Francesco Graziotti. Alessandro Galasco Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura, Università di Pavia,Via Ferrata 3, Pavia

Transcript

1 Modello numerico semplificato ad un grado di libertà per l interpretazione del comportamento dinamico di strutture in muratura Requirements And Guidelines for Abstract and Papers (Title Francesco Graziotti ROSE May program, be Maximum UME School - Two IUSS Pavia, Rows via Ferrata if Needed), 7 Pavia. (Style: Paper Title) Guido Magenes, Andrea Penna Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura, Università di Pavia,Via Ferrata 3, 7 Pavia European Centre for Training and Research in Earthquake Engineering (EUCENTRE), Via Ferrata, 7 Pavia Alessandro Galasco Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura, Università di Pavia,Via Ferrata 3, 7 Pavia Keywords: muratura, analisi dinamica, modello semplificato, intensità spettrale ABSTRACT La valutazione della domanda di spostamento delle strutture in muratura soggette ad eventi sismici non è allo stato attuale un problema risolubile attraverso formulazioni dirette semplificate. Le cause sono essenzialmente ascrivibili a due fattori: il basso periodo proprio di tali strutture e la complessità dei cicli isteretici di risposta al sisma. Tali fattori complicano l'uso di spettri elastici ed anelastici per il calcolo della domanda di spostamento, non valendo il principio di uguaglianza degli spostamenti nei bassi periodi e non esistendo allo stato attuale soluzioni per il calcolo di spettri anelastici per sistemi con risposta isteretica tipica delle strutture in muratura. Lo scopo del lavoro è quello di sopperire a tale mancanza creando e validando uno strumento in grado di valutare la domanda di spostamento di strutture in muratura in modo affidabile e rapido. A questo scopo è stato sviluppato un sistema non lineare ad un singolo grado di libertà in grado di sintetizzare la risposta dinamica di un corrispondente modello completo rappresentativo di un intero edificio in muratura. I risultati di analisi dinamiche con accelerogrammi naturali effettuati su modelli ad un grado di libertà sono confrontati con i rispettivi output calcolati su modelli completi a più gradi di libertà con particolare attenzione alla correlazione con differenti misure di intensità. INTRODUZIONE La determinazione della domanda di spostamento strutturale è un essenziale passo dei moderni criteri di analisi sismica prestazionale; tale spostamento non è allo stato attuale calcolabile in modo semplice ed univoco per gli edifici in muratura. La risposta sismica dinamica di edifici in muratura può essere simulata mediante analisi non lineari a patto di disporre di un modello raffinato capace sia di cogliere i meccanismi principali di rottura sia di riprodurre in modo accettabile il degrado isteretico. La modellazione della risposta sismica degli edifici in muratura può essere efficacemente realizzata con modelli non lineari a telaio equivalente in grado di cogliere i meccanismi di danno fondamentali con una descrizione macroscopica del danno di immediata interpretazione. L obiettivo di questo lavoro è lo sviluppo di un modello numerico ad un solo grado di libertà in grado di interpretare in modo affidabile la risposta dinamica di un edificio in muratura soggetto ad azione sismica. Il notevole risparmio in termini di tempo computazionale agevola l uso di analisi dinamiche. Le analisi dinamiche semplificate possono essere usate per studi sulla dipendenza della domanda di spostamento da diversi parametri di scuotimento (ad es. Shome et al.,

2 998), per il calcolo di analisi dinamiche incrementali semplificate (ad es. Azarbakht e Dolšek, ) o per il calcolo della resistenza residua a seguito di sequenze sismiche (ad es. Luco et al., 4). MODELLO SEMPLIFICATO AD UN GRADO DI LIBERTA. Definizione del modello Al fine di eseguire analisi dinamiche nonlineari semplificate è stato creato un modello ad un solo grado di liberta (g.d.l.) che è in grado di rappresentare in modo sintetico la risposta sismica di un modello a più gradi di libertà di un edificio completo in muratura. Tale modello è composto da due macro-elementi in parallelo con comportamento non lineare tipico di pannelli murari, collegati in sommità da una biella rigida; tale necessità deriva dalla volontà di svincolare completamente le due rotture o più in generale i due comportamenti a taglio e a flessione/rocking agevolando così la calibrazione indipendente dei parametri. Le grandezze che governano il modello sono: la geometria di entrambi gli elementi, la loro compressione assiale, le caratteristiche meccaniche (in un elemento quelle correlate al meccanismo flessionale nell altro a quello di taglio) e la massa inerziale. L unico grado di libertà è la traslazione orizzontale della massa (concentrata in esso): sono impedite le rotazioni in sommità di entrambi gli elementi verticali. La Figura illustra uno schema semplificato del modello ad un singolo g.d.l.. Fh F E, f m, l, h, s Axial rigid link Figura. Schema del modello semplificato ad un grado di libertà. M F G, f v, µ l, h, s Il modello è stato creato con il software TREMURI (Galasco et al.,6; Lagomarsino et al.,3; Penna et al., 3) che è in grado di eseguire analisi nonlineari statiche (cicliche) e dinamiche.. Calibrazione del modello Il metodo per la creazione del sistema ad un g.d.l. equivalente prevede due passi di calibrazione: statica e dinamica. Entrambi sono da eseguirsi confrontando i risultati del sistema da calibrare con un modello a più gradi di libertà rappresentativo della struttura reale. Per questo motivo devono essere eseguite analisi statiche e dinamiche non lineari per mezzo di un programma di calcolo strutturale in grado fornire risultati attendibili per quanto riguarda l'interpretazione della risposta di pannelli murari in termini di deformazioni, resistenze e degrado (meccanismi di taglio e pressoflessione/rocking). L'attendibilità del modello a più gradi di libertà può essere incrementata utilizzando i dati di prove sperimentali per la calibrazione delle caratteristiche meccaniche dei vari componenti strutturali... Statica: analisi cicliche non lineari La prima calibrazione da eseguire prevede l utilizzo di analisi statiche non lineari. L obiettivo di tale calibrazione è ottenere un modello con un comportamento ciclico simile al modello a più gradi di libertà di riferimento. A tal fine è necessario eseguire per il modello completo un'analisi statica non lineare (pushover) ciclica per livelli di spostamento crescenti (positivi e negativi), fino allo spostamento corrispondente allo stato limite massimo di interesse (ad esempio quello di prevenzione del collasso strutturale). Se il modello prevede un degrado delle caratteristiche meccaniche dei pannelli è utile eseguire più di un ciclo per ogni livello impresso di spostamento. Per confrontare forza e spostamento dei due sistemi è necessario stabilire una relazione di equivalenza tra le due grandezze. In ambito lineare è possibile utilizzare la formulazione classica dell analisi modale: T Γ = φm T φmφ () F = F / Γ () S M

3 d = d / Γ (3) S M dove Γ è il fattore di partecipazione modale, M la matrice di massa del sistema a più g.d.l., F S e F M sono rispettivamente il taglio alla base del sistema a singolo e a più g.d.l., d S lo spostamento del sistema ad un g.d.l., d M lo spostamento in sommità del sistema completo e il vettore φ è il modo di vibrare normalizzato per d M =. Per mezzo di un'analisi pushover ciclica, eseguita agli stessi spostamenti (corretti secondo la (3)) di quella compiuta sul modello a più g.d.l. è possibile calibrare i parametri che caratterizzano il sistema in modo da ottenere una risposta quanto più simile a quella medesima analisi presa come riferimento. In particolare le caratteristiche principali da verificare possono essere: il taglio massimo (corretto come da ()), la rigidezza iniziale, la rigidezza di scarico e quella di ricarico, la deformazione e la rigidezza a taglio e l area dei cicli di isteresi. Le proprietà modificabili nel sistema semplificato sono: la geometria dell'elemento (o degli elementi), le caratteristiche meccaniche, la forza assiale... Dinamica: massa e smorzamento La creazione del modello calibrato prevede l assegnazione della massa M S e dei parametri dello smorzamento alla Rayleigh α S e β S. La massa M S viene assegnata utilizzando la seguente equazione basata sull analisi modale: T M S = φ M (4) In questo modo la massa del sistema dinamico ad un g.d.l. è assegnata tendendo in conto il primo modo di vibrare elastico del modello completo. Essa sarà quindi più adeguata a rappresentare strutture che hanno un elevato coefficiente di partecipazione al primo modo. Per la calibrazione dei due parametri dello smorzamento di Rayleigh (eq. 5) del sistema a singolo g.d.l. si procede confrontando una decina di analisi dinamiche non lineari (con domande di spostamento crescenti) del sistema a più g.d.l. con quelle corrispondenti sul sistema ad un g.d.l. in modo che, in media, i massimi spostamenti dei due sistemi coincidano. ξ = α M + β k (5) S S S S S dove ξ s è il coefficiente di smorzamento relativo allo smorzamento critico e k s la rigidezza del sistema ad un g.d.l.. Lo smorzamento del sistema semplificato non è necessariamente uguale a quello del sistema a più gradi di libertà. La principale ragione di questa differenza è imputabile al fatto che il modello semplificato non è in grado simulare il contributo dei modi superiori al primo. A seguito di queste calibrazioni si ottiene un modello il cui comportamento dinamico approssima il comportamento dinamico di un modello più complesso a più gradi di libertà. Nei prossimi paragrafi sarà descritta l applicazione e la successiva validazione del metodo su un caso studio basato su una prova sperimentale di un edificio in muratura di mattoni senza riduzione di scala. 3 APPLICAZIONE DEL METODO AD UN CASO STUDIO Per verificare il metodo si è scelto di utilizzare un modello numerico tridimensionale a più gradi di libertà le cui proprietà meccaniche sono state calibrate sulla base di una prova sperimentale. A seguito della creazione del modello semplificato equivalente il metodo è stato validato tramite un significativo numero di analisi dinamiche con accelerogrammi naturali. 3. Campagna sperimentale di riferimento La campagna sperimentale a cui si è fatto riferimento ha previsto una prova quasi statica ciclica su edificio in muratura ordinaria di mattoni pieni, di due piani in scala reale, effettuata nel laboratorio del Dipartimento di Meccanica Strutturale dell'università di Pavia nel 994 (Magenes et al., 995). Figura. Geometria e prospetti delle pareti longitudinali del prototipo sperimentale (Magenes et al., 995).

4 Della prova sono disponibili risposte in termini di cicli forza/spostamento di entrambe le pareti (B e D). Si noti che la parete D era svincolata dal sistema strutturale delle pareti A, B, C (parete non ammorsata). 3. Creazione del modello numerico più gradi di libertà Sono stati creati due modelli numerici utilizzando il programma di calcolo strutturale TREMURI rappresentativi delle pareti provate in laboratorio, di uguale geometria e con parametri meccanici calibrati eseguendo sul modello numerico le medesime storie di spostamento imposte al modello reale (che era stato caricato con uguali forze ai piani). La Figura 3 illustra il risultato di questa procedura. E possibile notare come il modello numerico sia in grado di rappresentare il provino sperimentato con sufficiente precisione. Base shear [kn] Base shear [kn] DOOR WALL WINDOW WALL Top displacement [mm] Top displacement [mm] Figura 3. Confronto tra le curve forza/spostamento del provino reale (nero) e modello calibrato (rosso) delle due pareti (D sopra, B sotto). Grazie alla calibrazione sperimentale è stato possibile determinare i parametri del modello macroscopico che consentono di interpretare al meglio i risultati del test sperimentale. In particolare i parametri della muratura sono: modulo elastico E=3 MPa, il modulo di taglio G=5 MPa, la resistenza a compressione f m =.8 MPa, la coesione c=.4 MPa e il coefficiente d attrito µ=.5. I macroelementi così calibrati sono stati utilizzati per la creazione di un modello simmetrico più grande, atto a rappresentare un edificio realistico con solai rigidi di due piani. La Figura 4 mostra la pianta ed il modello tridimensionale dell'edificio. Figura 4. Pianta e vista tridimensionale del modello utilizzato per il caso studio. La massa totale della struttura è 4.5 t, il primo periodo di vibrazione modale è.7 s e la massa partecipante calcolata al primo modo di vibrazione è 85 t. In Figura 5 è riportata un analisi statica nonlineare monotona in modo da definire una bilineare equivalente. In questa analisi statica non vengono più considerati gli elementi che raggiungono una deformazione a taglio del 5. La curva bilineare equivalente è definita secondo quanto riportato in C (NTC8, circolare 67/9). Si definiscono i seguenti spostamenti in sommità caratteristici: d My =.36 cm, fine della fase elastica nella bilineare equivalente; d MU =.64 cm, decadimento dell 8% della resistenza a taglio globale; d MC = cm, massimo spostamento raggiunto dal test sperimentale. Base shear [kn] F Max F My 7%F Max d My d MU,,4,6,8,,4,6,8 Top displacement [cm] Figura 5. Curva di push-over ed individuazione della bilineare equivalente. Come da eq. ed eq. 4 si calcolano Γ=. e M S =54 t. Il periodo elastico del sistema bilineare è dato dall espressione: M * S T = π =.s (6) F My

5 3.3 Calibrazione del modello 3.3. Statica: analisi cicliche non lineari La calibrazione dei parametri attraverso la analisi non lineare statica è avvenuta confrontando i risultati della curva pushover ciclica adattiva sul modello a più gradi di libertà con l'equivalente eseguita sul modello semplificato. La calibrazione è avvenuta confrontando il taglio massimo, la rigidezza iniziale, la rigidezza di scarico e quella di ricarico, la deformazione a taglio e l area sottesa da ogni ciclo isteretico. Le Figure 6 e 7 illustrano rispettivamente il confronto tra il modello completo e quello semplificato in termini di taglio/spostamento al colmo e area del ciclo isteretico. Si noti come il ciclo isteretico sia meno dissipativo di quello ottenuto dalle prove sperimentali. Questo è dovuto alla differente distribuzione di forze sull altezza: forze uguali ai piani nel caso della prova sperimentale e adattiva basata sulla deformata corrente (Galasco et al., 6) nel modello numerico. Si può notare come ci sia una buona corrispondenza tra i valori confrontati ed in particolar modo tra le aree sottese dai cicli isteretici delle due analisi. Base shear [kn] 6 4 parametri di smorzamento α M =.436 e β M = che garantiscono che lo smorzamento sia % in corrispondenza del primo periodo elastico (.7 s) e del periodo secante in corrispondenza a collasso (.4 s) e di poco inferiore in tutti i periodi compresi tra questi due (minimo.84%). Cumulative area of hysteresis loop [J] Load step Figura 7. Confronto tra le due cumulate delle aree dei cicli isteretici (in rosso il multi g.d.l. ed in nero il singolo g.d.l). La Figura 8 mostra la correlazione tra i massimi spostamenti del sistema a più g.d.l. e quelli del sistema ad un g.d.l. a calibrazione eseguita. Sdof Top displacement [cm] Top displacement [cm] Figura 6. Risposta isteretica del modello numerico multi g.d.l. (rosso) e singolo g.d.l. (nero) Dinamica: massa e smorzamento Come descritto in precedenza, la massa del modello semplificato è stata calcolata come da eq. 4 ed è risultata essere pari a 54 t. I parametri di Rayleigh del modello semplificato sono stati calcolati servendosi di analisi dinamiche nonlineari eseguite sul modello a più gradi di libertà. Tale modello ha come.5 Mdof Top displacement [cm] Figura 8. Spostamenti massimi da modello ad un g.d.l. su spostamenti massimi da modello a più g.d.l. delle analisi usate per la calibrazione. I parametri di Rayleigh del sistema ad un solo g.d.l. che hanno garantito la massima correlazione sono α S =. e β S =8. -4 che impongono uno smorzamento del 3% e 4,5% nel primo periodo elastico e nel periodo secante in corrispondenza a collasso rispettivamente. Si nota quindi un lieve aumento di smorzamento viscoso da assegnare al modello ad un solo g.d.l. probabilmente dovuto al contributo dei modi superiori al primo. La Figura 9 illustra una storia di spostamento di una delle analisi dinamiche eseguite con un confronto tra la risposta del sistema ad uno o a più g.d.l..

6 Top displacement [cm] La Figura illustra la distribuzione degli accelerogrammi utilizzati in termini di categoria di suolo, M w e R epi Step Figura 9. Storia di spostamento in sommità del modello a più g.d.l. (rosso) e ad un g.d.l. (nero), per uno degli accelerogrammi utilizzati durante la calibrazione. 4 VALIDAZIONE DEL METODO Per validare il modello si è fatto ricorso ad un ampio database di accelerogrammi naturali. Sono state effettuate analisi dinamiche non lineari su entrambi i modelli (a più e a singolo g.d.l.). Si sono poi confrontati i risultati in termini di spostamenti in sommità e di correlazione degli spostamenti con varie misure di intensità dello scuotimento. La modellazione a telaio equivalente, tradotta nel modello a più g.d.l. pur avendo tempi di calcolo largamente inferiori a quelli osservabili su modelli ad elementi finiti richiede tuttavia, a seconda della complessità del modello e delle iterazioni non lineari, tempi di calcolo dell ordine di grandezza dell ora (su un hardware di un comune pc) mentre il modello ad un solo g.d.l. riduce drasticamente il tempo di calcolo a pochi secondi. 4. Database di riferimento Il database di riferimento da cui sono stati estratti i 768 accelerogrammi utilizzati è SIMBAD (Smerzini e Paolucci, ). Tale catalogo è stato creato utilizzando registrazioni da differenti database sismici mondiali. Allo scopo di avere un catalogo più rappresentativo del contesto italiano Smerzini e Paolucci hanno selezionato solo accelerogrammi con distanza epicentrale R epi <3 km, magnitudo momento M w compresa tra 5 e 7.3 e rotture avvenute solo nella crosta superficiale. Figura. Distribuzione di magnitudo, distanza e categoria di suolo del database SIMBAD (Smerzini e Paolucci, ). 4. Confronto tra le domande di spostamento Le molteplici analisi dinamiche sui due modelli hanno permesso di confrontare i risultati in termini di domanda di spostamento dei due sistemi. La Figura illustra la correlazione tra le domande di spostamento del modello completo e quelle del modello semplificato. Il grafico non considera spostamenti maggiori di quelli dello stato limite di collasso ( cm come osservato da prove sperimentali). Sul grafico sono evidenziate linee di media e media ± una deviazione standard. In particolare tutte le Figure che seguono si riferiscono a spostamenti in sommità dell edificio a più gradi di libertà (utilizzando l inversa dell eq. 3). Max displacement s-d.o.f. [cm].5.5 Max displacement m-d.o.f. [cm] Figura. Correlazione tra gli spostamenti massimi ottenuti con il modello completo e semplificato. Si noti come il sistema semplificato sia in grado di interpretare con discreta approssimazione la risposta del sistema a più gradi di libertà. Il coefficiente di correlazione tra i

7 due vettori (massimi spostamenti sistema completo e massimi spostamenti sistema semplificato) è pari a Correlazione tra domanda di spostamento e intensità di scuotimento L utilizzo di accelerogrammi naturali non scalati consente di correlare in maniera significativa la risposta della struttura a diverse misure di intensità di scuotimento. In questo paragrafo verranno presentate le differenze riscontrate tra gli output dei due differenti modelli in rapporto ad alcune misure rappresentative: l accelerazione al suolo di picco (PGA), l ordinata spettrale dello spettro di risposta elastico in spostamento (calcolato per il periodo di vibrazione elastico della struttura) e una misura di intensità di Housner modificata (misura integrale dello spettro di pseudovelocità) Accelerazione massima al suolo I grafici seguenti (Figure e 3) illustrano gli spostamenti massimi di sommità calcolati con le analisi dinamiche nonlineari su modello ad un solo grado di libertà e a più gradi di libertà in relazione alla accelerazione massima al suolo. I grafici non considerano spostamenti maggiori di quelli dello stato limite di collasso ( cm). Sui grafici sono evidenziate linee di media e media ± una deviazione standard fino a valori in cui il numero di collassi non supera il 3% del numero di analisi nell intervallo considerato. Max displacement m-d.o.f. [cm] PGA [g] Figura. Correlazione tra gli spostamenti massimi ottenuti con il modello completo e la PGA. Dai due grafici si deduce la correlazione tra i massimi spostamenti strutturali e l accelerazione al suolo. Ai fini della ricerca ciò che è molto interessante è che sia il valor medio (media calcolata su intervalli di PGA di ampiezza.5g) che il coefficiente di variazione dei valori estrapolati dai due modelli è molto simile. In modo particolare si è calcolata una sovrastima media del 6% dei valori di spostamento massimo (in funzione della PGA) calcolati con il sistema semplificato rispetto a quello completo. Max displacement s-d.o.f. [cm] PGA [g] Figura 3. Correlazione tra gli spostamenti massimi ottenuti con il modello semplificato e la PGA. Data la difficoltà di assegnare un valore numerico alla domanda di spostamento associata ai collassi, si è deciso di scorporarli e di studiarli in maniera separata. Gli istogrammi in Figura 4 correlano per i due modelli il numero di analisi che ricadono in particolari intervalli di spostamento con valori di PGA. % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % PGA [g] PGA [g] dm<dmy dmy<dm<dmu dmu<dm<dmc dm>dmc ds<dmy dmy<ds<dmu dmu<ds<dmc ds<dmc Figura 4. Rapporto tra il numero di analisi eseguite e il numero di analisi che ricadono in particolari intervalli di spostamento in funzione di diverse PGA; modello a più g.d.l (nero) e modello ad g.d.l (rosso).

8 L asse delle ordinate indica il rapporto tra il numero di analisi che si collocano in un particolare intervallo di spostamento e le analisi effettuate con accelerogrammi la cui PGA ricada nei diversi intervalli in cui è suddiviso il range complessivo. Il modello semplificato tende a sovrastimare i collassi rispetto al modello a più g.d.l.. In particolare si nota un aumento fino al % per intervalli di PGA compresi tra i.55 e.65 g Indice di Housner modificato L indice di Housner è classicamente definito come l integrale dello spettro di risposta di pseudo-velocità tra un periodo strutturale di. e secondi con smorzamento viscoso del 5% (Housner, 959):. ( ξ ) SI( ξ) = PSV, T dt (7) Rispetto all indice nella (7), si è cercata una maggior correlazione tra la risposta strutturale di strutture a basso periodo e un indice di Housner modificato:.5. ( ) SI(5%) = PSV 5%, T dt (8) Com è lecito attendersi, diminuendo la finestra di periodi strutturali considerati (in particolare per periodi che vanno dal periodo elastico strutturale al periodo secante a collasso) diminuisce in maniera considerevole la dispersione dei risultati. I grafici seguenti (Figure 5 e 6) illustrano gli spostamenti massimi di sommità calcolati con le analisi dinamiche nonlineari su modello ad un solo grado di libertà e a più gradi di libertà in relazione ad un indice di Housner modificato (eq. 8). Max displacement m-d.o.f. [cm] I grafici non considerano spostamenti maggiori di quelli dello stato limite di collasso ( cm). Sui grafici sono evidenziate linee di media e media ± una deviazione standard. Max displacement s-d.o.f [cm] Housner SI ( ξ =5%, T(..5 s)) [m] Figura 6. Correlazione tra gli spostamenti massimi ottenuti con il modello semplificato e l indice di Housner modificato. Anche in questo caso i due modelli forniscono risultati confrontabili tra loro. In modo particolare si è calcolata una sovrastima media del 4% dei valori di spostamento massimo (in funzione dell intensità di Housner modificata) calcolati con il sistema semplificato rispetto a quello completo. Si nota altresì che in coefficiente di variazione medio è minore in questo caso rispetto a quando si considera come intensità di scuotimento la PGA; esso rimane quasi costante per differenti intensità di Housner. In modo simile a quanto scritto nel precedente paragrafo, gli istogrammi in Figura 7 correlano il numero di analisi che ricadono in particolari intervalli di spostamento con valori di SI modificato come da eq. 8. L asse delle ordinate indica il rapporto tra il numero di analisi che si collocano in un particolare intervallo di spostamento e le analisi effettuate con una particolare SI. Anche in questo caso si nota come il modello semplificato tenda a sovrastimare i collassi rispetto al modello a più g.d.l.. In particolare, si nota un aumento fino al 5% per intervalli di SI compresi tra i.3 e.4 m Housner SI ( ξ =5%, T(..5 s)) [m] Figura 5. Correlazione tra gli spostamenti massimi ottenuti con il modello completo e l indice di Housner modificato.

9 % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % Housner SI [m] Housner SI [m] dm<dmy dmy<dm<dmu dmu<dm<dmc dm>dmc ds<dmy dmy<ds<dmu dmu<ds<dmc ds<dmc Figura 7. Rapporto tra il numero di analisi eseguite e il numero di analisi che ricadono in particolari intervalli di spostamento in funzione di diversi valori dell indice di Housner; modello a più g.d.l (nero) e modello ad g.d.l (rosso) Spostamento spettrale elastico Il più classico dei parametri per il calcolo della domanda di spostamento è l ordinata spettrale in spostamento al periodo proprio della struttura e ad uno smorzamento convenzionale del 5%. Si è quindi studiata l effettiva correlazione di tale parametro con la risposta nonlineare della struttura in esame. In particolare si è scelto un periodo di. s, calcolato come da eq. 6. I grafici seguenti (Figure 8 e 9) illustrano gli spostamenti massimi di sommità calcolati con le analisi dinamiche nonlineari su modello ad un solo grado di libertà e a più gradi di libertà in relazione allo spostamento spettrale sopra descritto. I grafici non considerano spostamenti maggiori di quelli dello stato limite di collasso ( cm). Sui grafici sono evidenziate linee di media e media ± una deviazione standard. Dalle due Figure 8 e 9 si nota come il periodo calcolato secondo eq. 6 sia rappresentativo del reale periodo strutturale per la fase elastica (spostamenti minori di d My ). Esso appare più adeguato del periodo modale elastico (.7 s). La correlazione tra le due misure appare alta fino al termine della fase elastica. Per spostamenti più elevati il coefficiente di variazione appare molto più alto se confrontato allo stesso riferito alle altre due misure di intensità descritte nei paragrafi precedenti. Max displacement m-d.o.f. [cm].5.5 Elastic Spectral displacement (T=.s ξ =5%) [cm] Figura 8. Correlazione tra gli spostamenti massimi ottenuti con il modello completo e lo spostamento spettrale a T=. s, ξ=5%. Max displacement s-d.o.f. [cm].5.5 Elastic Spectral displacement (T=.s ξ =5%) [cm] Figura 9. Correlazione tra gli spostamenti massimi ottenuti con il modello semplificato e lo spostamento spettrale a T=. s, ξ=5%. % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % % Spectra displacement T=.s, ξ=5% [cm] Spectra displacement T=.s, ξ=5% [cm] dm<dmy dmy<md<dmu dmu<dm<dmc dm>dmc ds<dmy dmy<ds<dmu dmu<ds<dmc ds<dmc Figura. Rapporto tra il numero di analisi eseguite e il numero di analisi che ricadono in particolari intervalli di spostamento in funzione dei diversi spostamenti spettrali; modello a più g.d.l (nero) e modello ad g.d.l (rosso).

10 In modo simile a quanto scritto nel precedente paragrafo gli istogrammi in Figura correlano il numero di analisi che ricadono in particolari intervalli di spostamento con valori di spostamento spettrale al periodo T=. s e ξ=5%. Anche in questo caso il modello semplificato tende a sovrastimare i collassi rispetto al modello a più g.d.l.. In particolare si nota un aumento fino al 5% per intervalli di SI compresi tra i e cm. 5 CONCLUSIONI Si è studiato un metodo per simulare il comportamento di una struttura in muratura ordinaria attraverso l'uso di un sistema nonlineare equivalente ad un grado di libertà. Si è quindi proceduto alla calibrazione statica e dinamica di un modello semplificato che appare interpretare con buona precisione il comportamento dinamico non lineare del caso studio in esame (considerando nella risposta dinamica l'interazione taglio/flessione, il comportamento degradante in rigidezza e in resistenza). L uso di accelerogrammi naturali ha permesso di correlare a posteriori la risposta strutturale a vari parametri di scuotimento. Il parametro spettrale che appare più rappresentativo è l intensità di Housner (modificata in una finestra di periodi tra. e.5 s.). Il sistema semplificato permette di ottenere una correlazione tra parametri e risposta strutturale simile a quella valutata mediante il sistema completo, con una sensibile riduzione dell onere computazionale. Il metodo presentato è stato inoltre validato tramite l'esame di altri casi studio. Una volta che il metodo sarà ritenuto attendibile, potrà essere utilizzato per valutare la domanda di spostamento di strutture in muratura in modo affidabile e rapido. Altre applicazioni potranno essere la creazione di spettri anelastici specifici per edifici murari o formulazioni utili al calcolo della riduzione della domanda di spostamento elastica per un approccio di verifica agli spostamenti. La velocità computazionale permetterà di facilitare l uso di analisi dinamiche nonlineari per effettuare studi che allo stato attuale richiedono elevati tempi di calcolo, quali la derivazione di curve di fragilità o studi sul danno cumulato da sequenze sismiche. RINGRAZIAMENTI Questo studio è stato svolto nell ambito del progetto e3 Vulnerabilità sismica degli edifici in muratura del Progetto Esecutivo EUCENTRE -4 finanziato dal Dipartimento della Protezione Civile e del progetto di cooperazione scientifica bilaterale di Grande Rilevanza tra Italia e Slovenia finanziato dal Ministero degli Affari Esteri (Bando Slovenia ) Protection of cultural heritage buildings against earthquakes. BIBLIOGRAFIA Azarbakht A., Dolšek M.,. Progressive Incremental Dynamic Analysis for First-Mode Dominated Structures, J. Struct. Eng. Faifar, P.,. A non-linear analysis method for performance-based seismic design, Earthquake Spectra, 6, 3. Galasco, A., Lagomarsino, S., and Penna, A., 6. TREMURI Program: Seismic Analyzer of 3D Masonry Buildings, University of Genova, Italy Housner, G. W., 959. Behavior of structures during earthquakes, Journal of the Engineering Division, ASCE, Vol. 85, No. EM4, 9-9. Lagomarsino, S., Penna, A., Galasco A, Cattari S., 3. TREMURI program: an equivalent frame model for the nonlinear seismic analysis of masonry buildings. Engineering Structures (sottoposto a revisione).. Luco, N., Bazzurro, P., Cornell, A., 4. Dynamic versus Static Computation of the Residual Capacity of a Mainshock-Damaged Building to withstand an Aftershock. 3 th WCEE,Vancouver, Canada. Magenes, G., Calvi, G.M., Kingsley, G.R., 995. Seismic Testing of a Full-Scale, Two-Story Masonry Building: Test Procedure and Measured Experimental Response. University of Pavia, Department of Structural Mechanics, Italy Norme tecniche per le costruzioni D.M. 4 Gennaio 8 (NTC8). Penna, A., Lagomarsino, S. Galasco, A., 3. A nonlinear macro-element model for the seismic analysis of masonry buildings. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, in stampa. Shibata, A., Sozen, M., 976. Substitute-structure method for the seismic design in r/c. Journal of the structurel division. (), -8. Shome, N., Cornell, C. A., Bazzurro, P., Carballo, 998. Earthquakes, Records, and Nonlinear Responses. Earthquake Spectra, V.4, No. 3. Smerzini, C., Paolucci, R.. Research Project DPC RELUIS -3. SIMBAD: a database with Selected Input Motions for displacement-based Assessment and Design nd release. Department of Structural Engineering, Politecnico di Milano, ITALY.