9 a Esercitazione: soluzioni

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1 9 a Esercitazione: soluzioni Monica Bonacina ([email protected]) Corso di Microeconomia A-K, a.a Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. Def. 1. Modello di Bertrand. Mercato in cui la strategia di ciascuna impresa consiste nella scelata del prezzo al quale vendere il proprio prodotto. Def. 2. Strategia "colpo su colpo". Strategia che prevede la cooperazione dei giocatori nel primo periodo (alla prima mossa) e, nei periodi successivi, l adozione del medesimo comportamento assunto dal rivale nel periodo precedente. Def. 3. Leader. Impresa che "fa la prima mossa" e sceglie la propria strategia ottima incorporando le informazioni sul comportamento del/i rivale/i. Def. 4. Libera entrata. Situazione di mercato in cui non esistono ostacoli all ingresso di nuovi venditori. Def. 5. Follower. Impresa che sceglie la propria strategia ottima tenendo conto della scelta - già effettuata - dall impresa leader. Def. 6. Gioco. Situazione di interazione nella quale il comportamento strategico è una parte rilevante del processo decisionale. Def. 7. Accordo tacito. Si ha un accordo tacito quando le imprese di un industria raggiungono un intesa comune su come devono comportarsi nel mercato, senza discuterne esplicitamente tra di loro. 1

2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso 1. Maggiore è il numero di imprese operanti in un mercato, più sarà facile (per le stesse) trovare e sostenere un accordo collusivo. FALSO. Maggiore è il numero dei giocatore maggiore è la difficoltà di trovare un accordo e maggiore è il beneficio che ciascun operatore può ottenere deviando unilateralmente dalla strategia pattuita; dunque minore sarà la probabilità di sostenere un accordo collusivo. Vero/Falso 2. Nel modello di Bertrand il prezzo di equilibrio per ogni impresa è sempre pari al suo costo marginale. FALSO (in generale). In un duopolio asimmetrico, l impresa meno efficiente sceglierà un prezzo pari al suo costo marginale ma quella più efficiente adotterà una strategia di undercutting e sceglierà un prezzo lievemente inferiore al costo marginale dell impresa rivale in modo a escluderla dal mercato ed ottenere profitti positivi. Vero/Falso 3. Se un gioco simultaneo ammette un solo equilibrio di Nash, tale equilibrio è sempre Pareto-efficiente. FALSO. In corrispondenza di un equilibrio di Nash tutti giocatori scelgono la loro risposta ottima alla strategia degli altri giocatori. Non è detto che tale comportamento, quand anche porti ad un unico equilibrio, implichi un esito Pareto-efficiente (esempio: dilemma del prigioniero). Vero/Falso 4. Due imprese A e B competono alla Bertrand ed hanno, rispettivamente, funzioni di costo totale TC A (X A )=10X A e TC B (X B )=5X B. In equilibrio, solo B rimarrà sul mercato e venderà il bene al prezzo di monopolio che è pari a 15. FALSO. I costi marginali delle due imprese sono MC A =10>MC B =5quindi l impresa A sceglierà un prezzo p A = MC A =10mentre l impresa B, conscia della sua maggiore efficienza, sceglierà p B = MC A ε =10 ε>mc B =5(dove ε è un numero piccolo e positivo, ad esempio 0.01). Solo B resterà sul mercato (perchè offre un prodotto omogeneo all impresa rivale ad un prezzo inferiore) ed il prezzo di equilibrio sarà p B = MC A ε<15. Vero/Falso 5. Due imprese A e B competono alla Bertrand ed hanno, rispettivamente, costi medi pari a AC A =8e AC B =4. In equilibrio, B produrrà il doppio di A. FALSO. I costi marginali delle due imprese sono MC A =8>MC B =4quindi l impresaasceglieràunprezzop A = MC A =8mentre l impresa B, conscia della sua maggiore efficienza, sceglierà p B = MC A ε =8 ε>mc B (dove ε èunnumero piccolo e positivo, ad esempio 0.01). Solo B resterà sul mercato (perchè offre un prodotto omogeneo all impresa rivale ad un prezzo inferiore) servendo tutti i clienti (q A =0). 2

3 Vero/Falso 6. Due imprese che competono alla Stackelberg e hanno costi marginali uguali e costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità FALSO. Se il gioco fosse simultaneo (alla Cournot) i duopolisti produrrebbero la stessa quantità; ma potendo fare la prima mossa il leader sceglierà un livello di output superiore a quello nell equilibrio di Cournot e così facendo disincentiverà la produzione del follower che quindi produrrà meno di quanto farebbe nell equilibrio di Cournot. Vero/Falso 7. Gli incentivi alla collusione sono più forti in presenza di concorrenza in prezzo di quanto non lo siano con concorrenza in quantità. INCERTO. Una deviazione unilaterale dall accordo garantisce profitti maggiori in caso di concorrenza in prezzo (per via della possibilità di escludere i rivali dal mercato praticando un prezzo lievemente inferiore a quello concordato); d altra parte il ritorno all equilibrio di Bertrand-Nash rappresenta una punizione più severa (profitti nulli) di quanto non sia il ritorno ad un equilibrio di Cournot-Nash (profitti positivi). Vero/Falso 8. Potendo fare la prima mossa uno Stackelberg leader ridurrà il proprio volume di produzione al fine di sostenere il prezzo di mercato ed ottenere maggiori profitti. FALSO. Rispetto all equilibrio simultaneo uno Stackelberg leader produrrà di più per disincentivare l ingresso di concorrenti e garantirsi una quota maggiore di mercato. Vero/Falso 9. La concorrenza in prezzo porta sempre ad una massimizzazione dei volumi di vendite. FALSO (in generale). I volumi di vendite sono massimi quando il prezzo a cui è venduta l ultima unità di output è pari al costo di produrre tale unità (p=mc). Tale condizione non è verificata in un duopolio asimmetrico in quanto l impresa più efficiente troverà ottimale praticare un prezzo (lievemente inferiore al costo marginale dell impresa rivale) superiore al proprio costo marginale. Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio 1. Sul mercato dei fagioli operano 3 imprese che competono alla Bertrand; ciascuna di esse è caratterizzata dal costo totale TC i =6q i,doveq i èlaquantità prodotta dall impresa i (i=1,2,3). La curva di domanda di mercato è Q =20 (1/2)p, dove Q è la quantità totale scambiata. (1) Individuate l equilibrio di mercato, rappresentando correttamente le curve di domanda ed offerta di mercato. (2) Calcolate il profitto ottenuto da ciascuna impresa in tale equilibrio, il surplus totale dei produttori e dei consumatori e il surplus sociale. (3) Supponete che il prezzo di un bene sostituto dei fagioli aumenti. Come vi aspettate che si modifichi l equilibrio di mercato dei fagioli (prezzo, quantità, surplus sociale)? Non occorre fare calcoli, ma basta usare un grafico. Soluzioni. (1) Se le imprese sono simmetriche e competono alla Bertrand, cioè decidendo il prezzo per sottrarsi clienti a vicenda sino a quando c è spazio per fare profitti, fisseranno il prezzo al livello del loro costo marginale. Data la funzione di costo totale, il costo marginale di ciascuna è 6 (anche il costo medio è 6). La funzione 3

4 di offerta della singola impresa è p = MC i se p min (AC i ) da cui, sostituendo otteniamo p =6 in corrispondenza di un prezzo pari a 6 ciascuna impresa è disposta ad offrire tutta la capacità a sua disposizione; dunque la curva di offerta di mercato è orizzontale di altezza 6. La curva di domanda (inversa) è Q =20 (1/2)p p =40 2Q con intercetta verticale 40, inclinazione -2 e intercetta orizzontale 20. grafico sotto. p Si veda il 40 domanda Equilibrio di mercato MC= Q offerta L equilibrio di mercato, ottenuto come intersezione tra curva di domanda e di offerta di mercato è p =6;Q =17 (2) Il profitto ottenuto dalle imprese è, come sempre nel caso Bertrand con costo marginale uguale e costante, pari a zero. Il surplus dei produttori che, in assenza di costi fissi equivale alla somma dei profitti delle singole imprese, è anch esso pari a zero. Infine il surplus dei consumatori è SC = = 289 Il surplus sociale (somma di surplus dei produttori e dei consumatori) è quindi anch esso pari a 289. (3) Se il prezzo di un bene sostituto dei fagioli aumenta, la domanda di quel bene da parte dei consumatori si riduce, mentre quella di fagioli aumenta (a parità di prezzo dei fagioli) dunque la curva di domanda di fagioli si sposta verso destra. Stante la forma della curva di offerta di fagioli, ne consegue un aumento (il prezzo di equilibrio nel mercato dei fagioli resta pari a 6) della quantità di fagioli scambiata e del surplus sociale. Esercizio 2. Alfa e Beta sono gli unici produttori di mozzarella di bufala. I costi totali di produzione di ciascuna impresa sono TC i =20q i, dove q i èlaquantità prodotta dall impresa i (i=α, β). La domanda di mozzarelle di bufala è Q = 100 p, dove Q è la quantità totale scambiata. Le imprese competono tra loro sul prezzo. (1) Calcolate l equilibrio di mercato specificando prezzopraticato, quantitàvendute 4

5 eprofitti della singola impresa. (2) L impresa Alfa è costretta (per un improvvisa epidemia negli allevamenti di bufale) ad apportare modifiche al processo produttivo ed i suoi costi totali divengono: TCα 0 =30q α (i costi totali dell impresa rivale restano TC β =20q β ). Si calcoli il nuovo equilibrio di mercato specificando prezzo praticato, quantità vendute e profitti della singola impresa. (3) Confrontate l equilibrio al punto (2) con quello che si avrebbe se Beta si comportasse da monopolista. Dite come mai Beta sceglie di praticare un prezzo inferiore a quello di monopolio. Soluzione. (1) In caso di concorrenza alla Bertrand tra imprese aventi la medesima struttura di costo, ciascuna sceglierà di praticare un prezzo pari al proprio costo marginale p i = MC i =20 e si spartiranno il mercato in parti uguali. Dalla curva di domanda si ottiene che in corrispondenza di un prezzo pari a 20 verranno vendute Q = = 80 unità; quindi ciascun duopolista venderà 40 unità (qi = Q /2=40) ed otterrà un profitto pari a π i =20 qi TC(qi )=0 (2) A causa delle modifiche al processo produttivo, l impresa Alfa diventa meno efficiente di Beta. In presenza di concorrenza alla Bertrand tra duopolisti asimmetrici (ovvero con costi marginali diversi), il duopolista meno efficiente sceglierà di praticare un prezzo pari al suo costo marginale (p 0 α = MCα 0 =30) mentre quello più efficiente sceglierà p 0 β = p 0 α ε =30 ε<p 0 α dove ε è un numero piccolo e positivo, in modo da sottrarre tutti i clienti all impresa rivale ed ottenere dei profitti positivi. Dato che l impresa Beta pratica un prezzo inferiore a quello scelto dall impresa Alfa tutti i consumatori acquisteranno il bene da Beta e, sostituendo nella curva di domanda si ottiene il livello di produzione in corrispondenza del nuovo equilibrio Iprofitti di Beta sono Q 0 = 100 (30 ε) =7+ε 70 π 0 β = p 0 βq 0 TC(Q 0 ) 700 > 0 (i profitti di Alfa sono nulli perchè nessuno vuole acquistare il bene da Alfa). (3) L equilibrio di monopolio per l impresa Beta si ottiene risolvendo l equazione MR = MC ovvero 100 2Q =20Q m =40 e, per sostituzione nella curva di domanda inversa p m = = 60 Pur essendo più efficiente di Alfa, Beta non pratica il prezzo di monopolio perchè in corrispondenza di tale prezzo (p m =60) l impresa Alfa potrebbe agire strategicamente, sottrarre tutti i clienti a Beta scegliendo un prezzo ed ottenere profitti positivi. p 00 α = p m ε>mc α 5

6 Esercizio 3. Nell isola di Soledonia esiste un unica spiaggia comunale. Il sindaco deve decidere quante licenze per stabilimenti balneari distribuire e per quale somma. La domanda di ombrelloni da spiaggia è X = 2000 p, dovexèilnumerodi ombrelloni complessivamente domandato e p il prezzo a cui vengono offerti. Sono al vaglio due proposte. (1) Il partito al Governo propone di vendere due licenze. I due destinatari delle licenze, stabilimento A e stabilimento B, verrebbero a competere tra loro sulla quantità. I costi di produzione in questo caso sarebbero C(x i ) = 200x i,dove i=a,b ed x A +x B = X. Dopo aver derivato e rappresentato graficamentelefunzioni di risposta ottima dei due stabilimenti (indicate in ascissa x A ), calcolate l equilibrio interminidiquantitàofferta, prezzo, profitti e surplus dei consumatori. (2) Il partito di opposizione propone di distribuire 4 licenze. In questo caso i quattro destinatari delle licenze (stabilimenti 1, 2, 3 e 4) verrebbero a competere sul prezzo. I costi di produzione sarebbero analoghi a quanto individuato al punto 1: C(x i ) = 200x i, dove i=1,2,3,4. Calcolate l equilibrio in termini di quantità offerta (in aggregato e da ciascun oligopolista), prezzo, i profitti edilsurplusdeiconsumatori. (3)Per quale somma massima il comune potrebbe vendere ciascuna licenza nei due casi? Supponendo che l obiettivo del sindaco sia la massimizzazione del gettito generato dalla vendita delle licenze balneari, quale delle due proposte accetterà? Argomentate Soluzione. (1) La funzione di reazione di ciascun duopolista si ottiene ponendo MR i = MC i sapendo che MR i dipende anche da quanto produce l altro duopolista, e risolvendo nella quantità del primo. Consideriamo il duopolista A. I suoi ricavi totali, usando la funzione di domanda di mercato inversa per esprimere il prezzo, sono da cui un ricavo marginale TR(x A ) = (2000 x A x B ) x A MR(x A ) = x A x B Il costo marginale del duopolista è pari a 200; quindi la sua funzione di reazione si ottiene risolvendo in x A l equazione MR A = MC A x A = x B Similmente la funzione di reazione del secondo duopolista è MR B = MC B x B = x A La rappresentazione grafica, convenendo di misurare in ascissa x A, è la seguente:l equilibrio di Cournot è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione: ½ xa = x B x B = x A da cui, dopo qualche passaggio x C A =xc B =600; conseguentemente la produzione aggregata è X C =1200. Dalla funzione di domanda inversa otteniamo il prezzo di equilibrio: p C =2000-X C = 800. Iprofitti di ciascun duopolista sono π C i = p C x C i C(x C i ) = Il surplus dei consumatori è dato dall area del triangolo che ha per base la quantità totale prodotta e per altezza la differenza fra l intercetta della domanda inversa ed il prezzo di equilibrio (immaginate il grafico), e vale SC C = ( ) =

7 x B Funz. di reaz ione di A Equilib rio di Nash-Cournot Funz. di reazione di B 1/ x A Figure 1: (2) Nel caso di concorrenza à la Bertrand con oligopolisti caratterizzati dalla medesima funzione di costo totale (e dunque di costo marginale), avremo un prezzo di equilibrio p B = MC i = 200 dove i=1,2,3,4. Dalla curva di domanda diretta otteniamo la quantità complessiva prodotta X B = = 1800 La quantità prodotta da ciascun oligopolista è un quarto del totale (perchè ci sono 4 imprese): x B i = X B /4 = 450 ed il profitto di ciascun oligopolista è pari a zero. Il surplus dei consumatori (immaginate di nuovo il grafico, dove ora il prezzo di equilibrio è 200 e la quantità 1800), è dato da SC B = ( ) = (3) Dal momento che in presenza di concorrenza à la Bertrand i profitti degli oligopolisti sono nulli, la somma massima che i duo polisti saranno disposti a pagare per una licenza sarà pari a zero. Sarà invece possibile ven-dere per una somma positivalelicenzeincasodiconcorrenzaàlacournot(inquestocasolasommamassima a cui è possibile vendere ciascuna licenza è pari ai profitti ottenuti da ciascun duopolista, cioè ). Dunque se l obiettivo del sindaco è la massimizzazione del gettito generato dalla vendita delle licenze, opterà per la prima proposta. Esercizio 4. Gianni & Pinotto sono titolari dell unica impresa produttrice di giocattoli di Playland. La domanda di mercato è Y =10 pdoveyindicalaquantitàdi giocattoli e p il prezzo di vendita. I costi marginali (e medi) di produzione sono pari a 4. (1) Calcolate l equilibrio di monopolio in termini di quantità prodotta, prezzo praticato, profitto ottenuto e surplus dei consumatori. Fornite una rappresentazione grafica delle grandezze di cui sopra. (2) In seguito ad un terribile litigio i due titolari decidono di separarsi dando vita a due imprese identiche, la Gianni s (G) e la Pinotto s (P), caratterizzate da costi marginali di produzione MC G =MC P =4. 7

8 Iniziano quindi a competere simultaneamente sulle quantità. Indicate con y G igiocattoli prodotti dalla Gianni s e con y P quelli della Pinotto s (Y = y G +y P ). Calcolate il nuovo equilibrio raggiunto e confrontate i valori ottenuti con quelli individuati al punto precedente. (3) Supponete ora che l impresa G diventi uno Stackelberg leader e che quindi faccia la prima mossa scegliendo il proprio volume di produzione prima dell impresa P. Vi aspettate che le due imprese continuino a spartirsi equamente il mercato? Perché? Argomentate a parole senza fare calcoli Soluzione. (1) Il monopolista sceglie il livello di output che massimizza il suo profitto, ovvero tale per cui MR = MC I ricavi totali del monopolista, usando la domanda inversa per esprimere il prezzo, sono TR(Y )=(10 Y)Y da cui un ricavo marginale MR =10 2Y Il costo marginale del monopolista è pari a 4; quindi la condizione MR = MC implica 10 2Y = 4. Ne segue un livello di produzione Y =3, un prezzo praticato p =7, profitti π = p Y 4Y = =21 12 = 9 Il surplus dei consumatori è dato dall area del triangolo che ha per base la quantità totale prodotta e per altezza la differenza fra l intercetta della domanda inversa e il prezzo di equilibrio (immaginate il grafico), e vale SC =0.5 3 (10 7) = 9/2 =4.5 [rappresentazione grafica in aula]. (2) La funzione di reazione di ciascun duopolista si ottiene ponendo MR i = MC i sapendo che MR i dipende anche da quanto produce l altro duopolista, e risolvendo nella quantità del primo. Consideriamo il duopolista G. I suoi ricavi totali, usando la funzione di domanda di mercato inversa per esprimere il prezzo, sono da cui un ricavo marginale TR(y G )=(10 y G y P )y G MR(y G )=10 2y G y P Il costo marginale del duopolista è pari a 4; quindi la sua funzione di reazione si ottiene risolvendo in x G l equazione da cui MR G = MC G y G =3 1 2 y P Similmante la funzione di reazione del secondo duopolista è MR P = MC P y P =3 1 2 y G 8

9 x P 6 Funz. di reazione di G Equilibrio di Nash-Cournot Funz. di reazione di P 1/ x G Figure 2: La rappresentazione grafica, convenendo di misurare in ascissa y G,èlaseguente: L equilibrio di Cournot è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione: ½ yg =3 1 2 y P y P =3 1 2 y G da cui, dopo qualche passaggio otteniamo quanto produce ciascun duopolista: y C G =yc P = 2. La produzione aggregata è Y C =4>Y Il prezzo di equilibrio, usando la domanda inversa, è I profitti di ciascun duopolista sono p C =10 4=6<p π C i = p C y C i C(y C i )=4 ed il surplus dei consumatori, calcolato come spiegato anche al punto precedente, è SC C =0.5(10 6) 4=8>SC (3) Nel caso in cui la Gianni s diventi uno Stackelberg leader, aumenterà la sua quota di mercato facendo la prima mossa e scegliendo un livello di produzione superiore a quello scelto in corrispondenza dell equilibrio simultaneo di Cournot. La Pinotto s reagirà contraendo il suo livello di output e producendo quindi meno di quanto individuato in corrispondenza dell equilibrio simultaneo di Cournot. In particolare, come forse si ricorderà a memoria, la Gianni s sceglierà lo stesso livello di output scelto dal monopolista (yg S = Y =3) e la Pinotto s prenderà questo livello come dato e produrrà secondo la sua funzione di risposta ottima, quindi produrrà meno che nel caso di Cournot visto la Gianni produce più (y S P = 3 - (1/2)yS G = 3/2 = 1.5). I profitti della Gianni s aumentano mentre quelli della Pinotto s si riducono per effetto del vantaggio strategico della Gianni s. 9

10 Esercizio 5. Su un mercato operano due sole imprese, l impresa Saturno (S) e l impresa Giove (G). La curva di domanda è Q = 100 p, doveqèlaquantità totale scambiata. I costi totali di produzione di ciascuna impresa sono TC i =16q i, dove q i è la quantità prodotta dall impresa i (i=s, G). (1) Quanto producono le due imprese quando competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre? A quanto ammontano i profitti di ciascuna impresa? (2) Ipotizzate ora che le imprese competano scegliendo simultaneamente il prezzo di vendita. Quale sarebbe il prezzo praticato e che profitti otterrebbe ciascun duopolista? (3) A quanto ammonterebbero iprofitti in caso di accordo collusivo? (4) Sulla base dei risultati precedenti in quale circostanza ritenete che sarebbe più facile l adozione di un comportamento collusivo? Argomentate. Soluzione. (1) L equilibrio di Cournot si ottiene risolvendo il sistema delle funzioni di reazione dei duopolisti. La funzione di reazione dell impresa Saturno è ottenuta risolvendo l equazione MR s = MC s per q s da cui Similmente risolvendo per q g l equazione si ottiene la funzione di reazione di G Quindi l equilibrio di Cournot è 100 2q s q g =16 q s = q g MR g = MC g 100 2q g q s =16 q g = q s ½ qs = q g q g = q s con una produzione da parte di ciascun duopolista pari a qs C = qg C =28,unaproduzione aggregata di 56 unità, un prezzo di equilibrio pari a 44 ed un profitto per ciascun duopolista di π C i = = 784 (2) Nel caso di concorrenza alla Bertrand tra duopolisti simmetrici ciascuna impresa sceglierebbe un prezzo pari al proprio costo marginale. Il prezzo di equilibrio sarebbe quindi pari a 16. In corrispondenza di tale prezzo si avrebbe una domanda complessiva Q B = = 84 Ciascuna impresa servirebbe metà mercato (qs B = qg B =84/2 =42) ottenendo un profitto π B i = = 0 (3) Se le imprese decidessero di colludere sceglierebbero un volume di vendite (un livello di prezzo) tale da massimizzare il profitto congiunto Π = π s + π g = = pq s TC(q s )+pq g TC(q g ) = (100 Q)q s 16q s + (100 Q)q g 16q g = = (100 Q)(q s + q g ) 16(q s + q g )= = (100 Q)Q 16Q 10

11 quindi dalla condizione di massimizzazione del profitto si ottiene un livello di produzione dπ dq = Q 16 = 0 Qm =42 e, per sostituzione, un prezzo di equilibrio p m = = 58 Iprofitti complessivi dell industria in corrispondenza dell accordo collusivo sarebbero quindi Π m = = 1764 Ipotizzando che le imprese si spartiscano equamente il mercato (e quindi i profitti) l accordo collusivo garantirebbe a ciascun duopolista un profitto π m i = 1 2 Πm = = 882 (4) Dato che nel caso di concorrenza in quantità le imprese accordandosi riescono ad aumentare i propri profitti di π m i π C i = = 98 mentre in caso di concorrenza alla Bertrand l aumento di profitti conseguente la formazione del cartello è π m i π B i = = 882 mi aspetto che sia più semplice indurre imprese che competono in prezzo ad accordarsi. Esercizio 6. Nel mercato italiano dei gelati confezionati sono presenti due grandi imprese, la Salgida (A), la Frammontana (B), che competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre. I costi totali di produzione di ciascuna impresa sono TC(y i )=6y i dove y i èlaquantitàprodottadall impresai(i=s, F). La domanda di mercato è Y =10 (1/3)p, dovey = y A + y B. (1) Determinate e fornite una rappresentazione grafica delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Calcolate l equilibrio di mercato. (3) Supponete ora che l impresa S diventi uno Stackelberg leader e che quindi scelga il proprio volume di produzione prima dell impresa F. Vi aspettate che le due imprese continuino a spartirsi equamente il mercato? Perché? (Si risponda senza fare calcoli). (4) Usando il grafico al punto (1) individuate come cambiano i volumi di vendite dei duopolisti quando l interazione diventa sequenziale. Soluzione. (1) E necessario innanzitutto calcolare le funzioni di risposta ottima (usiamo BR per indicare tali funzioni) dei duopolisti. Trattandosi di una concorrenza simultanea in quantità esse risultano date da BR A MR A = MC A (1) e BR B MR B = MC B (2) Dal momento che la domanda inversa è p =30 3Y =30 3y A 3y B, abbiamo che i ricavi totali delle due imprese sono TR A =30y A 3y B y A 3y 2 A e TR B = P y B =30y B 3y A y B 3y 2 B 11

12 da cui i seguenti ricavi marginali MR A =30 3y B 6y A e MR B =30 3y A 6y B Similmente i costi marginali sono MC A =6 e MC B =6 quindi sostituendo nella (??) e nella (2) otteniamo BR A 30 3y B 6y A =6 y A =4 1 2 y B (3) e BR B 30 3y A 6y B =6 y B =4 1 2 y A (4) [in aula la rappresentazione grafica] (2) Mettendo a sistema le BR trovate sopra otteniamo ½ BRA BR B ½ ya =4 1 2 y B y B =4 1 2 y A ½ y A = 8 3 y B = 8 3 da cui una quantità complessivamente prodotta pari a Y = y A + y B =16/3 un prezzo di equilibrio di P =30 3Y =14 eprofitti per ciascun duopolista pari a π A = π B = TR TC = 64 3 (3) Pur avendo una struttura identica di costi, le due imprese non continueranno a spartirsi equamente il mercato in quanto l impresa A cercherà di sfruttare il vantaggio che le deriva dalla possibilità di "fare la prima mossa" e produrrà più dell impresa B. (4) Se l impresa A diventa uno Stackelberg leader, sceglie il proprio livello di output anticipando la scelta dell impresa rivale ovvero anticipando il fatto che BR B 30 3y A 6y B =6 y B =4 1 2 y A (5) dunque inserendo nella funzione di profitto di A la scelta ottima dell impresa B contenuta nella BR B, otteniamo π A = P y A 6y A =(30 3y A 3y B ) y A 6y A = = 30 3y A y A 6 ya = = y A ya =12y A 3 2 y2 A nel momento in cui ad y B sostituisco il valore della risposta ottima di B, ottengo un profitto per l impresa A che è funzione esclusivamente di y A.Pertrovarequanto produce l impresa A, Stackelberg leader, devo semplicemente calcolare la derivata del profitto risptto a y A e porla uguale a zero dπ A dy A =0 12 3y A =0 y s A =4> 8 3 Sostituendo il valore ottenuto nella funzione di risposta ottima dell impresa B ottengo quanto produce l impresa B y s B =4 1 2 ys A =4 2=2<

13 Dunque la quantità di bene complessivamente prodotta è Y s = ya s + yb s =4+2=6 ed il prezzo a cui è venduta è p s =30 3Y s =30 18 = 12 Iprofitti dello stackelberg leader (ovvero dell impresa A) sono π s A mentre quelli dell impresa B sono Graficamente π s B =(12 6) 4=24 =(12 6) 2=12 q B 4 Funzione di reazione di A Funzione di reazione di B 2 Equilibrio di Cournot Equilibrio di Stackelberg -2-1/2 2 4 q A Esercizio 7. L impresa A, monopolista nel mercato dell editoria, fronteggia una curva di domanda di mercato: P = 30 2q. I suoi costi di breve periodo sono dati dalla funzione: TC A = 10q A. (1) Disegnate la funzione di domanda, la curva MR e la curva MC e calcolate l equilibrio di monopolio (prezzo quantità e profitti). (2) Supponete ora che l esistenza di profitti positivi attragga una nuova impresa, impresa B, caratterizzata dalla medesima funzione di costo dell impresa A (la funzione di costo dell impresa B è TC B = 10q B ). Supponete che le imprese concorrano in quantità e che l impresa A possa scegliere la quantità prodotta prima dell impresa B. Calcolate la quantità prodotta, il prezzo ed i profitti dei duopolisti. Soluzione. (1) L equilibrio di monopolio è MR A = MC A 30 4q A =10 q m A =5 il prezzo di monopolio è P m =20ed i profitti del monopolista sono pari a 50. (In aula la rappresentazione grafica) (2) La curva di reazione dell impresa follower è ottenuta risolvendo rispetto a q B il seguente sistema MR B = MC B 13

14 da cui 30 2q A 4q B =10 q B =5 1 2 q A L impresa Leader anticipa il comportamento ottimo dell impresa follower quando sceglie il proprio livello di output quindi i ricavi totali dell impresa Leader sono TR A = Pq A =(30 2q A 2q B )q A = 30 2q A q A qa =[20 q A ] q A da cui un ricavo marginale del Leader pari a 20 2q A. Risolvendo MR A = MC A otteniamo che il leader produrrà, in equilibrio, 5 unità di output (come in monopolio). Sostituendo il livello di produzione del leader nella funzione di reazione del follower otteniamo la produzione di quest ultimo in corrispondenza dell equilibrio di Stackelberg: qb s =5 1 2 q A =5/2 La quantità complessivamente prodotta è quindi il prezzo di equilibrio è Q s =5+ 5 2, p s = = 45 2 ed i profitti dei duopolisti sono rispettivamente π s A =125e πs B = 125/2 14