Università del Salento. Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi ESERCIZI DEL CORSO DI ALGEBRA I

Università del Salento Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi ESERCIZI DEL CORSO DI ALGEBRA I a.a. 2015/2016

Indice Foglio 1 1 Foglio 2 2 Foglio 3 4 Foglio 4 6 Foglio 5 8 Foglio 6 10 Foglio 7 14 Foglio 8 17 Foglio 9 21 Foglio 10 24 Foglio 11 26 Alcune soluzioni e note 29 Foglio 1A................................ 29 Foglio 2A................................ 32 Foglio 3A................................ 36 Foglio 4A................................ 40 Foglio 5A................................ 44

Foglio 6A................................ 47 Foglio 7A................................ 52 Foglio 8A................................ 55 Foglio 9A................................ 58 Foglio 10A................................ 63 Foglio 11A................................ 69 Prove d esonero - a.a. 2015-2016 72 Primo esonero di Algebra I....................... 73 Secondo esonero di Algebra I..................... 74

Foglio 1 Esercizio 1. Siano A, B e C insiemi. Dimostrare che (1) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) (2) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C) (3) (A \ B) \ C = A \ (B C) (4) A (B \ C) = (A B) \ (A C) Esercizio 2. Siano A, B e C insiemi. Dimostrare che (1) A B C = A C (A \ B) (2) A C = = A \ (B \ C) (A \ B) \ C Esercizio 3. Siano A, B e C insiemi. Vale la seguente affermazione? (1) A (B \ C) = (A B) \ (A C) (2) A (B \ C) = (A B) \ (A C) (3) A (B \ C) = (A B) \ (A C) Esercizio 4. Siano A, B e C insiemi. Dimostrare che (1) (A B) \ (B C) = (A \ B) (B \ (A C)) (2) (A B) C = A (B C) 1

Foglio 2 Esercizio 1. Sia X un insieme e siano R, S e T relazioni su X. Dimostrare che (1) (R \ S) = R \ S (2) (RS) = S R (3) (RS)T = R(ST ) Esercizio 2. Quali delle seguenti relazioni sono funzioni da 4 in Z? (1) A := {(a, b) a 4, b Z, a + b = 3} (2) B := {(a, b) a 4, b Z, ab = 8} (3) C := {(a, b) a 4, b Z, a 2 + b 2 {13, 17}} (4) D := {(a, b) a 4, b Z, a 3 + b 3 = 0} Esercizio 3. Quali delle seguenti relazioni sono delle funzioni? (1) R 1 := {(a; b) a N, b Z, a 4 = b} (2) R 2 := {(a; b) a N, b Z, a = b 4 } (3) R 3 := {(a; b) a N, b N, a = 3b} (4) R 4 := {(a; b) a Z, b Z, a 2 = b 2 } 2

Esercizio 4. Si dica se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive o biiettive. (1) f : N 0 N, n n 2 + 1 (2) f : N N, n (n + 1) 2 (3) f : Z Z, n n 2 3n (4) f : Q Q, n 3n n Esercizio 5. (1) Provare che la funzione { x + 1 se x Z f : Q Q, x x se x / Z è biiettiva. (2) Provare che la funzione f : N 0 N, n è suriettiva ma non iniettiva. n 2 n 1 2 se n è pari se n è dispari (3) Provare che la funzione f : N 0 N 0, n non è iniettiva né suriettiva. { n 2 2 se n 2 n + 2 se n 1 Esercizio 6. Siano X, Y e Z insiemi, f Y X e g Z Y. Dimostrare che valgono (1) fg iniettiva e f suriettiva = g iniettiva (2) fg suriettiva e g iniettiva = f suriettiva 3

Foglio 3 Siano X un insieme e L una partizione di X. Un sottoinsieme R di X di dice un sistema di rappresentanti di L se S L S R = 1 Ad esempio l insieme L := {Z \ N 0, {0}, N} è una partizione di Z e l insieme R := { 1, 0, 1} è un sistema di rappresentanti di L. Anche R := { 2, 0, 1} è un sistema di rappresentanti di L. Esercizio 1. Si consideri la relazione su R R definita ponendo, per ogni a, b, c, d R, (a, b) (c, d) : a 2 + b 2 = c 2 + d 2. Si dimostri che è un equivalenza su R R e si dia un sistema di rappresentanti di (R R)/. Esercizio 2. Si consideri la relazione su Z Z definita ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) : a = c. Si dimostri che è un equivalenza su Z Z e si dia un sistema di rappresentanti di (Z Z)/. Esercizio 3. Si consideri la relazione su N N definita ponendo, per ogni a, b, c, d N, (a, b) (c, d) : a + d = b + c. 4

Si dimostri che è un equivalenza su N N e si dia un sistema di rappresentanti di (N N)/. Esercizio 4. Definiamo una relazione su Z Z ponendo, per ogni a, b, c, d Z, Si dimostri che (1) è un equivalenza su Z Z, (a, b) (c, d) : 2(a c) = 3(d b) (2) (Z Z)/ è equipotente a Z. Si dia un sistema di rappresentanti per (Z Z)/. Esercizio 5. (Prova scritta del 24 febbraio 2009). Si consideri la relazione su Z Z definita ponendo, per ogni a, b, c, d Z: (a, b) (c, d) : a c = 2(b d). (1) Dimostrare che è un equivalenza su Z Z. (2) Provare che (Z Z)/ è equipotente a Z. Si dia un sistema di rappresentanti per (Z Z)/. Esercizio 6. (Prova di esonero del 6 novembre 2013). Definiamo una relazione su R R ponendo, per ogni a, b, c, d R, Dimostrare che (1) è un equivalenza su R, (2) (R R)/ è equipotente a R. (a, b) (c, d) : a 2 c 2 = b d Determinare un sistema di rappresentanti di (R R)/. 5

Foglio 4 Esercizio 1. Dimostrare che (1) z Z 2 z(z + 1), (2) z Z 3 z(z + 1)(z + 2), (3) z Z 6 z(z + 1)(z + 2), (4) z Z 24 z(z + 1)(z + 2)(z + 3). Esercizio 2. (1) Dimostrare che 8 z 2 1, per ogni numero intero dispari z. (2) Dimostrare che 3 4 n + 2, per ogni n N 0. (3) Dimostrare che 4 ( 1) n (2n + 1) 1, per ogni n N 0. Esercizio 3. Dimostrare che, per ogni a, b, c Z, valgono (1) a c = mcd(a, b) mcd(c, b), (2) mcd(a, b) = mcd( a, b) (3) mcd(a, b) = mcd(a, b + ac) (4) mcd(ca, cb) = c mcd(a, b) 6

Esercizio 4. Dimostrare che mcd(ab, a + b) mcd(a 2, b 2 ), per ogni a, b Z. Esercizio 5. Dimostrare che mcd(3z + 4, 4z + 5) = 1, per ogni z Z. Esercizio 6. (1) Dimostrare che per ogni z Z vale { 1 se z è dispari mcd(z, z + 2) = 2 se z è pari (2) Dimostrare che mcd(z + 2, 2z) {1, 2, 4}, per ogni z Z. (3) Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 2, allora mcd(ab, a + b) {2, 4}. Esercizio 7. Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale mcd(ab, a + b) = 1 Esercizio 8. Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale mcd(a b, a + b) {1, 2} Esercizio 9. (Prova scritta del 21 febbraio 2006) Dimostrare che a, b, c Z mcd(b, c) = 1 = mcd(a, b) = mcd(ac, b) 7

Foglio 5 Esercizio 1. Provare che mcd(120, 72) = 24 e determinare x, y Z tali che 120x + 72y = 24. Determinare, inoltre, x, ȳ Z tali che 120 x + 72ȳ = 48. Esercizio 2. Siano a, b, c Z, con a e b diversi da zero. Provare che l equazione diofantea ax+by = c ha soluzioni (intere) se e solo se mcd(a, b) c. Esercizio 3. Determinare una soluzione di ciascuna delle seguenti equazioni diofantee: 15x + 6y = 18, 3x + 2y = 1, 2x + 2y = 1, 30x + 21y = 15. Esercizio 4. Siano b 1, b 2 Z. Dimostrare che esiste un unico multiplo comune m di b 1 e b 2 tale che (1.1) m N 0, (1.2) ogni multiplo comune di b 1 e b 2 è un multiplo di m. Esercizio 5. Siano b 1, b 2 N. Dimostrare che mcd(b 1, b 2 ) mcm(b 1, b 2 ) = b 1 b 2. 8

Esercizio 6. Siano a, n, m N. Dimostrare che (1) a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 +... + a + 1), (2) se m n, allora a m 1 divide a n 1, (3) se 2 n 1 P, allora n P, (4) se a n 1 P e n > 1, allora a = 2 e n P. NOTA: Per ogni n N, i numeri M n := 2 n 1 sono noti come i numeri di Mersenne. Il numero di Mersenne 2 57885161 1 è il più grande numero primo noto. Tale numero ha 17.425.170 cifre. 9

Foglio 6 Esercizio 1. (1) Determinare il resto della divisione di 4 100 con 8. (2) Determinare il resto della divisione di 4 100 con 6. (3) Determinare il resto della divisione di 5 999.999 con 7. (4) Verificare che 37 549 79 14. (5) Verificare che 131 76 37 12. Esercizio 2. (1) Determinare l ultima cifra di 7 41. (2) Dimostrare che per 7 4n+1 10 7, per ogni n N 0. (3) Per ogni n N 0, determinare le ultime due cifre di 5 n+2. (4) Dimostrare che, per ogni n N, l ultima cifra di 2 4n+3 è 8 (Prova d esonero del 3.11.2003). (5) Per ogni n N, si determini l ultima cifra di 4 n + 9 n (Prova scritta del 13.1.2009). Esercizio 3. 10

(1) Provare che n Z 5 n 17 n. (2) Provare che n N 7 n = 7 n 12 1. (3) Dimostrare che a Z 3 a = 3 a 4 +a 2 +1(Prova d esonero del 15.11.2005). (4) Sia n N. Provare che 12 divide 5 n + 7 n se e solo n è dispari ( Prova scritta del 24.2.2009). (5) Sia n N. Provare che 15 divide 4 n + 11 n se e solo n è dispari ( Prova scritta del 8.7.2011). Esercizio 4. (Prova d esonero del 2.12.2004) Dimostrare che per ogni n N vale { 1 se n è pari 10 n 11 1 se n è dispari Esercizio 5. (Prova d esonero del 18.11.2008) Sia z Z. Dimostrare che 3 e 11 dividono z 12 z 2. Esercizio 6. (Prova scritta del 24.9.2008) Sia a, b Z e sia z := 10a + b. Provare che 7 z 4a 7 b Partiamo da un semplice problema: determinare un x Z tale che 7x 23 5. Siamo di fronte ad un equazione congruenziale, ossia un equazione nelle quale il simbolo = è sostituito da m, con m numero intero. Osserviamo che, se consideriamo l equazione congruenziale 4x 2 3, ci rendiamo subito conto che essa non ha soluzioni. Allora, dati a, b Z ed m N 0, quando siamo sicuri che esiste un x Z tale che ax m b? 11

Proposizione 1. Siano a, b Z ed m N 0. Sono equivalenti: (i) esiste un x Z tale che ax m b, (ii) il mcd(a, m) divide b. DIM. Poniamo d := mcd(a, m). (i) = (ii) Sia x Z tale che ax m b. Allora esiste q Z tale che ax b = mq. Poichè d a e d m, si ha che d ax mq, ossia d b. Pertanto vale (ii). (ii) = (i) Poichè d b, esiste q Z tale che b = dq. Sappiamo inoltre che esistono u, v Z tali che d = au + mv. Pertanto si ottiene b = dq = (au + mv)q = a(uq) + m(vq). Da ciò segue che a(uq) b = m( vq), e dunque m a(uq) b. Ma ciò significa che a(uq) m b, per cui x := uq è il numero richiesto dalla (i). La proposizione risponde completamente alla domanda che ci siamo posti. Non solo, la dimostrazione della proposizione ci fornisce un modo per trovare una soluzione dell equazione congruenziale, se essa esiste. Nel caso dell equazione congruenziale 7x 23 5 esiste una soluzione perchè il mcd(7, 23) 5. Dalla dimostrazione della Proposizione 1 si ha che 50 è una soluzione, in quanto 1 = 10 7 + ( 3) 23. Esistono altre soluzioni? Sì, ad esempio 4. Proposizione 2. Siano a, b Z tali che mcd(m, n) = 1. Allora esiste una soluzione del sistema { x m a x n b DIM. Poiché mcd(m, n) = 1, esistono u, v Z tali che mu + nv = 1. Ne segue che x := anv + bmu è una soluzione del sistema in questione. Infatti, x m anv e, poiché nv m 1, si ha che x m a. Analogamente si prova che x n b. 12

Esercizio 7. (1) Determinare almeno un elemento x di Z tale che 7x 24 28. (2) Determinare almeno un elemento x di Z tale che 7x 24 27. (3) Determinare un numero intero pari x tale che 8x 28 8. Esercizio 8. (Prova scritta del 27.9.2005) Determinare un intero x tale che { x 11 5 x 15 4 Esercizio 9. (1) Determinare un intero x tale che { x 3 2 x 4 5 (2) Determinare un intero x tale che { x 4 5 x 5 3 (3) Determinare un intero x tale che x 3 2 x 4 5 x 5 3 13

Foglio 7 Esercizio 1. Sia m Z. Dimostrare che, per ogni a, b Z, vale [a] m + [b] m = [a] m + [b] m. Esercizio 2. Sia m N e m 1. Dimostrare che [0] m [0] m [0] m [0] m. Esercizio 3. Sia m N. Siano a, b Z e d := mcd(a, b). Dimostrare che se mcd(d, m) 1, allora [a] m [b] m [a] m [b] m. Se mcd(d, m) = 1, vale necessariamente [a] m [b] m = [a] m [b] m? Esercizio 4. Per ogni m {5, 6, 7, 8} e per ogni classe [a] m, si dica se esiste o no una classe [b] m tale che [a] m [b] m = [1] m. 14

Esercizio 5. Per ogni m {5, 6, 7, 8}, si dica se esiste o no una classe [a] m, tale che [a] m [a] m = [ 1] m. Esercizio 6. Risolvere l equazione congruenziale 7x 22 5. Esercizio 7. (Prova scritta del 12.2.2007) Dimostrare che, per ogni A, B Z/ 17, vale [3] 17 ˆ A ˆ+ [2] 17 ˆ B = [0] 17 [5] 17 ˆ A ˆ+ [9] 17 ˆ B = [0] 17 Esercizio 8. Sia X un insieme. Dimostrare che la funzione f : P(X) P(X), A X \ A è un isomorfismo da (P(X), ) in (P(X), ). La funzione f è anche un isomorfismo da (P(X), ) in (P(X), )? Esercizio 9. (Prova scritta del 19.6.2013) Sia a Z, a 0. Definiamo in Z la seguente operazione ponendo, per ogni x, y Z, x y = xy + a(x + y + 1). Dimostrare che la funzione f : Z Z, (Z, ) in (Z, ) se e solo se a = 2. x x + a è un omomorfismo da Esercizio 10. (1) Determinare tutte le parti stabili di (Z/ 6, ˆ+). (2) Determinare tutte le parti stabili di (Z/ 7,ˆ ). 15

Esercizio 11. Definiamo in Z la seguente operazione: : Z Z Z, (a, b) mcd(a, b) Provare che (1) D n := { d d Z, d n } è una parte stabile di (Z, ), per ogni n N; (2) nz := { nz z Z } è una parte stabile di (Z, ), per ogni n N. 16

Foglio 8 Esercizio 1. Definiamo in S := Z Z la seguente operazione ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) := (a + c, ac + b + d) Ora, definiamo su S la seguente relazione ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) : a = c. (1) Dimostrare che è una congruenza di (S, ). (2) Dimostrare che (S/,ˆ ) è isomorfa a (Z, +). Esercizio 2. (Prova scritta del 25 febbraio 2014) Definiamo in M := N Z la seguente operazione ponendo, per ogni a, b N e u, v Z, (a, u) (b, v) := (ab, u v), dove u v := u + v + uv per ogni u, v Z. Consideriamo su M la seguente relazione ponendo per ogni a, b N e u, v Z. (a, u) (b, v) : a(v + 1) = b(u + 1), (1) Dimostrare che è una congruenza di (M, ). (2) Dimostrare che la struttura quoziente (M/, ˆ ) è isomorfa a (Q, ). 17

Esercizio 3. Sia k Z. Definiamo la seguente operazione in Z ponendo, per ogni a, b Z, a b := a + b + k. Per ogni m Z, dimostrare che (1) m è una congruenza di (Z, ), (2) la struttura (Z/ m, ˆ ) è isomorfa a (Z/ m, ˆ+). Esercizio 4. Sia k Z. Definiamo la seguente operazione in Z ponendo, per ogni a, b Z, a b = ab + (a b 1)k, dove è l operazione in Z del precedente esercizio. Per ogni m Z, dimostrare che (1) m è congruenza di (Z, ), (2) la struttura (Z/ m, ˆ ) è isomorfa a (Z/ m,ˆ ). Esercizio 5. Definiamo in T := Z Z la seguente operazione ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) := (ac, ad + b) Provare che valgono le seguenti affermazioni: (1) (T, ) è un monoide; (2) per ogni a, b Z e per ogni n N 0 si ha che (a, 0) n = (a n, 0) (1, b) n = (1, nb). Il monoide (T, ) è commutativo? Quali sono i suoi elementi invertibili? 18

Esercizio 6. Siano (S, ) e (T, ) strutture algebriche. Definiamo in P := S T la seguente operazione ponendo, per ogni s 1, s 2 S e t 1, t 2 T, (s 1, t 1 ) (s 2, t 2 ) := (s 1 s 2, t 1 t 2 ), per ogni s 1, s 2 S e t 1, t 2 T. La struttura (P, ) si dice il prodotto diretto della struttura (S, ) con la struttura (T, ). Provare che valgono le seguenti affermazioni: (1) se (S, ) e (T, ) sono commutative, allora (P, ) è commutativa; (2) se (S ) e (T, ) sono semigruppi, allora (P, ) è un semigruppo; (3) se (S, ) e (T, ) hanno elemento neutro, allora (P, ) ha elemento neutro. Nel caso (3), provare che se s è un elemento invertibile di (S, ) e t un elemento invertibile di (T, ), allora (s, t) è un elemento invertibile di (P, ). Esercizio 7. Sia (S, ) una struttura algebrica e sia X un insieme non vuoto. Definiamo su S X la seguente operazione ponendo, per ogni f, g S X, x X x(f g) := (xf) (xg). Provare che valgono le seguenti affermazioni: (1) se (S, ) è commutativa, allora (S X, ) è commutativa; (2) se (S, ) è un semigruppo, allora (S X, ) è un semigruppo; (3) se (S, ) ha elemento neutro, allora (S X, ) ha elemento neutro. Esercizio 8. Sia (S, ) una struttura algebrica. Definiamo nell insieme delle parti P(S) di S, la seguente operazione ponendo, per ogni A, B P(S), A B := {a b a A, b B}. Provare che valgono le seguenti affermazioni: 19

(1) se (S, ) è commutativa, allora (P(S), ) è commutativa; (2) se (S, ) è un semigruppo, allora (P(S), ) è un semigruppo; (3) se (S, ) ha elemento neutro, allora (P(S), ) ha elemento neutro. Esercizio 9. Definiamo in Z la seguente operazione : Z Z Z, (a, b) mcd(a, b). (1) Provare che (Z, ) è un monoide commutativo. (2) Determinare gli elementi invertibili di (Z, ). Esercizio 10. Siano p P e C p := {x x N, mcd(x, p) = 1}. Definiamo in N la seguente relazione ponendo, per ogni a, b N, a b : m, n N p m a = p n b. (1) Dimostrare che è una congruenza di (N, ). (2) Dimostrare che (N/,ˆ ) è isomorfa a (C p, ). Esercizio 11. (Esonero del 18 dicembre 2013) Definiamo su S := Z Q la seguente operazione ponendo, per ogni z 1, z 2 Z e q 1, q 2 Q, (z 1, q 1 ) (z 2, q 2 ) = (z 1 z 2, z 1 q 2 + z 2 q 1 + q 1 q 2 ) Dimostrare che la seguente relazione definita ponendo, per ogni z 1, z 2 Z e q 1, q 2 Q, (z 1, q 1 ) (z 2, q 2 ) z 1 z 2 = q 2 q 1. è una congruenza di (S, ). Dimostrare, inoltre, che la struttura quoziente (S/, ) è isomorfa a (Q, ). 20

Foglio 9 Esercizio 1. Sia (G, ) un gruppo e sia a G. Si consideri l operazione su G definita come segue: : G G G, (x, y) x a y Dimostrare che (G, ) è un gruppo. Dimostrare che l applicazione f : G G, x x a è un isomorfismo da (G, ) in (G, ). Esercizio 2. (Prova scritta del 8.7.2011). Consideriamo su Z l operazione definita ponendo, per ogni x, y Z, { x + y se x è pari x y = x y se x è dispari Dimostrare che (Z, ) è un gruppo. Esercizio 3. Sia G un gruppo ed e il suo elemento neutro. Dimostrare le seguenti affermazioni: (1) G è abeliano se e solo se (xy) 1 = x 1 y 1, per ogni x, y G; (2) G è abeliano se e solo se (xy) 2 = x 2 y 2, per ogni x, y G ; (3) se per ogni g G risulta g 2 = e, allora G è abeliano. 21

Esercizio 4. Dimostrare che il seguente sottoinsieme di Q { m } T := m Z, i {0, 1} 3 i è un sottogruppo additivo di Q che contiene Z. Esercizio 5. Sia p P e siano S := { q q Q j N 0 p j q Z } T := { q q Q r N mcd(r, p) = 1 rq Z } Dimostrare che S e T sono sottogruppi di (Q, +). Esercizio 6. Sia G un gruppo abeliano e sia e l elemento neutro di G. Provare che l insieme è un sottogruppo di G. T (G) := { g g G, n N g n = e } Esercizio 7. Siano G un gruppo, H G e g G. Provare che l insieme K := { x x G, h H x = g 1 hg } è un sottogruppo di G. Esercizio 8. Sia G un gruppo e sia f un endomorfismo di G. Provare che l insieme H := { x x G, (xf)f = xf } è un sottogruppo di G. 22

Esercizio 9. Siano G un gruppo abeliano e f Aut (G) tale che f 2 = id G. (1) Dimostrare che A := { x x G, xf = x } e B := { x x G, xf = x 1 } sono sottogruppi di G. (2) Dimostrare che (x 1 f)x B per ogni x G. (3) Dimostrare che { x 2 x G } AB. Esercizio 10. Sia G un gruppo, e il suo elemento neutro ed a G. Poniamo B(a) := { x x G, xa = a 1 x }, C(a) := { x x G, xa = ax }. Dimostrare che sono equivalenti (i) B(a) G, (ii) a 2 = e, (iii) B(a) = C(a) Esercizio 11. Siano m, n Z. Poniamo d := mcd(m, n) e c := mcm(m, n). Provare che valgono le seguenti affermazioni: (1) Zm + Zn Z e Zm + Zn = Zd; (2) Zm Zn Z e Zm Zn = Zc; (3) Zm Zn = Zm + Zn. Esercizio 12. Sia (G, ) un gruppo. Dimostrare che, per ogni H, K G, valgono le seguenti affermazioni: (1) H K G H K o K H; (2) H K G H K = K H. 23

Foglio 10 Esercizio 1. Siano G un gruppo e H G. Poniamo C G (H) := {x x G, h H xh = hx}. (1) Dimostrare che C G (H) G. (2) Dimostrare che, se H è un sottogruppo normale di G, allora C G (H) è un sottogruppo normale di G. Esercizio 2. Siano G un gruppo e H G. affermazioni sono equivalenti: Dimostrare che le seguenti (i) H G, (ii) x, y G xy H = yx H. Esercizio 3. Siano G un gruppo, N G e H G. Dimostrare che, se N è abeliano, allora N H è un sottogruppo normale di NH. Esercizio 4. Poniamo Q := Q \ {0}, { ( ) } a b G := b Q, a, d Q 0 d e N := { ( 1 b 0 1 ) b Q } Dimostrare che G è un gruppo rispetto all usuale prodotto tra matrici e che N è un sottogruppo normale di G tale che 24

(1) G/N è isomorfo al prodotto diretto Q Q, (2) N è isomorfo a (Q, +). Esercizio 5. Sia G := Q Q e sia N := { (0, b) b Q }. Definiamo su G la seguente operazione ponendo, per ogni a, b, c, d Q, Provare che (1) (G, ) è un gruppo. (a, b) (c, d) = (a + c, ac + b + d) (2) N è un sottogruppo normale di G. (3) (G/N, ) è isomorfo a (Q, +). Esercizio 6. Sia G := R \ {0} R. Definiamo su G la seguente operazione ponendo, per ogni a, c R \ {0} e b, d R, (a, b) (c, d) = (ac, ad + b) Dimostrare che (1) (G, ) è un gruppo, (2) N := { (1, d) d R } è un sottogruppo normale di G, (3) (G/N, ) è isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli. Esercizio 7. Siano G un gruppo e D := { (a, a) a G }. Dimostrare che (1) D è un sottogruppo del prodotto G G, (2) se D è un sottogruppo normale di G G, allora G è abeliano e (G G)/D = G. 25

Foglio 11 Esercizio 1. Siano ψ 1 := ( 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 7 6 4 ( 1 2 3 4 5 6 7 ψ 2 := 1 2 3 5 6 4 7 ( 1 2 3 4 5 6 7 ψ 3 := 2 1 7 4 5 6 3 ), ), ). (1) Dare ψ := ψ 1 ψ 2 ψ 3 nella scrittura standard. (2) Determinare le orbite di ψ. (3) Decomporre ψ nel prodotto di cicli disgiunti non banali. Esercizio 2. Sia X = 7 e sia ( ) 1 2 3 4 5 6 7 ϕ := 1 3 5 4 7 6 2 (1) Mostrare che ϕ è un ciclo. (2) Dare ϕ 2 e ϕ 3 nella scrittura standard e determinarne le orbite. (3) Verificare che ϕ 4 = id X. 26

Esercizio 3. Sia ζ := ( 1 2 3 4 5 6 7 5 2 4 7 3 6 1 ) (1) Verificare che ζ è un ciclo. (2) Per ogni n N, si scriva ζ n come prodotto di trasposizioni. Esercizio 4. Sia π := ( 1 2 3 4 5 6 7 5 2 6 4 7 3 1 ) (1) Decomporre π nel prodotto di cicli disgiunti. (2) Determinare π. Esercizio 5. (Prova d esonero del 17.12.2008) Sia ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 ψ := 7 5 1 2 4 6 3 8 (1) Determinare le orbite e la decomposizione in cicli disgiunti di ψ. (2) Scrivere ψ 2 come prodotto di trasposizioni. (3) Determinare ψ. (4) Trovare una trasposizione τ S 8 tale che ψτ = τψ. Esercizio 6. (Prova scritta del 3.2.2009) Siano α := (1 2 3 4) e β := (1 6 7) elementi di S 7. (1) Dimostrare che αβ e βα sono entrambi cicli e αβ βα. (2) Determinare una trasposizione τ S 7 tale che ατβ sia un ciclo di lunghezza 7. 27

Esercizio 7. (Prova scritta del 24.2.2009) Siano α := (2 5 6 8)(2 8 7)(1 3 4) e β := (2 7 5 6)(2 6 8)(1 3 4) elementi di S 8. (1) Mostrare che α e β hanno la stessa struttura ciclica. (2) Determinare τ S 8 tale che ατ = β 2. 28

Alcune soluzioni e note Foglio 1A Esercizio n.1(3) Sia x (A \ B) \ C. Allora x A \ B e x / C. Segue che x A e x / B. Osserviamo allora che x / B C perché altrimenti avremmo che x B oppure x C, entrambe affermazioni false. Pertanto x A \ B C. Sia x A \ (B C). Allora x A e x / B C. Quindi x / B e x / C. Segue così che x A \ B e x / C da cui si ricava che x (A \ B) \ C. Esercizio n.1(4) Sia x A (B \ C). Allora x A e x B \ C. Ne segue che x A e x B e quindi x A B. Inoltre, x / C e quindi x / A C. Pertanto x (A B) \ (A C). Sia x (A B) \ (A C). Allora x A B e quindi x A e x B. Inoltre x / A C. Da ciò segue che x / C, altrimenti, poiché x A, si avrebbe che x A C in contraddizione con l assunzione x / A C. Pertanto x B \ C ed essendo x A si ottiene che x A (B \ C). Esercizio n.2(1) Sia x A. Allora distinguiamo due casi: 1 caso: x B. Allora x A B e quindi, dall ipotesi A B C, segue che x C. Pertanto x C (A \ B). 2 caso: x / B. Allora x A \ B e quindi x C (A \ B). In ogni caso x C (A \ B). Esercizio n.2(2) Sia x A\(B \C). Allora x A e x / B \C. Segue allora che x / B oppure 29

x C. Osserviamo che x / C perché altrimenti x A C, in contraddizione con l ipotesi A C =. Ne segue che x / B. Pertanto x / (A \ B) \ C. Esercizio n.3(2) L affermazione non è vera. Infatti esistono insiemi A, B, C tali che A (B \ C) (A B) \ (A C). (1) Per provare questa affermazione basta esibire degli insiemi A, B e C per i quali vale (1). Una dimostrazione di tale affermazione è la seguente: Siano A := {1}, B := {1, 2} e C := {2}. Allora A (B \ C) = A, (A B) \ (A C) = e A. Esercizio n.3(3) L affermazione non è vera. Come nell esercizio precedente, basta mostrare che esistono degli insiemi A, B, C per cui si abbia A (B \ C) (A B) \ (A C). Una dimostrazione potrebbe essere la seguente: Siano A := {1, 2}, B := {2} e C := {3}. Allora A (B \ C) = A, (A B) \ (A C) = B e A B. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 8. Siano A, B, C insiemi. Valgono le seguenti affermazioni? (1) (A \ B) \ C = (A \ C) \ B (2) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) 30

Esercizio 9. Siano A, B insiemi. Provare che: (1) A \ (A \ B) = A B (2) A \ B = A B (3) A \ B = A A B = Esercizio 10. Siano A, B, C insiemi. Valgono le seguenti affermazioni? (1) A B = A C B C (2) A B = A C B C (3) A B = A \ C B \ C (4) A B = C \ B C \ A 31

Foglio 2A Esercizio n.1(3) Siano (a, b) (RS)T. Allora esiste x X tale che (a, x) RS e (x, b) T. Segue che esiste y X tale che (a, y) R e (y, x) S. Quindi (y, b) ST e, di conseguenza, (a, b) R(ST ). Pertanto (RS)T R(ST ). Siano (a, b) R(ST ). Allora esiste x X tale che (a, x) R e (x, b) ST. Segue che esiste y X tale che (x, y) S e (y, b) T. Quindi (a, y) RS. Pertanto (a, b) (RS)T. Pertanto (RS)T = R(ST ). Esercizio n.2(3) La relazione C non è una funzione da 4 in Z. Infatti, se consideriamo a = 1 allora esiste b 1 = 4 in Z tale che a 2 + b 2 1 = 17. Ma in Z esiste anche b 2 = 4 tale che a 2 + b 2 2 = 17. Esercizio n.2(4) La relazione D è una funzione da 4 in Z. Infatti, sia a 4. Allora, posto b := a Z, si ha che a 3 + b 3 = 0. Inoltre, tale elemento è unico in Z. Infatti, basta osservare che a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) e quindi, comunque fissato a 4, la relazione a 3 +b 3 = 0 non ammette altre soluzioni in Z diverse da b = a. Esercizio n.3(3) La relazione R 3 non è una funzione da N in N. Infatti, 1 N e non esiste alcun b in N tale che 1 = 3b perché, in caso contrario, si avrebbe che b = 1 3 / N, una contraddizione. Esercizio n.3(4) La relazione R 4 non è una funzione Z in Z. Infatti, considerato a = 1, in Z esiste b 1 = 1 tale che a 2 = b 2 1 ma anche b 2 = 1 tale che a 2 = b 2 2. 32

Esercizio n.4(2) La funzione f è iniettiva. Infatti, siano n, m N tali che nf = mf. Allora, (n + 1) 2 = (m + 1) 2. Poiché n + 1 e m + 1 appartengono a N, segue che n + 1 = m + 1 e quindi n = m. La funzione f non è suriettiva. Infatti, consideriamo 1 N e sia n N. Supponiamo per assurdo che nf = 1. Allora, (n + 1) 2 = 1 e quindi n 2 + 2n + 1 = 1. Ne segue che n 2 + 2n = 0, ossia n {0, 2}, in contraddizione con n N. Esercizio n.4(3) La funzione f non è iniettiva. Infatti, esistono due elementi distinti di Z, 0 e 3, tali che 0f = 0 e 3f = 0. La funzione f non è suriettiva. Infatti, consideriamo 1 in Z e sia n Z. Supponiamo { per assurdo che nf = 1. Allora n 2 3n + 1 = 0, ossia 3 + 5 n, 3 } 5, in contraddizione con n Z. 2 2 Esercizio n.4(4) La funzione f è iniettiva. Infatti, siano n, m Q tali che nf = mf. Segue allora che 3n n = 3m m. Distinguiamo due casi. 1 caso: n 0. Allora 3n n = 2n 0. Quindi m 0 perché altrimenti, 2n = 3m m = 4m < 0, una contraddizione. Segue allora che 2n = 2m, da cui si ottiene che n = m. 2 caso: n < 0. Allora 3n n = 4n < 0. Segue che m < 0 perché altrimenti si ottiene che 4n = 3m m = 2m 0, una contraddizione. Ne consegue che 4n = 4m e quindi n = m. La funzione f è suriettiva. Infatti, sia m Q. Distinguiamo due casi. 1 caso: m 0. Poniamo n := m. Allora n Q e, poiché n 0, nf = 2n = 2 2 m 2 = m. 2 caso: m < 0. Allora, posto n := m, si ottiene che n Q. Inoltre n < 0 e 4 quindi nf = 4n = 4 m 4 = m. Poiché f è sia iniettiva che suriettiva, si può concludere che f è biiettiva. 33

Esercizio n.5(2) Sia m N 0. Poniamo n := 2m. Allora n N 0 e, poiché n è pari, nf = n 2 = m. Pertanto f è suriettiva. Dimostriamo ora che f non è iniettiva. 0f = 0 2 = 0 e 1f = 1 1 = 0. 2 A tale scopo basta osservare che Esercizio n.5(3) Verifichiamo dapprima che f non è iniettiva. A tale scopo basta notare che 0f = 2 e 2f = 2. Dimostriamo ora che f non è suriettiva. Vale allora che 1 N 0. Sia n N 0. Allora, se n 2 si ha che nf = n 2 2 e quindi nf 1 perché altrimenti n { 3, 3 } in contraddizione con n N 0. Se invece n 1, nf = n + 2 e quindi nf 1 perché altrimenti n = 1 in contraddizione con n N 0. Pertanto f non è suriettiva. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 11. Quali delle seguenti relazioni sono delle funzioni? (1) R 1 := {(a; b) a N, b N, 2a + b = 1} (2) R 2 := {(a; b) a N 0, b N 0, a 4 = b 2 } (3) R 3 := {(a; b) a N 0, b Z, a 6 = b 2 } (4) R 4 := {(a; b) a Q, b Q, ab = 1} Esercizio 12. Stabilire se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive o biiettive: (1) f : Z Z, n n 2 n 2 34

(2) f : Q Q, n n 3 1 (3) f : Z N 0, n n (n + 1) 2 Esercizio 13. (1) Provare che la funzione f : N N, n è iniettiva ma non è suriettiva. (2) Provare che la funzione { 6n 4 se n è pari 2n 1 se n è dispari { n se n è pari f : N 0 N 0, n n 1 se n è dispari non è né iniettiva né suriettiva. (3) Provare che la funzione è biiettiva. f : R R, x { x 3 se x < 0 x 2 se x 0 35

Foglio 3A Esercizio n.3 Per dimostrare che è una relazione di equivalenza su N N basta dimostrare che la relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva (qui viene omessa questa verifica). Inoltre, l insieme R := { (n + 1, 1), (1, n + 1) n N } è un sistema di rappresentanti di (N N)/. Per dimostrarlo, proviamo dapprima che per ogni S (N N)/ si ha che S R. Sia S (N N)/. Esistono allora a, b N tali che S = [(a, b)]. Se a b > 0, poniamo m := a b N. Ne segue che a b = (m + 1) 1, ossia (a, b) (m + 1, 1). Pertanto (m + 1, 1) S R. Se invece a b 0 poniamo l := b a N. Allora vale che a b = 1 ( l+1), ossia (a, b) (1, l + 1). Pertanto (1, l + 1) S R. Verifichiamo ora che S R = 1. Supponiamo dapprima che a b > 0. Sia (m + 1, 1) R S, Poiché (m + 1, 1) (m + 1, 1), risulta che (m + 1) 1 = (m + 1) 1 e quindi m = m. Pertanto S R = 1. Analogamente si dimostra lo stesso risultato nel caso in cui a b 0. In generale, data una relazione su un insieme X, non è sempre semplice individuare un sistema di rappresentanti. Esiste però un espediente per determinarne uno in modo un po più facile. In particolare esso consiste nel determinare una funzione f con dominio l insieme X in modo tale che f =. Vediamo ad esempio come si può procedere per scegliere un sistema di rappresentanti di (N N)/. Osserviamo innanzitutto che se a, b, c, d N vale che (a, b) (c, d) a b = c d. Inoltre a b Z. Questo ci suggerisce di definire f nel seguente modo: f : N N Z, (a, b) a b. 36

Chiaramente (a, b) f (c, d) (a, b) (c, d) e quindi f =. Si ottiene così che è una relaizone di equivalenza su N N. La funzione f è suriettiva. Infatti, sia z Z. Distinguiamo due casi: 1 caso: z N. Allora, esistono z + 1 e 1 in N tali che z = (z + 1) 1 = (z + 1, 1)f. 2 caso: z / N. Allora, esistono 1 e z + 1 in N tali che z = 1 ( z + 1) = (1, z + 1)f. Di conseguenza f è suriettiva. Ora, la scelta di un sistema di rappresentanti di (N N)/, ci è suggerita dalla suriettività della funzione f che ci porta a definire l insieme R di prima. Il metodo appena descritto può essere anche utilizzato per gli Esercizi 1 e 2 in alternativa alla soluzione già proposta. Esercizio n.5 Un altro sistema di rappresentanti rispetto a quello visto durante l esercitazione è l insieme R := { (z, 0) z Z }. Esercizio n.6 Osserviamo dapprima che se a, b, c, d R vale che Sia (a, b) (c, d) a 2 b = c 2 d. f : R R R, (a, b) a 2 b. Allora = f e quindi è una relazione di equivalenza su R R. Per dimostrare che (R R)/ è equipotente a R, verifichiamo che la funzione f è suriettiva. Sia allora x R. Posto a := 0 e b := x risulta che (a, b)f = x e quindi f è suriettiva. Per il teorema 8.4 vale allora che (R R)/ è equipotente a R. Sia ora R := {(0, x) x R} e proviamo che è un sistema di rappresentanti 37

di (R R)/. Sia S (R R)/. Esistono allora a, b R tali che S = [(a, b)]. Sia allora t := b a 2. Poiché a 2 b = 0 2 t, vale che (a, b) (0, t). Di conseguenza (0, t) S R e quindi S R. Sia ora (0, t ) S R. Allora (0, t) (0, t ) e quindi t = t da cui segue che S R = 1. Pertanto R è un sistema di rappresentanti di (R R)/. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 14. Siano X un insieme e R una relazione su X. Dimostrare che (1) R è simmetrica R R, (2) R è transitiva RR R. Esercizio 15. Sia X un insieme e sia R una relazione su X. R 1 := R e R n+1 := R n R, per ogni n N. Inoltre, poniamo Poniamo R := n N R n Si dimostri che (1) R è transitiva, (2) se R è riflessiva e simmetrica, allora R è un equivalenza. Infine, se X := { 1, 2, 3 }, si determini R nei seguenti casi: (a) R := { (1, 2), (2, 3), (3, 1) }, (b) R := { (1, 2), (2, 3), (2, 1) }. Sia X un insieme. Ricordiamo che una funzione biettiva da X in X si dice una permutazione di X e che con il simbolo S X indichiamo l insieme di tutte le permutazioni di X. Se f S X, poniamo f 0 := id X e f n := (f ) n per ogni n N. 38

Esercizio 16. Siano X un insieme e f S X. Dimostrare che (1) n N 0 f n = (f n ), (2) k, l Z f k+l = f k f l, (3) k, l Z f kl = (f k ) l. Esercizio 17. Definiamo una relazione su Z Z ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) 5(a 2 c 2 ) = b d Dimostrare che (1) è un equivalenza su Z Z, (2) (Z Z)/ è equipotente a Z. Determinare un sistema di rappresentanti di (Z Z)/. Esercizio 18. Definiamo sul prodotto cartesiano X := Z Z la seguente relazione ponendo, per ogni a, b, u, v Z, (a, u) (b, v) 7(a b) = 3(u v) (1) Dimostrare che è un equivalenza su X. (2) Dimostrare che l insieme X/ è equipotente a Z. (3) Determinare un sistema di rappresentanti di X/. Esercizio 19. Definiamo una relazione su R R ponendo, per ogni a, b, c, d R, Si dimostri che (a, b) (c, d) v R b = a 3 + v d = c 3 + v (1) è un equivalenza su R R, (2) (R R)/ è equipotente a R. Si dia un sistema di rappresentanti per (R R)/. 39

Foglio 4A Esercizio n.1(3) Sia z Z. Per il punto (1), 2 z(z +1) e quindi, per II.2.1, 2 z(z +1)(z +2). Inoltre, per il punto (2), 3 z(z + 1)(z + 2). Quindi, esistono q 1, q 2 Z tali che z(z + 1)(z + 2) = 2q 1 = 3q 2. Ne segue che q 2 = 2(q 1 q 2 ) e Pertanto 6 divide z(z + 1)(z + 2). z(z + 1)(z + 2) = 3q 2 = 3 2(q 1 q 2 ). [Esercizio proposto] Esercizio n.1(3) bis Dimostrare che z Z 6 (z + 2)(z + 3)(2z + 5). Esercizio n.2(1) Sia z un numero intero dispari. Allora esiste k Z tale che z = 2k + 1. Ne segue che z 2 1 = (z 1)(z + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1). Poiché 2 k(k + 1), esiste q Z tale che k(k + 1) = 2q e quindi Pertanto 8 divide z 2 1. z 2 1 = 8q. Esercizio n.2(2) Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P(n) : 3 4 n + 2. I. Vale che 3 3 e 3 = 4 0 + 2. Quindi è vera P(0). II. Sia k N 0 tale che 3 4 k + 2. Allora 4 k+1 + 2 = 4 4 k + 2 = (3 + 1)4 k + 2 = 3 4 k + 4 k + 2. Ora, 3 3 4 k e, per l ipotesi induttiva, 3 4 k + 2. Ne segue, per II.2.1, che 3 3 4 k + 4 k + 2. Pertanto vale P(k + 1). 40

Un altra dimostrazione. Sia n N 0. Vale che n ( ) n 4 n + 2 = (1 + 3) n + 2 = 1 n k 3 k + 2 = 1 + k k=0 ( n ( ) n = 3 1 + )3 k 1. k k=1 Pertanto 3 divide 4 n + 2. Dimostrazione di una studentessa. Sia n N 0. Allora, n k=1 4 n + 2 = 4 n + 3 1 = (4 n 1) + 3 = ((2 n ) 2 1) + 3 = (2 n 1)(2 n + 1) + 3. ( ) n 3 k + 2 k Dall Esercizio 1.(2) vale che 3 (2 n 1)(2 n )(2 n + 1). Quindi, per il Lemma di Euclide, 3 2 n o 3 (2 n 1)(2 n + 1). Chiaramente 3 2 n e quindi 3 (2 n 1)(2 n + 1). Ne segue che esiste q Z tale che (2 n 1)(2 n + 1) = 3q da cui si ottiene che Pertanto 3 4 n + 2. 4 n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1). Esercizio n.2(3) Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P n : 4 ( 1) n (2n + 1) 1. I. Vale che 4 0 e cioè 4 ( 1) 0 (2 0 + 1) 1. Quindi è vera P 0. II. Sia k N 0 tale che 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Allora ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1 = [( 1) k (2k + 2 + 1)] 1 = [( 1) k (2k + 1) + ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) 1 + 1 + ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) 1] 1 + ( 1) k 2 1 Ora, 4 1 + ( 1) k 2 1 perché quest ultimo assume valore 0 o 4. Inoltre, per l ipotesi induttiva, 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Ne segue, per II.2.1, che 4 ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1. Pertanto vale P k+1. 41

Esercizio n.3(4) Poniamo d := mcd(a, b) e proviamo che c d = mcd(ca, cb). Evidentemente c d N 0. Inoltre, poiché d a e d b, si ha che c d ca e c d cb. Infine, sia v Z tale che v ca e v cb. Quindi v c a e v c b. È noto che esistono x, y Z tali che d = ax + by. Quindi c d = c ax + c by. Ne segue che v c d. Pertanto c d = mcd(ca, cb). Esercizio n.4 Siano a, b Z e poniamo d := mcd(ab, a + b). Allora, siccome d a + b si ha che d a 2 + ab. Ora, poiché per ipotesi d ab, si ottiene che d a 2. Analogamente si prova che d b 2 e pertanto d mcd(a 2, b 2 ). Esercizio n.6(1) Sia z Z e poniamo d := mcd(z, z + 2). Allora d z e d z + 2. Ne segue che d 2 e quindi d {1, 2}. Ora, se z dispari, allora d 2, in quanto d z. Pertanto d = 1. Se z è pari, 2 z e 2 z + 2. Ne segue che 2 mcd(z, z + 2), cioè 2 d. Pertanto d = 2. Esercizio n.6(2) Sia z Z e poniamo d := mcd(z + 2, 2z). Allora d z + 2 e d 2z. Ne segue che d 2(z + 2) 2z, cioè d 4. Pertanto d {1, 2, 4}, in quanto d N 0. Esercizio n.6(3) Siano a, b Z tali che mcd(a, b) = 2. Allora esistono u, v Z tali che 2 = au+bv. Ne segue che 4 = a 2 u 2 +b 2 v 2 +2abuv. Ora, posto d := mcd(ab, a+b), si ha che d a 2 e d b 2, come nell Esercizio 4. Ne segue, per II.2.1, che d 4. Inoltre, poiché 2 a e 2 b, per II.2.1, 2 ab e 2 a + b. Quindi 2 d e così d 1. Pertanto d {2, 4}. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 20. (1) Per ogni a Z e per ogni n N, dimostrare che a 1 a n 1. 42

(2) Per ogni a Z e per ogni numero naturale dispari n, dimostrare che a + 1 a n + 1. (3) Per ogni a Z e per ogni m, n N, dimostrare che m n = a m 1 a n 1. Esercizio 21. (Prova scritta del 26 giugno 2015) Dimostrare che, per ogni a Z, valgono: (1) mcd(a 1, 2a + 1) {1, 3}, (2) mcd(a 2 1, 2a + 1) {1, 3}. Esercizio 22. (Prova scritta del 20 luglio 2015) Dimostrare che, per ogni a Z, valgono: (1) mcd(2a 1, 2a + 1) = 1, (2) mcd(3a 1, 3a + 1) = 1 a è pari. 43

Foglio 5A Esercizio n.4 Supponiamo dapprima che b 1 = 0 oppure b 2 = 0. Allora m = 0 è un multiplo comune di b 1 e b 2 e chiaramente vale (1.1). Vale banalmente anche (1.2). Proviamo l unicità. Sia m N 0 tale che b 1 m e b 2 m e soddisfi (1.1) e (1.2). Allora da 0 m si ottiene che m = 0. Supponiamo ora b 1, b 2 0 e poniamo X := { x x Z, b 1 x, b 2 x }. Poiché b 1, b 2 Z \ {0}, b 1 b 2 0 e quindi X {0}. Segue che M := { x x X, x > 0 }. Sia m := minm. Proviamo che m = mcm(b 1, b 2 ). Poiché m X, la condizione (1.1) è verificata. Sia ora n Z tale che b 1 n e b 2 n e dimostriamo che m n. Allora, per la proprietà euclidea degli interi, esistono q Z e r N 0 tali che n = mq + r con 0 r < m. Da b 1 m e b 1 n, per (2.1) si ottiene che b 1 n mq ossia b 1 r. Analogamente si ottiene che b 2 r. Ne segue che r X e quindi, per la minimalità di m si deve avere che r = 0. Ne segue che n = mq e quindi la (1.2) è verificata. Dimostriamo ora l unicità di m. Sia m un multiplo comune di b 1 e b 2 tale che soddisfi (1.1) e (1.2). Quindi, da (1.2) applicata a m si ottiene che m m e da (1.2) applicata a m si ottiene che m m. Pertanto m = m. Esercizio n.5 Poniamo a := mcd(b 1, b 2 ). Poiché a b 1 b 2, esiste q N tale che b 1 b 2 = aq. Dimostriamo che q = mcm(b 1, b 2 ). Poiché a b 1 e q b 2, esistono q 1, q 2 Z tali che b 1 = aq 1 e b 2 = aq 2. Allora aq = b 1 b 2 = aq 1 b 2 e quindi a(q q 1 b 2 ) = 0. Poiché a 0, q = q 1 b 2 e quindi b 2 q. Analogamente si ottiene che q = q 2 b 1 e quindi b 1 q. Sia ora n N tale che b 1 n e b 2 n. Allora esistono k 1, k 2 Z tali che n = b 1 k 1 e n = b 2 k 2. Ne segue che aq 1 k 1 = b 1 k 1 = n = b 2 k 2 = aq 2 k 2 e quindi q 1 k 1 = q 2 k 2, da cui si ottiene che q 1 q 2 k 2. Osserviamo che mcd(q 1, q 2 ) = 1. 44

Di conseguenza, per 3.5(1), q 1 k 2. Allora esiste k N tale che k 2 = q 1 k da cui segue che an = ab 2 k 2 = ab 2 q 1 k = (aq 1 )b 2 k = b 1 b 2 k = aqk. Pertanto n = qk e quindi q n. Esercizio n.6(4) Osserviamo che, dal punto (1), a 1 a n 1. Poiché a n 1 P, abbiamo che a 1 = 1 oppure a 1 = a n 1. Poiché n 1, si ottiene che a = 2. Pertanto, dal punto (2), si ottiene che n P. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 23. (1) Senza utilizzare il teorema di Euclide dimostrare che esistono infiniti numeri primi dispari. (2) Dimostrare che esistono infiniti numeri primi nell insieme { 3k + 2 k N 0 }. (3) Dimostrare che esistono infiniti numeri primi nell insieme { 4k + 1 k N }. Esercizio 24. (Prova scritta del 20 gennaio 2014) Sia p un numero primo. Definiamo su N la seguente relazione ponendo, per ogni a, b N, a b a mcd(b, p) = b mcd(a, p). Dimostrare che (1) è un equivalenza di N, 45

(2) N/ è equipotente a N. Esercizio 25. Sia p un numero primo. Dimostrare che, per ogni z Z, valgono (1) mcd(pz, p + z) {1, p, p 2 } (2) se mcd(p, z) = 1, allora mcd(pz, p + z) = 1. 46

Foglio 6A Esercizio n.1(4) Il resto della divisione di 5 999.999 con 7 è 6. Infatti, per il piccolo teorema di Fermat si ha che 5 6 7 1 e quindi (5 6 ) 166.666 7 1. Inoltre, 5 2 7 4 e quindi 5 3 7 4 5 = 20. Dato che 20 7 6, per la proprietà transitiva di 7 segue che 5 3 7 6. Pertanto 5 999.999 = (5 6 ) 166.666 5 3 7 6. Esercizio n.1(5) Per il piccolo teorema di Fermat vale che 131 36 37 1 e quindi (131 36 ) 2 37 1. Poiché 131 37 20, risulta che 131 2 37 400. Dato che 400 37 30, si ha che 131 2 37 30. Segue che 131 4 37 900 e, dato che 900 37 12, vale che 131 4 37 12. Pertanto 131 76 = 131 4 (131 36 ) 2 37 12. Esercizio n.2(2) Procediamo per induzione su n N 0. Se n = 0, allora 7 4n+1 10 7 e quindi la tesi è vera. Sia ora n N 0 e supponiamo vera la tesi per n. Dimostriamola per n + 1. Osserviamo che 7 4(n+1)+1 = 7 4n+1 7 4. Inoltre 7 2 = 49 10 9 da cui si ha che 7 4 10 81 e, poiché 81 10 1, 7 4 10 1. Quindi, per l ipotesi del passo induttivo e per la compatibilità di 10 rispetto al prodotto, segue che 7 4(n+1)+1 10 7. Esercizio n.2(3) Vale che, per ogni n N 0, 5 n+2 100 25. Per verificarlo procediamo per induzione su n N 0. Osserviamo che 5 0+2 = 25 100 25 e quindi la tesi è vera per n = 0. Supponiamo che la tesi sia vera per n N 0 e dimostriamola per n+1. Allora, dall ipotesi del passo induttivo, abbiamo che 5 (n+1)+2 = 5 n+2 5 100 25 5 = 125 e quindi 5 (n+1)+2 100 25. Pertanto, per ogni n N 0, l ultima cifra di 5 n+2 è 5 e la penultima è 2. Esercizio n.2(5) Dapprima dimostriamo che 4 2k 10 6, per induzione su k (Procediamo come nell Esercizio 2(4)). Inoltre, osserviamo che 9 2k 10 1, per ogni k N. Infatti, 9 2k = (9 2 ) k 10 1. Ne segue che 4 n + 9 n 10 7 se n è un numero 47

naturale pari. Ora, per ogni k N, si ha che 4 2k+1 = 4 2k 4 10 4. Infine, per ogni k N, si ha che 9 2k+1 = 9 2k 9 10 9. Ne segue che 4 n + 9 n 10 3 se n è un numero naturale dispari. Pertanto, per ogni n N, l ultima cifra di 4 n + 9 n è 7 se n è pari ed è 3 se n è dispari. Esercizio n.3(1) Sia n Z. Allora, per il piccolo teorema di Fermat, n 5 5 n. Per la compatibilità della congruenza modulo 5 con il prodotto, segue che n 15 = (n 5 ) 3 5 n 3 e così n 17 = n 2 n 15 5 n 5. Per la proprietà transitiva di 5 segue che n 17 5 n. Pertanto 5 n 17 n. Esercizio n.3(2) Sia n N tale che 7 n. Allora, per il piccolo teorema di Fermat, vale che n 6 7 1. Ne segue che (n 6 ) 2 7 1, ossia n 12 7 1. Pertanto 7 n 12 1. Esercizio n.3(4) Supponiamo dapprima che 12 5 n + 7 n e dimostriamo che n è dispari per contrapposizione. Sia n N, n pari. Allora, esiste k N tale che n = 2k. Poiché 25 12 1 e 49 12 1, dalla compatibilità di 12 con la somma, segue che 5 n + 7 n = 5 2k + 7 2k = 25 k + 49 k 12 2. Dato che 2 12 0, risulta che 12 5 n + 7 n. Viceversa, sia n N dispari. Allora esiste k N 0 tale che n = 2k + 1. Dimostriamo che 5 n + 7 n 12 0 procedendo per induzione su k. Se k = 0, 5 n + 7 n = 5 + 7 = 12 e banalmente 12 12. Supponiamo che la tesi sia vera per k N e dimostriamola per k + 1. Osserviamo che 5 n + 7 n = 5 2(k+1)+1 + 7 2(k+1)+1 = 5 2k+1 5 2 + 7 2k+1 7 2. Poiché 5 2 12 1 e 7 2 12 1, dall ipotesi del passo induttivo e per la compatibilità di 12 rispetto a somma e prodotto, si ha che 5 n + 7 n 12 5 2k+1 + 7 2k+1 12 0. Pertanto, per ogni n N 0, vale che 12 5 n + 7 n. Esercizio n.3(5) Se n è dispari, allora esiste k N tale che n = 2k + 1. Ne segue che 4 2k+1 = (4 2 ) k 4 15 4 e che 11 2k+1 = (11 2 ) k 11 15 11. Pertanto 4 n +11 n 15 0 e così 15 4 n + 11 n. 48

Viceversa, assumiamo che 15 4 n + 11 n, cioè 4 n + 11 n 15 0. Supponiamo per assurdo che n sia pari. Allora esiste k N tale che n = 2k. Ne segue che 4 2k +11 2k 15 2, avendo così 0 15 2, che è evidentemente una contraddizione. Pertanto n è dispari. Esercizio n.4 Sia n N. Se n è pari, allora esiste k N tale che n = 2k. Ne segue che 10 2k = 100 k 11 1, poiché 100 11 1. Se n è dispari, allora esiste k N tale che n = 2k + 1. Ne segue che 10 2k+1 = 100 k 10 11 1, poiché 100 k 11 1 e 10 11 1. Esercizio n.5 Sia z Z. Dimostriamo dapprima che 3 z 12 z 2. Per il piccolo teorema di Fermat segue che z 3 3 z. Per la compatibilità di 3 rispetto al prodotto segue che z 4 3 z 2 e quindi z 12 = (z 3 ) 4 3 z 4. Di conseguenza, per la proprietà transitiva di 3, segue che z 12 3 z 2. Pertanto 3 z 12 z 2. Dimostriamo ora che 11 z 12 z 2. Per il piccolo teorema di Fermat segue che z 11 11 z. Ne segue che z 12 = z 11 z 11 z 2. Pertanto 11 z 12 z 2. Esercizio n.6 Supponiamo dapprima che 7 z e dimostriamo che 4a 7 b. Osserviamo che 6(10a + b) 7 0 ossia 60a + 6b 7 0. Poiché 60 7 4 e 6a 7 1, vale che 4a b 7 0 e quindi 4a 7 b. Viceversa, supponiamo 4a 7 b. Allora, dato che b 7 6b, vale che 4a + 6b 7 0. Ne segue che 6(4a + 6b) 7 0 e quindi 24a + 36b 7 0. Poiché 24 7 10 e 36 7 1, risulta che z = 10a + b 7 0. Pertanto 7 z. Dimostrazione di una studentessa Supponiamo dapprima che 7 z e dimostriamo che 4a 7 b. Dato che chiaramente 7 14a, per (2.1) vale che 7 (10a + b) + 14a ossia 7 4a b. Pertanto 4a 7 b. Supponiamo ora che 4a 7 b. Allora 7 4a b. Per (2.1) vale che 7 14a (4a b) ossia 7 10a + b. Pertanto 7 z. Esercizio n.7(1) Basta considerare x := 4. 49

Esercizio n.7(2) Poniamo x := 7 27. Allora 7x 24 27, poiché 7 7 24 1. Osserviamo che tale x è stato ottenuto utilizzando la Proposizione 1. Infatti, 24 = 7 3 + 3, 7 = 3 2 + 1, 3 = 1 3 e quindi mcd(7, 24) = 1. Inoltre, 1 = 7 7 + 24 ( 2) e così x = 7 27 è una soluzione dell equazione congruenziale considerata. Esercizio n.7(3) Poniamo x := ( 3) 2. Allora 8x 28 8, poiché 28 divide 8 (8 ( 6)). Osserviamo che tale x è stato ottenuto utilizzando la Proposizione 1. Infatti, 28 = 8 3 + 4, 8 = 4 2 e quindi mcd(28, 8) = 4. Inoltre, 4 = 28 1 + 8 ( 3) e così x = ( 3) 2 è una soluzione dell equazione congruenziale considerata. Esercizio n.8 Poniamo x := 49. Allora 11 49 5 e 15 49 4. Pertanto 49 è una soluzione del sistema in questione. Osserviamo, che tale x è stato ottenuto utilizzando la Proposizione 2. Infatti, 15 = 11 + 4, 11 = 4 2 + 3, 4 = 3 + 1, 3 = 3 1 e quindi mcd(15, 11) = 1. Inoltre, 1 = 15 3 + 11 ( 4) e così x = 5 15 3 + 4 ( 4) 11 = 49 è una soluzione del sistema considerato. Esercizio n.9(1) Poniamo x := 7. Allora 3 2 ( 7) e 4 5 ( 7). Pertanto 7 è una soluzione del sistema in questione. Anche qui x è stato ottenuto utilizzando la Proposizione 2... Esercizio n.9(2) Poniamo x := 13. Allora 4 13 5 e 5 10 3. Pertanto 13 è una soluzione del sistema in questione. Anche qui x è stato ottenuto utilizzando la Proposizione 2... Esercizio n.9(2) Poniamo x := 7. Allora 3 2 ( 7), 4 5 ( 7) e 5 3 ( 7). Pertanto 7 è una soluzione del sistema in questione. 50

ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 26. (Prova scritta del 27 novembre 2014) Siano m, d Z primi tra loro. Dimostrare che (1) a, b Z ad m bd = a m b, (2) a, b, c Z ac m bd, c m d = a m b. Esercizio 27. (Prova scritta del 25 febbraio 2014) Siano m, a Z e p P tali p a e m = pa. Dimostrare che a p 1 a p 1 m a p 1 Esercizio 28. Determinare l ultima cifra dei numeri naturali 2 n + 3 n + 5 n con n N tale che n 4 1. Esercizio 29. (1) Determinare un intero x tale che 259x 11 16. (2) Determinare un intero x tale che 73x 35 101. (3) Determinare un intero x tale che { x 5 2 x 7 18 51

Foglio 7A Esercizio n.3(1) Siano m N, a, b Z e d := mcd(a, b) tali che d 1 := mcd(d, m) 1. Per la definizione di ˆ, abbiamo che [a] m [b] m [a] mˆ [b] m. Per provare la tesi è sufficiente trovare un elemento di [a] mˆ [b] m che non appartiene a [a] m [b] m. Sappiamo, per II.5.5, che [a] mˆ [b] m = [ab] m e quindi ab+m [a] mˆ [b] m. Proviamo che ab + m / [a] m [b] m. Supponiamo, per assurdo, che esistono q 1, q 2 Z tali che ab + m = (a + q 1 m)(a + q 2 m) e quindi ab+m = ab+(aq 2 +bq 1 +q 1 q 2 m)m. Ne segue che aq 2 +bq 1 +q 1 q 2 m = 1. Poiché d = mcd(a, b) e quindi d a e d b, si ha che d aq 2 + bq 1. Ne segue che d 1 aq 2 + bq 1, poichè d 1 d. Inoltre, d 1 m e così d 1 aq 2 + bq 1 + q 1 q 2 m, cioè d 1 1. Pertanto d 1 = 1, in contraddizione con l assunzione d 1 1. Esercizio n.6 Osserviamo che 15 è una soluzione di 7x 22 5. Osserviamo che 15 22 7. Pertanto tutti gli elementi di [7] 22 sono soluzioni dell equazione congruenziale considerata. Esercizio n.9 Supponiamo dapprima che a = 2. Siano x, y Z. Allora, (x y)f = x y+2 = xy+2(x+y+1)+2 = xy+2x+2y+4 = (x+2)(y+2) = xfyf. Ne segue che f è un omomorfismo da (Z, ) in (Z, ). Supponiamo ora che f sia un omomorfismo. Allora, (x y)f = xfyf e quindi x y+a = (x+a)(y+a) da cui segue che xy+ax+ay+2a = xy+xa+ay+a 2. Di conseguenza a(2 a) = 0 e quindi, dato che a 0, si ottiene che a = 2. Esercizio n.11(1) Sia n N e siano x, y D n. Sia a := mcd(x, y). Allora a x e poiché x n si ottiene che a n. Pertanto a D n e quindi D n è una parte stabile si (Z, ). 52

Esercizio n.11(2) Sia n N e siano x, y nz. Allora, esistono z 1, z 2 Z tali che x = nz 1 e y = nz 2. Sia a := mcd(x, y). Allora esistono u, v Z tali che d = ux + vy e quindi d = unz 1 + vnz 2 = n(uz 1 + vz 2 ). Pertanto d nz. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 30. Dimostrare che, per ogni A, B Z/ 6, vale [5] 6 ˆ A ˆ+ [2] 6 ˆ B = [0] 6 A ˆ+ [4] 6 ˆ B = [0] 6 Esercizio 31. Dimostrare che, per ogni A, B Z/ 13, vale [5] 13 ˆ A ˆ+ [7] 13 ˆ B = [0] 13 [4] 13 ˆ A ˆ+ [3] 13 ˆ B = [0] 13 Esercizio 32. Dimostrare che, per ogni A, B Z/ 17, vale [2] 19 ˆ A ˆ+ [7] 19 ˆ B = [0] 19 [11] 19 ˆ A ˆ+ [10] 19 ˆ B = [0] 19 Esercizio 33. Siano X e Y insiemi tali che Y X. funzione f : P(X) P(Y ), A A Y è un epimorfismo da (P(X), ) in (P(Y ), ). Dimostrare che la Esercizio 34. Siano X e Y insiemi tali che X Y =. Dimostrare che la funzione f : P(X) P(X Y ), A A Y è un monomorfismo da (P(X), ) in (P(X Y ), ). 53

Esercizio 35. Definiamo su Z la seguente operazione: : Z Z Z, (a, b) mcm(a, b). Provare che M n := {d d Z, n d} è una parte stabile di (Z, ), per ogni n N. 54

Foglio 8A Esercizio n.3 Sia f : Z Z/ m, a [a + k] m. La funzione f è un omomorfismo da (Z, ) in (Z/ m, ˆ+). Infatti, se a, b Z, allora (a b)f = [a b + k] m = [a + b + k + k] m = [a + k] m ˆ+ [b + k] m = af ˆ+ bf Inoltre, f è suriettiva. Infatti, se A Z/ m, allora esiste x Z tale che A = [x] m. Sia a := x k. Allora a Z e af = A. Infine, proviamo che f = m. Per ogni a, b Z, vale a f b [a + k] m = [b + k] m [a] m ˆ+ [k] m = [b] m ˆ+ [k] m [a] m = [b] m a m b Pertanto, per il teorema di omomorfismo per strutture, m è compatibile con e (Z/ m, ˆ ) è isomorfa a (Z/ m, ˆ+). Esercizio n.4 Utilizzare la stessa funzione dell Esercizio n.3. Esercizio n.7 (1) Siano f, g S X. Allora, se x S, dato che è commutativa, si ha x(f g) = xf xg = xg xf = x(g f). Pertanto (S X, ) è commutativa. (2) Siano f, g, h S X. Allora, se x S, dato che è associativa, si ha x((f g) h) = x(f g) xh = (xf xg) xh = xf (xg xh) = xf (x(g h)) = x(f (g h)) Pertanto (S X, ) è un semigruppo. 55

(3) Sia e l elemento neutro di (S, ). Allora la funzione ɛ : X S, x e è l elemento neutro di (S X, ). Infatti, chiaramente ɛ S X. Inoltre, se f S X e x S, abbiamo che x(f ɛ) = xf xɛ = xf e = xf e x(ɛ f) = xɛ xf = e xf = xf. Esercizio n.8(3) Sia e l elemento neutro di (S, ). Allora E := {e} è l elemento neutro della struttura (P(S), ). Infatti, osserviamo dapprima che E P(S). Sia A P(S). Ne segue che A E = {a x a A, x E} = {a e a A} = {a a A} = A Analogamente E A = A. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 36. Definiamo su Z Z l operazione a 1, a 2, b 1, b 2 (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) := (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ). (1) Dimostrare che (Z Z, +) è un gruppo; (2) Sia f : Z Z Z Z, (a, b) (b, b a). Dimostrare che f è un automorfismo del gruppo (Z Z, +). Esercizio 37. (Prova scritta del 26 giugno 2015) Definiamo sul prodotto cartesiano Z Z la seguente operazione ponendo, per ogni a 1, a 2, b 1, b 2 Z, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (a 1 + a 2, b 1 + b 2 b 1 b 2 ). Dimostrare che (Z Z, ) è un monoide e determinare i suoi elementi invertibili. 56