Intorno al teorema di densità di Lebesgue (e su alcuni insiemi di misura nulla forse non del tutto trascurabili).

Intorno al teorema di densità di Lebesgue (e su alcuni insiemi di misura nulla forse non del tutto trascurabili). A. Andretta 1 C. Costantini 1 R. Camerlo 2 1 Dipartimento di Matematica Università di Torino 2 Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Torino 10 marzo 2014 Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 1 / 35 Il teorema di densità di Lebesgue Il teorema fondamentale del calcolo integrale Se f : [0; 1] R è continua, allora Il teorema di densità di Lebesgue 1 x+ε f(x) = lim f(t) dt. ε 0 2ε x ε Se f : [0; 1] R è Lebesgue integrabile, allora 1 x+ε f(x) = lim f(t) dt ε 0 2ε x ε quasi ovunque. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 2 / 35

Il teorema di densità di Lebesgue Se A R è Lebesgue misurabile e λ è la misura di Lebesgue su R D A (x) = lim ε 0 λ(a (x ε; x + ε)) 2ε Φ(A) = {x R D A (x) = 1}. Se nel Teorema di Lebesgue f = χ A è la funzione caratteristica di un insieme Lebesgue misurabile A χ A (x) = D A (x) quasi ovunque e Φ(A) è Lebesgue misurabile e λ(φ(a) A) = 0. Queste definizioni valgono in contesto più generale... Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 3 / 35 Scopo del seminario di oggi... Provare a rispondere a qualche domanda tipo: In quali spazi e per quali misure vale il Teorema di densità di Lebesgue? (R n, 2 N,... ) Qual è la complessità topologica di Φ(A)? (aperto, chiuso, Borel,... ) Qual è il range di D A? ({0, 1}, [0; 1],... ) Quanto dipende dalla metrica il computo di D A e Φ(A)? Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 4 / 35

Un po di notazione in teoria della misura µ: S [0; ] una misura su X, dove S una σ-algebra su X. Meas µ la σ-algebra dei µ-misurabili, Null µ = {A X A Meas µ µ(a) = 0}, µ è completa se A Null B A [B Null], µ è non singolare se µ({x}) = 0 per ogni x X, A µ B se e solo se A \ B Null, A = µ B se e solo se A µ B e B µ A, Malg = Meas/Null = Meas/= µ. Malg è un algebra di Boole: [A] [B] = [A B], [A] [B] = [A B], [A] = [X \ A]. Infatti è un algebra di Boole completa, cioè sup X e inf X esistono per tutti gli X Malg. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 5 / 35 Misure Boreliane Se X è uno spazio topologico, Bor(X) la σ-algebra dei Boreliani di X. Una misura Boreliana è una misura µ definita su Bor(X); il suo supporto è supt(µ) = X \ {U U aperto e µ(u) = 0}. Se (X, d) è metrico, una misura di Radon è una misura Boreliana tale che µ(b(x; ε)) < per ogni x X e ogni ε sufficientemente piccolo. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 6 / 35

Spazi Polacchi Definizione X spazio topologico è Polacco se è separabile e completamente metrizzabile, cioè c è una metrica completa che induce la topologia di X. Esempi Z, R n, (0; 1), (0; 1], spazi di Banach separabili,... Se X è Polacco, Malg(X) è uno spazio Polacco. Se X, Y sono Polacchi e privi di punti isolati, allora Malg(X) = Malg(Y ). Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 7 / 35 Prodotto di spazi Polacchi Se X n è Polacco (n N), allora n X n è Polacco. Dimostrazione. Fisso d n 1 metrica completa su X n e pongo d( x, y) = n d n(x n, y n ) 2 n 1. Se D n = {d n,i i N} è denso in X n, allora { x i N n N [x n = d n,i ]} è denso in n X n. In particolare se diamo a 2 = {0, 1} la topologia discreta, lo spazio di Cantor 2 N di tutte le x: N 2 è Polacco. Un aperto di base è della forma def N s = {x 2 N s x}. dove s 2 <N è una sequenza finita. La distanza è d(x, y) = 2 n, se n è minimo tale che x(n) y(n). È un ultrametrica, cioè d(x, z) max(d(x, y), d(y, z)) e gli N s sono chiusi-aperti, quindi 2 N è totalmente sconnesso. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 8 / 35

Lo spazio di Cantor Per esempio se s = 010, allora N s = {x 2 N s x} è 0 01 010 Il diametro di N s è 2 lh s. { x 2 N x è definitivamente costante } è denso e numerabile. 2 N è, a meno di omeomorfismo, l unico spazio compatto, metrico, privo di punti isolati, totalmente sconnesso. Se invece dell albero binario completo avessimo preso un albero ternario, o un albero finite branching avremmo ottenuto lo stesso spazio. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 9 / 35 Insiemi di Cantor in R K R intervallo chiuso, I intervallo aperto totalmente contenuto in K. K \ I si spezza in due sottointervalli chiusi K 0 < K 1. Ripetendo questa operazione si ottengono intervalli chiusi K s contenenti intervalli aperti I s per s 2 <N. Quindi s < lex t K s < K t e K = K \ = n s 2 <N I s lh(s)=n K s. è compatto e non vuoto. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 10 / 35

Insiemi di Cantor in R Se allora K ha interno vuoto e H K : 2 N K ( ) x 2 N lim K x n = 0, n H K (x) = l unico elemento di n K x n è un omeomorfismo. La costruzione di Cantor K s s 2 <N è centrata se gli I s sono centrati in K s ; uniforme se I s = I t per lh s = lh t; ha ragione r se I s = r K s per ogni s. Se la costruzione è centrata, K = 2 N. E 1/3 è l insieme di Cantor centrato di ragione 1/3. Se la costruzione è centrata e di ragione fissata r, allora λ(k) = 0. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 11 / 35 Insiemi di Cantor in R È possibile costruire insiemi di Cantor in R (eventualmente centrati e/o uniformi) di misura positiva. Un K R compatto, più che numerabile, privo di interno e privo di punti isolati è omeomorfo a 2 N. Dimostrazione. Siano a = min K, b = max K. Allora [a; b] \ K è unione di intervalli aperti disgiunti, e sia I la famiglia di questi intervalli: (I, <) è un ordine lineare numerabile denso senza primo o ultimo elemento, e per un teorema di Cantor è isomorfo a (2 <N, ), dove per ogni s s 0 s s 1. A partire da questo isomorfismo si definisce la costruzione di Cantor per K. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 12 / 35

Insiemi di Cantor in spazi Polacchi Teorema (Cantor, Bendixson, Alexandroff) Se X è Polacco e più che numerabile e B X è Borel, allora B contiene un sottoinsieme chiuso omeomorfo a 2 N, oppure B è numerabile. Se µ è una misura di Radon su uno spazio Polacco X, allora µ(b) = sup {µ(k) K compatto B} Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 13 / 35 Misure su 2 N La misura µ C su 2 N è definita da µ C (N s ) = 2 lh s 1 1/2 1/4 1/8 Più in generale, una misura su 2 N è data da una mappa w : 2 <N [0; M] tale che w(s) = µ(n s ). Le proprietà cruciali sono w( ) = M w(s 0) + w(s 1) = w(s). Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 14 / 35

Generalizziamo la definizioni precedenti... Consideriamo (X, d, µ) con (X, d) spazio metrico, µ una misura di Radon a supporto pieno (cioè Boreliana e tale che 0 < µ(b(x; ε)) < per ogni x X e ogni ε sufficientemente piccolo). Per x X e A misurabile definiamo D + A D A (x) = lim sup ε 0 (x) = lim inf ε 0 µ (A B(x; ε)) µ (B(x; ε)) µ (A B(x; ε)) µ (B(x; ε)) D A (x) = lim ε 0 µ (A B(x; ε)) µ (B(x; ε)) Φ(A) = {x X D A (x) = 1}. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 15 / 35 Spazi DPP Definizione (X, d, µ) soddisfa la Density Point Property (DPP) se per ogni A µ-misurabile. Problema Quali (X, d, µ) sono DPP, cioè soddisfano l analogo del teorema di densità di Lebesgue? R n e µ di Radon a supporto pieno, lo spazio di Cantor 2 N con la misura µ C, Più in generale ogni spazio Polacco ultrametrico con misura di Radon [Mil08]. La metrica gioca un ruolo cruciale nello studio della densità! Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 16 / 35

Proprietà di Φ Se A, B, A i sono misurabili: 1 Φ(A) è Borel 2 A µ B Φ(A) Φ(B) 3 Φ(A B) = Φ(A) Φ(B) 4 se N Null allora Φ(N) = e Φ(X \ N) = X 5 Φ( A) Φ(A) 6 Φ(A B) Φ(A) Φ(B) e Φ( i I A i) i I Φ(A i), se i I A i Meas 7 Φ(U) U, per U aperto e Φ(C) C, per C chiuso 8 Φ(C 1 C 2 ) = Φ(C 1 ) Φ(C 2 ), se C 1, C 2 sono chiusi disgiunti. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 17 / 35 Gerarchia Boreliana Un sottoinsieme B di uno spazio Polacco è F σ o Σ 0 2 se B = n C n, con C n chiuso, G δ o Π 0 2 se è il complemento di un F σ, cioè B = n U n, con U n aperto, G δσ o Σ 0 3 se B = n G n, con G n Π 0 2, F σδ o Π 0 3 se è il complemento di un G δσ, cioè B = n F n, con F n F σ, Σ 0 α = unioni numerabili di insiemi che sono Π 0 β Π 0 α = intersezioni numerabili di insiemi che sono Σ 0 β con β < α; con β < α. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 18 / 35

Complessità di Φ(A) In R n con la misura di Lebesgue e la distanza solita, oppure 2 N con µ C e distanza solita, Φ(A) Π 0 3. Teorema ([AC13]) Se K 2 N è un compatto di misura positiva e privo di interno, allora Φ(K) Π 0 3 \ Σ 0 3. Corollario ([AC13]) { [A] Malg Φ(A) Π 0 3 \ Σ 0 } 3 è comagro in Malg. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 19 / 35 Qualche estensione Una misura di Bernoulli di tipo p è una misura su 2 N definita da una w : 2 <N [0; 1] tale che w( ) = 1 e per ogni s w(s 0) = w(s) p oppure w(s 1) = w(s) p Teorema (G. Carotenuto) Se K 2 N è un compatto di misura positiva e privo di interno, e se utilizziamo una misura di Bernoulli di tipo p, allora Φ(K) Π 0 3 \ Σ 0 3. Teorema (G. Carotenuto) Se K R è un insieme di Cantor simmetrico, uniforme e di misura positiva, allora Φ(K) Π 0 3 \ Σ 0 3. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 20 / 35

Proprietà di Φ per spazi DPP 1 T = {A X A Φ(A)} è una topologia, la topologia della densità su X, 2 ˆΦ: Malg Meas è un selettore, cioè ˆΦ([A]) = Φ(A) [A], T è più fine della topologia indotta da d, A = Φ(A) se e solo se A un aperto regolare di T, cioè A = Int T Cl T A, Φ: Meas Meas non è un omomorfismo! Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 21 / 35 Spazi non DPP Teorema (Käenmäki-Rajala-Suomala [KRS]) C è una metrica completa d su 2 N compatibile con la topologia standard, una misura µ di Radon pienamente supportata ed un compatto K di misura positiva tali che Φ(K) =. Quindi il teorema di densità di Lebesgue non vale nello spazio (2 N, d, µ). La metrica d non può essere un ultrametrica. Teorema Per ogni spazio Polacco (X, d) più che numerabile e per ogni misura di Radon a supporto pieno µ, c è una metrica compatibile d e un compatto K di misura positiva tali che Φ(K) =. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 22 / 35

Oscillazione Sia (X, d, µ) DPP. L oscillazione di x in A è O A (x) = D + A (x) D A (x). Quindi D A (x) esiste se e solo se O A (x) = 0. Definizione A è solido se O A (x) = 0 per tutti gli x X. A è quasi-dualistico se O A (x) = 0 D A (x) {0, 1} per tutti gli x X. A è dualistico se è solido e quasi-dualistico. Esempi Un intervallo è solido: i punti interni hanno densità 1, quelli esterni 0, gli estremi 1/2. Ogni chiuso-aperto è dualistico. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 23 / 35 Proprietà elementari (R, T) non è metrizzabile o separabile. A X è dualistico e non banale se e solo se A è chiuso-aperto in (X, T). (R, T) è connesso. (R 2, T) non è connesso. Se A è chiuso-aperto allora A è dualistico. Gli insiemi solidi (o i dualistici) formano un algebra di Boole. Proposizione Se X R è dualistico, allora X Null oppure R \ X Null. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 24 / 35

Punti eccezionali in R Definizione x R è δ-eccezionale per A con 0 δ 1/2 se e solo se δ D A (x) D + A (x) 1 δ. Quindi x è δ-eccezionale per A se D A (x) esiste e appartiene a [δ; 1 δ], oppure se D A (x) non esiste e tuttavia O A (x) 1 2δ. Gli estremi di un intervallo sono 1/2-eccezionali, gli altri punti sono 0-eccezionali. (Un A è non banale se 0 < µ(a) <.) Abbreviamo con H(δ) l affermazione: A non banale x (x è δ-eccezionale per A). Se δ 1 > δ 2 allora H(δ 1 ) H(δ 2 ), quindi definiamo δ H = sup {δ H(δ) vale}. Quindi, se c è giustizia al mondo, δ H = 1/2... Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 25 / 35 Non c è giustizia al mondo! V. Kolyada [Kol83] dimostrò che 1/4 δ H ( 17 3)/4. Questi estimi sono stati migliorati in [Sze11, CGO12], e in [Kur12] il valore esatto di δ H è stato stabilito: δ H = l unica radice reale di 8x 3 + 8x 2 + x 1 0,268486... Quindi ci sono insiemi A R tali che ran(d A ) (δ H ; 1 δ H ) = ; in altre parole, per ogni x R O A (x) > 1 2δ H oppure D A (x) [0; δ H ] [1 δ H ; 1]. In particolare, c è un A che non ha punti di densità 1/2. Problema È possibile avere un A R solido tale che D A (x) [0; δ H ] [1 δ H ; 1]? Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 26 / 35

Solidità in R n Teorema Se A R n è solido, allora D A (x) = 1/2 per qualche x R n. Quindi il teorema di Kolyada Kurka riguarda gli insiemi non solidi. Proposizione Se A R n è solido, allora Φ(A) è Π 0 2, cioè G δ. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 27 / 35 La funzione D Fissato (X, d, µ) e A X, D A : X [0; 1] è una funzione parziale Boreliana. ran(d A ) in generale non è Boreliano, è un insieme analitico, cioè è l immagine di un Boreliano mediante una funzione Boreliana. In uno spazio Polacco Y... Σ 1 1 è la notazione usata dai logici per indicare gli insiemi analitici, il complemento di un insieme analitico si dice coanalitico, ovvero Π 1 1, un insieme che sia analitico e coanalitico è lo si indica con 1 1, e per un teorema di Lusin 1 1 =Borel, gli insiemi Σ 1 1 (e quindi i Π 1 1) sono µ-misurabili per ogni misura Boreliana su Y. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 28 / 35

Il valore della funzione D in R Teorema C è un compatto K non banale e solido di R n tale che ran(d K ) = [0; 1]. Il valore 1/2 è ottenuto infinite volte. Il compatto K può essere sostituito da un aperto U. Teorema Per ogni S (0; 1) come sotto, c è un compatto K R non banale e solido tale che ran(d K ) = S {0, 1/2, 1}: S = Q [0; 1], S un insieme numerabile, S un chiuso, S un aperto. Problema Caratterizzare i possibili valori di ran(d A ). Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 29 / 35 Alcuni teoremi Proposizione C è un sottoinsieme di R quasi-dualistico ma non solido. Teorema C è un compatto K non banale (ma non solido) di R tale r [0; 1]!x R (D K (x) = r). A un certo punto eravamo convinti di aver dimostrato quanto sopra, ma non avendo scritto la dimostrazione, non possiamo mettere la mano sul fuoco. Questo è il motivo per la presenza di Bart Simpson. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 30 / 35

Complessità di D in 2 N e qualche congettura in R Teorema Se S (0; 1) è Σ 1 1 allora c è un compatto (solido) K 2 N tale che ran(d K ) = S {0, 1}. Congetture Se S (0; 1) è analitico, allora c è un compatto K R n tale che ran(d K ) = S {0, 1}. Se S (0; 1) è analitico, allora c è un compatto solido K R n tale che ran(d K ) = S {0, 1}. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 31 / 35 Spingendoci più in alto... L iperspazio K(2 N ) dei compatti (=chiusi) di 2 N con la metrica di Hausdorff è uno spazio Polacco. (Gli spazi K(2 N ) \ { } e 2 N sono omeomorfi.) Definizione A X Polacco è Σ 1 2 se è immagine di un Π 1 1 (=coanalitico) mediante una funzione Boreliana. Il complementare di un Σ 1 2 si dice Π 1 2. La terminologia moderna (logica) è molto meglio di quella classica: Σ 1 2 = PCA Π 1 2 = CPCA Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 32 / 35

Complessità di D in 2 N Teorema { K K(2 N ) K è (quasi-)dualistico } è Π 1 1 \ Σ 1 1. In altre parole: è coanalitico ma non Borel. Teorema { K K(2 N ) ran D K = [0; 1] } è Σ 1 2 \ Π 1 2. In altre parole: è Σ 1 2, ma non più semplice. Congettura Risultati analoghi dovrebbero valere in R n. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 33 / 35 Alessandro Andretta, and Riccardo Camerlo The descriptive set theory of the Lebesgue density theorem. Adv. Math., 234 1 42, 2013. Marianna Csörnyei, Jack Grahl, and Toby C O neil. Points of middle density in the real line. Real Anal. Exchange, 37(2):243 248, 2012. Antti Käenmäki, Tapio Rajala, and Ville Suomala. Local homogeneity and dimensions of measures in doubling metric spaces. V. I. Kolyada. On the metric Darboux property. Anal. Math., 9(4):291 312, 1983. Ondřej Kurka. Optimal quality of exceptional points for the lebesgue density theorem. Acta Math. Hungar., 134 (3) (2012), 209-268, 05 2012. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 34 / 35

Benjamin Miller. The existence of measures of a given cocycle. I. Atomless, ergodic σ-finite measures. Ergodic Theory Dynam. Systems, 28(5):1599 1613, 2008. András Szenes. Exceptional points for Lebesgue s density theorem on the real line. Adv. Math., 226(1):764 778, 2011. Andretta, Costantini, Camerlo (Torino) Densità 10-03-2014 35 / 35