Giorgio Pastore Maria Peressi

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1 Scuola Estiva di Fisica Moderna per studenti di scuole secondarie superiori - IDIFO3 Fare scienza con il computer Meccanica Quantistica e Probabilità: Un approccio numerico Giorgio Pastore ([email protected]) Maria Peressi ([email protected]) 28 luglio 2011

2 L'imprevedibilità di alcuni fenomeni fisici può essere controllata in modo statistico attraverso il concetto di distribuzione di probabilità. Nella fisica classica ci sono molti esempi di descrizioni probabilistiche di fenomeni fisici ma nella fisica moderna la meccanica quantistica assegna al punto di vista probabilistico un ruolo centrale. Ne discuteremo attraverso esempi di calcoli relativi alla trattazione quantistica della posizione di elettroni (rilevati su uno schermo, o in atomi e molecole).

3 Perché ci interessiamo di meccanica quantistica?... per affrontare un argomento nuovo Ma c'è anche una ragione pratica che rende attuale questo argomento. I più recenti sviluppi della tecnologia (come la nanotecnologia) si basano sulla manipolazione di singoli atomi, elettroni, molecole e sul tentativo di usare questi oggetti per applicazioni innovative. Il comportamento di questi oggetti microscopici è controllato dalla meccanica quantistica. Questa non è dunque solo importante per il progresso della conoscenza scientifica; sicuramente essa diventerà sempre più determinante per lo sviluppo delle tecnologie del futuro.

4 Gli atomi oggi si possono vedere e manipolare La prima immagine degli atomi la sigla IBM scritta con atomi di Xe su superficie (110) di Ni La parola atomo (letteralmente qualcosa come bambino originale ) in caratteri Kanji scritta con atomi di Fe su superficie (111) di Cu Nanochitarra (Cornell Univ.) Ogni corda ha uno spessore di 10 nm, cioe circa 100 atomi Un numero per capire: tipica distanza tra atomi: ~3Å (3x10 8 cm)

5 Prima di parlare di meccanica quantistica e fenomeni probabilistici, dobbiamo mettere a fuoco che cosa è una distribuzione di probabilità in generale e imparare a utilizzarla.

6 Distribuzioni di probabilità Ad es. il lancio di un dado: la variabile numero che compare sulla faccia superiore è una variabile casuale. Più lanci danno una sequenza di numeri casuali, cioè una sequenza di numeri che sembrano impredicibili ma che hanno ben definite proprietà statistiche. I singoli risultati ci interessano poco, ma possiamo chiederci: -Qual è l istogramma delle frequenze o distribuzione di probabilità? (contiamo quante volte è uscito un certo numero) -Qual è il valore medio (o massimo)?

7 Distribuzione uniforme di probabilità E il caso del lancio di un singolo dado alla volta e della variabile casuale associata numero che compare sulla faccia superiore VariabiliCasuali.java lanciato con Nvariabili=1, Nvalori=6, Nconf=3000

8 Distribuzioni non uniformi di probabilità Giochiamo con due o più (N) dadi.. Lanciati simultaneamente, e consideriamo la sequenza dei risultati ottenuti per la variabile casuale somma dei numeri delle facce superiori di N dadi istogramma delle frequenze? valore medio? valore più probabile? VariabiliCasuali.java lanciato con Nvariabili=2 o più, Nvalori=6, Nconf=.

9 Distribuzioni non uniformi di probabilità somma dei numeri delle facce superiori di più dadi Distribuzione triangolare Somma di 2 dadi Distribuzione gaussiana Somma di 10 dadi

10 Distribuzioni di probabilità Il problema: come generare una o più variabili casuali i cui valori seguono una distribuzione di probabilità assegnata? Una soluzione: Algoritmo rifiuto-accettazione Sguardo a programma distribuzione.cpp e uso gnuplot

11 Algoritmo rifiuto-accettazione Si vuole generare una variabile casuale x con distribuzione di probabilità f(x) su un intervallo [a,b]. 1. si genera una coppia di variabili (x,u) distribuite in modo uniforme nel rettangolo definito dagli intervalli [a,b][0,m] (M dev essere maggiore o uguale al massimo di f(x) in [a,b]) e si calcola f(x). 2. si accetta il valore di x se u<f(x), lo si rifiuta se è u>f(x) (cioè: lo si accetta con probabilità pari a f(x)/m, lo si rifiuta con probabilità 1- f(x)/m ) 3. il conteggio dei valori di x accettati dà un istogramma che ha la forma di f(x) (poi va normalizzato) M Punti corrispondenti a valori di x accettati f(x) Punti corrispondenti a valori di x rifiutati a b

12 Teniamo presente quanto abbiamo imparato sulle distribuzioni di probabilità e cominciamo ad addentrarci nella meccanica quantistica

13 Cos è la Meccanica quantistica? - 1 A livello di oggetti molto piccoli come atomi, elettroni, protoni, neutron le leggi della meccanica classica non valgono più. La fisica del 900 ha scoperto nuove leggi più adeguate a descrivere e progettare sistemi e dispositivi di dimensioni atomiche. Per quanto poco familiari possano apparire alla nostra percezione del mondo costruita sulla base di esperienza su scala macroscopica, i principi e risultati della meccanica quantistica (MQ) sono coerenti e basati su fatti sperimentali, esattamente come quelli della meccanica classica. Quando masse, energie e dimensioni divengono confrontabili con quelle della scala quotidiana, la fenomenologia descritta dalla MQ è ben approssimata dalla meccanica classica.

14 Cos è la Meccanica quantistica? - 2 A livello formale è possibile partire da principi così come nella meccanica classica (MC) si parte dai principi di Newton. Tuttavia, la struttura matematica della MQ è più complessa di quella della MC. Ci limitiamo quindi ad enunciare due dei principi della MQ in forma qualitativa, senza pretesa di essere completi o rigorosi.

15 Cos è la Meccanica quantistica? Ogni misura di una proprietà fisica del sistema permette, in generale, di fare predizioni puramente probabilistiche sui valori di misure successive dello stesso o altri osservabili (però, in alcuni casi, la probabilità può anche arrivare ad 1). Questo comporta che anche nella descrizione più completa possibile dello stato di un sistema quantistico permane un aspetto genuinamente stocastico. 2. Non c è nessun limite (salvo di tipo pratico) sulla precisione con cui posso misurare una singola quantità fisica. Ma ogni misura può (secondo regole fisse) modificare la distribuzione di probabilità di altre quantità fisiche dello stesso sistema.

16 Cos è la Meccanica quantistica? - 4 Conseguenze pratiche: 1. Lo stato del sistema non è più caratterizzabile, come in meccanica classica, mediante i valori di (poche) quantità osservabili (es: posizione, velocità, energia, ) ma richiede di assegnare (misurare) una distribuzione di probabilità per i diversi possibili valori; 2. Le distribuzioni di probabilità di alcune quantità fisiche sono collegate: un aumento di precisione sul valore di una quantità (distribuzione di probabilità più concentrata) implica una diminuzione di precisione su un altra (distribuzione di probabilità meno concentrata) (relazioni di indeterminazione di Heisenberg).

17 Cos è la Meccanica quantistica? - 5 Misure di posizione 1. La descrizione più completa sul risultato di una misura di posizione r è data, in MQ, dalla funzione d onda Φ; per una singola particella, questa è una funzione di r (in 3D: r=(x,y,z)), il cui quadrato Φ(r) 2 fornisce la distribuzione di probabilità di misure di posizione.

18 Elettroni e probabilità C è un esperimento che ci fa ben capire la natura probabilistica della posizione di un elettrone. Consideriamo un cannone elettronico che invii elettroni su uno schermo, dopo aver attraversato una doppia fenditura: quali saranno le posizioni piu probabili? Facciamo come i dadi: lanciamone tanti, e, poiche ciascun elettrone colpisce lo schermo in una posizione ben precisa, individuata dalla macchia luminosa che produce (come ogni lancio di un dado ci da un numero ben preciso), guardiamo il risultato...

19 Esperimento doppia fenditura (a) Con pochi elettroni non possiamo dire molto circa la probabilità che una parte o l altra dello schermo venga colpita: le posizioni sembrano distribuite in modo casuale e uniforme (b) Ancora.. (c) Ora invece si cominciano a distinguere delle zone piu o meno colpite, cioe una distribuzione non uniforme (d) Aumentando il numero di elettroni questo e sempre piu evidente (e) Si tratta di un alternanza di zone piu o meno popolate assomiglia ad una tipica figura di interferenza

20 Esperimento doppia fenditura Un filmino dell esperimento: E anche (alcuni italiani lo hanno fatto per primi!):

21 Esperimento doppia fenditura Ma queste figure di interferenza ci ricordano qualcosa dal mondo reale macroscopico a noi più familiare? ad esempio le onde (sulla superficie dell acqua): viste anche in questo filmino:

22 Esperimento doppia fenditura La figura di interferenza creata da molti elettroni è analoga a quella ottenibile con luce monocromatica e simile a quella di onde materiali (acqua)

23 Esperimento doppia fenditura La figura di interferenza creata da molti elettroni è diversa da quella formata dai punti di impatto di oggetti macroscopici (2 massimi, no frange) Non per nulla abbiamo cominciato a parlare di meccanica quantistica dicendo che a livello di oggetti molto piccoli come atomi, elettroni, protoni, neutroni le leggi della meccanica classica non valgono più.

24 Esperimento doppia fenditura - computazionale Commenti: Implementazione codice distribuzione.cpp Simula la costruzione di un sistema di frange di diffrazione a partire a singoli eventi (misurare la presenza di un elettrone) la cui distribuzione di probabilità è assegnata e mostra effetti di interferenza. Effetti di aumento della statistica

25 L atomo di idrogeno E il più semplice atomo, costituito da un protone (nucleo) e da un elettrone. L elettrone può avere diversi valori dell energia e del momento angolare e, in corrispondenza, diverse funzioni d onda Φ (orbitali), individuate dai valori di indici interi (i numeri quantici), che generano (via Φ 2 ) le distribuzioni di probabilità per la posizione nello spazio attorno al nucleo. Questa e una raffigurazione della distribuzione di probabilità dell elettrone dell atomo di H nello stato ad energia piu bassa (1s)

26 L atomo di idrogeno Queste sono altre raffigurazioni della distribuzione di probabilita dell elettrone dell atomo di H nello stato precedente e in altri stati

27 L atomo di idrogeno Commenti: Implementazione codice Horbitals.cpp visualizzazione plotta.gn/plotta_colori.gn Anche qui simuliamo misure indipendenti di posizione su atomi identici nello stesso stato Effetti di aumento della statistica Nodi delle funzioni d onda Estensione delle funzioni d onda Si potrebbe anche calcolare l energia potenziale

28 Molecole e spiegazione quantistica del legame H 2 + e sovrapposizione di orbitali atomici

29 Molecole e spiegazione quantistica del legame H 2 + e sovrapposizione di orbitali atomici Studio distribuzione di carica in funzione della distanza intramolecolare R codice H2.cpp Verifica dell accumulo di elettroni nell orbitale legante codice H2bond.cpp

30 Ancora atomi e molecole Ora che sappiamo qualcosa, possiamo anche vedere altri programmi in rete : - Per l atomo di idrogeno: -Per lo ione molecolare H 2+ : -Dalle rappresentazioni mediante nuvole di punti a altre rappresentazioni di densità ed orbitali: