani coordinati siano nulli e lo sforzo suerficiale unitario, t (n) comrenda comonenti normali. Una direzione con tale rorietà è definita direzione rinciale del tensore di sforzo (un ragionamento analogo orta a definire delle direzioni rinciali er il tensore di deformazione). Detto n il versore della direzione rinciale e il modulo dello sforzo agente nel iano con normale n, la definizione di direzione rinciale comorta l Eq.. 9, che deriva direttamente dalla relazione di Cauchy (Eq.. 8). Considerando la simmetria del tensore di sforzo e alicando la notazione matriciale er il tensore di sforzo, l Eq.. 9, che comrende la relazione di Cauchy, uò essere riscritta nel modo seguente: n n n n n n n => n n Eq.. 9 L Eq.. 9 raresenta un sistema di equazioni omogeneo che ammette soluzioni non banali solo se la matrice dei coefficienti ha determinante nullo. l roblema è ertanto riconducibile alla determinazione degli autovalori e degli autovettori della matrice che raresenta lo stato di sforzo. Si erviene così all Eq.. 9, che raresenta l equazione caratteristica er il calcolo delle direzioni rinciali. det Eq.. 9 L Eq.. 9 raresenta una equazione di terzo grado e uò essere ridotta alla forma seguente: Eq.. 9 dove: tr det Eq.. 94 Per la simmetria del tensore degli sforzi, l Eq.. 9 ammette soluzioni reali, gli autovalori di, che vengono definiti sforzi rinciali e indicati con i simboli, e. Sostituendo tali valori a nell Eq.. 9, il sistema di equazioni omogeneo ammette come soluzione degli autovettori {n n n } che individuano, a meno di una costante moltilicativa, n nt nnn n i versori delle tre direzioni rinciali. Si uò dimostrare Eq.. 9 che tali direzioni sono mutuamente ortogonali e definiscono una terna di assi cartesiani nello sazio definiti assi rinciali. Per loro natura, gli sforzi rinciali hanno un valore indiendente dal sistema di riferimento da cui si è artiti er imostare il roblema agli autovalori. Ciò significa che anche i coefficienti dell equazione caratteristica (Eq.. 9) non diendono dall orientamento del sistema di riferimento nel quale sono esresse le comonenti del tensore di sforzo. Le quantità, e sono ertanto dette, risettivamente rimo, secondo e terzo invariante dello stato di sforzo. n modo analogo è ossibile definire direzioni rinciali e invarianti er il tensore di deformazione. Assumendo come sistema di riferimento gli assi rinciali dello sforzo, l esressione del tensore di sforzo in notazione matriciale diventa: Eq.. 95 n base all Eq.. 95, utilizzando i valori degli sforzi rinciali, le esressioni degli invarianti dello stato di sforzo ossono essere semlificate nelle forme riortate in Eq tr Eq.. 96 n effetti, utilizzando la terna di riferimento delle direzioni rinciali, la descrizione dello stato di sforzo si semlifica notevolmente sotto diversi asetti. Detti i i, i, i i versori delle direzioni rinciali, i vettori che raresentano lo sforzo suerficiale unitario sui iani erendicolari ai tre assi divengono: 7

28 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA i i Eq.. 97 i rinciali. Ad esemio è ossibile far ruotare la normale n nel iano i -i e indagare lo stato di sforzo su iani aralleli al versore i, come schematizzato in Figura.. n Pertanto, detti n, n e n i coseni direttori di un generico iano risetto alle direzioni rinciali, lo sforzo t (n) su tale iano avrà l esressione fornita in Eq.. 98, ottenuta alicando la relazione di Cauchy (Eq.. 8), mentre il quadrato del modulo dello sforzo t (n) ha l esressione riortato in Eq i n t n n n Eq.. 98 t n Eq.. 99 iit nn La Figura. mostra lo sforzo suerficiale unitario su un generico iano, descritto utilizzando le direzioni rinciali come assi di riferimento. Sul generico iano, che non è erendicolare ad una direzione rinciale, lo sforzo avrà una comonente normale n ed una comonente di taglio n. Figura. - Stato di sforzo esresso nelle direzioni rinciali l valore della comonente n è immediatamente calcolabile mediante il rodotto scalare fra il vettore di sforzo e la normale. Risulta: Eq.. nn nt Dall Eq.. 99 e dall Eq.. è ossibile ottenere l esressione er il quadrato del modulo della comonente di taglio, n. n t n Eq.. i n i Figura. - Variazione dello stato di sforzo su iani aralleli al versore i nnn Poiché er i iani in esame n =, n = cos e n = - cos =sin, l Eq.. si riduce a: n =t n n n cos su iani // a nnn Eq.. n cos sin nnn cos sin nnn cos cos Lo stato di sforzo uò essere esaminato considerandone l andamento su iani aralleli ad una delle direzioni n i n t n 8 n cos cos Eq.. cos L Eq.. mostra come lo sforzo n vari fra un valore estremo,, er cos=, un altro valore estremo, ottenuto er cos=. ali estremi raresentano i massimi o i minimi dello sforzo normale sui iani aralleli ad i, in diendenza del segni della differenza -. Se i valori degli sforzi rinciali sono ordinati con > >, allora raresenta il massimo dello sforzo normale sui iani aralleli a ad i e è il minimo. Si uò dimostrare che il massimo e il minimo degli sforzi rinciali raresentano effettivamente il massimo e il minimo valore degli sforzi normali agenti su un iano qualsiasi. Analoghi ragionamenti ossono essere sviluati er i iani aralleli agli altri versori, ortanto alle seguenti equazioni: n n cos su iani // a i cos su iani // a i i Semre considerando i iani aralleli ad uno dei versori, ad esemio i è ossibile indagare l andamento degli sforzi di taglio alicando l Eq.. che diviene, con alcuni assaggi: sin 4 Eq.. 4 i

29 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Alicando analoghi assaggi er rotazioni attorno agli altri versori, il modulo dello sforzo di taglio risulta ertanto: n sin su iani // a n sin su iani // a n sin su iani // a Eq.. 5 i i i Eq.. 7 Lo stato di sforzo che, sovraosto a, ricostruisce lo stato di sforzo originale è chiamato sforzo devia torico ed ha esressione: s Eq.. 8 ali equazioni mostrano che, ruotando la normale del iano su cui agisce lo sforzo suerficiale attorno ai versori delle direzioni rinciali, la comonente di taglio assa da valori nulli, in corrisondenza delle direzioni rinciali (er angoli ari a, 9, 8, 7 ) a valori massimi nelle direzioni dove sin, sin o sin è uguale a cioè er 45, 5, 5 e 5. Comlessivamente, il valore massimo dello sforzo di taglio agente nel materiale ha l esressione data in Eq.. 6. n max max Eq.. 6, Se gli sforzi normali sono ordinati come > >, allora lo sforzo massimo di taglio risulta ( - )/...5 Comonenti idrostatiche e deviatoriche dello stato di sforzo, Si uò dimostrare che le direzioni rinciali dello stato di sforzo deviatorico sono le stesse dello stato di sforzo comlessivo. nfatti, se il vettore n è una direzione rinciale er lo stato di sforzo, le sue comonenti soddisfano l Eq.. 9 e dai membri sinistro e destro di tale equazione è ossibile sottrarre un termine, ottenendo: n n n n n n sss n n sss n n sss n n Eq.. 9 vettori n che soddisfano Eq.. 9 soddisfano anche l Eq.. 9 e sono ertanto le direzioni rinciali anche del tensore di sforzo devia torico i cui sforzi rinciali risultano s =, s =, s =. Un caso articolare di stato di sforzo è quello relativo all alicazione di uno stato di sforzo idrostatico che dà luogo a uno sforzo normale costante al variare della giacitura del iano (analogamente a quanto accade er la ressione in un fluido). ale stato di sforzo è caratterizzato da un tensore di sforzo avente = = e ari a. Sulla base delle Eq.. e Eq.. 6 è immediato constatare che lo sforzo normale rimane costante sui iani indagati e che le comonenti di taglio risultano semre nulle. La matrice che raresenta tale stato di sforzo ha la forma, dove è la matrice identità. Per tale stato di sforzo, il tensore di deformazione è invariante alla rotazione degli assi e la matrice che lo raresenta resta semre identica a. Per la teoria della lasticità assume articolare interesse la ossibilità di decomorre un qualsiasi stato di sforzo in due stati di sforzo, uno dei quali raresenta le sole comonenti idrostatiche, caratterizzate da una ressione data da: Gi invarianti del tensore di sforzo devia torico hanno le seguenti esressioni: J J 6 s tr 6 det Eq.. ij sss SSSsJ..6 l lavoro di deformazione in stati di sforzo luri-assiali Considerando il cubo di volume infinitesimo raresentato in Figura. ed alicando incrementi di deformazione infinitesima caratterizzati da singole 9

30 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA comonenti non nulle del tensore di deformazione, è ossibile estendere la definizione di lavoro di deformazione, resentata al ar... al caso iù generale. n articolare, si giunge all imortante risultato che le comonenti del tensore di sforzo lavorano solo er le corrisondenti comonenti del tensore di deformazione. d X X X d Figura. - Sforzi e deformazioni in un cubo di volume infinitesimo Eq.. Per ottenere il lavoro comlessivo di deformazione sarà infine necessario integrare nel volume del continuo..4 Modellazione del comortamento elasto-lastico La risosta costitutiva di un materiale elasto-lastico a livello macroscoico è stata descritta nel ar... La descrizione si è tuttavia limita al caso monodimensionale, rendendo in considerazione i comortamenti ottenuti in una rova di trazione uniassiale. l ar.. ha fornito le nozioni della meccanica dei continui deformabile er trattare la modellazione del comortamento elasto-lastico in stati di sforzo e deformazione luriassiali. Questo aragrafo formalizza la legge costitutiva elasto-lastica in stati di sforzo luriassiali nell iotesi di deformazioni infinitesime. Si tratterrà darima il legame elastico. Successivamente saranno indagati i criteri er individuare il confine del camo elastico in stati di sforzo luriassiali e le modalità di raresentazione dei fenomeni di incrudimento. L ultima arte del aragrafo è dedicata alla modellazione del legame costitutivo in resenza di sviluo di deformazioni lastiche..4. l comortamento del materiale in camo elastico L esressione generale del lavoro di deformazione er unità di volume è ertanto: dw d d d d Eq.. La simmetria del tensore degli sforzi, l introduzione degli scorrimenti definiti in Eq.. 55 e alicazione della notazione vettoriale ermettono un esressione comatta del lavoro di deformazione, riortata in Eq... dw d d Eq.. L integrazione dell Eq.. da uno stato di iniziale indeformato fino a uno stato finale di deformazione caratterizzato da un vettore fornisce il lavoro di deformazione er unità di volume necessario er far svolgere il rocesso de formativo: w d d Energia di deformazione Si è visto, nel Ca., che la deformazione elastica comorta la variazione delle distanze fra gli atomi dei d d materiali olicristallini e er sua natura è reversibile. l dddd lavoro seso da un sistema di forze esterne e interne er deformare elasticamente un solido comorta una variazione dell energia otenziale associata alle forze di legame fra gli atomi e tale energia viene comletamente restituita una volta che cessa l agente che causa la deformazione. L energia immagazzinata non diende dal ercorso seguito dal rocesso deformativo, ma solo dal valore finale dello stato di deformazione. Fintanto che il materiale rimane in camo elastico, il lavoro di deformazione, definito nel ar...6, d d d comiuto a artire dalla configurazione indeformata dd fino allo stato di deformazione, fornisce ij ij l esressione di un otenziale, detto energia di deformazione. L energia di deformazione è uno scalare, funzione dello stato di deformazione, la cui esressione è data in Eq.. 4. Eq.. 4 dd l differenziale d è un differenziale esatto, che è esrimibile come in Eq.. 5 in funzione delle

31 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA derivate arziali dello scalare risetto alle comonenti di deformazione: d dd n m m in Eq.. 9 Eq.. 5 dove il vettore / ha er comonenti le derivate dello scalare risetto alle comonenti di. Dalla Eq.. 5 discende la forma generale della legge costitutiva elastica, cioè del legame fra sforzi e deformazioni in camo elastico. nfatti, confrontando le diverse esressioni dell energia di deformazione resentate in Eq.. 5, è immediato riconoscere che gli sforzi si ottengono derivando l energia otenziale risetto alle corrisondenti comonenti di deformazione. l risultato è formalizzato in Eq.. 6. Eq.. 6 L Eq.. 6 indica che, nota l esressione dell energia di deformazione in funzione delle deformazioni, la legge costitutiva elastica è comletamente determinata. Per i materiali metallici, come si è visto nel ar..., il camo elastico revede anche la linearità del legame sforzi-deformazioni (con ossibili deviazioni trascurabili oltre il limite di roorzionalità). La linearità, che non è un attributo necessario del comortamento elastico, secifica ulteriormente la forma del legame sforzi-deformazioni. La forma iù generale er un legame lineare fra le comonenti di sforzo e deformazione è riortata in Eq.. 7, che sfrutta la notazione vettoriale er il tensore di sforzo e deformazione. D Eq.. 7 Alicando l Eq.. 7, l energia di deformazione er unità di volume ha la seguente esressione: ij d Eq.. 8 D ij dd nmmn Dove con m e n si sono indicate le osizioni delle comonenti ij e ij nei vettori e nella notazione matriciale adottata. Quindi, considerando la notazione matriciale adottata in Eq.. 7, m / n è una comonente della matrice D, che uò essere indicata come D mn. L alicazione dell Eq.. 9 al legame elastico e lineare formalizzato in Eq.. 7 dimostra quindi che D mn = D nm e comorta, quindi, la simmetria della matrice D, che ha un numero massimo di elementi indiendenti ari a. Legame elastico er materiali isotroi l legame elastico esresso dall Eq.. 7 diende in generale dal sistema di riferimento in cui sono esresse le comonenti dei tensori di sforzo e deformazione. uttavia, l isotroia comorta che il legame non cambi al variare del sistema di riferimento stesso. L Eq.. 6, inoltre, stabilisce che, una volta nota l esressione dell energia di deformazione in funzione delle comonenti di deformazione, il legame elastico è comletamente determinato. Queste considerazioni comortano necessariamente che l energia di deformazione deve oter essere esressa in funzione degli invarianti del tensore di deformazione, che hanno esressione: tr det Eq.. 4 Poiché si è anche dimostrato, nel caso lineare, che l energia di deformazione è una forma quadratica delle comonenti ij, il terzo invariante non uò comarire e dovrà essere =(, ). noltre, affinché l esressione sia una forma quadratica, il rimo invariante dovrà necessariamente comarire al quadrato. L esressione dell energia di deformazione è dunque: L energia di deformazione risulta ertanto una forma quadratica delle comonenti del tensore di deformazione. La matrice D è una matrice di ordine 6 x 6, di comonenti. Poiché lo scalare d è un differenziale esatto, si ha: a b Eq.. Attraverso considerazioni uramente teoriche, dunque è dunque ossibile dimostrare che il legame elasticolineare, er un materiale isotroo, deve diendere da sole due costanti indiendenti. L Eq.. è riscritta

32 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA nella forma resentata in Eq.., dove e G sono note come costanti di Lamè: G G Eq.. dalle comonenti di deformazione deviatorica e che, in articolare: egs Eq.. 6 L alicazione dell Eq.. 6 alla forma di data in Eq.., conduce a definire il legame elastico nel seguente modo: G G G G G G Eq.. Se il sistema di riferimento utilizzato er esrimere le comonenti di sforzo e deformazione è quello delle direzioni rinciali del tensore di deformazione allora gli scorrimenti a taglio sono nulli, ij =. n base alle Eq.., anche gli sforzi di taglio sono nulli in tale sistema di riferimento: ij =. La terna è quindi rinciale anche er il tensore degli sforzi e le direzioni rinciali del tensore di deformazione e di sforzo coincidono. L esressione del legame elastico in funzione delle costanti di Lamè è utile er evidenziare che, in un materiale lineare elastico isotroo, si ha il disaccoiamento fra i legami di sforzo-deformazione idrostatici e deviatorici. nfatti, sommando le esressioni delle comonenti ad indici uguali nell Eq.. si ottiene: Dove K=+G è definito Bulk modulus del materiale. Considerando l Eq.. 4 è ossibile ottenere dalle Eq.., con alcuni assaggi, le seguenti esressioni: Eq.. 5 G G G Le costanti di Lamè non hanno un chiaro significato fisico e, nella ratica ingegneristica, si referisce esrimere il modulo elastico in funzione di grandezze definibili e misurabili in modo iù diretto. n articolare, è ossibile dimostrare che il modulo di GG GG GG Young, E, del materiale, definito nel ar..., ha la seguente esressione in funzione delle costanti di Lamè: G GE G Eq.. 7 l modulo di Young, a differenza delle costanti di Lamè, ha un chiaro significato fisico ed è immediatamente determinabile dalla curva sforzideformazioni. Un altra costante elastica che ha significato fisico ed è di facile identificazione serimentale è il coefficiente di contrazione trasversale (o di Poisson), v, definito nel.., come l oosto del raorto fra la deformazione trasversale e quella longitudinale nella rova di trazione. n funzione delle costanti di Lamè, risulta: v G Eq.. 8 Si osservi che anche la costante di Lamè G ha significato fisico oiché raresenta il modulo di G elasticità a taglio (o tangenziale) del materiale, come K Eq.. 4 indicato dalle Eq... l legame elastico è quindi tiicamente esresso in funzione di queste tre costanti E, v e G, che vengono talvolta definite costanti ingegneristiche. La matrice di rigidezza D, ottenuta considerando le Eq.., Eq.. 7 e Eq.. 8 assume la forma ve Ev Ev vv Ev ve Ev vv Ev Ev vv D Eq.. 9 vv vv vv vv ve vv vv G G G Dalla definizione delle comonenti del tensore di deformazione deviatorica, e, e del tensore di sforzo deviatorico, s, introdotte nei ar... e..5, l Eq.. 5 imlica che lo sforzo deviatorico diende solo Nella matrice D, tuttavia due sole sono le costanti elastiche indiendenti, oiché dalle Eq.. 7 e Eq.. 8 discende direttamente il legame:

33 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA E G v Eq.. La matrice D definisce comletamente il legame diretto sforzo-deformazione, ma il comortamento elastico del materiale è illustrato in modo iù chiaro dal legame inverso che indica, alicando uno stato di sforzo, la deformazione ottenuta. ale legame è caratterizzato dalla matrice di flessibilità, C, tale che: C DC Eq.. Nel legame elastico isotroico la matrice di flessibilità ha una forma articolarmente semlice, riortata in Eq... E v v C E Eq.. v v E E v EE v v E E G G G n base alle Eq.. e Eq.. si uò osservare che l alicazione di uno sforzo normale rovoca un allungamento nella direzione dello sforzo e delle contrazioni nelle direzioni trasversali. Si osservi anche che l esressione del legame diretto =E introdotta nel.. non è in generale valida, ma è secifica er il caso della trazione uniassiale. nfatti, se si considera la forma della matrice di cedevolezza, l alicazione di uno stato di sforzo comorta uno stato di deformazione caratterizzato da = = -v. Sotto tali condizioni, il legame diretto, caratterizzato dalla matrice D definita in Eq.. 9 diviene: Ev ve v vv Ev E v Ev v E vv Eq.. strutturale er le costruzioni aerosaziali. nfatti, la lasticità dei metalli è sfruttata er rodurre manufatti in una serie di rocessi tecnologici di grande interesse er l industria aerosaziale, ed è fondamentale individuare i livelli di sforzo necessari er rodurre le deformazioni lastiche. D altra arte, in ambito strutturale, le strutture devono, con ochissime eccezioni, rimanere in camo elastico in normali condizioni di utilizzo. La struttura di un veicolo aerosaziale è quindi dimensionata e rogettata in modo che il materiale rimanga entro i confini del camo elastico, che devono ertanto essere ben definiti. Come si è visto nel ar.., il confine tra il camo elastico e quello lastico è caratterizzato dal fenomeno dello snervamento. Si è anche osservato che non tutti i materiali resentano un unto di snervamento chiaramente identificabile dal comortamento macroscoico rilevato nella rova di trazione uniassiale. nfatti, nella maggior arte dei metalli di interesse aerosaziale, quali leghe di alluminio, titanio e acciai ad alta resistenza, l attivazione dei fenomeni di generazione e moto delle dislocazioni uò avvenire in modo graduale e il confine fra il comortamento elastico e quello lastico uò essere sfumato. La necessità di determinare un reciso confine, er ragioni sorattutto alicative, ha tuttavia ortato alla definizione di un limite di snervamento convenzionale (tiicamente individuato come il unto corrisondente allo sviluo di deformazioni lastiche di.%). l limite individuato nella rova di trazione uniassiale è comunque riferito ad un articolare stato di sforzo. Come si è visto nel Par...4, tale stato di sforzo è caratterizzato da un solo sforzo rinciale non nullo, con valore ari allo sforzo agente nella sezione trasversale del rovino. n generale, tuttavia, il materiale uò raggiungere il limite di snervamento in una generica condizione, caratterizzata da una combinazione qualsiasi delle comonenti del tensore degli sforzi. nfatti, assumendo un unto di vista microstrutturale, le condizioni er l attivazione del moto delle dislocazioni che rovocano lo sviluo della deformazione lastica, ossono verificarsi er stati di sforzo diversi che non ossono essere ricondotti al semlice stato di sforzo uniassiale. Poiché gli stati di sforzo che ortano allo snervamento del materiale sono raresentabili nello sazio a 6 dimensioni dalle comonenti cartesiane del tensore di sforzo, un aroccio uramente fenomenologico comorta la definizione di una suerficie nello sazio vv degli sforzi con esressione analitica f() tale che: vv f materiale in camo elastico f materiale in condizioni di snervamento Eq Criteri di snervamento Snervamento in stati di sforzo luriassiali l confine fra comortamento elastico e lastico è di articolare interesse sia in ambito tecnologico che n generale, qualunque esressione come f() che cerchi di redire lo stato di sforzo al quale avviene lo snervamento si definisce criterio di snervamento e la suerficie descritta nello sazio degli sforzi

34 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA dall equazione f() = è definita suerficie di snervamento. Per altri tii di materiale, che sono caratterizzati da rotture fragili senza sviluo di deformazioni lastiche, esressioni simili alla f() ossono essere definite criteri di rottura. Per la lasticità dei metalli, la conoscenza dei meccanismi fisici alla base del comortamento lastico e i risultati di numerose camagne di rove serimentali hanno storicamente ermesso di sviluare criteri di snervamento derivanti da considerazioni di carattere fisico. ali criteri sono basati sulla definizione di una grandezza indice del ericolo di snervamento, funzione delle comonenti del tensore degli sforzi o degli sforzi rinciali. Questa grandezza uò raresentare un articolare asetto dello stato di sforzo-deformazione (ad esemio il massimo sforzo rinciale, o il massimo sforzo di taglio o la massima deformazione rinciale, esressa in funzione degli sforzi attraverso il legame elastico) oure avere un significato energetico (ad esemio un livello di lavoro di deformazione oltre il quale si verifica lo snervamento). La grandezza, che avrà generica esressione F(), uò essere confrontata con il valore che essa assume allo snervamento,, che è da determinarsi er via serimentale. l criterio di snervamento assume la forma: F materiale in camo elastico F materiale in condizioni Eq.. 5 di snervamento Dalle Eq.. 4e Eq.. 5 deriva la relazione fra grandezza indice del ericolo e criterio di snervamento: Ff Eq.. 6 Un vantaggio imortante dell individuazione di una grandezza indice del ericolo che abbia significato fisico è la ossibilità di calibrare il criterio, cioè di individuare, con oche o al limite una sola rova serimentale, eliminando la necessità di eslorare il confine fra camo elastico e lastico nell intero sazio degli sforzi. unti cardine sui quali si è basata l elaborazione di adeguati e affidabili criteri di snervamento er i materiali elasto-lastici, e in articolare i er i metalli, sono i seguenti: Gli eserimenti hanno confermato che le deformazioni lastiche avvengono a volume costante; L aggiunta di uno stato di sforzo idrostatico a una qualsiasi condizione di sforzo non varia il limite di snervamento, anche er valori elevatissimi della ressione idrostatica alicata (negli eserimenti comiuti da Bridgman, negli anni 5, si usarono rovini immersi in una camera a ressione alicando fino a 5 atmosfere) l limite di snervamento in un materiale vergine è in generale uguale in trazione e comressione materiali metallici elasticamente isotroi hanno, in generale, un comortamento che uò essere arossimato come isotroo anche in camo lastico. rimi due unti, che si riferiscono a evidenze serimentali, sono in effetti intrinsecamente collegati oiché si è visto che, nel legame elastico, i legami sforzo-deformazione volumetrici e deviatorici sono disaccoiabili (Eq.. 4 e Eq.. 6). Non uò sorrendere, dunque, che l attivazione di un fenomeno caratterizzato dallo sviluo di deformazioni solo deviatoriche (a volume costante) sia influenzata solo dalle comonenti deviatoriche dello sforzo. L assunzione relativa ai materiali isotroi semlifica la definizione della grandezza indice del ericolo, oiché essa dovrà necessariamente diendere dagli invarianti del tensore degli sforzi o dagli sforzi rinciali (che sono anch essi invarianti). La grandezza indice del ericolo dienderà solo da tre variabili e il criterio di snervamento sarà raresentabile nello sazio tridimensionale degli sforzi rinciali. n conclusione, le evidenze serimentali e considerazioni teoriche conducono a considerare criteri e grandezze indice del ericolo che: siano esrimibili in funzione degli invarianti o degli sforzi rinciali; escludano l influenza degli stati di sforzo idrostatico; definiscano un limite di snervamento a trazione uguale a quello a comressione. Criteri di Guest-resca e Hubert-Hencky-Von Mises criteri di Guest-resca e di Hubert-Hencky-Von Mises sono i iù diffusi er la formalizzazione della suerficie di snervamento nei materiali metallici. Entrambi soddisfano i requisiti definiti alla fine della sezione recedente e ottengono buone correlazioni con i dati serimentali. l criterio di Guest-resca (o criterio di resca, formulato nel 864) definisce come grandezza indice del ericolo il massimo sforzo di taglio max. l criterio ha dunque la seguente esressione: max max Eq.. 7 materiale in camo elastico materiale in condizioni di snervamento l criterio di resca si adatta erfettamente a un idealizzazione che considera i fenomeni di generazione e moto delle dislocazioni originati dai soli sforzi di taglio. L esressione del massimo sforzo di taglio è data dall Eq.. 6, che è qui riortata: 4

35 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA n max max Eq.. 8, L Eq.. 8 conferma che la grandezza indice del ericolo diende unicamente dagli invarianti dello stato di sforzo. noltre, il valore del massimo taglio è indiendente dallo stato di sforzo idrostatico alicato (che aumenta della stessa quantità gli sforzi rinciali e non ha effetto sulle differenze a secondo membro della Eq.. 8). La grandezza indice del ericolo è infine invariante risetto al cambiamento di segno degli sforzi rinciali. requisiti elencati alla fine della recedente sezione sono quindi soddisfatti. Se si considera uno dei tre iani nello sazio degli sforzi rinciali, il criterio di resca definisce un confine di forma esagonale fra il camo elastico e quello lastico. nfatti, considerando il iano di equazione = considerato in Figura., due rette inclinate limitano la differenza fra e, nel secondo e quarto quadrante. noltre, nel rimo e nel terzo quadrante si ha < e < er limitare la differenza fra e = e fra e =. L individuazione della grandezza indice del ericolo,, uò essere eseguita mediante la rova di trazione uniassiale, dove lo stato di sforzo allo snervamento è caratterizzato da un unico valore di sforzo rinciale non nullo = Y e ertanto risulta: n max Eq.. 9 Y, - = Mises (9), mentre Hencky ne fornì l interretazione energetica. Formalmente, il criterio si esrime assumendo come grandezza indice del ericolo l invariante secondo del tensore di sforzo deviatorico, J, definito nel ar...5. J materiale in camo elastico J materiale in condizioni Eq.. 4 di snervamento dove J ha le esressioni riortate in Eq.. 4, già introdotte nell Eq.., in funzione delle comonenti del tensore di sforzo in assi cartesiani ed in assi rinciali: J 6 6 Eq.. 4 J è un invariante, non diende dalla ressione idrostatica e, essendo una forma quadratica delle comonenti di sforzo, non diende dal segno dello sforzo stesso. l criterio soddisfa quindi i requisiti esressi al termine della sezione recedente e ammette, inoltre, una significativa interretazione energetica. L interretazione si basa sulla scomosizione dell energia di deformazione in due contributi che si ottengono searando il lavoro comiuto dallo stato di sforzo er una deformazione deviatorica e er una deformazione volumetrica. l lavoro comiuto dal tensore di sforzo er la deformazione deviatorica è chiamato energia di distorsione, d. n assi rinciali er lo stato di sforzo e deformazione si ha: d eee Eq =- Figura. - Criterio di Guest-resca Ancora iù diffuso del criterio di resca è il criterio di Hubert-Hencky-Von Mises, noto come criterio di Von Mises. Anch esso soddisfa i requisiti elencati alla fine della recedente sezione ed è robabilmente, allo stato attuale, il criterio iù largamente utilizzato er la lasticità dei materiali metallici isotroi. E stato searatamente formulato da Huber (94) e da Von Poiché, in base all Eq.. 6, la deformazione deviatorica diende solo dallo sforzo deviatorico, si uò scrivere in, assi rinciali: e e G s s G e s G Eq.. 4 G G G ntroducendo l Eq.. 4 nella Eq.. 4 e considerando l esressione di J data nell Eq.. 4, è ossibile dimostrare che: 5

36 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA d J 6 Eq.. 44 v,, s,, Eq.. 46,,,, sss L Eq.. 44 indica che la grandezza indice del ericolo utilizzata nel criterio di Hubert-Hencky-Von Mises è l energia di distorsione, cioè il lavoro er unità di suerficie comiuto er la variazione di forma del continuo. v =,, v s =s, s, s Le comonenti di v s sono gli sforzi deviatorici rinciali. uttavia, anche l invariante secondo J uò essere esresso in funzione degli sforzi rinciali nella articolare forma riortata in Eq... l modulo del vettore v S, quindi, è legato al valore dell invariante J : Eq.. 47 s sssj v u l criterio di Hubert-Hencky-Von Mises comorta J affinché il materiale rimanga in camo elastico. Graficamente tale condizione si riflette su un limite er il modulo dei vettori v s, giacenti sui iani deviatorici con origine nella trisettrice del rimo ottante: v Figura.4 - Scomosizione dello stato di sforzo nello sazio degli sforzi rinciali J v Eq.. 48 La suerficie di snervamento di Von Mises è dunque un cilindro a base circolare con asse arallelo all asse degli sforzi idrostatici. La suerficie di snervamento definita dal criterio di Hubert-Hencky-Von Mises è raresentabile nello sazio degli sforzi rinciali come mostrato in Figura.4. Si consideri la trisettrice del rimo ottante dello sazio dove = = ed i iani erendicolari a tale trisettrice, che sono chiamati iani deviatorici o iani ottaedrali. Sulla trisettrice lo sforzo devia torico è nullo e, er tale motivo, tale retta si chiama asse degli sforzi idrostatici. Sia v un vettore che raresenta un generico stato di sforzo,, nello sazio degli sforzi rinciali. Poiché il versore u della trisettrice ha kr comonenti /,/,/, la roiezione di v sulla trisettrice ha modulo: v Eq.. 45 Sottraendo dal generico stato di sforzo la sua roiezione, si ottiene il vettore v s, che giace sul iano deviatorico, mostrato in Figura.4, che ha esressione: Figura.5 - Suerficie di snervamento di Hubert-Hencky-Von Mises La determinazione del valore limite con cui confrontare la grandezza indice del ericolo J uò avvenire, come nel criterio di resca, mediante il confronto con la rova di trazione uniassiale. n corrisondenza dello sforzo di snervamento Y, dove il materiale si trova sulla suerficie di snervamento e J =, si ha: 6

37 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA J Y Y Eq.. 49 L esressione in funzione di Y conduce ad esressioni alternative del criterio di Hubert-Hencky- Von Mises, che sono sesso utilizzate nella ratica ingegneristica. ali esressioni definiscono uno sforzo equivalente, detto anche sforzo di Von Mises, eq da confrontare direttamente con il valore di Y. Le Eq.. 5 e Eq.. 5 definiscono l esressione degli sforzi di Von Mises risettivamente in funzione degli sforzi rinciali e delle comonenti di sforzo in generici assi cartesiani: eq J Eq.. 5 Eq.. 54 Y ale ellisse è l intersezione sul iano del cilindro raffigurato in Figura.5 e uò essere confrontata con il confine di forma esagonale individuato dal criterio di Guest-resca. L ellisse di Hubert-Hencky-Von Mises contiene l esagono di Guest-resca. Per uno stato di uro taglio, con unica comonente di sforzo non nulla in assi cartesiani, il valore di taglio corrisondente allo snervamento è, er l Eq.. 5, ari a Y /, mentre nel criterio di resca, er l Eq.. 9, è ari a Y /. La differenza è evidenziata in Figura.6, che riorta la retta =-, corrisondente ad una condizione di uro taglio. Si uò anche osservare come, nel criterio di Hubert-Hencky- Von Mises, sia necessario alicare uno sforzo con modulo maggiore di Y er snervare il materiale in stato di sforzo di trazione biassiale ( > e > ) o, equivalentemente, di comressione biassiale ( < e < ). Y Si osservi che, in base alla definizione riortata in Eq.., lo sforzo equivalente è legato al modulo del vettore che raresenta il deviatore degli sforzi. nfatti, risulta: Y Y eq Eq..5 ss sssj Nella rova di trazione monoassiale, dove l unico sforzo rinciale non nullo è lo sforzo alicato,, l esressione dello sforzo equivalente si riduce a: eq J Eq..5 l criterio di Hubert-Hencky-Von Mises, con la definizione di sforzo equivalente, diventa: eq Y Eq.. 5 Y = - Figura.6 - Confronto qualitativo fra i criteri di Guest-resca e Hubert-Hencky-Von Mises criteri di Guest-resca e di Hubert-Hencky-Von Mises sono stati sottoosti a numerose verifiche serimentali. Nel 9 aylor and Quinney usarono tubi a sezione circolare sottoosti a trazione e torsione realizzati in rame, acciaio dolce e aluminio. Le rove ermettono di indurre uno stato di sforzo caratterizzato da una comonente assiale, in direzione del tubo, e di taglio, in direzione circonferenziale.le combinazioni in corrisondenza dello snervamento sono riortate in Figura.7 nel un iano - e confrontate con i criteri di resca e Von Mises. Nel iano di equazione =, il criterio definisce una curva di snervamento raresentata da un ellisse di equazione: 7

38 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA f()=f()-, e che, come si è visto nel.4., uò essere messo in funzione del limite di snervamento Y misurato nella rova di trazione uniassiale del materiale. Ridefinendo oortunamente la grandezza indice del ericolo è ossibile ottenere la seguente forma generale: Y Ff Eq.. 55 Figura.7 - Verifica dei criteri di snervamento (aylor and Quinney, 9) risultati riortati in Figura.8 sono invece riferiti a rovini intagliati di alluminio uro. l iano raresentato in è un articolare iano deviatorico, che assa er l origine degli assi e corrisonde quindi a uno stato di sforzo idrostatico nullo. L esagono di Guest- resca e il cerchio di Hubert-Hencky-Von Mises sono raresentati e confrontati con i dati serimentali Nell Eq.. 55 il limite di snervamento è stato indicato con Y er sottolineare che esso si riferisce al caso di materiale vergine, non ancora incrudito. nfatti, considerando er semlicità il caso uniassiale illustrato in Figura.9, è ossibile osservare che il dominio di snervamento er un materiale incrudente non è fisso, ma varia con la storia di carico. Figura.8 - Verifica dei criteri di snervamento (Lianis and Ford, 957) Entrambi gli studi indicano una maggiore correlazione del criterio Hubert-Hencky-Von Mises con i dati serimentali. l criterio di resca, come d altra arte già evidente dalla Figura.6, redice, in generale, livelli di sforzo di snervamento minori di quelli reali ed è, di conseguenza, iù conservativo..4. Funzioni di snervamento e incrudimento Gli asetti essenziali del comortamento elastolastico, sintetizzati nei unti elencati al ar..4, includono la variazione del limite di snervamento er effetto dei fenomeni di incrudimento e la necessità di registrare la storia di carico er definire lo stato del materiale. l criterio di snervamento f() =, introdotto al ar..4., ermette di definire un dominio di snervamento nello sazio degli sforzi dove f()< e il materiale ha comartimento elastico. Si ricordi che, er l Eq.. 6, il criterio di snervamento uò esrimersi come 8 Variazione del dominio di snervamento Figura.9 - Variazione del dominio di snervamento er un materiale incrudente n generale, è ossibile tenere conto di questo definendo una funzione di snervamento,, che estende il concetto di criterio di snervamento e ne considera l evoluzione con la storia:, storia in camo elastico, storia in condizioni di snervamento Eq.. 56 L evoluzione del confine elastico uò essere descritta, in generale, da una serie di arametri i, detti arametri di incrudimento o variabili interne. Si osservi, er inciso, che in un materiale elasticoerfettamente lastico il domino di snervamento è fisso e la funzione non resenta diendenza dai arametri di incrudimento. Una rima ossibilità di variazione del dominio di snervamento nel caso uniassiale è quella descritta da un

39 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA aumento del limite di snervamento sia a trazione che a comressione, come esemlificato in Figura.4. La funzione h delle variabili interne i descrive l aumento del limite di snervamento risetto al limite originale Y. Nel caso del criterio di Hubert-Hencky- Von Mises, esresso nella forma dell Eq.. 5 nelle comonenti del tensore di sforzo in assi cartesiani si ha:, storia Y i h Figura.4 - ncrudimento isotroo nel caso uniassiale n questo tio di comortamento il dominio di snervamento si esande, nel assaggio da A a B a C, in assenza di effetto Bauschinger (cfr. ar...5). L estensione al caso luriassiale revede un esansione del dominio di snervamento, identica in tutte le direzioni, mostrata in Figura.4. Per tale ragione, questo tio di comortamento è definito incrudimento isotroo. Y () A < B < C < A Y () B C A B C Y () Eq.. 58 La forma finora attribuita alle variabili interne, i, è del tutto generale. n realtà, nella teoria classica della lasticità, si considerano due ossibili alternative che consentono, entrambe, di utilizzare una sola variabile interna er definire comletamente l incrudimento isotroo. Entrambe le alternative comortano la conoscenza delle deformazioni lastiche irreversibili sviluate nel corso della storia di carico. ali deformazioni, nel caso luriassiale, saranno descritte da un vettore e si evolveranno er incrementi infinitesimi d. Una rima ossibilità si basa sull assunzione che l incrudimento, definito dalla funzione h dienda da una deformazione lastica equivalente, P eq, che ha esressione: eq d Eq.. 59 d eq dd L invarianza del volume durante il rocesso di deformazione lastica e, conseguentemente il valore di.5 del coefficiente di Poisson in camo lastico (dimostrato in Eq..) ermettono di dimostrare che, in una rova di trazione monoassiale, l incremento di deformazione lastica equivalente è uguale alla deformazione lastica nella direzione dello sforzo alicato. nfatti, assumendo che la direzione di alicazione dello sforzo sia x, risulta: Figura.4 - ncrudimento isotroo nel caso luriassiale La forma che la funzione di snervamento assume er descrivere l incrudimento isotroo è la seguente: Y, storia i h i Eq.. 57 Y () d eq d Eq..6 xx xx Fhf xx yy d xx ddd zz d xxx dd xx l comortamento di un materiale lastico in cui l incrudimento è descritto da una funzione h=h( P eq) è detto strain hardening. Come indicato in Eq.. 59, la 9

40 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA deformazione lastica equivalente P eq raresenta una misura del modulo del vettore delle deformazioni lastiche nello sazio delle deformazioni. Pertanto, nello strain hardening, la sola informazione necessaria a definire l incremento di sforzo necessario er lo sviluo di nuove deformazioni lastiche consiste nel modulo delle deformazioni lastiche già sviluate, indiendentemente dalla direzione di sviluo. E ossibile definire un incrudimento lineare in cui la funzione di incrudimento abbia la forma h( P eq) =H P eq. n una definizione alternativa, la variabile interna storica è raresentata dal lavoro lastico comiuto durante la storia di carico del materiale: A < C < B < A B C l Eq.. 6 d n questo caso, semre caratterizzato dall utilizzo di una singola variabile interna, la funzione di incrudimento è h= h(l ) e il materiale ha comortamento work hardening. due tii di incrudimento, strain e work hardening ossono essere del tutto equivalenti, se le leggi che regolano lo siluo delle deformazioni lastiche hanno forme oortune. L incrudimento isotroo non esaurisce le ossibili trasformazioni del dominio di snervamento e non siega, ad esemio, l effetto Bauschinger rilevato serimentalmente in molti metalli. Un'altra tiologia di incrudimento revede un dominio di snervamento che non si esande, ma che si sosta nello sazio degli sforzi nella direzione in cui il materiale è sollecitato. Questo tio di comortamento è detto incrudimento cinematico (Prager 955) e, nel caso uniassiale è schematizzato in Figura.4. Nel caso luriassiale, l incrudimento cinematico è modellabile considerando un dominio di snervamento che non cambia forma, ma si sosta traslando nel iano degli sforzi. E tuttavia necessario definire, in questo caso, in che direzione il dominio trasla una volta che lo stato di sforzo giunge ai suoi confini. La Figura.4 mostra il modello di incrudimento cinematico roosto originariamente da Prager in cui la direzione di traslazione è normale alla suerficie di snervamento. L entità della traslazione è data dal modulo del vettore g funzione delle variabili interne i. Si osservi che il centro della suerficie di snervamento, originariamente in = (er la simmetria del comortamento lastico iniziale) si sosta in uno stato di sforzo definito da g( i ). comonenti dello stato di sforzo g( i ) sono definiti, con termine anglosassone, backstresses. La Figura.44 si riferisce ad un modello alternativo a quello di Prager, roosto da Ziegler, in cui il dominio di snervamento subisce una traslazione nella direzione radiale definita dal vettore che congiunge lo stato di sforzo raggiunto al centro della suerficie di snervamento. Figura.4 - ncrudimento cinematico nel caso uniassiale Figura.4 - ncrudimento cinematico nel caso luriassiale: modello di Prager Figura.44 - ncrudimento cinematico nel caso luriassiale: modello di Ziegler La forma assunta dalla funzione di snervamento er l incrudimento cinematico è del seguente tio: Y, storia f g F g Eq.. 6 A g( i ) i g B A B g( i ) i 4

41 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Nel caso dell incrudimento cinematico, quindi, l alicazione del criterio di Von Mises orta alla seguente definizione della funzione di snervamento:,storia g i g i g i g i g i g i g i g i g i g i Y g g Eq.. 6 i Nell iotesi di comortamento strain hardening il vettore g è esresso in funzione delle comonenti della deformazione lastica. La forma lineare dell incrudimento cinematico è sesso utilizzata er semlificare i modelli elasto-lastici. n tale forma: g i G Eq.. 64 dove [G] è una matrice di costanti. E da osservare che né i modelli isotroici né quelli cinematici descritti definiscono esattamente il reale incrudimento del materiale. Essi raresentano idealizzazioni che ossono avvicinarsi al reale comortamento del materiale, in articolare se il ercorso di carico non subisce inversioni o drastici cambiamenti. modelli iù comleti er descrivere il comortamento del materiale er stati di sforzo luriassiali revedono un incrudimento di tio misto, isotroo e cinematico, dove la funzione di snervamento ha la forma: Y storia F g h i Eq.. 65, i Un esemio di questo tio è una funzione di snervamento alla Von Mises integrata da un modello di incrudimento misto, ma comletamente lineare che revede la determinazione di arametri er la definizione del modello di materiale ( Y, g, H). n assi cartesiani la funzione di snervamento assume la forma:,storia c c c c c c c c c c c gc h Eq Sviluo di deformazioni lastiche Problemi elasto-lastici e natura incrementale del legame costitutivo L alicazione del legame elastico e di una funzione di snervamento er il materiale non sono sufficienti a descriverne il comortamento elasto-lastico se non è ossibile determinare le deformazioni lastiche sviluate nella storia di carico del materiale. Nell ambito della teoria classica della lasticità, la i determinazione della risosta costitutiva elasto-lastica di un materiale sfrutta la ossibilità di decomorre, nell iotesi di deformazioni infinitesime, la deformazione totale in una arte elastica ed una lastica, come già descritto nel caso uniassiale, al ar.... La decomosizione, già introdotta dall Eq.. 9 del ar..., è estesa al caso luriassiale dall Eq..67: e Eq..67 Grazie a tale decomosizione, introducendo la matrice di rigidezza elastica [D] definita nel ar..4. è ossibile scrivere il legame elastico nel seguente modo: e Eq.. 68 DD Se, assegnate le deformazioni totali, le deformazioni lastiche sono note, è ossibile determinare lo stato di sforzo grazie all Eq D altra arte, invertendo il legame esresso dall Eq.. 68 e introducendo la matrice di cedevolezza [C], si uò osservare come, assegnati gli sforzi, è ossibile calcolare lo stato di deformazione totale se sono note le deformazioni lastiche. C Eq.. 69 n generale, quindi, la determinazione del comortamento elasto-lastico del materiale si uò ridurre alla soluzione di due tiologie di roblemi: - un roblema elasto-lastico diretto, dove sono assegnati gli sforzi ed occorre conoscere le deformazioni lastiche er calcolare le deformazioni totali. - un roblema elasto-lastico inverso, dove sono assegnate le deformazioni totali e vanno calcolate le deformazioni lastiche er determinare gli Y eq sforzi. 4 l calcolo delle deformazioni lastiche assume quindi un ruolo centrale nella teoria della lasticità. uttavia, tale calcolo non uò avvenire attraverso un legame univocamente definito fra i valori di sforzo e di

42 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA deformazione lastica. Si è visto, al termine del ar...5, che il legame sforzo-deformazione, in camo lastico, non uò essere determinato senza seguire la storia del materiale e, nel aragrafo.4. si è formalizzato come le funzioni di snervamento variano in funzione delle variabili interne i, anch esse diendenti dalla storia del materiale. Pertanto: - assegnato uno sforzo non è ossible conoscere e di conseguenza senza conoscere la storia del materiale; - assegnata una deformazione non è ossibile distinguere la arte lastica, senza conoscere la storia del materiale. Queste considerazioni indicano che il legame sforzodeformazioni in camo lastico dovrà essere oortunamente osto in forma incrementale. Le relazioni fra sforzo e deformazione saranno delle equazioni differenziali che ermetteranno, noto un incremento infinitesimo d di determinare l incremento di deformazione lastica d e l incremento di deformazione totale d. Analogamente le relazioni incrementali ermetteranno di individuare i legami inversi. Un modo er formalizzare la natura incrementale del legame è considerare un temo, non fisico, che ermetta di riconoscere la sequenza degli eventi nella storia di carico del materiale. ale temo è detto temo ordinativo e non comorta la necessità di considerare il fenomeno dal unto di vista dinamico. fenomeni sono quindi semre studiati staticamente, come successione di stati di equilibrio, ma è ossibile ricorrere alle derivate delle quantità, o risetto al temo ordinativo er formalizzare il legame incrementale. Si avranno dunque legami nella forma: d d oure d d Eq..7 Le Eq..7 ossono essere considerate come equazioni differenziali che, note le condizioni iniziali, ed assegnate delle storie di carico o deformazione nel temo ordinativo, () o (), ossono venire integrate er risolvere roblemi elasto-lastici diretti o inversi. L integrazione non uò erò essere esressa in forma chiusa erché, in corrisondenza della suerficie di snervamento, la direzione degli incrementi di carico dovrà essere discussa, con disequazioni, er determinare se ci si trova in condizioni di carico (con sviluo di deformazioni lastiche) o di scarico (con conseguente comortamento elastico). L integrazione dovrà quindi avvenire asso-asso e l intero roblema esresso in forma incrementale. La decomosizione delle deformazioni e la formalizzazione del legame elastico diretto o inverso a livello incrementale è formalizzata nelle Eq..7: D C e Eq..7 Come si uò osservare dalle Eq..7, anche a livello incrementale, è necessario, er risolvere il roblema, conoscere lo sviluo delle deformazioni lastiche er un incremento assegnato di sforzo o deformazione. Potenziale lastico e condizioni er lo sviluo di deformazioni lastiche Le deformazioni lastiche si sviluano quando lo stato di sforzo raggiunge il limite di snervamento. E quindi naturale cercare di esrimere un legame fra i valori di sforzo alicati e l entità e la direzione delle deformazioni lastiche sviluate. Sebbene storicamente siano state rooste diverse teorie er legare lo sviluo delle deformazioni lastiche agli incrementi di sforzo, una formulazione del tutto generale, che fa uso del concetto di otenziale lastico, fu roosta da Von Mises nel 98. La formulazione comorta che gli incrementi di deformazione lastica, siano roorzionali alle derivate di uno scalare, Q, funzione delle comonenti di sforzo. Nello sazio degli sforzi, ciò imlica una roorzionalità fra il vettore degli incrementi di deformazione lastica e il gradiente dello scalare Q. Quindi, il vettore degli incrementi di deformazione lastica non ha comonenti nelle direzioni in cui Q non varia ed è ertanto erendicolare alle suerfici sulle quali Q è costante. Q(,, ) = cost Figura.45 - Sviluo delle deformazioni lastiche erendicolarmente alle suerfici iso-otenziale Come si uò desumere dalla Figura.45, la secifica forma della funzione Q() fornisce la direzione nella quale si sviluano le deformazione lastiche a artire da un determinato stato di sforzo. 4

43 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA L entità delle deformazioni è data dal modulo del vettore che è determinato da un fattore di roorzionalità. ale fattore è indicato con il simbolo ed è chiamato moltilicatore lastico. Formalmente, in notazione matriciale, si ha ertanto: Q Eq..7 L Eq..7 è definita legge di flusso (flow rule) e indica che, con l introduzione del otenziale lastico, il roblema elasto-lastico si riduce alla determinazione di, come è ossibile osservare dagli schemi resentati in Figura.46. l moltilicatore lastico deve essere semre non negativo,, ma le deformazioni lastiche ossono sviluarsi solo sotto determinate condizioni. La discussione delle condizioni che comortano è arte integrante della teoria della lasticità. Una rima condizione revede che le deformazioni lastiche ossano sviluarsi solo se lo stato di sforzo si trova ai confini del dominio di snervamento, cioè sulla suerficie di snervamento di equazione: storia,, i Eq..7 ercorso sforzi-deformazioni segua la curva di scarico elastico. Per formalizzare questa ossibile alternativa nel generico stato di sforzo luriassiale va osservato che lo stato di sforzo deve semre necessariamente essere all interno o al confine del dominio di snervamento. ale osservazione deriva direttamente dalla considerazioni svolte nel ar.. e arofondite nel ar..4.. Quando la condizione di snervamento viene raggiunta, il livello di sforzo uò aumentare ma ciò comorta una esansione (incrudimento isotroo) od una traslazione (incrudimento cinematico) del dominio di snervamento tale che:, storia, Eq..74 i Non sono quindi ammessi valori ositivi er la funzione di snervamento. Ne consegue che, se lo stato di sforzo è ai confini del dominio di snervamento, gli sforzi e le variabili interne (cioè i arametri di incrudimento i ) devono variare in modo tale che l incremento di risulti non ositivo. Questa condizione è formalizzata in Eq..75. se i Eq..75, i i Noti :,, in Assegnato Figura.46 - Schemi er la risoluzione dei roblemi elasto-lastici diretti e inversi La condizione sul segno di ammette solo due ossibilità: se è negativo, il materiale si scarica elasticamente, mentre se è nullo sono ossibili deformazioni lastiche. La Figura.47 riassume la discussione sui segni di e di che ermette di dedurre le condizioni er un valore ositivo del moltilicatore lastico. E ossibile osservare che solo quando = e = si ha >. Formalmente è ossibile definire una condizione, chiamata di comlementarietà, che riassume le condizioni necessarie er lo sviluo di deformazioni D lastiche: C Eq..76 +d, +d, +d in +d Assegnato Come è facilmente intuibile dal caso monodimensionale, la condizione formalizzata in Eq..7 non è sufficiente a garantire lo sviluo di deformazioni lastiche, oiché è anche ossibile che il 4

44 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA S, i NO Materiale stabile secondo Drucker Materiale instabile secondo Drucker Camo elastico Stato di sforzo sulla su. di snervamento, i Scarico elastico S Sviluo deformazioni lastiche Figura.47 - Possibili alternative nel legame costitutivo elasto-lastico Posutlato di Drucker e lasticità associata NO La trattazione recedente è valida er una forma qualsiasi del otenziale lastico Q che definisce la direzione di sviluo delle deformazioni lastiche. La forma di Q diende dai tii di materiali considerati, ma è ossibile fare una imortante distinzione sulla base della definizione di stabilità di un materiale secondo il ostulato di Drucker. l ostulato considera un ciclo chiuso nello sazio degli sforzi, a artire da un stato di sforzo re-esistente. Un materiale si dice stabile secondo Drucker se il lavoro di deformazione, comiuto nel corso del ciclo chiuso, è non negativo. Si consideri, er semlicità, un caso monodimensionale, con un ciclo comiuto a artire da uno stato di sforzo re-esistente sulla suerficie di snervamento. l ciclo considerato consiste di un incremento infinitesimo di sforzo,, che avviene con sviluo di deformazioni lastiche seguito da un incremento di carico oosto fino al livello di sforzo di artenza, come descritto nella Figura.48. O Figura.48- Materiali stabili e instabili secondo il ostulato di Drucker Poiché il lavoro comiuto er deformare elasticamente il materiale è interamente restituito, il lavoro netto comiuto dal ciclo è solo quello svolto, durante il rimo incremento di carico, er lo sviluo delle deformazioni lastiche. Per il ciclo considerato, quindi il ostulato di Drucker comorta >. Si osservi che, se il comortamento del materiale revede una diminuzione dello sforzo er lo sviluo di deformazioni lastiche (come nella curva rirodotta in Figura.48 oltre la linea tratteggiata), il ostulato di Drucker non uò iù essere soddisfatto, oiché si ha er. Con questo tio di comortamento il materiale si dice strain softening e non è stabile secondo Drucker. L imortanza del ostulato di Drucker sta in alcune conseguenze della stabilità, che non verranno er brevità dimostrate, e che ossono riassumersi nei seguenti unti: i. Se il materiale è stabile secondo Drucker il suo dominio di snervamento è convesso, cioè contiene l intero segmento che congiunge due qualsiasi unti scelti al suo interno (convessità). ii. Se il materiale è stabile secondo Drucker, le deformazioni lastiche devono sviluarsi in direzione normale alla suerficie di snervamento (normalità). La condizione di normalità si traduce direttamente in un vincolo sulla forma del otenziale lastico, che, in base all Eq..7, determina la direzione di sviluo delle deformazioni lastiche. Se tale direzione deve essere, come conseguenza della stabilità del materiale, normale alla suerficie di snervamento, ne consegue che i materiali stabili secondo Drucker ammettono, come otenziale lastico, la funzione di snervamento. La legge di flusso che governa lo sviluo delle deformazioni lastiche er materiali stabili secondo Drucker è ertanto: 44

45 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA Eq..77 Nei materiali stabili secondo Drucker, quindi il otenziale lastico è associato alla funzione di snervamento. La legge di lasticità ottenuta in questo caso si dice associata ed è caratterizzata dalla condizione Q =. Si osservi che l alicazione di una legge di lasticità associata conduce a buoni risultati nel caso di materiali metallici ma non è, in generale, una regola inderogabile. Alcuni tii di materiale, che ammettono comortamento lastico, sono descritti meglio da una legge di lasticità non associata. Per quanto enunciato in questo aragrafo, tuttavia, tali materiali non ossono essere considerati stabili secondo Drucker..4.5 Soluzioni di roblemi elasto-lastici in lasticità associata L individuazione della funzione di snervamento introdotta dall Eq.. 56, la legge di normalità, esressa dall Eq..77, unitamente alla condizione di comlementarietà, formalizzata in Eq..76, ed alle relazioni che descrivono il legame elastico in forma incrementale, riassunte in Eq..7, consentono la risoluzione dei roblemi elasto-lastici. Per esemlificare la rocedura, e fornire soluzioni in forma chiusa er alcuni casi articolari, si considerino innanzitutto casi monodimensionali. Si renda in esame un comortamento elasto-lastico con incrudimento isotroo lineare, raresentato in Figura.49. H La funzione di snervamento er tale materiale, in ambito monoassiale, uò essere formulata nel modo seguente: Eq..78 Y eq H dove la variabile di incrudimento, eq, equivale, in regime monodimensionale, al modulo della deformazione lastica: eq Eq..79 La legge di normalità comorta: sgn Eq..8 La comlementarietà imlica che lo sviluo di deformazioni lastiche, con >, sia ossibile solo se =. Quindi: sgn Eq..8 eq H eq eq L Eq..8, che lega lo sviluo della deformazione lastica al moltilicatore lastico, fornisce la relazione fra il arametro di incrudimento e che, er definizione, è semre ositivo: sgn Eq..8 eq A < B < C < A B C Considerando il risultato in Eq..8, l Eq..8 consente di determinare il moltilicatore lastico : sgn H eq sgn H sgn Eq..8 H Figura.49 Comortamento elasto-lastico con incrudimento isotroo lineare Si osservi che, affinché vi sia sviluo di deformazioni lastiche e debbono avere lo stesso segno ed il moltilicatore risulta semre ositivo. Sostituendo l Eq..8 nella Eq..8 si ottiene: 45

46 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA sgn sgn HH Eq..84 Una forma oortuna er la funzione di snervamento è raresentata Eq..87 Nel caso di roblema elasto-lastico diretto, è richiesto il calcolo dell incremento di deformazione, una volta assegnato l incremento di sforzo. Alicando il legame elastico inverso e introducendo il risultato ottenuto nell Eq..84, l esressione di è immediatamente calcolata: E HE Eq..85 Si osservi che, nel caso di lasticità erfetta, H= e la soluzione non esiste a meno di ammettere =. n questo caso la soluzione è indeterminata. Se il roblema elasto-lastico è inverso, cioè se è assegnato l incremento di deformazione totale,, l alicazione del legame elastico e dell Eq..84, consente di ottenere l incremento di sforzo. nfatti: G Eq..87 Y dove la variabile di incrudimento è raresentata dalla deformazione lastica. La legge di normalità comorta: E E Sebbene in questo caso la condizione di H comlementarietà consenta di determinare direttamente HE l incremento di deformazione lastica,, è ossibile EH seguire un rocedimento analogo al recedente, Eq..86 mettendo innanzitutto in relazione l incremento di variabile di incrudimento (che in questo caso è identico l valore HE/(H+E) è detto modulo di rigidezza a ) con il moltilicatore lastico attraverso l Eq. tangente del materiale. l caso di lasticità erfetta, con.88. L esressione di in funzione di si H=, ammette semre soluzione er il roblema sostituisce nella Eq..89, ottenendo: inverso. Semre rimanendo nell ambito della lasticità monodimensionale è ossibile formalizzare la soluzione dei roblemi elasto-lastici anche nel caso di G GG incrudimento cinematico lineare, come quello G GGG raresentato in Figura.5. Eq..9 G Eq..88 monendo = si ottiene: G GG Eq..89 B < C < G Da cui si ottiene: G G Eq..9 A < Sostituendo l esressione di nella legge di normalità, si ottiene la legge di sviluo delle deformazioni lastiche: A B C G G G G G Eq..9 Figura.5 - Comortamento elasto-lastico con incrudimento cinematico lineare 46

47 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA l risultato ottenuto conduce alle seguenti soluzioni er il roblema elasto-lastico diretto e inverso, analoghe a quelle ricavate er l incrudimento isotroo. E GE Eq..9 GE EG Eq..94 Le soluzioni riortate in Eq..84, Eq..85, Eq..9e Eq..94 sono in forma incrementale e sono valide solo se il = e =. Esse ossono essere integrate se è assegnata una storia di carico o di deformazione. risultati ottenuti sono, in effetti, banali, oiché il caso della lasticità monodimensionale è molto semlice. Si osservi, infatti, che i risultati nel caso H isotroo e G nel caso cinematico, otevano essere intuitivamente dedotti dalle funzioni di snervamento fornite, risettivamente, in Eq..78 e Eq..87. Dalla forma delle funzioni, infatti, è immediato dedurre che un incremento di deformazione lastica orta a un incremento di sforzo di snervamento roorzionale a H e G nei due casi. uttavia, le rocedure seguite negli esemi recedenti in ambito monodimensionale sono alla base della soluzione dei roblemi elasto-lastici in stati di sforzo luriassiali molto iù comlessi. Per ottenere una soluzione in forma chiusa si considererà il caso di una funzione di snervamento con incrudimento cinematico e isotroo lineare. F Eq..97 F HG dove i vettori / e / contengono le derivate della funzione scalare risetto alle comonenti dello sforzo e della deformazione lastica. La legge di normalità, Eq..77, uò essere utilizzata er esrimere l incremento di deformazione lastica in funzione del moltilicatore degli sforzi lastici: F F F F G H Si osservi che, qualora si fosse utilizzata un altra misura del modulo delle deformazioni lastiche er esrimere l incrudimento isotroo, la legge di normalità ermette, in linea di rinciio, di esrimere tale misura in funzione di e delle derivate della funzione di snervamento. Quindi, dalla condizione = si ricava : F F F G H Eq..98 Y, storia F H Eq..95 G Le variabili di incrudimento in questa funzione sono le comonenti del vettore di deformazione lastica (er la arte cinematica) e il moltilicatore degli sforzi lastici, er la arte isotroa, che raresenta una misura del modulo del vettore di deformazione lastica. Considerando il roblema diretto, con sforzi assegnati, occorre in rimo luogo valutare se < e, qualora sia = risulti <. n entrambi i casi il comortamento è elastico e risulta: C Eq..96 Se invece = e =, occorre imorre: La decomosizione addittiva delle deformazioni elastiche e lastiche ed il legame elastico, consentono di ottenere la soluzione del legame in forma chiusa: C C F FF C F F G H Eq..99 La matrice che moltilica l incremento di sforzo nella Eq..99 è detta matrice di cedevolezza tangente del materiale. La rocedura er risolvere il roblema inverso è analoga. Se < o se, qualora sia = risulti <, allora il comortamento è elastico: D Eq.. 47

48 ECNOLOGE E MAERAL AEROSPAZAL CAP. LA LEGGE COSUVA ELASO-PLASCA n caso contrario, imonendo <, si ottiene ancora l Eq..97, che contiene, oltre alle incognite e, anche l incognita vettoriale che, nel roblema inverso, non è assegnata. La decomosizione addittiva delle deformazioni elastiche e lastiche ed il legame elastico, ossono tuttavia essere sfruttate er ottenere in funzione di ed : D F F D D F Eq.., che è assegnato nel roblema HG dove la matrice che moltilica l incremento di deformazione assegnato,, rende il nome di matrice di rigidezza tangente del materiale. Bibliografia AAVV, Manuale dei materiali er l ingegneria, a cura di AMA, McGraw-Hill Libri talia, 996 Corradi L., Meccanica delle Strutture, Vol., Mc Graw-Hill, 99 Khan A.S., Huang S., Continuum theory of lasticity, John Wiley & Sons, nc, 995 Malvern L. E., ntroduction to the mechanics of a continuous medium, Prentice Hall, 969 Analogamente al caso recedente, l alicazione della legge di normalità, Eq..77, consente di esrimere tutte le quantità diendenti dalle deformazioni lastiche in funzione di e delle derivate della funzione di snervamento. F F Eq.. G D Meyers M. A., Dynamic Behavior of Materials, John Wiley & Sons, nc, 994, Mielnik E. M., Metalworking science and engineering, Mc-Graw-Hill., 99 F F F D F H L esressione del moltilicatore lastico si ottiene dall Eq..: F Eq.. F D FF D G H nfine, l alicazione del legame elastico ermette di esrimere l incremento di sforzo in forma chiusa: D D F FF D D D F FF D G H Eq..4 48