Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Quando si risolve un problema reale con l ausilo di un computer si avrà inevitabilmente a che fare con degli errori. Tali errori possono essere di varia natura a seconda della causa che ne è l origine. Errori nei dati del problema dovuti ad esempio alla imprecisione dello strumento di misura (microscopio,bilancia,termometro, barometro, buretta, densimetro etc.) utilizzato per misurare una data quantità che si suppone nota per il problema da risolvere. Errori di arrotondamento dovuti al fatto che per quanto grande e potente un computer ha pur sempre dimensione finita e quindi è impossibile rappresentare su di esso l infinità dei numeri reali, bisogna accontentarsi di un sottoinsieme di numeri con un numero finito di cifre. Errori di troncamento dovuti al fatto che molti metodi numerici richiederebbero l esecuzione di una sequenza infinita di operazioni di calcolo che inevitabilmente devono essere troncati dopo un numero finito di passaggi. Esempi: quando si approssima con una somma parziale la somma di una serie, quando si approssina un integrale con una formula di quadratura, quando si risolve un sistema linare con un metodo iterativo etc.

2 Definizione Se x è una quantità esatta ed x è una sua approssimazione x x x x, x sono detti rispettivamente errore assoluto ed errore relativo. L errore assoluto non tiene conto dell ordine di grandezza della quantità misurata. Diverso è un errore di un grammo nella misura del dosaggio di una confezione di preparato medicinale o nella misura della quantità di cemento necessara a costruire un intero palazzo. Viceversa l errore relativo fornisce indicazioni sulla qualità dell approssimazione in quanto non è influenzato dall ordine di grandezza della quantità misurata anche se non da informazioni sulla effettiva distanza tra la quantità esatta e quella approssimata. La conoscenza di entrambi gli errori fornisce indicazioni precise sulla bontà di una approssimazione. Esercizio 1: Si calcolino l errore assoluto e quello relativo ottenuti approssimando i valori del fattoriale dei primi 10 numeri naturali con l approssimazione di Stirling. ovvero per n = 1,..., 10 S(n) = ( n n. 2 π n e) Visualizzare sulle colonne di una tabella: i valori di n, n! S(n), n! S(n), n! S(n). n! 2

3 Soluzione: Le seguenti righe di codice n=[1:10] ; Sn= sqrt(2*pi*n).*(n./exp(1)).^n; fn=factorial(n); Ea=abs(fn-Sn); Er=Ea./abs(fn); disp( n n! S(n) Ea Er ) [n fn Sn Ea Er] produrranno il risultato ans = n n! S(n) Ea Er e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-03 Si noti come l errore assoluto aumenta all aumentare di n mentre l errore relativo diminuisce. 3

4 Rappresentazione dei numeri reali: Per rappresentare su un calcolatore l infinità dei numeri reali si utilizza un sottoinsieme di dimensione finita F R detto insieme dei numeri floating-point (virgola mobile) o numeri macchina, generalmente rappresentati in forma esponenziale normalizzata con dove si intende x = ±(0.a 1 a 2... a t ) β p a 1 0 (1) x = ±(a 1 β 1 + a 2 β a t β t ) β p e β, t, p sono numeri naturali positivi, β è detto base (tipicamente β = 2), t è il numero massimo di cifre memorizzabili (comprese tra 0 β 1) e p è detto esponente. Matlab utilizza la rappresentazione in doppia precisione, con la quale è possibile rappresentare ogni numero reale x che si trova approssimativamente negli intervalli: x x Le variabili predefinte realmax, realmin di Matlab contengono il più grande ed il più piccolo numero macchina positivo rappresentabile in doppia precisione >> realmax ans= e+308 >> realmin ans = e-308 4

5 Att.ne! Nell espressione e+308, la e indica l esponente nella potenza di 10 per cui si intende moltiplicato il numero e non ha nulla a che vedere con il numero di Nepero e = 2, ! e+308 = Nota: Ad un numero maggiore di realmax Matlab associa il valore Inf o infinito. Quindi ad esempio: >> 2*realmax ans = Inf Sarà Inf anche il risultato della valutazione di una espressione che contenga una divisione per 0 e senza generare un segnale di errore Matlab continuerà i calcoli. Nota: Matlab riesce a rappresentare numeri più piccoli di realmin cambiando la rappresentazione ed utilizzando parte dei bit normalmente utilizzati per la mantissa per l esponente. Questo comporta una predita di cifre significative rispetto agli altri numeri macchina se tale perdita supera una certo livello allora Matlab restituisce semplicemente 0. >> realmin/10 ans = e-3090 >> realmin/1e+16 ans = 0 5

6 Att.ne! a non confondere la rappresentazione interna di un numero floating point in base 2 con il formato con cui tale numero viene visualizzato a video da Matlab in rappresentazione decimale. Numeri reali come 1/3 = 0.3 1/e = vengono quindi approssimati con numeri macchina che hanno un numero finito di cifre significative, digitando >> 1/3 ans = >> 1/ exp(1) ans = ne vediamo una rappresentazione. Usare solo 4 cifre decimali per rappresentare i numeri sarebbe molto grossolano, infatti questo è solo un possibile formato del sistema per visualizzare un numero reale che non coincide con la sua rappresentazione interna. Quest ultima è data appunto dal numero floating point che più si avvicina ad numero reale. Ciò si evidenzia cambiando il formato di visualizzazione. 6

7 Altri possibili formati sono: >> format long >> 1/3 ans= >> 1/exp(1) ans = >> format short e >> 1/3 ans = e-01 >> 1/exp(1) ans = e-01 >> format long e >> 1/3 ans = e-01 >> 1/exp(1) ans = e-01 Esercizio 2 (Esistenza di un realmax e di un realmin.) Partendo da 1 moltiplicare o dividere per 1e50 7

8 Aritmetica finita ed errori Una conseguenza dell approssimazione dei numeri reali con numeri macchina è la costante presenza di errori di arrotondamento che con l esecuzione di successive operazioni aritmetiche si possono propagare ed accumulare, per questo motivo in aritmetica finita il risultato calcolato dipenderà dalla sequenza con cui vengono eseguite le varie operazioni. L errore relativo che si commette approssimando un numero reale x con il numero floating point fl(x) è tale che fl(x) x x C ǫ M ǫ M = β 1 t è detto epsilon macchina, dove β è la base e t il numero di cifre significative dell insieme dei numeri macchina considerato. Nel caso della doppia precisione β = 2 e t = 53. In Matlab è predefinita la variabile eps contenente il valore dell epsilon macchina ǫ M. >> eps ans = e-16 8

9 ǫ M non va confuso con il più piccolo numero rappresentabile in un sistema floating point, esso definisce invece una stima di quanto può variare al più l errore relativo quando si approssima un numero reale con un numero macchina e quindi fornisce una stima del numero di cifre significative corrette nella rappresentazione in un determinato sistema floating point di un numero reale. ǫ M può anche essere definito come il più piccolo numero macchina positivo tale che fl(1 + x) > 1. Esercizio 3 Scrivere uno script-file che calcoli ǫ M attraverso la seguente ricorrenza: e 0 = 1/2, k = 0 se e k + 1 > 1 e k+1 = e k /2 altrimenti STOP Soluzione: Come ogni linguaggio di programmazione Matlab possiede istruzioni per effettuare cicli. Nel codice sotto riportato vediamo un esempio di utilizzo dell istruzione while, che permette di ripetere ciclicamente un certo insieme di istruzioni fintanto che una data condizione è verificata. e=1/2; k=0; while (e+1)>1 e=e/2; k=k+1; end e=2*e, k epsmacchina.m 9 (2)

10 Esempio di non associatività. Alcune proprietà delle operazioni in aritmetica esatta possono non valere in aritmetica finita in virgola mobile (floating point). Ad esempio: >> a=1.0e+308; >> b=1.1e+308; >> c=-1.001e+308; >> (a+b)+c ans = Inf >> a+(b+c) ans = e+308 Esempio di cancellazione numerica. In aritmetica esatta, usando la nota identità (a+b)(a b) = a 2 b 2, si ottiene facilmente x2 + 1 x = 1 x x x R. (3) Calcolando con Matlab: >> x= ; >> y1=sqrt(x^2+1)-x y1 = 0 >> y2=1/(sqrt(x^2+1)+x) y2 = 10

11 6.4286e-09 >> err=abs((y1-y2)/y2) err = 1 In vista della uguaglianza (3), in aritmetica esatta i valori y1 e y2 dovrebbero essere uguali, e l errore relativo err nullo. In realtà si osserva che i risultati ottenuti (y1 e y2) sono assai diversi. Il risultato finale dipende fortemente da come viene effettivamente calcolata la funzione (errore di arrotondamento, dovuto all artitmetica finita del calcolatore). Il risultato corretto è y2, mentre il risultato dato da y1 è soggetto a un fenomeno di cancellazione. Esercizio 4 (Esempio di errore dovuto all aritmetica finita.) In aritmetica esatta è ben noto il seguente limite ( 1 + n) 1 n = e, lim n dove e = 2, rappresenta il numero di Nepero. Si scriva uno script file Matlab che una volta letto da tastiera un valore per n calcoli e n = ( n) n e l errore assoluto ean = e n e commesso. Per approssimare e si esegua ripetutamente tale script file per n = 10 2, 10 4, 10 8, 10 12, 10 14, In aritmetica esatta, i valori ea n dovrebbero tendere a zero in quanto le e n sopra calcolate tendono a e. Cosa accade invece? 11

12 Grafici-2D Il più semplice comando Matlab per disegnare un grafico è : plot(x,y) dove x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,...,y n ) sono 2 vettori di ugual dimensione. Il comando plot(x,y) rappresenterà in una finestra grafica una linea che collega i punti di coordinate (x i, y i ), i = 1,...,n Esempio Disegnare il grafico della funzione f(x) = 2 sin(x) cos(x) + 2x nell intervallo [0, π/2] >> x=linspace(0, pi/2,10); >> y=2*sin(x).*cos(x)+2*x; >> plot(x,y) Basta un solo comando per valutare f in un vettore di punti grazie alle operazioni componente per componente; inoltre le funzioni matematiche (quali sin e cos) applicate a vettori eseguono l operazione componente per componente. Se cambio il vettore delle ascisse x devo ricalcolare il vettore y contenente i valori assunti dalla funzione f nei nuovi punti prima di fare il grafico: >> x=linspace(0,pi); >> y=2*sin(x).*cos(x)+2*x; >> plot(x,y) 12

13 Sarà utile, per non dover manualmente ripetere la successione di istruzioni ogni volta che si cambia un parametro, memorizzare il lavoro in uno script-file

14 Esercizio 5 Scrivere uno script-file Matlab che, letti da tastiera gli estremi a e b di un intervallo, disegni il grafico della funzione sin(x) per x [a, b]. A tale scopo si generi un vettore z di 50 punti equispaziati in [a, b], si valuti la funzione nei punti di z e si disegni il grafico usando la funzione plot. Esercizio 6 (Esempio grafico di cancellazione numerica.) Per disegnare il grafico del polinomio p(x) = (x 1) 6 si osservi che sviluppando la potenza del binomio si ha la seguente uguaglianza (x 1) 6 = x 6 6x x 4 20x x 2 6x + 1. (4) Si utilizzino le due espressioni sopra citate per calcolare p(x) nei punti x=[0.995: :1.005]; in due finestre distinte si disegni nei due casi il grafico del polinomio utilizzando il comando plot. Si osservi che, in aritmetica esatta, per l identità (4) i due grafici disegnati dovrebbero essere identici. Invece, a causa degli effetti di cancellazione nel calcolo del termine di destra il grafico presenta forti oscillazioni artificiali. 14

15 Il comando plot prevede la possibilità di scegliere il tipo di linea, il suo colore, ecc (vedi help plot). La sintassi generale è: plot(x1, y1, specifiche linea1 ) Per esempio per una linea rossa tratteggiata plot(x,y, r-- ) Il comando doc LineSpec mostra una lista di tutte le opzioni disponibili per specificare lo stile della linea. L istruzione plot crea una nuova finestra grafica solo se non ci sono finestre grafiche già aperte, altrimenti utilizza l ultima finestra creata, e sovrascrive il nuovo grafico a quello creato in precedenza. Pertanto se vogliamo visualizzare contemporaneamente i grafici di due funzioni f(x) = sin(x) + x, g(x) = x 2 + cos(x) x [0, π] abbiamo due possibilità: possiamo disegnare il grafico di f e aggiungere successivamente il grafico di g specificando a Matlab di non cancellare il primo grafico tramite il comando hold on >> x=linspace(0,pi); >> fx=sin(x)+x; >> plot(x,fx, r ) >> hold on >> gx=x.^2+cos(x); >> plot(x,gx, b ) 15

16 possiamo disegnare i due grafici con un solo comando plot >> x=linspace(0,pi); >> fx=sin(x)+x; >> gx=x.^2+cos(x); >> plot(x,fx, r,x,gx, b ) Il comando figure genera una nuova finestra, la numera come indicato e ci permette di disegnare i 2 grafici in 2 diverse finestre: x=linspace(0,pi); fx=sin(x)+x; gx=x.^2 +cos(x); figure(1) plot(x,fx) figure(2) plot(x,gx) 16

17 I comandi title, xlabel,ylabel,legend ci permettono di completare il nostro grafico con un titolo, delle etichette sugli assi e una legenda: >> x=linspace(0,pi); >> fx=sin(x)+x; >> gx=x.^2 +cos(x); >> plot(x,fx, r, x,gx, b ) >> title( Grafici di funzioni ) >> xlabel( Asse x ) >> ylabel( Asse y ) >> legend( f, g ) 9 8 Grafici di funzioni f g 7 6 Asse y Asse x Il comando grid on inserisce una griglia sul grafico. 17

18 Esercizio 7 Disegnare il grafico delle seguenti funzioni: f(x) = 2 log(x+2) x+1 x [1, 2] linea blu tratteggiata g(x) = x2 +2x+1 x 2 +1 con le seguenti modalità: x [0, 5] linea rossa continua disegnare due grafici distinti nella stessa figura disporre i due grafici in due finestre distinte. 18

19 Funzioni Simboliche (inline) Assegnata una funzione del tipo f(x) = (sin(x) + x) 2 vogliamo valutare i valori assunti da f per diversi valori di x. Quando l espressione della funzione è lunga e/o complessa e la funzione deve essere valutata in istanti successivi per diversi valori delle variabili da cui dipende, è utile poter definire la funzione una volta per tutte senza dover riscrivere la sua espressione ogni volta che la si vuole valutare in punti differenti. In Matlab è possibile definire una funzione in modo simbolico. Il comando inline definisce una funzione in linea, ovvero direttamente nello spazio di lavoro, senza ricorrere a file esterni. Per esempio, definiamo: >> f=inline( (sin(x)+x).^2, x ) dove il primo elemento in input (sin(x)+x).^2 è una stringa che definisce l espressione matematica che deve essere trasformata in funzione, mentre i successivi elementi in input (nel nostro caso solo x ) sono l elenco ordinato delle variabili da cui deve dipendere la funzione. Attenzione: ricordarsi di utilizzare operazioni con i punti se si vuole che la funzione operi sui vettori! 19

20 Ad una funzione così definita non sono associati dei valori numerici (verificare con whos f). Per associarle valori numerici scriviamo, per esempio >> x=0:0.01:2*pi; >> y=f(x); Tali valori numerici vengono conservati nel vettore y (verificare con whos y). Possiamo poi usarli, per esempio, per disegnare il grafico di f con il comando >> plot(x,y) Attenzione: perchè il comando >> plot(x,f) non funziona? Si potrebbe corregere in plot(x,f(x))? È possibile definire funzioni che dipendono da più variabili o parametri >> f=inline( 2*x+a, a, x ); Attenzione: y = f(2, 10) è diverso da z = f(10, 2). 20

21 Esercizio 8. Dopo averle definite con il comando inline, fare un grafico delle seguenti funzioni: a) f(x) = 2 log(x+2) x+1 in [1, 2], linea nera tratteggiata; b) f(x) = (x 2 1)e 1 x 2 1 in [1, 10], linea rossa continua. Esercizio 9. Dopo aver definito la funzione f(a, x) = e ax con il comando inline come funzione di due variabili, disegnare i grafici di f in [ 1, 1] per a = 1 e per a = 1 nella stessa finestra utilizzando 2 colori diversi e corredandola di legenda; Esercizio 10. Dopo aver definito la funzione f(k, x) = cos(kπx) con il comando inline come funzione di due variabili k = 1, 2, 3 e x [ 1, 1] disegnare i grafici di f per i differenti valori di k disponendoli in 3 finestre distinte e corredando le figure di titoli, ed etichette sugli assi. 21