25 gennaio 2013 Primo-Levi I pianeti del Sistema solare - introduzione

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1 25 gennaio 2013 Primo-Levi I pianeti del Sistema solare - introduzione Bedogni Roberto INAF Osservatorio Astronomico di Bologna roberto.bedogni@oabo.inaf.it

2 La nascita della fisica moderna Galileo Galilei «La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.» Nasce il metodo scientifico: sensata esperienza necessaria dimostrazione

3 Galileo Galilei e la scoperta dei pianeti Medicei La nascita dell astronomia moderna Con l'uso del cannocchiale, le cui prime osservazioni risalgono al 1609, il 7 gennaio 1610 Galileo poté constatare, con i suoi occhi, che Giove era accompagnato da quattro satelliti (i satelliti medicei ) che gli giravano intorno come la Luna alla Terra ed i pianeti al Sole.

4 Le leggi di Keplero Cinematica Planetaria

5 Il cielo e le leggi di Keplero L astronomo J. Keplero formulò le leggi, ancora oggi note, con il suo nome riguardanti il moto dei pianeti. 1 a legge di Keplero: i pianeti si muovono su orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi 2 a legge di Keplero: il raggio vettore percorre aree uguali in tempi di percorrenza uguali 3 a legge di Keplero: i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle rispettive orbite

6 La 1 a legge di Keplero I pianeti si muovono su orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi.

7 La 2 a legge di Keplero il raggio vettore percorre aree uguali in tempi di percorrenza uguali

8 La 3 a legge di Keplero Periodo (anni terrestri) Semiasse maggiore U.A. P 2 = k a 3 dalla terza legge diventa allora possibile calcolare la distanza a di un pianeta dal Sole, sconosciuta nell'astronomia tolemaica, prendendo come unità di misura l' Unità Astronomica (U.A.), determinato il periodo di rivoluzione P in anni. In questo caso si ha k = 1.

9 Le leggi della dinamica Forze, masse ed inerzia

10 Il Principio della Relatività Galileiana Principio di Inerzia Se individuiamo un sistema di riferimento nel quale un corpo, non soggetto a forze esterne rimane in quiete, ecco che abbiamo in mano uno strumento formidabile per fare le nostre osservazioni fisiche. Tali sistemi di riferimento si dicono inerziali. Come notò per primo Galileo Galilei è impossibile distinguere tra di loro due sistemi inerziali che si muovono l uno rispetto all altro di moto rettilineo uniforme! (prima legge del moto di Newton)

11 La relatività galileiana La relatività galileiana riguarda due osservatori inerziali S ed S che si muovono l uno rispetto all altro con moto rettilineo uniforme a velocità v Nessuno dei due è in grado di stabilire che è fermo o chi è che si sta muovendo. Conta solo il moto relativo tutto il resto perde di significato.

12 Le trasformazioni di Galileo Senza perdere di generalità, si può assumere che S' abbia i tre assi spaziali paralleli a quelli di S, che il sistema S' si muova con velocità v lungo l'asse x di S e che le origini dei due sistemi di riferimento coincidano per t' = t = 0. Sotto queste condizioni le trasformazioni di Galileo assumono la forma: x ' = x vt y ' = y z = z t = t

13 La velocità della luce è costante? Il valore di c è : metri per secondo (m/sec) Tutti gli osservatori inerziali misurano la stesso valore per la velocità della luce! In qualsiasi direzione la osservino

14 Le trasformazioni di Lorentz INTRODUCENDO LA INVARIANZA DELLA VELOCITA DELLA LUCE PER SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI le trasformazioni si modificano profondamente: Si chiamano trasformazioni di Lorentz ed assumono la forma: x' = γ(x vt) y' = y con γ = 1/(1-v 2 /c 2 ) 1/2 z' = z Che si riducono a quelle galileiane per velocità v «c x' = x vt y' = y z' = z t' = t t' = γ(t (v/c 2 )x)

15 Proprietà delle trasformazioni di Lorentz Trasformazioni di Lorentz x = γ (x vt) y = y z = z t = γ(t (v/c 2 )x) Fattore di Lorentz γ = 1/(1-v 2 /c 2 ) 1/2 Dove : v = velocità relativa tra S ed S c = velocità della luce Notiamo come nelle trasformazioni di Lorentz : 1. Appare la velocità della luce c 2. y e z sono invariate e si trasformano in y e z 3. La trasformazione di x in x coinvolge non solo la velocità relativa v ma anche il fattore γ e quindi la velocità della luce c 4. Il tempo non è più invariato e non può essere più considerato assoluto ciò coinvolge non solo il fattore γ ma anche il rapporto v/c 2 tra la velocità relativa ed il quadrato della velocità della luce che va a moltiplicare x

16 Proprietà delle trasformazioni di Lorentz Trasformazioni di Lorentz x = γ (x vt) y = y z = z t = γ(t (v/c 2 )x) Fattore di Lorentz γ = 1/(1-v 2 /c 2 ) 1/2 Dove : v = velocità relativa tra S ed S c = velocità della luce

17 Fattore di Lorentz Fattore di Lorentz γ = 1/(1-v 2 /c 2 ) 1/2 Dove : v = velocità relativa tra S ed S c = velocità della luce

18 Lo spazio-tempo e gli eventi Rinunciare allo spazio ed al tempo assoluti non significa rinunciare alla possibilità di avere una distanza invariante per i sistemi inerziali che sia tale anche quando la loro velocità relativa è prossima a quella della luce! Bisogna però passare da una descrizione a 3 dimensioni ad una a 4 dimensioni ed introdurre Lo spazio-tempo a 4 dimensioni Due punti nello spazio-tempo a 4 dimensioni (cioè due eventi E 1 ed E 2 ) hanno coordinate E 1 (x 1,y 1,z 1, ct 1 ) e E 2 (x 2, y 2,z 2,ct 2 ) dove c = velocità della luce (costante) NB cambio di notazione (x,y,z,ct)=x 1,y 1,z 1,ct 1 (x,y,z,ct )=x 2,y 2,z 2,ct 2 la loro distanza è: d = c( t z t1) [( x2 x1) + ( y2 y1) + ( z2 1)

19 Elemento di linea nello spazio-tempo e geometria differenziale Se l invariante a 4 dimensioni è: d = c( t z t1) [( x2 x1) + ( y2 y1) + ( z2 1) Tra due eventi E 1 (x 1,y 1,z 1, ct 1 ) e E 2 (x 2,y 2,z 2, ct 2 ) dove c = velocità della luce (costante) Si può introdurre una matrice g i,j (x,y,z,ct) con i seguenti valori: E scrivere quello che in matematica si chiama l elemento di linea 4-dim come: 2 i j ds = g ( x, y, z, ct) dx dx i, j= 1,4 i, j Questo passaggio introduce la geometria differenziale

20 Il limite galileiano Cosa succede per velocità relative v piccole rispetto a quella della luce c?? v «c Nel caso di velocità relative basse rispetto a quella della luce ecco che il Fattore di Lorentz γ = 1/(1-v 2/ c 2 ) 1/2 Dove : v = velocità relativa tra S ed S c = velocità della luce risulta γ ~ 1 e le trasformazioni di Lorentz diventano quelle galileiane

21 I sistemi di riferimento inerziali Ma esistono davvero i sistemi di riferimento inerziali oppure sono un astrazione della mente umana?? Rotazione terrestre, il giorno e la notte con periodo di 24 ore Sistema rotatorio noninerziale Rivoluzione delle Terra attorno al Sole con periodo di 365 giorni ad una velocità di oltre 20 km/sec- Sistema rotatorio noninerziale

22 I sistemi di riferimento inerziali e lo spazio ed il tempo assoluti I sistemi di riferimento inerziali sono quindi una astrazione teorica. questa difficoltà non solo non impedì ai fisici di misurare l inerzia dei corpi materiali (cioè la loro massa) ma nemmeno di pensare alla possibilità di pensare all esistenza di uno spazio assoluto tanto meno si pose in discussione l idea del tempo assoluto

23 La prima legge del moto Tutti i corpi sono in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme in assenza di una forza applicata La prima legge del moto di Newton è la legge di inerzia di Galileo

24 La seconda legge del moto La seconda legge della dinamica afferma che ogni corpo possiede un'inerzia espressa dalla sua massa m i (inerziale) che si oppone agli agenti esterni (le forze F ) che tendono ad alterare il suo stato dinamico ed a fornirgli una accelerazione a tale per cui : r 2 r r d x F = mia = mi 2 dt r F = forza applicata r a = accelerazione massa inerziale E solo osservando l applicazione della forza esterna in un sistema di riferimento inerziale che siamo in grado di valutarne gli effetti e quindi di misurare la massa (inerziale) del corpo sottoposto all azione della forza m i =

25 La terza legge del moto Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria Legge di conservazione della quantità di moto (impulso)

26 La legge di gravitazione universale La prima unificazione Nel 1684 Newton fu in grado di enunciare la legge di gravitazione universale: due punti materiali qualsiasi si attraggono lungo la loro congiungente con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. In formula, dette m 1 ed m 2 le masse gravitazionali dei due corpi, r la loro distanza ed F la forza agente, si ha: F = G (m 1 m 2 )/r 2 dove G è la costante di gravitazione. Si noti che la potenza di r è =2 per cui si parla di forza centrale.

27 Calcolo

28 Il calcolo infinitesimale Newton Leibniz Riemann

29 Derivate La retta L tangente in P al grafico C della funzione ha pendenza data dalla derivata della funzione in P

30 Derivate f(x) Retta tangente ad f(x) in x 0 Scegliendo una funzione f(x) definita in un intorno di x 0 si dice che questa funzione è derivabile nel punto x 0 se esiste ed è finito il limite: dove h rappresenta un incremento del valore di x0 nel suo intorno. Il valore di questo limite prende il nome di derivata della funzione nel punto x 0. Il significato della derivata è quello di ridurre l effetto di un incremento finito h della funzione f(x) al suo valore infinitesimo : cioè di individuare una sua caratteristica nel punto x 0!

31 Integrali b x f ( x) dx

32 Integrali- un esempio 1 0 xdx