La legge di Lambert-Beer

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1 La legge di Lambert-Beer In questa esperienza determinerete la concentrazione di una soluzione incognita di permanganato di potassio per via spettrofotometrica. Generalita La spettroscopia si occupa dell interazione fra la materia e la radiazione elettromagnetica (luce). La radiazione elettromagnetica possiede una duplice natura: in alcuni fenomeni essa si comporta come un onda costituita da un campo elettrico e un campo magnetico che oscillano su piani perpendicolari; altri fenomeni, tuttavia, possono essere spiegati solo assumendo che la radiazione elettromagnetica sia costituita da un flusso di particelle, dette fotoni. Naturalmente, queste due descrizioni della radiazione elettromagnetica sono equivalenti e tale equivalenza e contenuta nella seguente relazione: E = hν (1) dove E e l energia posseduta da un fotone della radiazione di frequenza ν (h e la costante di Planck: h = J s). In altre parole, un raggio di luce monocromatica di frequenza ν (e lunghezza d onda λ = c/ν, dove c e la velocita della luce), puo essere equivalentemente descritto come un fascio di fotoni aventi energia (cinetica) pari a hν. La frequenza (e la corrispondente energia e lunghezza d onda) della radiazione elettromagnetica varia in un range estremamente ampio, come mostrato nella tabella 1. Denominazione λ (m) ν (Hz) E (ev) raggi X ultravioletto visibile infrarosso microonde onde radio Tabella 1: Regioni dello spettro elettromagnetico Quando un fascio di fotoni attraversa un campione di materia, possono avvenire molteplici fenomeni. Quello di interesse nel presente contesto e il fenomeno dell assorbimento. L intensita I di una radiazione elettromagnetica e definita come l energia che viene trasportata dalla radiazione attraverso una superficie di area unitaria, normale alla direzione di propagazione, nell unita di tempo. Se vediamo la radiazione come un fascio di fotoni, allora l intensita di un raggio di luce monocromatica e espressa dal flusso di fotoni (o irradianza fotonica, cioe : quanti fotoni attraversano la superficie di area unitaria nell unita di tempo) moltiplicato per l energia di un singolo fotone. 1

2 I I Figura 1: Nel fenomeno dell assorbimento raggio incidente e raggio emergente hanno intensita diversa Quando un raggio di luce monocromatica attraversa un campione di materia, si dice che si e avuto assorbimento se l intensita I del raggio emergente e minore di quella I del raggio incidente (figura 1). In sostanza, se contassimo quanti fotoni attraversano una sezione unitaria nell unita di tempo prima e dopo aver attraversato il campione, troveremmo che in uscita una frazione dei fotoni manca all appello, ovvero alcuni fotoni entrano nel campione, ma non ne escono e diciamo quindi che questi fotoni sono stati assorbiti dal campione. L assorbimento A (o assorbanza o densita ottica) e definito quantitativamente in termini di I e I nel modo seguente: Notate che con questa definizione si ha: e A = log I I (2) I = I A = 0 lim A = + I 0 come ci si aspetta che sia. Normalmente, il comportamento di un campione in riferimento alla sua capacita di assorbire la radiazione elettromagnetica viene misurato dal suo spettro di assorbimento. Questo consiste in un grafico che riporta l assorbimento del campione in funzione della lunghezza d onda della luce che lo attraversa. In figura 2 e mostrato lo spettro di assorbimento del permanganato di potassio nella regione del visibile. In cosa consiste, a livello microscopico, l assorbimento di un singolo fotone? Per rispondere a questa domanda dobbiamo innanzitutto pensare che gli atomi e/o molecole che costituiscono il campione sono oggetti quantistici, e in particolare i loro stati energetici sono quantizzati. La transizione da un determinato stato energetico ad uno stato a energia maggiore richiede un energia pari alla differenza energetica fra lo stato di arrivo e quello di partenza. Tale energia puo essere acquisita in seguito all urto con un fotone: come risultato, il sistema atomico/molecolare si trova in uno stato eccitato e il fotone viene annichilito e, quindi, non e piu presente nel fascio emergente dal campione. La descrizione dell assorbimento quando si consideri la radiazione incidente come un onda consente un maggiore dettaglio. Un sistema atomico/molecolare 2

3 absorbance (a.u.) wavelength (nm) Figura 2: Spettro di assorbimento del permanganato di potassio nella regione del visibile e costituito da cariche elettriche positive (i nuclei) e negative (gli elettroni). Tali cariche non sono statiche, ma possono muoversi le une rispetto alle altre: per questo motivo, un atomo/molecola appare come un dipolo elettrico capace di oscillare. Una radiazione elettromagnetica monocromatica e costituita da un campo elettrico oscillante: allora, se la frequenza di tale campo elettrico e uguale a una delle frequenze con cui il dipolo elettrico atomico/molecolare puo oscillare, l energia trasportata dalla radiazione puo essere trasmessa all atomo/molecola per eccitare quella particolare oscillazione del suo dipolo elettrico. Molto semplicisticamente, il fenomeno e simile a quello di una persona che si accinge a spingere un altalena: se le spinte hanno la stessa frequenza con cui oscilla l atalena, allora la persona riesce a trasferire energia all altalena (l ampiezza delle oscillazioni aumenta e l altalena assorbe energia dalla persona che la spinge); se invece la frequenza con cui si spinge e molto diversa da quella dell altalena, il risultato e un nulla di fatto. Da quanto detto si trae la conclusione, totalmente confermata dalle osservazioni sperimentali, che si puo avere assorbimento di luce solo quando il sistema assorbente compie una transizione che comporta una variazione del momento di dipolo elettrico. Fino a questo punto si potrebbe pensare che ogni volta che un fotone avente energia opportuna urta una molecola, si abbia una transizione. In realta la situazione e piu complessa di cosi. Infatti, le transizioni fra livelli energetici 3

4 degli atomi e delle molecole sono subordinate ad una cosiddetta probabilita di transizione, che in generale non e unitaria; in sostanza, se consideriamo 100 molecole identiche, ciascuna delle quali collide con un fotone avente la giusta energia per provocare una determinata transizione, non tutte assorbiranno il fotone (cioe non tutte compiranno la transizione): solo una frazione di esse, pari alla probabilita di quella transizione, si ritrovera nello stato eccitato. Siccome la probabilita di transizione e determinata dalle caratteristiche dei due stati coinvolti (quello di partenza e quello di arrivo), segue che, anche per uno stesso assorbitore (atomo o molecola), le diverse possibili transizioni avranno probabilita diverse. Questo spiega come mai l assorbimento di un campione ad una certa lunghezza d onda sia diverso, a parita del resto, da quello ad una lunghezza d onda diversa; infatti, essendo le lunghezze d onda differenti, le transizioni implicate sono differenti e, in generale, hanno probabilita differenti. Tralasciando l energia traslazionale (di fatto non quantizzata), quella nucleare e quella degli elettroni piu interni (che sono quantizzate, ma in cui la differenza energetica fra livelli successivi e molto maggiore dell energia trasportata dalla radiazione che ci interessa), gli stati energetici di una molecola o ione possono essere: rotazionali, cioe connessi con la rotazione della molecola vibrazionali, cioe connessi con le vibrazioni molecolari elettronici, cioe connessi con la mobilita degli elettroni di legame Le spaziature di queste tre categorie di livelli energetici sono molto diverse; tipicamente, la spaziatura dei livelli rotazionali e dell ordine di kt/100 (k = ev/k e la costante di Boltzmann; T e la temperatura assoluta); la spaziatura dei livelli vibrazionali e dell ordine di 5kT e quella dei livelli elettronici e dell ordine di 100kT. A temperatura ambiente (T = 298K), questi valori diventano (in ev): kt/ kT kT 2.6 da cui, guardando la tabella 1, si conclude che: le transizioni fra livelli rotazionali sono provocate da assorbimento di fotoni della regione delle microonde le transizioni fra livelli vibrazionali sono provocate da assorbimento di fotoni infrarossi le transizioni fra livelli elettronici sono provocate da assorbimento di fotoni visibili e ultravioletti La spettroscopia visibile e ultravioletta Come detto nella sezione precedente, la spettroscopia visibile e ultravioletta riguarda le transizioni fra livelli energetici degli elettroni di valenza delle molecole. La spaziatura dei livelli elettronici e molto grande ( 100kT): ne segue che, a temperatura ambiente, solo il livello elettronico dello stato fondamentale e popolato. 4

5 E E R R R R R R R R R R ENERGIA Figura 3: Data una certa transizione elettronica fra i due livelli indicati con E, possono esserci molte transizioni ad energia leggermente maggiore e minore, dipendentemente dagli stati rotazionali coinvolti, indicati con R Cio si ricava dalla legge di distribuzione di Boltzmann, secondo la quale la frazione di molecole che si trova nel primo livello elettronico eccitato e data da: N 1 = g ( 1 exp E ) 1 E g ( 1 exp 100kT ) = g 1 exp ( 100) N g kt g kt g dove N 1 e il numero di molecole nello stato elettronico a energia E 1, N e il numero di molecole nello stato elettronico a energia E, g 1 e la degenerazione del livello a energia E 1 e g e la degenerazione del livello a energia E. Tuttavia, a ciascun livello elettronico, e associato tutto lo spettro dei livelli vibrazionali e a ciascun livello vibrazionale e associato lo spettro dei livelli rotazionali. In condizioni normali, anche la popolazione del primo livello vibrazionale eccitato e molto bassa, mentre i livelli rotazionali eccitati sono apprezzabilmente popolati, data la loro piccola spaziatura. Quindi, in prima approssimazione, si puo dire che tutte le transizioni elettroniche partono dal livello elettronico e vibrazionale dello stato fondamentale, ma l energia dello stato di partenza puo essere leggermente diversa a seconda dello stato rotazionale occupato. Per quanto riguarda lo stato elettronico di arrivo della transizione, ci sono molte possibilita, corrispondenti ai diversi possibili stati vibrazionali e rotazionali connessi allo stato elettronico finale. Da cio segue che, fissato il livello elettronico dello stato fondamentale e dato un certo livello elettronico eccitato, ci sono molte possibili transizioni aventi energie simili e centrate attorno a quella della transizione elettronica considerata. La situazione e schematicamente illustrata nella figura 3. Il risultato e che gli spettri di assorbimento nel visibile sono generalmente costituiti da un numero molto grande di righe molto vicine, per cui quello che si vede e l inviluppo di tali righe (come in figura 2) Cenni di strumentazione Uno spettrofotometro UV-visibile e uno strumento capace di generare un fascio di luce UV-visibile(idealmente) monocromatico, di variarne la lunghezza d onda 5

6 Figura 4: Schema di principio di uno spettrofotometro UV-visibile. in modo controllabile, di inviarlo attraverso il campione in esame e di misurare l intensita della radiazione prima e dopo l attraversamento del campione. Gli spettrofotometri convenzionali possono essere a singolo o a doppio raggio. Negli spettrofotometri a raggio singolo, e sempre necessario effettuare una misura di assorbimento non solo per la soluzione di interesse, ma anche per un campione di solo solvente (il cosiddetto bianco ), il cui assorbimento va poi sottratto a quello della soluzione. Negli spettrofotometri a doppio raggio, invece, un sistema elettronico esegue il confronto automatico ad ogni lunghezza d onda dell assorbimento della soluzione e di quello del solo solvente, fornendo direttamente la misura depurata dal contributo del solvente. Cio viene realizzato al costo di una maggiore complessita sia dal punto di vista delle parti ottiche, che da quello delle parti meccaniche. Nonostante la diversita dei due tipi di strumenti, le parti essenziali che li costituiscono sono in generale le stesse e possono essere schematizzate come mostrato nella figura 4: 1. Sorgente luminosa a filamento di tungsteno per il visibile o a vapori di deuterio per l UV. La radiazione emessa e policromatica. 2. Sistema di fenditure, filtri e lenti per focalizzare, filtrare e indirizzare il fascio di luce in modo opportuno. 3. Monocromatore: dispositivo che, attraversato da un fascio di radiazione policromatica, lascia uscire (nel caso ideale) solo la componenente di una lunghezza d onda selezionabile. Ne esistono di diversi tipi e una descrizione dettagliata non ha interesse in questo contesto. 4. Serie di specchi per indirizzare il raggio. 5. Sistema di specchi (detto nel suo complesso chopper ) che divide il raggio di luce in due raggi di uguale intensita. Questo componente e presente solo negli spettrofotometri a doppio raggio. 6. Alloggiamento per le celle (dette anche cuvette ). 6

7 7. Rivelatore: dispositivo capace di trasformare l intensita luminosa in un segnale elettrico ad essa proporzionale. Anche in questo caso la descrizione dettagliata non e importante. Il segnale elettrico generato dal rivelatore(7) viene trattato(quasi sempre da un computer collegato allo strumento) per ottenere l assorbimento A, definito dall equazione2(nelcasodeglispettrofotometriadoppioraggio,i e l intensita della radiazione uscente dalla cuvetta contenente il bianco). Negli spettrofotometri a raggio singolo c e un solo alloggiamento per le celle: in questo caso per ogni lunghezza d onda e necessario determinare l assorbimento del solvente per sottrarlo da quello del campione in soluzione. Negli spettrofotometri a doppio raggio ci sono due alloggiamenti: in uno viene posta la cella con il solo solvente mentre nell altro viene posta la cella contenente la soluzione da analizzare. Un sistema elettronico esegue il confronto automatico dell intensita della luce uscente dalle due celle, fornendo in tal modo direttamente l assorbimento dovuto alla sola specie di interesse. Le celle (generalmente di sezione quadrata e lato pari a 1 cm) sono costruite invetropermisurenelvisibileoinquarzopermisurenelcampodell UV(il vetro perde infatti la sua trasparenza per lunghezze d onda inferiori a circa 350 nm). L applicazione analitica L applicazione analitica delle misure di assorbimento che utilizzerete in questa esperienza si basa sulla legge di Lambert-Beer, secondo cui l assorbimento A di una radiazione elettromagnetica monocromatica a lunghezza d onda λ da parte di una soluzione che contiene N specie chimiche capaci di assorbire a quella lunghezza d onda e proporzionale alla somma pesata delle loro concentrazioni: dove: A d ǫ λ i c i A λ = log I I = d N ǫ λ i c i (3) assorbimento (adimensionale) cammino ottico: cm coefficientediestinzioneocoefficientediassorbimentomolaredellaspecie i alla lunghezza d onda λ: cm 2 /mol concentrazione molare della specie i: mol/l Il cammino ottico e semplicemente lo spessore di soluzione attraversato dalla radiazione. Il coefficiente di assorbimento molare e una caratteristica della specie assorbente e dipende dalla lunghezza d onda. Esso e in relazione con la probabilita della transizione per la data specie assorbente alla data lunghezza d onda dei fotoni incidenti. Se la soluzione contiene una sola specie in grado di dare assorbimento, la legge di Lambert-Beer diventa: A λ = ǫ λ dc Scritta in questa forma semplificata, la legge e facilmente interpretabile. i=1 7

8 L assorbimento sara tanto maggiore quanto maggiore e la probabilita che un fotone incontri una molecola della specie assorbente; tale probabilita e chiaramente proporzionale alla lunghezza del percorso che il fotone compie all interno della soluzione (d) e alla concentrazione della specie assorbente (c). Inoltre, a parita di cammino ottico e concentrazione, l assorbimento sara proporzionale alla probabilita della transizione implicata (come abbiamo visto in generale) e quindi sara proporzionale a ǫ λ. Quando la soluzione contiene piu specie assorbenti, l assorbimento sara la somma dei contributi delle varie specie (equazione 3). Se siamo interessati all assorbimento dovuto a una sola specie presente in soluzione (supponiamo la specie N), allora e sufficiente fare il rapporto fra l intensita I emergente dal campione e l intensita I emergente dal bianco; infatti, detto A λ l assorbimento del bianco, AT λ quello (totale) del campione e A λ quello dovuto alla sola specie N, si ha: A λ = dǫ λ N c N = d N N 1 ǫ λ i c i d ǫ λ i c i = A T λ A λ = log I ) ( log I = log I I I i=1 i=1 La legge di Lambert-Beer non sempre e verificata. Cause di deviazione dalla linearita possono essere equilibri chimici in cui le specie assorbenti sono implicate, oppure scarsa monocromaticita della radiazione generata dallo spettrofotometro(che influenza il valore del coefficiente di assorbimento molare). Siccome la determinazione del coefficiente di assorbimento molare e piuttosto difficile e il valore determinato dipende significativamente dalle condizioni sperimentali (in particolare dalla monocromaticita del raggio di luce generato dallo spettrofotometro), le misure di concentrazione basate sulla legge di Lambert Beer sono normalmente ottenute attraverso la costruzione di una retta di taratura. In pratica, utilizzando soluzioni di analita a concentrazione nota, si costruisce un grafico dell assorbimento in funzione dalla concentrazione; dall assorbimento misurato per la soluzione incognita, si puo poi risalire graficamente o numericamente alla sua concentrazione (figura 5). Procedimento L esperienza consiste nella registrazione dello spettro UV-visibile in soluzione acquosa del permanganato di potassio, KMnO 4, e la misura della concentrazione incognita di una sua soluzione, previa verifica della validita della legge di Lambert-Beer e costruzione di una retta di taratura. Determinazione dello spettro di assorbimento del permanganato di potassio in soluzione acquosa Preparare 50 ml di una soluzione madre di KMnO 4 a concentrazione pari a 80 mg/l (soluzione S 1 ). Registrare lo spettro della soluzione S 1 nell intervallo di lunghezze d onda nm. (figura 2) Determinare la lunghezza d onda corrispondente al massimo di assorbimento. I 8

9 A x 1.2 Assorbimento Concentrazione (mol/l) C x Figura 5: Esempio reale di retta di taratura assorbimento vs concentrazione. Dall assorbimento A x della soluzione incognita si risale graficamente alla corrispondente concentrazione C x Costruzione della retta di taratura e verifica della legge di Lambert- Beer Nello spettrofotometro selezionare la lunghezza d onda corrispondente al massimo di assorbimento dello spettro completo determinato precedentemente. Trasferire la soluzione S 1 in un beaker da 100 ml; avvinare tre volte con circa 1 ml di soluzione la cuvetta; riempirla per un altezza di circa 2 cm e misurare l assorbimento allo spettrofotometro. Riportare la misura effettuata sulla scheda fornita. Attenzione: non sprecare troppa soluzione durante queste operazioni; devono avanzare almeno 25 ml che verranno utilizzati per preparare la soluzione successiva. Sgocciolare energicamente il matraccio da 50 ml fornito; con la pipetta taratatrasferire25.0 mldisoluziones 1 dalbeakernelmatraccioeportare a volume con acqua distillata (soluzione S 2 ). Sgocciolareaccuratamente il beakeretrasferirvila soluziones 2 dal matraccio. Misurarel assorbimento di S 2 come gia fatto con S 1. Ripetere il procedimento usato per S 2 per preparare e misurare l assorbimento di altre tre soluzioni S 3,S 4 ed S 5. Con i dati ottenuti costruire una tabella come quella riportata di seguito: 9

10 Soluzione mg/l mol/l Assorbimento S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 Utilizzare i dati di concentrazione e assorbimento della tabella per costruire un grafico assorbimento vs concentrazione (figura 5). Determinazione della concentrazione incognita di una soluzione di KMnO 4 Misurare l assorbimento di una soluzione a concentrazione incognita di KMnO 4 alla stessa lunghezza d onda e usando la stessa cella impiegata per costruire la retta di taratura. Ricavare la concentrazione cercata per interpolazione grafica o per via numerica Trattamento dei dati Con i dati della tabella costruire il grafico dell assorbimento in funzione della concentrazione di KMnO 4 nelle soluzioni utilizzate. Se si ottiene una retta passante per l origine degli assi cio significa che assorbimento e concentrazione sono direttamente proporzionali e che la legge di Lambert-Beer (equazione 3) e verificata. La proporzionalita diretta si puo verificare calcolando il rapporto A/c = ǫd per ogni soluzione usata e accertandosi che tale rapporto rimanga costante. La pendenza m della retta di taratura: A = m c puo essere determinata con il metodo dei minimi quadrati: m = ci A i c 2 i dovea i ec i sono,rispettivamente, l assorbimentoelaconcentrazionedell i esima soluzione di taratura. Detto A x l assorbimento misurato per la soluzione incognita e c x il valore cercato della concentrazione, sara : c x = A x m (4) 10

11 Determinazione della concentrazione incognita di permanganato di potassio in una soluzione per via spettrofotometrica Sigla del vostro gruppo: Concentrazione della soluzione S 1 : mg/l Assorbimento delle soluzioni di taratura: soluzione assorbimento S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 Volume della soluzione incognita: ml Assorbimento della soluzione incognita: