Rappresentazione dei dati

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1 Rappresentazione dei dati I dati raccolti in tabelle possono essere rappresentati attraverso grafici che offrono il vantaggio di una descrizione del fenomeno in forma visiva. E. Di Nardo, a.a. 15/16 1 Cartogramma Serve a rappresentare serie o seriazioni geografiche, ossia quegli elementi costitutivi della popolazione che rappresentano modalità geografiche. Esempio di serie statistica (variabile: potenziale) Modalità E. Di Nardo, a.a. 15/16 2 1

2 Al sud siamo più bravi? E. Di Nardo, a.a. 15/16 3 Istogrammi (diagramma a barre) Veneto Valle D'Aosta Umbria Trentino Toscana Sicilia Sardegna Puglia Piemonte Molise Marche Lombardia Liguria Lazio Friuli Emilia Rom. Campania Calabria Basilicata Abbruzzo La Lombardia ha il maggior numero di incidenti E. Di Nardo, a.a. 15/16 4 2

3 Sul sito dell ACI aprendo il file E. Di Nardo, a.a. 15/16 5 Incidenti stradali anno 2009: Totale: Parco macchine 2009 Tasso: Incidenti regionali/parco macchine regionale Tasso %: Tasso per 100 Regione Incidenti Totale Tasso Tasso% Abruzzo ,88 Basilicata ,50 Calabria ,56 Campania ,64 Emilia Rom ,014 1,44 Friuli ,011 1,08 Lazio ,014 1,40 Liguria ,020 2,04 Lombardia ,013 1,30 Marche ,013 1,26 Molise ,48 Piemonte ,91 Puglia ,011 1,09 Sardegna ,88 Sicilia ,86 Toscana ,015 1,46 Trentino ,91 Umbria ,95 Valle D'Aosta ,46 Veneto ,010 1,01 La Lombardia detiene ancora il primato? E. Di Nardo, a.a. 15/16 6 3

4 Tasso% Veneto Valle D'Aosta Umbria Trentino Toscana Sicilia Sardegna Puglia Piemonte Molise Marche Lombardia Liguria Lazio Friuli Emilia Rom. Campania Calabria Basilicata Abbruzzo 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 E. Di Nardo, a.a. 15/16 7 E mettendo a confronto i due grafici Tasso% Valle D'Aosta Trentino Sicilia Puglia Molise Lombardia Lazio Emilia Rom. Calabria Abbruzzo 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 Tasso% Tasso Valle D'Aosta Trentino Frequenze assolute Sicilia Puglia Molise Lombardia Lazio Emilia Rom. Calabria Abbruzzo E. Di Nardo, a.a. 15/16 8 4

5 Diagrammi circolari (torte) Un cerchio che rappresenta tutto il campione viene diviso in spicchi. L area di ogni spicchio rappresenta la frequenza relativa. Finalità principale: evitare ordinamenti anche nel caso di variabili quantitative. Abitanti Torino (1999) 0-24 anni anni anni oltre 64 anni 21% 20% Esempio di seriazione statistica Esempio di serie statistica 28% 31% Suddivisione per fasce di età degli abitanti di Torino E. Di Nardo, a.a. 15/16 9 Ideogrammi Sono rappresentazioni mediante figure stilizzate che rappresentano il fenomeno studiato. Prod.zucche qt Mary 10 Anne 20 Jo 40 E. Di Nardo, a.a. 15/

6 Prod.zucche qt Mary 10 Anne 20 Jo 40 Con questo diverso ideogramma l impressione è diversa: la prima zucca occupa uno spazio rettangolare xy (x è la base e y l altezza), la seconda zucca (con dimensioni raddoppiate) occupa uno spazio 4xy la terza zucca (con dimensioni quadruplicate) uno spazio 16xy. Il rapportotrale produzionidi Mary edanne è di 1 a 4 (e non 1 a 2, come ilrapporto tra10 e 20 correttamenteindicherebbe), mentreilrapportotrale produzionidi Mary e Joe è addirittura pariad 1 a 16 (piuttosto che1 a 4). Questo tipo di grafico non è molto utilizzato E. Di Nardo, a.a. 15/16 11 Diagrammi cartesiani Usati soprattutto per serie temporali, ossia per visualizzare un fenomeno nel tempo ANNO VENDITE AUTO Produzione Produzione La linea continua è facoltativa. E. Di Nardo, a.a. 15/

7 Un esempio concreto di serie storica 30 Denominatore aggiornato con no. di aumenti di capitale, scissioni, fusioni E. Di Nardo, a.a. 15/16 13 Utilità: facile lettura nei confronti. Legenda del grafico: Temperatura media a dicembre (linea blu). Temperatura media nazionale (linea scura) Temperatura a dicembre (linea verde) E. Di Nardo, a.a. 15/

8 Diagrammi cartesiani Per studiare il grado di dipendenza tra due insiemi di dati Esempio: La tabella riporta il peso e l altezza di 10 atleti. Domanda: E possibile ipotizzare che il peso e l altezza degli studenti siano legati da una relazione lineare? E. Di Nardo, a.a. 15/16 15 Diagrammi polari Sono usati per particolari serie storiche con carattere di ciclicità. Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì venerdì lunedì assenze martedì assenze giovedì mercoledì E. Di Nardo, a.a. 15/

9 Istogrammi (diagramma a barre) Città #disoccupati per Atlanta 7300 Boston 5400 Chicago 6700 Los Angeles 8900 New York 8200 Washington 8900 Disoccupati per Disoccupati per Atlanta Boston Chicago Los Angeles New York Washington Freq.relative% 18% 20% 16% 12% 15% Atlanta Boston Chicago Los Angeles Diagramma a torta 19% New York Washington E. Di Nardo, a.a. 15/16 17 Istogrammi per variabili quantitative Esempio: Il Signor X è il preside di una certa scuola e vuole preparare un rapporto sul numero di ore a settimana che gli studenti trascorrono a studiare. Seleziona pertanto un campione di 30 studenti e chiede a ciascuno di loro il numero di ore trascorse a studiare. 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6 Costruire una rappresentazione grafica dei dati. Un diagramma cartesiano non sarebbe significativo Ore E. Di Nardo; a.a. 15/16 18 Ore 9

10 1. Determinare il campo di variazione dell insieme dei dati Campo di variazione = massimo minimo = 33,8-10,3 = 23,5 2. Determinare le classi di modalità Determinare il numero Determinare l ampiezza. Ci sono varie regole empiriche: In tal caso taglia= 30: 30 5,47~6 h 23,5 3, Useremo 6 classi di ampiezza Determinare gli estremi delle classi. (24 23,5)/2 Campo di variazione = 23,5? E. Di Nardo, a.a. 15/16 19 Il primo estremo della prima classe è min-0,25= 10,3-0,25=10,05 > arrotondato a 10 Il secondo estremo (primo estremo della seconda classe) è 10 + ampiezza = = 14 Il primo estremo della terza classe è 14 + ampiezza = 14+4 = 18 e così via Le classi sono [10;14); [14;18); [18;22); [22;26); [26;30); [30;34) 3. Contare quanti elementi cadono in ciascuna classe Ordinare i dati in ordine crescente. 10,3 12,9 12,9 13,5 13,7 14,0 14,2 15,0 15,4 15,7 16,6 17,1 17,4 17,8 18,3 18,3 18,6 18,9 19,7 20,3 20,7 20,8 21,4 23,0 23,2 23,7 26,1 27,1 29,8 33,8 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34) Distribuzione di Frequenza assoluta [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34) 0,17=5/30 0,30 0,30 0,10 0,10 0,03 Distribuzione di Frequenza relativa E. Di Nardo, a.a. 15/

11 4. Il grafico risulta essere Le classi devono essere contigue [10,14) [14,18) [18,22) [22,26) [26,30) [30,34) La somma delle aree dei rettangoli è pari a (4*5+4*9+ +4*1) = 4*( ) = 4*30 5. E possibile costruire un istogramma con le frequenze relative. 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34) La somma delle aree dei rettangoli è pari a 4*0,17+4*0,3+ +4*0,03 =4*(0,17+0,3+ +0,03)=4 La forma non cambia Cosa e cambiato rispetto al grafico precedente? E. Di Nardo, a.a. 15/16 21 Diagramma delle frequenze relative Si chiama diagramma delle frequenze un diagramma cartesiano costruito con i punti medi delle classi di modalità e le frequenze relative. [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34) ,17 0,30 0,30 0,10 0,10 0,03 0,35 Modello teorico 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 [10,14) [10,14) [14,18) [18,22) [22,26) [26,30) [30,34) Poligono di frequenze E. Di Nardo, a.a. 15/

12 Criticità: L area al di sotto del diagramma di frequenza varia con l ampiezza della classe. Sarebbe utile avere una misura «normalizzata», ossia unica per tutti i tipi di campioni considerati. Criticità: Al decrescere del numero delle classi la frequenza relativa decresce. 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 [10,14) [14,18) [18,22) [22,26) [26,30) [30,34) 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 E. Di Nardo, a.a. 15/16 [10;10.5) [11.5;12) [13;13.5) [14.5;15) [16;16.5) [17.5;18) [19;19.5) [20.5;21) [22;22.5) [23.5;24) [25;25.5) [26.5;27) [28;28.5) [29.5;30) [31;31.5) [32.5;33) 23 La regola del pollice Una linea guida o principio: In una distribuzione di frequenza, le frequenze assolute devono assumere un valore pari almeno a 5. 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 [10;10.5) [11.5;12) [13;13.5) [14.5;15) [16;16.5) [17.5;18) [19;19.5) [20.5;21) [22;22.5) [23.5;24) [25;25.5) [26.5;27) [28;28.5) [29.5;30) [31;31.5) [32.5;33) E. Di Nardo, a.a. 15/

13 Istogramma delle densità Si definisce densità il rapporto tra la frequenza relativa e l ampiezza della classe di modalità. [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34) 0,17/4=5/120 0,08 0,08 0,03 0,03 0,01 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34) Vantaggi: a) Stessa forma dell istogramma costruito con le frequenze assolute a) La somma delle aree dei rettangoli è E. Di Nardo, a.a. 15/16 25 Al crescere del numero delle classi, il profilo del diagramma non si «schiaccia». 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 [10;11) [11;12) [12;13) [13;14) [14;15) [15;16) [16;17) [17;18) [18;19) [19;20) [20;21) [21;22) [22;23) [23;24) [24;25) [25;26) [26;27) [27;28) [28;29) [29;30) [30;31) [31;32) [32;33) Questi grafici sono molto importanti quando. alla ricerca del modello teorico 1. Previsioni 2. «Riempire i buchi» 3. Confronti 13

14 E a proposito di confronti Il vantaggio principale nell uso della densità è la possibilità di confrontare insiemi di dati diversi. Esempio: Il Signor X vuole confontare i risultati ottenuti con quelli di un altra scuola ad indirizzo diverso. Gli vengono forniti i dati di un secondo campione di 26 studenti. 25,8; 23,2; 10,1; 24,2; 21,0; 22.3; 15,1; 22,4; 28,3; 25,7; 19,8; 21,4; 17,7; 19,3; 18,2; 21,5; 23,3; 24,3; 20,9; 27,0; 22,3; 20,9; 21,1; 25,1; 23,9; 21,1 Una possibile tabella delle frequenze assolute è: [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) L istogramma è: [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) E. Di Nardo, a.a. 15/ Confrontare questi due istogrammi è II Scuola I Scuola [10,14) [14,18) [18,22) [22,26) [26,30) [30,34) a) Si riferiscono a taglie diverse b) Le classi di modalità hanno ampiezza diversa 3) Gli assi sono diversi! 0 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) E. Di Nardo, a.a. 15/

15 I dataset 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 II dataset [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34) 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 Il modo corretto di confrontare i due insiemi di dati è a) costruire un istogramma delle densità b) uniformare asse x e asse y. Cosa si deduce dal confronto dei grafici? 0 [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30:34) E. Di Nardo, a.a. 15/16 29 E allora «Ditelo con un grafico» Intervento disponibile su: E. Di Nardo, a.a. 15/

16 Diagramma delle frequenze cumulate Nella scuola del Signor X quale percentuale di studenti intervistati trascorre meno di 15 ore a studiare? Un primo diagramma associa a ciascun elemento del campione la percentuale di dati che assume un valore uguale o inferiore ad esso.. ( ) Proprietà: 1) È funzione non decrescente. 2) Assume valori tra 0 e 1. Come si calcola? E. Di Nardo, a.a. 15/ Gli elementi del campione casuale vanno ordinati. 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8 2. Agli elementi (senza ripetizioni) vanno associate le frequenze cumulate. Dati Ordinati Frequenze cumul. 10,3 =1/30 12,9 =3/30 13,5 =4/30 13,7 =5/30 18,3 =15/30 E. Di Nardo, a.a. 15/

17 A cosa serve? Per rispondere al quesito iniziale: Nella scuola del Signor X quale percentuale di studenti intervistati trascorre meno di 15 ore a studiare? 0,23 Si traccia una linea verticale in corrispondenza di 15 ore fino ad incontrare il grafico (rosso) e poi si traccia una linea orizzontale fino ad incontrare l asse delle y. E. Di Nardo, a.a. 15/16 33 A cosa serve? Ma si può rispondere anche al quesito inverso: Nella scuola del Signor X quante ore (al più) trascorre a studiare il 50% degli studenti meno volenterosi? Circa 18 ore. Possiamo essere più precisi? 0,50 Ispezionando il campione casuale e determinando quel valore che divide il campione casuale in due parti. (si veda capitolo successivo) Si traccia una linea orizzontale in corrispondenza di 0,5 fino ad incontrare il grafico (rosso) e poi si traccia una linea verticale in basso fino ad incontrare l asse delle x. E. Di Nardo, a.a. 15/

18 Box-plot E un grafico a scatola, che fornisce informazioni sul 50% dei dati che si colloca al centro del campione. Valore anomalo= outlier Massimo (in genere, con qualche eccezione) 18 Metà 50% dei dati Minimo (in genere ) E. Di Nardo, a.a. 15/16 35 Oltre alle informazioni sul singolo campione, è utile per confrontare più campioni. E. Di Nardo, a.a. 15/

19 Esempio: Sono stati rilevate le pulsazioni cardiache in un minuto di un gruppo di studenti. Alcuni di questi prima della rilevazione hanno effettuato un minuto di corsa, altri no. I dati sono riportati in tabella. SI NO E. Di Nardo, a.a. 15/16 37 Dot-plot = Grafico a punti 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8 Sul grafico viene segnato un punto in corrispondenza del valore numerico del campione casuale. VANTAGGI: a) Più punti in verticale in corrispondenza dello stesso valore numerico. b) Dà un idea della distribuzione dei valori sull asse delle ascisse. E. Di Nardo, a.a. 15/

20 Oltre alle informazioni sui singoli campioni, è utile per confrontare più campioni. E. Di Nardo, a.a. 15/