Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di vettori di A. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1 Es.2
Proprietà della chiusura lineare Prop.1 Siano A un sottoinsieme (o un sistema) non vuoto di V (K) e L(A) la sua chiusura lineare, allora 1. L(A) è un sottospazio vettoriale di V (K); 2. A L(A); 3. L(L(A)) = L(A); 4. L(A) è incluso in ogni sottospazio vettoriale di V (K) che include A (cioè L(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di V (K) che include A). Prop.2 Siano A e B sottoinsiemi (o sistemi) non vuoti di V (K), allora 1. A B L(A) L(B); 2. L(A B) = L(A) + L(B).
Generatori. Spazi finitamente generati Def. Sia A un sistema (o un sottoinsieme) non vuoto di V (K). Il sottospazio vettoriale L(A) si dice spazio generato da A ed A si dice sistema (o insieme) di generatori di L(A). Pertanto A è detto sistema (o insieme) di generatori di V (K), che è detto spazio generato, se V (K) = L(A), cioè se ogni vettore di V (K) si può scrivere come combinazione lineare di un numero finito di vettori di A. Def. Uno spazio vettoriale V (K) si dice finitamente generato se ammette almeno un sistema di generatori. Es.
Proprietà dei sistemi di generatori Lemma Sia A = [v i ] i In un sistema di generatori di V (K). Se in A esiste un v s che è esprimibile come combinazione lineare dei rimanenti vettori di A, allora A \ {v s } è ancora un sistema di generatori di V (K). Teorema Ogni spazio vettoriale finitamente generato e non banale ammette almeno un sistema libero di generatori.
Sistemi di generatori e sistemi liberi. Lemma di Steinitz Lemma di Steinitz In uno spazio vettoriale f.g. siano B = [v i ] i In un sistema di generatori e A = [w j ] j Im un sistema libero, allora m n.
Basi Def. Si dice base di uno spazio vettoriale V (K) una sequenza libera di generatori. N.B. Applicando un teorema precedente possiamo dunque dire che ogni spazio vettoriale finitamente generato e non banale ammette almeno una base. Prop. Tutte le basi di uno spazio vettoriale f.g. hanno la stessa cardinalità. Dimensione Def. Si dice dimensione di uno spazio vettoriale f.g., e si denota con dim V (K), la cardinalità di una sua base qualunque. N.B. Uno spazio vettoriale di dimensione n si denota con V n (K).
Conseguenze del lemma di Steinitz Corollario In V n (K) con n > 0 a. m vettori con m > n sono linearmente dipendenti; b. m vettori con m < n non possono generare V n (K); c. una sequenza di n generatori è libera, quindi è una base; d. una sequenza libera di n vettori genera V n (K), quindi è una sua base. Prop.1 In V n (K) esistono sottospazi vettoriali di ogni dimensione t con 0 t n. Prop.2 Siano U e W sottospazi vettoriali di V n (K) e sia U W, allora: a. dim U dim W ; b. U = W dim U = dim W.
Conseguenze del lemma di Steinitz Completamento di una sequenza libera ad una base Teorema (del completamento) Siano B = (e i ) i In una base e A = (v i ) i Ip una sequenza libera di V n (K) (dunque p n). Allora in B esiste una sottosequenza B, formata da n p vettori, tale che A B risulti una base di V n (K). N.B.Il teorema precedente ci dice che in uno spazio vettoriale di dimensione finita è sempre possibile costruire basi contenenti vettori prefissati, purchè linearmente indipendenti. Essi infatti, assunti in un dato ordine, formano una sequenza libera che può essere completata in modo da ottenere una base dello spazio che, ovviamente, conterrà i vettori di partenza. Def. Se A è una sequenza libera e B una base, la sottosequenza B di B tale che A B è una base, è detta completamento di A.
Complemento diretto di un sottospazio Prop. In V n (K) siano B una base, A una sequenza libera, B B un completamento di A. Allora V n (K) = L(A) L(B ). Def. Se V (K) = U W i due sottospazi U e W si dicono l uno complemento diretto dell altro. Corollario In V n (K) ogni sottospazio vettoriale ammette almeno un complemento diretto.
Formula di Grassmann Teorema (formula di Grassmann) Siano U e W sottospazi di uno spazio f.g. V n (K). Allora dim U + dim W = dim (U W ) + dim (U + W )
Caratterizzazione di una base Teorema Una sequenza B = (v i ) i In di vettori di V (K) è una sua base se, e soltanto se, ogni vettore di V (K) si può esprimere in uno ed un solo modo come combinazione lineare dei vettori di B.
Componenti in una data base Def. In V n (K) siano B = (e i ) i In una base e v un vettore con v = k 1 e 1 + k 2 e 2 + + k n e n. L ennupla dei coefficienti (k i ) i In è detta ennupla delle componenti di v in B. Es. Prop. Sia B una base di uno spazio vettoriale V n (K). La corrispondenza φ B che ad ogni vettore v associa l ennupla (k i ) i In delle sue componenti in B è una biiezione di dominio V n (K) e codominio K n.
Cambiamento di base Siano B = (e i ) i In e B = (e i ) i I n due basi di V n (K). Dato che B è base, i vettori di B possono essere scritti come combinazioni lineari dei vettori di B: e 1 = h 11e 1 + h 12 e 2 + + h 1n e n ( ) e 2 = h 21e 1 + h 22 e 2 + + h 2n e n. e n = h n1 e 1 + h n2 e 2 + + h nn e n Analogamente, i vettori di B possono essere scritti come combinazioni lineari dei vettori di B : e 1 = h 11 e 1 + h 12 e 2 + + h 1n e n e ( ) 2 = h 21 e 1 + h 22 e 2 + + h 2n e n. Ponendo E = e 1 e 2. e n e n = h n1 e 1 + h n2 e 2 + + h nn e n, E = e 1 e 2., e n la ( ) risulta equivalente alla E = HE la ( ) risulta equivalente alla E = HE H = (h ij ) i,j In H = ( h ij ) i,j In
Matrice del cambiamento di base Def. La matrice H che ha nelle righe le componenti dei vettori di B in B è detta matrice del cambiamento di base da B a B. La matrice H che ha nelle righe le componenti dei vettori di B in B e risulta la matrice del cambiamento di base da B a B. Sostituendo E = HE in E = HE si ottiene E = H(HE) cioè E = ( HH)E. Dunque la matrice HH ha nelle righe le componenti dei vettori di B in B ed è perciò HH = n. Analogamente, H H = n. Pertanto Prop. Una matrice di cambiamento di base è quadrata e invertibile e la sua inversa è la matrice del cambiamento di base opposto.
Componenti di un vettore rispetto a basi distinte Attraverso la matrice del cambiamento di base si può stabilire un legame fra le componenti di un vettore v di V n (K) rispetto a due distinte basi B = (e i ) i In e B = (e i ) i I n. Dette X v e X v le matrici colonna delle componenti del vettore v in B e B rispettivamente, risulta v = t X v E (se si esprime v rispetto a B) v = t X v E (se si esprime v rispetto a B ). Pertanto t X v E = t X v E e, sostituendo E = HE, si ottiene t X v E = ( t X v H)E. Per l unicità delle componenti deve essere t X v = t X v H da cui, passando alle trasposte, X v = t H X v Dato che la matrice del cambiamento di base è invertibile, si può equivalentemente scrivere X v = t H 1 X v