Altri esercizi assegnati negli esoneri degli scorsi anni Esercizi sul principio di induzione 1. Utilizzando il principio di induzione si dimostri che, per ogni numero naturale positivo n, risulta: Esercizi sui numeri complessi 1 3 5... (2n 1) = (2n)! 2 n n!. 1. È assegnato il numero complesso z = 2 2i. Determinare in forma trigonometrica i numeri complessi z 3/4 e z 4/3 e disegnarli nel piano di Argand-Gauss. Esercizi sulle applicazioni tra insiemi 1. Sia f : R R 2 l applicazione così definita, z R: f : R R 2 z (z 2, z 3 ) Stabilire, motivando le risposte, se f è iniettiva e/o suriettiva. 2. Date le seguenti funzioni α e β, di dominio e codominio Z, definite al modo seguente: si chiede di: α(x) = 2x + 3 β(x) = { x 2 + 1 se x è pari x+3 2 + 1 se x è dispari (a) verificare se tali funzioni sono iniettive o suriettive; (b) calcolare i prodotti operatori α β e β α e verificare se questi sono funzioni iniettive o suriettive. 3. Sia f : Q Q l applicazione così definita: f(x) = 2 x 1 2, x Q. (a) Verificare che f è biunivoca. (b) Esprimere f come composizione di tre applicazioni biunivoche non identiche g i : Q Q, in modo che f = g 1 g 2 g 3. Calcolare f 1 1, g i [i = 1, 2, 3] e verificare che f 1 1 1 = g 3 g 2 g 1 1. Esercizi sulle relazioni di equivalenza 1. Sia I un sottoinsieme dell anello Z e sia ρ I la relazione su Z definita come segue: n, m Z nρ I m n m I Dire quali tra i seguenti sottoinsiemi definiscono una relazione di equivalenza:
(a) I 1 = N (b) I 2 = (3) = {3k : k Z} (c) I 3 = (4, 6) = {4k + 6h : k, h Z} (d) I 4 = {k Z : 2 k 2} In caso affermativo verificare che la relazione di equivalenza ρ I è compatibile con le operazioni di Z e determinare l insieme quoziente Z/ρ I. 2. Nell insieme Q[X] dei polinomi a coefficienti razionali si introduce la seguente relazione ρ: f, g Q[X], f ρ g i termini noti di f e g hanno la stessa parte intera. [Nota. La parte intera [x] di un numero reale x è il massimo intero n tale che n x.] (a) Verificare che ρ è una relazione di equivalenza su Q[X]. (b) Descrivere le classi di equivalenza modulo ρ dei polinomi 1 2 + X e X + X 2. (c) Verificare che l insieme quoziente Q[X] / è in corrispondenza biunivoca con Z. Esplicitare una biiezione tra i due ρ insiemi. Esercizi sulle congruenze 1. Ripetendo, con le opportune modifiche, la dimostrazione dell esistenza di infiniti numeri primi si dimostri che esistono infiniti numeri primi della forma 4n + 3. 2. Determinare il minimo numero naturale n del tipo: tale che: (a) a 0 = 7 n = a 0 + a 1 10 + a 2 10 2 + a 3 10 3, 0 a i 9 (b) 2a 0 + 2a 1 + 2a 2 + 2a 3 = 3k per qualche k Z (c) a 0 a 1 + a 2 a 3 = 0. 3. Determinare, se possibile, l insieme delle soluzioni del seguente sistema: 3x 6 mod 15 2 6 x 3 mod 7 x 1 mod 4 4. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi di congruenze: x 1 mod 2 x 2 mod 5 x 5 mod 6 x 5 mod 12, { x 4 mod 6 { x 3 mod 6 x 7 mod 9, x 7 mod 9, determinandone, per ciascun sistema ammissibile, tutte le soluzioni modulo il prodotto dei moduli. Controllare, facendo la verifica, l esattezza dei risultati ottenuti. 2
5. Trovare tutte le soluzioni del sistema: 6 13 x 6 3 mod 8 x 5 mod 3 2x 11 mod 7 6. Determinare, se esistono, i valori di a Z per cui il seguente sistema ammette soluzione: 6421x 7 mod 12 8614x 3 mod 7 3x a mod 8 per tali valori calcolare le soluzioni stesse. Esercizi sugli anelli di polinomi 1. Si consideri, al variare di α in Z 3, l anello K α = Z 3 [x]/(x 2 + αx + 2) ovvero l anello quoziente dell anello dei polinomi a coefficienti in Z 3 rispetto alla congruenza modulo il polinomio x 2 + αx + 2. Si dica per quali valori di α in Z 3 l anello K α risulta essere un campo e per quali no; se K α non è un campo si determini in esso una coppia di divisori dello zero. 2. Stabilire, motivando la risposta, quali tra i seguenti anelli sono campi e quali no. K 1 = Q[x]/(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) K 2 = Z 2 [x]/(x 3 + x 2 + x + 1) K 3 = C[x]/(x 4 2πx 2 + π 2 + 1) K 4 = Z 7 [x]/(x 3 2) Stabilire inoltre quali fra tali anelli contengono divisori dello zero e, in questo caso, indicare esplicitamente una coppia di divisori delli zero. 3. Fattorizzare in irriducibili i seguenti polinomi e f(x) = x 5 + x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 2 g(x) = x 4 + x 3 x 2 + x 2 Calcolarne il M.C.D. e il m.c.m. e determinare due polinomi r(x) e s(x) tali che M.C.D.(f(x), g(x)) = f(x)r(x) + g(x)s(x) e due polinomi h(x) e k(x) tali che m.c.m.(f(x), g(x)) = f(x)h(x) e m.c.m.(f(x), g(x)) = g(x)k(x) 3
4. Dire, giustificando la risposta, se esiste l inverso della classe [x 2 + 3x + 2] (o [x 2 + 3x + 2]) nei seguenti anelli di classi di congruenza: R[x]/(x 4 x 3 + 2x 2 x + 1), Z 5 [x]/(x 4 x 3 + 2x 2 x + 1). Nel caso in cui esista calcolare tale inverso. 5. Si consideri l anello di polinomi Z 3 [X]. (a) Verificare che i due polinomi f = X 2 + 1, g = X 2 + 2X + 2 Z 3 [X] sono irriducibili. (b) Determinare gli elementi dei due campi Z 3 [X] / (f), Z 3 [X] / (g) e scrivere la tavola moltiplicativa del secondo. (c) Verificare che tali campi sono isomorfi, esplicitando un isomorfismo tra essi. 6. In Z 5 [X] è assegnato il polinomio f = X 6 + X 5 + X 4 + 3X 3 + X 2 + X + 1. (a) Verificare che f è prodotto di due polinomi irriducibili di grado 3. (b) Determinare la cardinalità dell anello Z 5 [X] / (f) eventuale divisore dello zero. (c) Determinare la classe del polinomio (f X 1) 4 ed indicarne un in Z 5 [X] / (f). 7. Si verifichi la riducibilità dei seguenti polinomi rispettivamente negli anelli Z[x], Q[x], R[x], C[x]: f(x) = x 4 + 4x 2 + 16, g(x) = 3x 2 + 9x + 12, s(x) = x 4 10x 2 + 1 8. Considerati i seguenti polinomi: h(x) = 3x 2 + 9x + 3, k(x) = 3x 2 + 9x + 6. f(x) = x 5 x 4 + 3x 3 3x 2 + 2x 2 g(x) = x 6 x 5 + 3x 4 2x 3 + x 2 2 si verifichi se l elemento g(x) è o meno invertibile nell anello Q[x]/ (f(x)). Se l elemento g(x) è invertibile se ne determini l inverso, in caso contrario si trovi un elemento non nullo h(x) tale che g(x) h(x) = 0. 9. Considerati i seguenti polinomi: f(x) = x 4 + x 3 + 2x 4 g(x) = x 6 + x 5 + x 4 + 4x 3 5x 2 + 4x 6 si verifichi se l elemento g(x) è o meno invertibile nell anello Q[x]/ (f(x) ). Se l elemento g(x) è invertibile se ne determini l inverso, in caso contrario si trovi un elemento non nullo h(x) tale che g(x) h(x) = 0. 10. Ricordando le definizioni e le proprietà dei polinomi ciclotomici, fattorizzare in irriducibili in Z[x] il polinomio x 28 1. 4
11. Ricordando le definizioni e le proprietà dei polinomi ciclotomici, fattorizzare in irriducibili in Z[x] il polinomio x 45 1. Esercizi sui campi 1. Sia (K, +, ) un campo con m elementi e sia k K tale che k r = 1. Ricordando le proprietà dell ordine di un elemento in un gruppo finito e l identità di Bézout dimostrare che k d = 1 dove d = (m 1, r). 2. Esprimere, se possibile, l elemento (1+ 3 2) 10 nella forma a 0 +a 1 (1+ 3 2)+ a 2 (1 + 3 2) 2, a i Q, e nella forma b 0 + b 1 3 2 + b 2 3 4, b i Q. 3. Esprimere, se possibile, l elemento (1+ 3 3) 10 nella forma a 0 +a 1 (1+ 3 3)+ a 2 (1 + 3 3) 2, a i Q, e nella forma b 0 + b 1 3 3 + b 2 3 9, b i Q. Esercizi sugli interi di Gauss 1. Fattorizzare i seguenti interi di Gauss: z = 7 + i w = 1 + 8i u = 1 + 7i determinarne poi il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo; scrivere inoltre le tre identità di Bézout per il massimo comun divisore relativo alle tre coppie (z, w), (z, u), (w, u). 2. Fattorizzare i seguenti interi di Gauss: z = 1 8i w = 1 + 7i u = 8 i determinarne poi il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo; scrivere inoltre le tre identità di Bézout per il massimo comun divisore relativo alle tre coppie (z, w), (z, u), (w, u). Esercizi sui gruppi ciclici 1. Determinare tutti i sottogruppi del gruppo G = (Z 27, +); scrivere esplicitamente, giustificando tutti i passaggi, almeno un automorfismo non banale di G. 2. Verificare che l applicazione α :Z 6 Z 9 definita ponendo α( 1) = 6 e, di conseguenza, α(ñ) = α(n 1) = 6n, è un omomorfismo di gruppi. Determinarne il nucleo e l immagine; applicare il teorema di omomorfismo. 3. Verificare che, definendo β :Z 6 Z 9 al modo seguente: β( 1) = 2 e, di conseguenza, β(ñ) = β(n 1) = 2n, quello che si ottiene non solo non è un omomorfismo di gruppi, ma neppure un applicazione (ovvero β non è ben definita). 4. Costruire il gruppo (H, ) degli automorfismi del gruppo (Z 5, +) e il gruppo (K, ) degli automorfismi del gruppo (Z 8, +); verificare che H = K. Verificare inoltre se H e K sono isomorfi. 5. Dimostrare che i gruppi (C 6, ) e (Z 6, +) sono isomorfi e determinare tutti gli isomorfismi che possono essere stabiliti fra tali gruppi. 5
6. Generalizzare l esercizio precedente al caso dei gruppi (C n, ) e (Z n, +), n Z. 7. Determinare tutti i sottogruppi del gruppo Z 18 le relative unioni e intersezioni, disegnare il reticolo di tali sottogruppi. Verificare inoltre se esistono coppie di sottogruppi H e K tali che risulti: Z 18 /H = K. Esercizi sui gruppi di permutazioni 1. Date le seguenti permutazioni: Si chiede di: ( 1 2 3 4 5 6 σ = 6 5 4 2 3 1 ( 1 2 3 4 5 6 τ = 3 6 4 1 2 5 (a) scrivere ognuna di esse come prodotto di cicli disgiunti e, se possibile, come prodotto di trasposizioni in almeno due modi diversi (b) determinare per entrambe l ordine e l inversa (c) dire se sono di classe pari o dispari (d) verificare se sono coniugate (e) calcolare i due prodotti σ τ e τ σ (f) verificare che le due permutazioni σ τ e τ σ sono coniugate e dimostrare che questo accade per ogni coppia di permutazioni. 2. Scrivere le seguenti permutazioni di (S 9, ) come prodotto di cicli disgiunti, stabilirne la classe (pari o dispari), determinarne l ordine e l inversa: ), ), σ = (3452) (24987) (159) Inoltre: τ = (12) (3765) (21) (9876) (a) detta σ = (3452) (24987) determinare una permutazione x che risolva l equazione x σ = σ. (b) Scrivere, se possibile, σ come prodotto di 11 trasposizioni e τ come prodotto di 2 trasposizioni. (c) Determinare quali sono gli elementi di S 9 di ordine sei e classe pari. (d) Calcolare i due prodotti (σ τ) e (τ σ) e stabilire se questi due prodotti sono elementi tra loro coniugati. 3. Stabilire, motivando le risposte, se i gruppi S 6 e S 7 contengono un sottogruppo H ciclico di ordine 12 e/o un sottogruppo K non ciclico di ordine 12. In caso affermativo esplicitare gli elementi di tali sottogruppi. 6
Altri esercizi sui gruppi { ( ) } a 0 1. Sia T = M = tali che a, b, c Z b c 4 e M è invertibile. Calcolare T e dimostrare che T è un gruppo non commutativo esplicitando il prodotto generico di due elementi. Calcolare il quadrato dell elemento generico, l inverso dell elemento generico e, in base a questo, determinare gli ordini degli elementi; in particolare dire quanti sono gli elementi di ordine due. Facoltativo: studiare la struttura di T, i suoi sottogruppi, etc. 2. Costruire tutti gli omomorfismi possibili di dominio il gruppo di Klein K = {u, a, b, c : a 2 = b 2 = c 2 = u e a b = c} e codominio il gruppo (Z 4, +). 3. Si consideri il gruppo (U 42, ) degli invertibili di Z 42 e si verifichi, con il minimo numero possibile di passaggi, se esso è ciclico o no. Si verifichi inoltre che tale gruppo è prodotto diretto di due suoi sottogruppi H e K, esplicitando l isomorfismo α : H K U 42. 4. Scrivere gli elementi del gruppo C 4 delle radici quarte dell unità e gli elementi del gruppo U(Z 10 ), formato dagli elementi invertibili di Z 10. Stabilire se i due gruppi sono isomorfi tra loro e, in caso affermativo, indicare esplicitamente tutti i possibili isomorfismi. 5. Determinare la struttura dei gruppi (U 22, ) e (U 42, ) scrivendoli, se possibile, come prodotto diretto di due opportuni sottogruppi. Verificare inoltre se è possibile determinare un omomorfismo non banale di dominio U 22 e codominio U 42 ed un omomorfismo non banale di dominio U 42 e codominio U 22. In caso di risposta affermativa esplicitare uno di tali omomorfismi. 6. Sia (G, ) un gruppo e sia g 0 G. Si ponga: C(g 0 ) := { g G : g 0 g = g g 0 } [C(g 0 ) è detto centralizzante di g 0 ]. (a) Verificare che C(g 0 ) è un sottogruppo di G. (b) Verificare che C(g 0 ) contiene il sottogruppo g 0 generato da g 0. (c) Considerato il gruppo diedrale del quadrato D 4 = ϕ, ρ: ϕ 4 = ρ 2 = 1, ρ ϕ = ϕ 3 ρ, determinare i sottogruppi C(ϕ) e C(ρ). 7. Si consideri l anello Z 15 delle classi resto modulo 15. (a) Costruire il reticolo dei sottogruppi del gruppo (U 15, ) degli elementi invertibili di Z 15. 7
(b) Verificato che tale gruppo possiede tre sottogruppi di ordine 2, costruire i tre quozienti relativi a tali sottogruppi e verificare se sono tra loro o meno isomorfi. In caso affermativo descrivere esplicitamente un isomorfismo. 8. Si consideri il gruppo G = (U 15, ) degli invertibili di (Z 15, +) e se ne determinino i sottogruppi. Verificare se nel gruppo A 4 delle permutazioni pari su 4 elementi esiste un sottogruppo di ordine quattro isomorfo a qualcuno dei sottogruppi di G e, in caso affermativo, esplicitare un tale isomorfismo. 9. Si consideri il gruppo G = (U 16, ) degli invertibili di (Z 16, +) e se ne determinino i sottogruppi. Verificare se nel gruppo A 4 delle permutazioni pari su 4 elementi esiste un sottogruppo di ordine quattro isomorfo a qualcuno dei sottogruppi di G e, in caso affermativo, esplicitare un tale isomorfismo. 10. Si consideri il gruppo G = (U 50, ) degli invertibili di (Z 50, +). Stabilire se si tratta di un gruppo ciclico e, in questo caso, trovare tutti i possibili generatori. Stabilire se esistono e, in tal caso, quanti sono i sottogruppi di G di ordine 5, 6, 7. Trovare almeno un automorfismo di G diverso dall identità. 11. Si consideri il gruppo G = (U 27, ) degli invertibili di (Z 27, +). Stabilire se si tratta di un gruppo ciclico e, in questo caso, trovare tutti i possibili generatori. Stabilire se esistono e, in tal caso, quanti sono i sottogruppi di G di ordine 5, 6, 7. Trovare almeno un automorfismo di G diverso dall identità. 12. Costruire il gruppo quoziente Z 18 / < 9 > calcolandone l ordine; verificare che esso è ciclico e trovarne i sottogruppi. Infine, partendo dalla proiezione canonica: π : Z 18 Z 18 / < 9 > stabilire la biiezione, indotta da π, fra l insieme S dei sottogruppi di Z 18 contenenti < 9 > e l insieme S dei sottogruppi di Z 18 / < 9 >. Calcolare π(< 6 >) ed applicare il primo teorema di isomorfismo determinando un elemento H S tale che π(< 6 >) = π(h) = H/ < 9 >. Costruire poi un quoziente non banale di Z 18 / < 9 > ed applicare il secondo teorema di isomorfismo verificando che tale quoziente è isomorfo ad un opportuno quoziente di Z 18. 8