1 PROCESSI STOCASTICI... 11 Introduzione... 11 Rappresentazione dei dati biomedici... 11 Aleatorietà delle misure temporali... 14 Medie definite sul processo aleatorio... 16 Valore atteso... 16 Esercitazione 1.1: Simulazione di un processo stocastico e stima del valore medio e della varianza... 18 Esempio: Misura dei potenziali evocati mediante averaging... 18 Esercitazione 1.2: Simulazione dell operazione di averaging temporale per l estrazione dei potenziali evocati... 20 Statistiche del II ordine... 21 Correlazione... 21 Matrice di correlazione... 22 Covarianza... 22 Matrice di covarianza... 23 Stazionarietà... 24 Esercitazione 1.3: Stima delle periodicità del segnale ECG... 27 Autocorrelazione di processi tipici... 29 Ergodicità... 30 Separazione del segnale dal rumore mediante l impiego dell'autocorrelazione... 33 Esercitazione 1.4: Interpretazione della matrice di covarianza normalizzata... 34 Conoscenze e abilità acquisite... 35 Sviluppo di un simulatore software di segnali elettromiografici... 36 Introduzione... 36 Richiami di fisiologia... 38 Modello per la generazione di segnali EMG... 40 Esercitazione n. 1.5: Realizzazione di un simulatore EMG... 41 Analisi nel tempo del segnale EMG... 43 Analisi in frequenza del segnale EMG... 45 3
Esercitazione n. 1.6: Realizzazione di un simulatore EMG e simulazione del lavoro muscolare... 46 Cross-correlazione... 47 Esercitazione n. 1.7: Stima della velocità di conduzione di segnali EMG simulati, mediante cross-correlazione... 50 2 MODELLI DI SERIE TEMPORALI... 53 Introduzione... 53 Modello lineare... 54 Modello non lineare... 57 Stima di parametri da serie temporali... 57 Definizioni... 57 Polarizzazione dello stimatore... 58 Consistenza dello stimatore... 58 Stimatore BLUE... 59 Modelli di rumore... 61 Stimatore OLS... 63 Esercitazione n. 2.1: Applicazione dello stimatore BLUE a un modello di tipo II... 64 Inferenza di gruppo... 64 Analisi di gruppo con un modello ad effetto singolo... 65 Esercitazione n. 2.2: Analisi di gruppo con modello ad effetto singolo.. 67 Esercitazione n. 2.3: Analisi di dati fmri... 68 Analisi di gruppo con un modello ad effetti multipli... 71 Esempio di stima a due livelli... 73 Esercitazione n. 2.4: Analisi di gruppo con modello ad effetti multipli... 74 Stimatore MLE... 74 Stimatore ML in presenza di rumore gaussiano... 75 Massima verosimiglianza per rumore gaussiano... 77 Stimatore ML in presenza di rumore di Poisson... 78 4
Definizione di rumore di Poisson... 78 Massima verosimiglianza per rumore di Poisson... 81 Esercitazione n. 2.5: Stima della mappa di conteggi su dati PET... 81 Influenza del tomografo PET sulla statistica di Poisson... 83 Richiami... 83 Modello statistico basato sulla distribuzione binomiale negativa... 84 Esercitazione n. 2.6: Stima della legge di probabilità di un immagine PET simulata e di un immagine ottenuta mediante misura su un fantoccio... 85 Algoritmo EM... 88 Definizione di Mixture model... 88 Algoritmo EM per una mixture di dati gaussiani... 89 Applicazione dell algoritmo EM... 92 Esercitazione n. 2.7: Applicazione dell algoritmo EM... 92 3 STIME SPETTRALI... 95 Introduzione... 95 Stima della DSP con il metodo di Blackman-Tukey... 95 Stima della DSP con il metodo del periodogramma... 96 Zero padding... 98 Valore atteso del periodogramma... 98 Varianza del periodogramma... 101 Metodi per ridurre la varianza del periodogramma... 102 Averaging in frequenza... 102 Esercitazione n. 3.1: Impiego del metodo di averaging in frequenza. 102 Esercitazione n. 3.2: Stima dello spettro RM mediante averaging in frequenza... 104 Smoothing in frequenza... 108 Metodo WOSA - 1D... 109 Metodo WOSA - 2D... 111 Richiami sull interpretazione della trasformata 2D di fourier... 111 Esercitazione n. 3.3: Impiego del metodo WOSA... 114 Filtraggio stocastico... 115 Filtraggio deterministico... 118 Esercitazione n. 3.4: Riduzione del rumore su immagini MRI e PET... 118 5
Analisi tempo - frequenza... 119 Esercitazione 3.5: Applicazione della STFT a dati simulati... 123 Esercitazione n. 3.6: Analisi in frequenza di segnali fisiologici... 125 Metodi parametrici di stima spettrale... 126 Razionale del metodo... 126 Stima dei coefficienti a(.)... 128 Interpretazione dei coefficienti a(.)... 128 Stima della DSP... 129 Ricerca dell ordine ottimale del modello AR... 130 Esercitazione n. 3.7: Confronto tra metodi parametrici di stima spettrale... 131 Predizione lineare... 132 Esercitazione n. 3.8: Predizione lineare... 134 4 DECONVOLUZIONE... 137 Modelli convolutivi e algebrici di formazione dell immagine... 137 Approccio algebrico alla deconvoluzione... 139 Convoluzione espressa come prodotto matriciale... 139 Diagonalizzazione della matrice circolante H... 140 Condizionamento della matrice H... 142 Calcolo della pseudo inversa di Moore-Penrose... 142 Deconvoluzione per matrici diagonalizzabili... 143 Approccio algebrico alla deconvoluzione con regolarizzazione... 144 Esercitazione n. 4.1: Problema inverso monodimensionale... 145 Esercitazione n. 4.2: Demo sul problema inverso monodimensionale nel tempo e in frequenza... 147 Approccio frequenziale... 147 Metodo di inversione diretta... 147 Metodo basato sul filtro inverso di Wiener... 148 Esercitazione n. 4.3: Simulazione del processo di degradazione... 150 6
5 FILTRI ADATTIVI... 155 Introduzione... 155 Filtro adattivo per la cancellazione del rumore... 155 Convergenza dell algoritmo LMS... 160 Esercitazione n. 5.1: Filtraggio adattivo per la rimozione del rumore.. 162 6 ANALISI MULTISCALA... 167 Trasformata wavelet monodimensionale continua... 167 Risoluzione fissa e risoluzione variabile... 167 Trasformata wavelet continua... 168 Esercitazione 6.1: Applicazione della TWC... 174 Filtraggio nel dominio wavelet... 174 Trasformata wavelet monodimensionale a parametri discreti... 175 Realizzazione di un campionamento diadico... 177 Trasformata wavelet discreta... 178 Algoritmo di Mallat... 178 Algoritmo di ricostruzione di Mallat... 182 Denoising... 182 Denoising lineare... 182 Denoising non lineare... 184 Denoising nel dominio wavelet... 185 Total Variation Denoising... 186 Esercitazione n. 6.2: Denoising di immagini di Risonanza Magnetica mediante filtri non lineari... 187 Esercitazione 6.3: Denoising utilizzando l algoritmo di Mallat... 187 Algoritmo senza decimazione... 189 Entropia wavelet... 193 Analisi frattale e multifrattale... 194 Trasformata wavelet bidimensionale... 196 Compressione di immagini... 198 7
Esercitazione 6.4: Compressione di immagini... 200 Estrazione di features da immagini mediante filtri spaziali... 203 Relazione tra orientazione spaziale e piano di fourier... 203 Partizionamento di un immagine... 206 Esercitazione 6.5: Estrazione di features mediante il filtraggio spaziale... 210 7 METODI DI ANALISI MULTIVARIATA... 215 Introduzione... 215 Analisi delle Componenti Principali... 215 Descrizione intuitiva... 216 Richiami sulla decomposizione di una matrice di dati... 218 Trasformazioni... 218 Decomposizione a valori singolari di una matrice... 219 Decomposizione della matrice di covarianza... 220 Calcolo delle componenti principali... 222 Esercitazione n. 7.1. Implementazione dell algoritmo PC... 223 Trasformazione inversa... 225 Alcune proprietà delle PC... 226 Cerchio delle correlazioni... 228 Clustering gerarchico... 229 Esercitazione n. 7.2. Applicazione dell algoritmo PC... 230 Analisi delle componenti indipendenti... 231 Introduzione... 231 Modello lineare istantaneo... 233 Indipendenza statistica delle sorgenti... 235 Metodi per la stima delle componenti indipendenti... 236 Algoritmi per la stima delle componenti indipendenti... 244 Interpretazione geometrica della ICA... 246 Sbiancamento delle osservazioni... 248 Scelta del numero di componenti... 249 Esercitazioni n. 7.3: Algoritmo ICA... 250 Esercitazioni n. 7.4: Rimozione di artefatti oculari da segnali EEG.... 251 8
Regressione lineare... 251 Retta di regressione... 251 Test sui parametri della regressione... 256 Coefficiente di correlazione... 258 Test sul coefficiente di correlazione... 259 Esercitazione n. 7.5. Regressione lineare... 261 Regressione lineare multipla... 262 Coefficiente di determinazione... 263 Test t su un singolo parametro del modello... 264 Test F per l eliminazione di variabili indipendenti... 265 Esercitazione n. 7.6: Regressione multipla... 266 8. ALGORITMI DI MACHINE LEARNING... 269 Classificatori parametrici... 269 Classificatore di Bayes... 269 Criteri di classificazione... 273 Criterio del minimo rischio... 273 Esercitazione n. 8.1: Classificatore di Bayes... 277 Classificatore lineare... 278 Interpretazione geometrica... 281 Classificatore quadratico... 281 Esercitazione n. 8.2: Classificatore di Bayes e QDA... 281 Classificatori non parametrici... 284 Classificatore Support Vector Machine (SVM)... 284 Confronto tra LDA e SVM... 286 Esercitazione n. 8.3: Classificatore SVM... 286 Esercitazione n. 8.4: Applicazione di Brain Computer Interface... 287 Data mining... 289 Albero decisionale... 289 Impostazione del problema di classificazione... 290 Regola di splitting... 291 Esercitazione n. 8.5: Implementazione dell albero decisionale... 294 Random Forest... 295 Esercitazione n. 8.6: Algoritmo RF... 296 9