Cap. X - Ottimizzazione di un sistema di controllo del moto incrementale. X-1. Caratterizzazione del carico. La coppia che deve sviluppare un dato azionamento deve essere tale da equilibrare il carico meccanico applicato all'asse del motore elettrico e cioè la coppia utile C c per la macchina azionata, la coppia di inerzia J dω/dt e le coppie di attrito viscoso C v e secco C a : C = C c + J dω/dt + C v + C a. I carichi meccanici, sebbene presentino tipologie molto articolate in relazione alla molteplicità delle applicazioni, dal punto di vista della funzionalità possono essere inquadrati in due classi: - carichi di tipo dissipativo (ad esempio: torni, frese, ventilatori e dispositivi di sollevamento) in cui quasi tutta l'energia fornita dall'azionamento è impegnata nella lavorazione o nella movimentazione e dissipata per compensare l'effetto degli attriti: C C c + C v +C a ; - carichi di tipo inerziale (ad esempio: robot e meccanismi di posizionamento ad elevata dinamica) in cui quasi tutta l'energia fornita o assorbita dall'azionamento è utilizzata per accelerare e decelerare il carico: C J dω/dt. Pertanto dal confronto tra l'entità dell'energia utilizzata dal carico e dissipata negli attriti e quella necessaria per fare avvenire una variazione di velocità possiamo distinguere (fig. X-1) il comportamento del carico: che va da dinamica molto lenta (in cui la coppia inerziale ha valore trascurabile rispetto alla somma della coppia utile e di quella dissipativa) fino a dinamica molto rapida (in cui la somma della coppia utile e di quella dissipativa ha valore trascurabile rispetto alla coppia inerziale). Fig. X-1 319
X-. Motori convenzionali e di coppia. Negli azionamenti elettrici si possono utilizzare come attuatori motori elettrici realizzati secondo due differenti modalità: motori convenzionali di velocità e motori di coppia. Poiché le dimensioni e quindi il costo dei motori elettrici sono connessi alla coppia che possono sviluppare, i motori elettrici di tipo convenzionale, per motivi di ordine economico, vengono costruiti in modo da fornire coppie motrici relativamente basse ed elevate velocità di rotazione, in quanto ciò consente una maggiore potenza specifica. Tali motori sono pertanto idonei allo scopo solo in quei casi nei quali per la movimentazione del carico è richiesta elevata velocità e bassa coppia motrice. Quando invece sono richieste coppie motrici elevate abbinate a movimentazioni particolarmente lente, l'uso dei motori convenzionali di velocità comporta necessariamente l'introduzione di un riduttore tra l'asse del motore e quello del carico (fig. X-). Questa soluzione, che è tanto meno conveniente quanto più elevata è la dinamica del carico, è adottabile finché le imprecisioni di posizionamento o la possibilità di insorgenza di vibrazioni sono trascurabili. In caso contrario si accoppia direttamente al carico un motore coppia (Direct Drive), cioè un motore progettato in modo tale da erogare, a parità di potenza meccanica disponibile all'asse, elevate coppie a velocità relativamente basse (fig. X-3). Fig. X- Fig. X-3 30
I motori coppia, rispetto a motori convenzionali di equivalente potenza, hanno tipicamente grandi diametri e lunghezze assiali relativamente piccole (fig. X-4), in quanto l'entità della coppia motrice disponibile all'asse è proporzionale al quadrato del diametro del rotore e linearmente proporzionale alla sua lunghezza. Fig. X-4 Essi sono caratterizzati da un elevato rapporto diametro-lunghezza e da un gran numero di poli magnetici in modo da ottimizzare la produzione di coppia. Un aumento del numero di poli (a parità di volume del motore) si traduce infatti in una più alta coppia con un maggiore impatto a più bassi numeri di poli; per esempio l'incremento di coppia ottenibile passando da 4 a 8 poli è molto maggiore di quello ottenibile passando da 3 a 46 poli. Aumentare i poli fino a 30 è quindi una buona misura per aumentare la densità di coppia, che dipende naturalmente anche dal tipo di materiale magnetico permanente utilizzato (Nd-Fe-B). Nella maggior parte dei casi i motori coppia sono dei motori brushless (fig. X-5) con numero di poli molto elevato (anche maggiore di 100), velocità da alcuni giri al minuto a qualche centinaio e valori tipici delle coppie da 100 a 5.000 Nm (si arriva anche a 30.000 Nm). 31
Poiché l'aumento di coppia richiede inevitabilmente un aumento del diametro del motore e quindi del momento di inerzia (proporzionale al cubo del diametro), che influisce negativamente sulle prestazioni dinamiche, si cerca di limitare questo inconveniente rendendo il rotore il più leggero possibile. Pertanto i motori coppia assumono la forma di un anello con un diametro di dimensioni molto maggiori della lunghezza assiale. Un esempio estremo è rappresentato da un motore coppia usato per azionare un telescopio che sviluppa una coppia maggiore di 10.000 Nm; tale motore ha un diametro di,5 m e una lunghezza di 5 cm. Fig. X-5 Poiché la massa dei motori coppia è sempre molto maggiore di quella dei motori convenzionali di pari potenza, si cerca di ridurla portando al limite lo sfruttamento dei materiali, con conseguente aumento delle perdite. Il raffreddamento ha quindi un ruolo vitale per aumentare la densità di coppia, in quanto se il calore non venisse efficientemente rimosso, si verificherebbero surriscaldamenti del motore tali da causare la rottura dell'isolamento e la smagnetizzazione dei magneti. Per rimuovere il calore generato da questi motori, un modo spesso utilizzato, perché più efficiente rispetto al raffreddamento ad aria con ventilatori, consiste nel fare circolare acqua di raffreddamento attraverso dei tubi disposti in prossimità degli avvolgimenti statorici. 3
La tecnologia direct-drive è molto utilizzata in particolare in robotica e nelle macchine utensili, in quanto a fronte di un maggiore costo del motore (per le maggiori dimensioni a causa della minor velocità di rotazione e della conseguente minor potenza specifica) comporta vari vantaggi, connessi al fatto che la trasmissione del moto al carico avviene senza riduttore di velocità. Tra questi: alta dinamica, eccellente rigidezza del carico e quindi preciso controllo del moto, facilità di controllo, maggiore produttività (in conseguenza delle migliori prestazioni dinamiche dovute alla minore inerzia globale; in alcuni casi la produttività è cresciuta del 50%, mentre la precisione è migliorata di circa 30%), migliore qualità del prodotto (in conseguenza della maggiore precisione di posizionamento dovuta alla riduzione dell'elasticità del sistema e all'assenza di giochi che sono invece presenti nei riduttori - fig. X-6), minori pesi, ingombri, perdite, rumore acustico, costi di manutenzione e scorte di pezzi di ricambio (in relazione al minore numero di componenti necessari), maggiore affidabilità, compattezza, semplicità e robustezza. Fig. X-6 Ciò che fa la differenza nella soluzione tradizionale è la qualità del riduttore: più è preciso e rigido, più le prestazioni sono elevate. Nel motore coppia la funzione del riduttore è svolta dalla capacità della regolazione elettronica di generare un moto di superiore qualità. In sintesi: la qualità del movimento si trasferisce dal dominio della meccanica al dominio dell'elettronica. L'esperienza ha dimostrato che l'incremento di prestazioni dinamiche ottenibile con un motore coppia supera agevolmente di un fattore 10 la qualità ottenibile dalla combinazione di un motore convenzionale con il miglior riduttore meccanico possibile. 33
X-3. Criteri di progetto. Quando si deve progettare un azionamento oltre a stabilire quale tipo di motore e di convertitore risultano più idonei e definire la struttura del circuito di controllo ed i necessari relativi sensori, è molto importante, nel caso in cui si debba realizzare un controllo di posizione, effettuare anche una opportuna scelta del profilo di velocità ed eventualmente del rapporto di riduzione tra motore e carico. A tale proposito nel caso ad esempio di azionamenti per moti incrementali, cioè di azionamenti ad alta dinamica e quindi ad elevate correnti e sovra-riscaldamenti del motore, un criterio di progetto potrebbe essere quello di minimizzare la temperatura del motore o meglio, dato che la temperatura del motore dipende anche dal sistema che si utilizza per l'asportazione del calore, l'energia dissipata nel motore. Adottando questo secondo criterio, qualora si utilizzi un motore in corrente continua, in base all'equazione del moto [I a =Ja/K t +C r /K t ] e trascurando l'energia dissipata per vincere la coppia frenante C r rispetto a quella connessa alle coppie inerziali (in quanto si tratta di un azionamento ad alta dinamica) l'energia dissipata nel circuito di armatura del motore è : W d = R a I a (t) dt = R a (J/K t ) (dω/dt) dt + R a (C r /K t ) dt R a (J/K t ) (dω/dt) dt. In base a tale criterio si possono dedurre delle indicazioni di massima per la scelta del profilo di velocità e, qualora il motore sia accoppiato al carico mediante un riduttore di velocità, del rapporto di riduzione r = θ m /θ c tra motore e carico. Prendiamo quindi in esame il caso in cui si desideri far ruotare in un tempo t c di un angolo θ c un carico con momento di inerzia J c. [Ricordiamo che per il riporto delle grandezze del carico all'albero del motore si utilizzano le seguenti relazioni: θ c/m =rθ c J c/m =J c /r C c/m =C c /r]. X-3/1. Profilo di velocità. In base ai legami tra accelerazione a velocitá ω e posizione angolare θ m si dimostra che il profilo di velocità ottimo risulta quello parabolico cui corrisponde: W d = K*R a J θ m /K t t c 3 con K*=1 Infatti essendo in tale caso lineare l'andamento dell'accelerazione, si ha: a=a(1-t/t c ) ω= adt=a(t c -t)t/t c θ = ωdt = [A(t c -t)t/t c ]dt =A(t /-t 3 /3t c ) e per t=t c si ha quindi: θ=θ m =At c /6 A=6θ m /t c da cui si ricava: W d R a (J/K t ) (dω/dt) dt = 1 R a J θ m /K t t c 3. ω=6θ m (t c -t)t/t c 3 A causa della complessità di implementazione che comporta, il profilo parabolico non viene in genere utilizzato ma si ricorre a un profilo triangolare in cui K*=16 o meglio trapezoidale simmetrico, che se realizzato con tempo di accelerazione t a, 34
intermedio t i e di decelerazione t d uguali, comporta un valore di K* pari a 13,5 (fig. X-7). ω = 6θ (t c -t)t/t c 3 ω = 4θ t/t c Fig. X-7 ω = 9θ t/t c X-3/. Rapporto di riduzione. Per limitare la velocità del motore, in modo da adattarla a quella del carico, è spesso necessario adottare un riduttore di velocità (scatola ad ingranaggi, cinghia e puleggia, pignone e cremagliera, ecc.). Poiché il rapporto di riduzione r tra motore e carico influisce sulla dissipazione di energia nel motore W d attraverso θ m e J : θ m =rθ c J=J m +J c /r. per minimizzare W d dobbiamo scegliere il rapporto di riduzione che minimizza il prodotto Jθ m. Dalla condizione d(jθ m )/dr=0 si deduce che l'ottimo rapporto di riduzione teorico é: r = [J c /J m ] (fig. X-8). Fig. X-8 Con un tale rapporto di riduzione il valore del momento di inerzia del carico riportato all'asse del motore J c /r è pari a quello del momento di inerzia proprio del motore J m. X-3/3. Motore. Sempre nell'ottica di ridurre la dissipazione di energia W d vediamo tra vari motori in corrente continua, aventi tutti caratteristiche idonee per l'azionamento, quale conviene scegliere. In base al valore ottimo del rapporto di trasmissione si ha: 35
J=J m θ m =θ c (J c /J m ) e quindi W d =4K*R a J m J c θ c /K t t c 3 =[4K*J c θ c /t c 3 ] [R a J m /K t ], da cui si deduce che il miglior motore per conseguire l'obiettivo che ci siamo posti, cioè di minimizzare l'energia dissipata nel motore, é quello con la più piccola costante di tempo elettromeccanica: τ em =R a J m /K t. Se l'obiettivo é invece quello di minimizzare la temperatura del motore, poiché a regime la sovratemperatura é uguale al prodotto dell'energia dissipata e della resistenza termica R th, si deve minimizzare R th W d = 4K*R th τ em J c θ c /t c 3 cioè scegliere il motore per cui é minimo il prodotto R th τ em. Esempio. θ c = rad, t c = 4 ms, J c = 4 10 5 Kg m i motori a disposizione sono quelli di tabella parametri motore 1 motore motore 3 param. deriv. motore 1 motore motore 3 R a [Ω] 8 3 τ em [ms] 16 8 1 J m [Kg m ] 5 10 6 1 10 5 4 10 5 R th τ em 11 3 4 K t [Nm/A] 0,05 0,05 0,1 R th [ C/W] 7 4 Se l'obiettivo é minimizzare l'energia dissipata (la temperatura) si sceglie il motore (3). Quindi: r = J c /J m = J = J m = 10 5 Kg m e θ m = rθ c = 4 rad profilo trapezio con t a = t i = t d = t c /3 = 8 ms e, essendo θ m = ω' max (t a / + t i + t d /), ω' max = 50 rad/s. Il progetto descritto va bene se il motore può effettivamente seguire il profilo di velocità ottenuto. Se però la velocità massima (ω' max ) del profilo di velocità ottenuto risulta maggiore di quella massima ammissibile per il motore (ω max ), la procedura di ottimizzazione deve essere modificata imponendo un vincolo alla velocità del motore (ω' max = ω max ) e quindi un profilo trapezoidale caratterizzato da tempi di salita e di discesa minori e quindi da valori di accelerazione e decelerazione maggiori. - Profilo di velocità. Si assume un profilo di velocità trapezio simmetrico (t a =t d ) con ω' max =ω max. La corrente necessaria per generare la coppia che determina l'accelerazione del motore è I a =C/K t =Ja/K t =Jω max /K t t a e l'energia dissipata nel motore è: W d = R a I a (t)dt = R a [(Jdω/dt)/K t ] dt = (R a J /K t ) (ω max /t a ) dt = R a J ω max /K t t a. Essendo, in base all'integrale del profilo di velocità, lo spostamento angolare: θ m =ω max (t a /+t i +t d /)=ω max (t c t a ), si ottiene : t a =t d =t c θ m /ω max. - Rapporto di trasmissione. Poichè in base al profilo trapezio ottimizzato si ha: W d = R a (Ja/K t ) dt=(r a J /K t ) (ω max /t a ) dt=r a J ω max /K t t a =R a J ω max /K t (t c θ m /ω max )=R a (J m +J c /r ) ω max /K t (t c rθ c /ω max) determiniamo il rapporto di trasmissione che minimizza la funzione: f(r)=(j m +J c /r ) /t c (1 rθ c /ω max t c ). Per semplificare l'analisi normalizziamo le variabili in modo tale da far si che r dipenda solo dai parametri α (vincolo sulla velocità massima ammissibile) e γ (riduzione relativa del rapporto di trasmissione per α>1): α = ω' max /ω max = [θ m /(t a /+t i +t d /)]/ω max = 3 θ m /t c ω max = (3θ c /t c ω max ) (J c /J m ) γ = r (J m /J c ) r = γ (J c /J m ) f(r) = J m (1+1/γ ) / [1 γθc (J c /J m )/(ω max t c )] = J m (1+1/γ ) /(1 γα/3). Dalla condizione df(r)/dr = 0 si deduce il rapporto di trasmissione che minimizza W d in funzione di α. - Motore. Per α>1 interviene il vincolo di velocità e γ viene ridotto per abbassare la velocità del motore, ciò causa un incremento relativo di energia dissipata β : β = W d /W d/ott = [R a (J m +J c /r ) ω max /K t t c (1 rθ c /ω max t c )] / [13,5R a J θ m /K t t c 3 ] = = [ R a (J m +J c /r ) ω max / K t t c (1 r θ c / ω max t c )] / [54 R a J m J c θ c / K t t c 3 ] = = [(J m +J c /r ) ω max t c ] / [7 J m J c θ c (1 rθ c / ω max t c )] = = [ω max J m t c (1+1/γ ) ] / [7 J c θ c (1 γα/3)] = (1+1/γ ) / [1 α (1 γα/3)] essendo γ funzione di α, tale incremento é funzione della sola α. 36
Determinati per i motori disponibili α = (3θ c /t c ω max ) (J c /J m ) e β = f(α), il motore che dissipa meno energia (con minima temperatura) é quello con βτ em (βτ em R th ) minimo. Scelto il motore più adatto, possiamo determinare r = γ (J c /J m ), θ m = r θ c, t a = t d = t c (1 θ m / ω max t c ), t i = t c t a = (θ m / ω max ) t c. Esempio. θ c = 3 rad, t c = 10 ms, J c = 36 10 5 Kg m i motori a disposizione sono quelli di tabella parametri motore 1 motore motore 3 param. deriv. motore 1 motore motore 3 R a [Ω] 1,5,5 1,5 α 3 1 J m [Kg m ] 4 10 5 16 10 5 64 10 5 β,4 1,4 1 K t [Nm/A] 0,1 0, 0, τ em [ms] 7,5 10 0 ω max [rad/s] 300 300 300 βτ em [ms] 18 14 0 Determinati i parametri derivati α, β, τ em e βτ em, si sceglie il motore in quanto, presentando il minor valore di βτ em, comporta la minima dissipazione di energia. Poichè α = dal grafico si ricava γ = 0,57 e quindi: r = γ J c /J m = 0,86, θ m = r θ c = 7,5 rad e il profilo trapezio di velocità é caratterizzato da t a = t d = t c (1 θ m / ω max t c ) = 8,3 ms, t i = t c t a = (θ m / ω max ) t c = 63,4 ms e ω max = 300 [rad/s]. 37
X-4. Ulteriori considerazioni sulla scelta del profilo di velocita'. Per un corretto dimensionamento di un azionamento è di fondamentale importanza il tipo di profilo di velocità che si impone al carico. Dal profilo di velocità dipende infatti, oltre all'energia dissipata nel motore, l'entità delle sollecitazioni che devono sopportare le parti meccaniche coinvolte nella movimentazione. L'approccio più diffuso è quello di utilizzare profili di velocità triangolari o trapezoidali simmetrici, il cui andamento dipende dal tempo richiesto per raggiungere la posizione prestabilita e dalla massima velocità ammissibile per il motore. Il motivo della diffusa applicazione di tali profili di velocità è dovuto al fatto che sono più facili da progettare e da rendere operativi, in quanto la relativa implementazione non richiede una specifica professionalità. In entrambi i casi però l'andamento discontinuo del profilo di velocità comporta un profilo del jerk (derivata dell'accelerazione) di tipo impulsivo (fig. X-9) e quindi sollecitazioni ad urto, con possibili danneggiamenti alle parti meccaniche ed alle strutture di supporto. Fig. X-9 Una attenuazione delle sollecitazioni si può ottenere scegliendo profili continui di velocità; in particolare ai profili di velocità di figura X-10 corrispondono andamenti rettangolari del profilo di jerk e di conseguenza sollecitazioni meccaniche di tipo a gradino. Fig. X-10 38
Un'ulteriore attenuazione di tali sollecitazioni può essere ottenuta scegliendo un profilo di velocità tale da determinare un andamento continuo del profilo di accelerazione, caratterizzato da valore nullo della derivata iniziale e finale. In tale caso infatti il corrispondente andamento del jerk è di tipo continuo e quindi evita che le parti meccaniche e la struttura di supporto siano sottoposte a sollecitazioni di tipo sia ad urto che a gradino. Tale vantaggio traspare poco o nulla (fig. X-11) dagli andamenti della velocità e della posizione, ad esempio il profilo a tratti lunghi (a cui corrisponde un profilo di jerk ad andamento rettangolare e di conseguenza stress meccanici di tipo a gradino) coincide quasi con quello a tratto continuo (a cui corrisponde un profilo di jerk continuo e quindi stress meccanici molto attenuati). Pertanto il progetto della legge di moto nel caso di azionamenti ad alta dinamica deriva dal progetto di una legge dell'accelerazione tale da mitigare le azioni d'inerzia e le conseguenti sollecitazioni. Fig. X-11 39
In figura X-1 è riportato in dettaglio un profilo di velocità relativo ad un controllo di posizione (moto punto a punto) tale da determinare un profilo continuo di accelerazione e caratterizzato dalla più rapida possibile movimentazione all'interno dei massimi valori ammessi per velocità, accelerazione e jerk. Si tratta di un profilo del moto costituito dai seguenti sette segmenti: 1- accelerazione crescente con jerk pari al valore massimo ammissibile jerk max - accelerazione costante (jerk = 0) 3- accelerazione decrescente con jerk = jerk max 4- accelerazione nulla (jerk = 0) 5- decelerazione crescente con jerk = jerk max 6- decelerazione costante (jerk = 0) 7- decelerazione decrescente con jerk = jerk max Fig. X-1 La scelta di un tale andamento del profilo di velocità non è molto diffusa in quanto richiede l'impiego di una scheda di controllo in cui sia possibile programmare lo specifico andamento del profilo di velocità; cosa molto più impegnativa che effettuare una scelta fra quelli disponibili già programmati. 330
In figura X-13a è riportato un profilo di velocità, tale da determinare un andamento del jerk di tipo continuo, ed il corrispondente andamento della coppia motrice necessaria per azionare il carico (fig. X-13b), ottenuto sommando l'andamento della coppia dissipativa (relativa al caso di coppia di carico variabile linearmente con la velocità - fig. X-13c) a quello della coppia inerziale (fig. X-13d). a) b) c) d) Fig. X-13 331
In base all'andamento della coppia motrice necessaria per azionare il carico (fig. X- 13b), è possibile selezionare un azionamento con idonea caratteristica statica coppiavelocità (fig. X-14). Per poter poi valutare, nel caso di movimentazione a dinamica molto rapida, il grado di utilizzazione dell'azionamento e individuare le velocità ω 1 e ω di passaggio tra la regione di funzionamento continuo e quella di funzionamento intermittente, sovrapponiamo l'andamento della coppia motrice sulla caratteristica statica coppia-velocità dell'azionamento; in tale modo è possibile, per mezzo del profilo di velocità (fig. X-15), determinare gli intervalli di tempo durante i quali l'azionamento si trova a funzionare nella regione di funzionamento intermittente e in quella di funzionamento continuo e valutare quindi se l'azionamento scelto è adatto o meno per il tipo di carico che vogliamo movimentare. Fig. X-14 Fig. X-15 Concludendo. - In tutti i tipi di movimentazione ad esclusione di quelli a dinamica molto rapida si scelgono in genere profili di velocità del tipo continuo a tratti, in cui ogni tratto ha un andamento lineare con valori limite della pendenza fissati in modo da non provocare transitori elettrici di entità tale da richiedere l'intervento dei dispositivi di protezione. Tra questi profili il più diffuso è quello trapezoidale simmetrico e se possibile con tempo di accelerazione, tempo intermedio e tempo di decelerazione uguali. La loro adozione però, poiché comporta profili di jerk tali da determinare sollecitazioni in grado di compromettere la sicurezza di funzionamento e la vita media del sistema, richiede un sovradimensionamento delle parti meccaniche coinvolte nella movimentazione con conseguente rallentamento della dinamica. - Nel caso invece di movimentazioni a dinamica molto rapida la scelta del profilo di velocità è molto più impegnativa. In tali condizioni operative infatti per evitare che le sollecitazioni provochino danneggiamenti alle parti meccaniche ed alle strutture di supporto, senza penalizzare l'efficienza della movimentazione, occorre scegliere in maniera molto accurata il profilo di velocità. 33