Le formule del cielo: la caotica armonia dei pianeti. Alessandra Celletti

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1 Le formule del cielo: la caotica armonia dei pianeti Alessandra Celletti Dipartimento di Matematica Università di Roma Tor Vergata Immagine: CICLOPS, JPL, ESA, NASA

2 SOMMARIO 1. Il Sistema Solare 2. La Meccanica Celeste 3. Il problema dei 2 corpi 4. Il problema dei 3 corpi 5. Caos 6. La caotica armonia dei pianeti 7. Conclusione Immagine: S. Beckwith & the HUDF Working Group (STScI), HST, ESA, NASA

3 1. Il sistema solare - Sole - Pianeti rocciosi - Pianeti gassosi - Pianeti nani - Satelliti - Asteroidi e comete Immagine: NASA

4 Pianeti rocciosi o interni Mercurio, Venere, Terra, Marte Piccoli, rocciosi, nessuno o pochi satelliti Immagine: NASA

5 Asteroidi: oggetti catalogati Hanno dimensioni e forme irregolare, qualcuno ha satelliti, formano una fascia tra Marte e Giove Immagini: NASA, NEAR Project, Galileo Project

6 Pianeti gassosi o esterni Giove, Saturno, Urano, Nettuno Grandi, gassosi, con tanti satelliti e con anelli Immagini: NASA/JPL/University of Arizona, NASA/JPL/Space Science Institute, PD-USGOV-NASA, NASA

7 Fascia di Kuiper Centinaia (migliaia?) di oggetti rocciosi e ghiacciati (tra cui Plutone), ai confini del sistema solare esterno Immagini: NASA

8 Nube di Oort - Tra 30,000 e 100,000 UA - Miliardi di oggetti ghiacciati - Serbatoio di comete a lungo periodo, lanciate nel sistema solare da forti perturbazioni (avvicinamento ad una stella o passaggio del Sole attraverso una nube molecolare gigante. 1 UA = distanza Sole-Terra = 150 milioni km.

9 2. La Meccanica Celeste La MECCANICA CELESTE studia la dinamica degli oggetti del sistema solare: pianeti, satelliti, asteroidi, ecc. La MECCANICA CELESTE studia anche la dinamica dei pianeti extrasolari (n. 726 al 20/1/2012) La DINAMICA DEL VOLO SPAZIALE studia il moto dei satelliti artificiali e delle sonde interplanetarie (prima missione spaziale: Sputnik 1 il 4 Ottobre 1957)

10 Immagini: NASA/JPL-Caltech/University of Maryland/Cornell, NASA and The Hubble Heritage Team (STScI/AURA), ESA-Hubble Collaboration, E. L. Wright (UCLA), The COBE Project, DIRBE, NASA, GALILEO/NASA/JPL

11 Aristotele AC epicicli Tolomeo sistema eliocentrico il sistema del mondo Ipparco AC epicicli e deferenti Copernico Tycho Brahe metodo scientifico Keplero gravitazione osservazioni Galileo Problema dei 2 corpi Newton Laplace Teoria delle perturbazioni Poincarè Teoremi di stabilità determinismo Lagrange, Gauss, Delaunay, XIX secolo Problema dei 3 corpi Kolmogorov, Arnold, Moser, Nekhoroshev XX secolo

12 3. Il problema dei 2 corpi Modello semplificato in cui si considera solo l interazione gravitazionale tra 2 oggetti (Sole-Terra, Terra-Luna, ecc.) Legge di Newton: Keplero ( ) studiò i dati astronomici raccolti da Tycho Brahe ( ) e concluse che il moto dei 2 corpi è regolato da tre leggi: i pianeti si muovo su ELLISSI, sono più VELOCI vicino al Sole, il PERIODO cresce all aumentare della distanza Immagini: NASA, NASA/NEAR

13 Le leggi di Keplero Diverse eccentricità: e=0 cerchio 0<e<1 ellisse F 2 x Il Sole in F1, il fuoco F2 è vuoto Perielio: vicino al Sole Afelio: lontano dal Sole Eccentricità nel sistema solare: Terra: 0.017, Giove: 0.048, Mercurio: 0.206, Nettuno: 0.008, Plutone: 0.249, Luna: 0.055, Europa: , Tarvos:

14 I legge di Keplero: i pianeti si muovono su ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi Video:

15 II legge di Keplero: i pianeti spazzano aree uguali in tempi uguali Video:

16 III legge di Keplero: il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore Video:

17 4. Il problema dei 3 corpi Cosa succede quando si considerano 3 corpi, ad esempio Sole-Terra-Giove? Le leggi di Keplero sono solo un'approssimazione del moto dei pianeti, ma il problema dei 3 corpi non si riesce a risolvere esattamente! Teoria matematica delle perturbazioni: consente di calcolare approssimazioni successive della soluzione del problema dei tre corpi Sole-Terra-Giove: massa(giove) = massa(sole) / corpi Sole-Terra + piccola perturbazione di Giove

18 La serie geometrica: x k =x+x 2 +x 3 +x 4 + k =1 Esempio: x=1/4 1/4 =0.25 1/4+1/16 = /4+1/16+1/64 = /4+1/16+1/64+1/256= /4+1/16+1/64+1/256+1/1024= /4+1/16+1/64+1/256+1/1024+ = 1/3 Esempio: x= = = = Immagine: Wikipedia

19 Ellisse Kepleriana: approssimazione base

20 Prima approssimazione (curva rossa)

21 Seconda approssimazione (curva verde)

22 Terza approssimazione (curva blu)

23 La teoria delle perturbazioni consente di determinare una soluzione approssimata delle equazioni del moto (Laplace, Lagrange, Delaunay, Leverrier, ecc., XVIII- XIX secolo). Charles Delaunay ( ) sviluppò una teoria della Luna molto precisa, basata sulla teoria delle perturbazioni.

24 Theorie du Mouvement de la Lune C. Delaunay Calcoli preliminari

25 La funzione da studiare inizia a pagina 33 prosegue a pagina 34, 35, 36, 37.

26 prosegue a pagina 38, 39, 40, 41 termina a pagina 54!

27 Nettuno venne scoperto a tavolino da Leverrier ( ) e Adams ( ) sulla base di perturbazioni anomale della traiettoria di Urano. DOMANDA: I pianeti rimarranno vicini alle loro orbite attuali oppure gli effetti cumulativi di piccole perturbazioni cambieranno le orbite su tempi lunghi, fino a farli collidere con il Sole o ad essere espulsi dal sistema solare? Immagini: PD-USGOV-NASA, NASA

28 5. Caos Caos: moto irregolare di un sistema che mostra una estrema sensibilità alla scelta delle condizioni iniziali. Poincaré: scopre il caos studiando il problema dei 3-corpi Traiettorie di due palline inizialmente molto vicine Se la loro distanza aumenta (esponenzialmente) nel tempo si ha un moto caotico. In questo caso è impossibile eseguire una predizione a lungo termine: piccole incertezze sulla posizione iniziale vengono amplificate in un tempo breve. Dire che un sistema è caotico NON vuole dire che sia instabile, ma piuttosto impredicibile Video interessante:

29 Henri Poincarè: è la fine del determinismo assoluto! Un sistema caotico è caratterizzato da: (i) due sistemi con condizioni molto vicine possono avere un futuro radicalmente diverso; (ii) l evoluzione su tempi lunghi, maggiori del tempo di Lyapunov, è impredicibile. d 0 è la distanza iniziale d è la distanza al tempo t l esponente di Lyapunov l stima la distanza

30 L effetto Butterfly Nel 1962 il metereologo Edward Lorenz mostrò che un semplice sistema meteorologico (descritto da semplici equazioni matematiche) passava rapidamente dal sereno alla tempesta e viceversa. Ad innescare questi salti bastavano delle minime perturbazioni. Nel 1972 Lorenz intitola una conferenza: Predicibilità: può il battito d ali di una farfalla in Brasile scatenare un tornado in Texas?, Nasce l effetto farfalla, sinonimo di sensibilità alle condizioni iniziali e quindi di caos. Immagine: Wikipedia

31 6. La caotica armonia dei pianeti Stabilità del problema dei 3 o più corpi Metodi analitici (teoria perturbativa per 3 corpi) Integrazioni al computer e teoria perturbativa (Laskar) Metodi numerici (computer - diversi pianeti) Teorema KAM (tempi infiniti) Teorema di Nekhoroshev (tempi finiti, ma molto lunghi) Integrazioni di Sussman, Wisdom, Hayes, ecc.

32 Laskar: il sistema solare INTERNO è CAOTICO. Da un errore di 15 metri sulla posizione iniziale della Terra: errore 150 m dopo 10 milioni di anni errore 150 milioni di km dopo 100 milioni di anni, impendendo ulteriori predizioni! Risultato: Mercurio e Marte decisamente caotici Venere e Terra moderatamente caotici I pianeti esterni sono regolari Plutone è molto caotico Video interessante: Immagine: J. Laskar, 1994

33 E gli altri oggetti del sistema solare? Pianeti nani, asteroidi, comete, oggetti di Kuiper possono essere regolari (come Cerere) o caotici, con il pericolo che si scontrino con la Terra. Apophis (il distruttore): 350 metri, 46 miliardi di kg. Avvicinamento alla Terra: 13 Aprile 2029 Possibile collisione con la Terra: 13 Aprile 2036 (fortunatamente la probabilità è molto bassa, da 1/6000 nel 2005 a 1/ nel 2009)

34 8. Conclusione L umanità ha sempre osservato un cielo immobile, ma non dimentichiamo che il Sole diventerà una gigante rossa Teoria perturbativa + computer: i pianeti interni sono caotici e non si possono fare previsioni su tempi lunghi (oltre 100 milioni anni). Asteroidi, comete, oggetti di Kuiper: possono avere un destino REGOLARE o CAOTICO.

35 OSSIMORO, dal greco ὀξύμωπον: è una figura retorica che consiste nell'accostamento di due termini in forte antitesi. Un urlo pacato Un silenzio assordante Affrettati lentamente

36 OSSIMORO PLANETARIO: oppure

37 Jim Morrison

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