AM5: Tracce delle lezioni- V Settimana

AM5: Tracce delle lezioni- V Settimana Sia µ misura su X, p. SPAZI L p L p = L p (X, µ) : = {f : X [, + ] f é misurabile e Siccome t + s p ( ) p s p + t p s, t R, é 2 2 f, g L p f + g L p X f p dµ < } e uindi, facilmente, L p é spazio vettoriale. Nel seguito, non distingueremo L p da L p uozientato rispetto al sottospazio N := {f = 0.o.}. Se X = N e µ é la misura che conta, l p := L p (X, µ) é lo spazio delle successioni a := (a n ) n N di potenza p-esima sommabile con norma a = [ n= a n p ] p DISEGUAGLIANZE di HOLDER, di MINKOWSKII. Siano f, g misurabili, p, >, tali che p + = (p, si dicono esponenti coniugati). Allora (Holder) Sia p. Allora (Minkowskii) ( f g ( f + g p ) p ( f p ) p ( f p ) p g ) + ( g p ) p Una elementare diseguaglianza di convessitá. Siano p, >, tali che + =. Allora p s t tp p + s s, t 0 d Da ( rp r + ) = dr p rp segue che r = é punto di minimo assoluto. Da rp r + = 0 in r =, segue r p p rp + r > 0. Scrivendo (se s 0) r = si ottiene la diseguaglianza voluta. t s Adesso Holder segue subito scrivendo t = Minkowskii segue da Holder: + p p p f + g p ( f + g p ) p p ( f(x), s = g(x) ( f p ) p e integrando. ( g p ) p =, f +g p f +g p f + f +g p g f p ) p + ( f + g p ) p p ( g p ) p

COMPLETEZZA degli spazi L p. Sia p. (i) f p := ( X f p dµ) p é una norma su L p. (ii) L p dotato di tale norma é uno spazio di Banach, ovvero f n L p, f n f m p n, m 0 f L p : f n f p 0 Si prova esattamente come nel caso p = : sia g k := f nk tale che g k+ g k p. Posto F 2 k n := n g k+ g k, é F n p n n 2 k e uindi F (x) := lim n F n é in L p per il Teorema di Levi, e uindi g k+ g k < +.o. f(x) := lim k [g + (g 2 g ) +... + (g k g k )] = lim k f nk esiste finito.o. Inoltre f nk F + g e uindi f nk p é euidominata e uindi f nk f p 0. Infine, essendo f n di Cauchy in L p, f n f p 0. DISEGUAGLIANZA di INTERPOLAZIONE. Siano p. Allora f L p L f L r r [p, ] e f r f θ p f θ ove θ [0, ] é tale che r = θ p + θ. Infatti, p θr e ( θ)r sono esponenti coniugati e uindi f r = f rθ f r( θ) ( f p ) rθ p ( f ) r( θ) DISEGUAGLIANZA di HOLDER GENERALIZZATA. L p, g L. Allora r := p + fg r f p g Siano f Basta applicare Holder con esponenti p r e r : f r g r ( f p ) r p ( g ) r 2

L 2 e gli spazi di HILBERT f 2 2 = f 2 =< f, f > ove < f, g > := fg dµ, f, g L 2 é un prodotto scalare (ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva) in L 2. Notiamo che la diseguaglianza di Holder, con p = = 2 dá la ben nota diseguaglianza di Cauchy-Schwartz. Lo spazio L 2 é uno spazio di Hilbert: SPAZI DI HILBERT. Sia (H,. ) spazio di Banach. Se esiste in H un prodotto scalare < x, y >:= b(x, y), x, y H tale che < x, y > = < y, x > x, y H, < x, x >> 0 x H, x 0 H si dice spazio di Hilbert. x = < x, x > x H Le seguenti (ben note) proprietá si verificano facilmente: Cauchy-Schwartz : < x, y > x y x, y H Pitagora : < x, y >= 0 x + y 2 = x 2 + y 2 x, y H Regola del Parallelogramma : x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) La proprietá fondamentale degli spazi di Hilbert é l esistenza della PROIEZIONE ORTOGONALE : Sia V sottospazio lineare chiuso di H. Allora h H! v(h) V : < h v(h), v >= 0 v V Tale vettore si chiama proiezione ortogonale di h su V e si indica P V h. L applicazione P V é una proiezione lineare ed é continua: P V (rh + sk) = rp V (h) + sp V (k) r, s R, h, k H, P 2 V = P V P V (h) h h H Inoltre, indicato V := {h H : < h, v >= 0 v V }, risulta KerP V = V. 3

Prova. Il vettore v(h) é uello che realizza la minima distanza di h da V : se d := inf h v, allora h v(h) = d v V Mostriamo innanzi tutto che tale inf é realizzato: se v n V é minimizzante, cioé h v n n d, allora, dalla regola del parallelogramma v n v m 2 = (v n h) + (h v m ) 2 = 2( v n h 2 + h v m 2 ) 2[ v n + v m 2 2( v n h 2 + h v m 2 ) 4d 2 n 0 h] 2 perché vn+vm h d in uanto vn+vm V ; dunue v 2 2 n é di Cauchy e uindi converge, necessariamente ad un elemento di V perché V é chiuso. Poi, se v realizza il minimo, cioé h v = d, allora, fissato v V e posto ϕ v (t) := h v + tv 2 = h v 2 + t 2 v 2 + 2t < h v, v >, risulta ϕ v (t) ϕ v (0) t R, cioé t = 0 é di minimo per ϕ v (t) e uindi 0 = ϕ v (0) = 2 < h v, v > v V. Unicitá: se v, v 2 V sono tali che < h v, v >=< h v 2, v > v V allora < v 2 v, v >=< h v, v > < h v 2, v >= 0 v V e uindi, prendendo v = v 2 v, troviamo che v = v 2. Linearitá: < h P V h, v > = < k P V k, v > = 0 v V < rh + sk (rp V h + sp V k), v >= 0 v V P V (rh + sk) = rp V h + sp V k per l unicitá. Poi, siccome P V v = v v V e P V h V h H, P V é idempotente. Inoltre, P V h = 0 < h, v >= 0 v V. Infine, per Pitagora: h 2 = (h P V h) + P V h 2 = h P V h 2 + P V h 2 P V h 2 h H Corollario : V = V H = V V. Infatti V V = {0} ed ogni h H si scrive come h = P V h+(h P V h) V +V. ESEMPIO. Sia V =< e,..., e n >, e j H, < e i, e j >= δ ij. Allora P V h = n j= < h, e j > e j. Essendo tutte le norme su R n tra loro euivalenti, V é completo e uindi é chiuso in H. Poi, P V h := j h j e j 0 = < h P V h, e j > = < h, e j > < i h i e i, e j > =< h, e j > h j P V h = n j= < h, e j > e j. 4

TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE DI RIESZ. Sia l : H R lineare e continuo. Allora h H : l(x) = < x, h > x H Prova. Se l(x) = 0 x H, basta prendere h = 0. Altrimenti, l continuo V := l (0) é sottospazio lineare chiuso proprio di H, e uindi esiste h 0 tale che < h, v >= 0 v V. Posiamo supporre h =. Siccome l(x l(x) l(h) l(x) x H, abbiamo che < h, x l(h) x H ovvero l(x) =< x, l(h)h >. NOTA. Lo spazio lineare H := {l : H R : l é lineare e continuo} dotato della norma degli operatori l(x) l := sup x 0 x é uno spazio di Banach. Tale spazio é detto duale algebrico topologico di H. Dato h H, il funzionale l h : H R definito come l h (x) :=< x, h >, é chiaramente lineare e, per Cauchy-Schwartz, continuo e uindi é un elemento di H. Inoltre, l applicazione T : h l h di H in H é chiaramente lineare e, di piú, T (h) = l h = h. Il Teorema di Riesz dice che T é suriettiva. In altre parole Corollario ( RIESZ ). Ogni spazio di Hilbert é isometricamente isomorfo al suo duale. Diseguaglianza di BESSEL. e j H, < e i, e j >= δ ij j < h, e j > 2 h 2 h H Prova. Posto V n =< e,..., e n >, P n := P Vn, é n < h, e j > 2 = P n h 2 h 2 h H, n N j= 5

BASE HILBERTIANA (o base ortonormale). Un sistema di vettori e j é sistema ortonormale se < e i, e j >= δ ij Un sistema di vettori e j é completo se < x, e j >= 0 j x = 0 NOTA. (i) Se la varietá lineare H 0 generata dagli e j é densa, allora il sistema é completo. Ad esempio, e j := e ijt, t [0, 2π] formano un sistema ortonormale in L 2 ([0, 2π]). Ció segue dal teorema di Weierstrass (ogni funzione continua in [0, 2π] é limite uniforme di polinomi trigonometrici) e del fatto che, come vedremo, le funzioni continue sono dense in ogni L p. (ii) Ogni Hilbert separabile ha un sistema ortonormale (numerabile) completo: da ogni insieme numerabile denso si puó costruire, usando un procedimento di ortonormalizzazione alla Gram-Schmidt, un sistema (numerabile) ortonormale che genera una varietá lineare densa (e uindi é completo). Un sistema ortonormale di vettori e j é base hilbertiana se x = j n < x, e j > e j := lim < x, e j > e j x H n j= I numeri < x, e j > si chiamano coefficenti di Fourier di x nella base e j. Proposizione. Un sistema ortonormale completo e j é base hilbertiana e (IDENTITÁ DI PARSEVAL) x 2 = j < x, e j > 2 x H Sia x n := n j= < x, e j > e j. Dalla diseguaglianza di Bessel segue che x n+p x n 2 = n+p n+ < x, e j > 2 n 0 per ogni p, ovvero x n é di Cauchy e uindi converge, diciamo a x. Proviamo che x = x. Infatti, < x, e k >= lim n < x n, e k >=< x, e k >. Dunue < x x, e k >= 0 k e uindi x = x. Infine, x n x x n n x e uindi n j= < x, e j > 2 = x n 2 x 2. Proposizione 2. Ogni Hilbert separabile ha una base hilbertiana. NOTA. Sia e j base ortonormale. La mappa F che associa ad x H i suoi coefficenti di Fourier, (F x) j :=< x, e j > porta (in modo chiaramente lineare)h in l 2 : F : H l 2 (da Bessel). Da Parseval segue che F é isometria. Siccome, come sopra, ogni successione di uadrato sommabile (a j ) j N, j a j 2 < + individua il vettore 6

x := j a j e j i cui coefficenti di Fourier sono proprio gli a j, concludiamo che F é isometria suriettiva. Teorema di isomorfismo. H, Hilbert separabile, é isometricamente isomorfo a l 2. NOTA. Piú in generale, ogni Hilbert é isometricamente isomorfo a un L 2 (X, µ), ove X é l insieme degli indici di una base hilbertiana per H (eventualmente non numerabile) e µ é la misura che conta. CONVERGENZA DEBOLE Ricordiamo che x n n x (x n converge in norma ad x) se x n x n 0. Una successione x n H é limitata se sup n x n < +. Diversamente da uanto accade in R n, successioni limitate non hanno in generale sottosuccessioni convergenti. Ad esempio, se e j, j N é sistema ortonormale, allora e i e j 2 = 2δ ij e uindi e j non ha alcuna sottosuccessione convergente. Definizione ( = converge debolmente ). x n n 0 < x n, h > n 0 h H Si dice che x n n x se (x n x) n 0. Dalla diseguaglianza di Bessel segue ad esempio che e j j 0. Proposizione (i) x n x x n n x (ma non viceversa) (ii) x n n x, y n n y, α, β R αx n + βy n n αx + βy (iii) x n n x lim inf x n x Prova. (i) < x n x, h > h x n x n 0. (ii) ovvia (iii) Possiamo supporre x 0. Allora < x n, x x > x n x lim inf x n NOTA. (iii) dice: la norma é inferiormente semicontinua rispetto alla convergenza debole. 7

Teorema (uniforme limitatezza). x n n x sup n x n < + Lemma di Mazur. x n C chiuso e convesso, x n n x x C. Prova. Postposta. Proposizione 2 (i) x n n x, y n y < x n, y n > n < x, y > (ii) < e i > = H, < x n, e j > n 0 j, sup n x n < + x n n 0 Prova. (i) < x n, y n > < x, y > = < x n x, y > + < x n, y n y > < x n x, y > + y n y x n n 0 perché x n é limitata (ii) < x n, h > n 0 h < e j >. Se h k < e j >, h k k h, allora < x n, h > < x n, h k > + < x n, h h k > lim sup n < x n, h > sup n x n h k h k N e uindi lim sup n < x n, h > = 0. Compattezza debole Sia H Hilbert separabile. Se x n é limitata, allora x n ha una sottosuccessione debolmente convergente. Prova. Sia e j base ortonormale. Siccome x n é limitata, basta provare che x nk, x : < x nk, e j > k < x, e j > j Siccome < x n, e > sup n x n, esiste una successione di indici n j e un numero c tale che c = lim j < x nj, e >. Passando ad una nuova sottosuccessione, troviamo che c i := lim k < x njk, e i >, i =, 2. Iterando ed applicando il metodo diagonale di Cantor troviamo che lungo una sottosuccessione (diagonale) c i := lim k < x nk, e i > i N Da N i= c 2 i = lim k Ni= < x njk, e i > 2 sup n x n 2 N e uindi i= c 2 i < +. Allora resta definito il vettore in H dato da x := i= c i e i. Siccome < x, e j >= c j = lim k < x nk, e j >, dalla Proposizione 2-(ii) segue che x nk k x. NOTA. L ipotesi di separabilitá si puó facilmente eliminare, argomentando nella chiusura della varitá lineare generata dagli x n (che é appunto separabile). 8

AM5: Esercizi e problemi- V Settimana Esercizio. Sia µ(x) <. Siano f n 0 funzioni sommabili. Provare che f n f.o., X f n dµ X f dµ f n f L 0 Suggerimento. Usando l ipotesi, Egoroff e la assoluta continuitá dell integrale, mostrare che si puó scrivere X\A f n = X\A f + () () + ɛ per un insieme A tale che f n converge uniformemente ad f su A, e µ(x\a) δ ɛ per un δ ɛ tale che... Esercizio 2. Siano p i >, p +... + p l =. Siano f p,..., f l misurabili. Provare che ( f... f l p ) p ( f p ) p... ( f l p l ) p l Esercizio 3. Data f Lebesgue misurabile in R n, t > 0, sia f t (x) = f(tx). Provare che (i)f t è misurabile, f L p f t L p e f t p = t n p f p Esercizio 4. Siano f n L p (X) tali che sup n X f n p < +. Provare che lim inf f n L p, mentre può accadere che lim sup f n = +. Esercizio 5. Sia µ(x) < +. Siano s < t. Provare che (i) f L t f L s, e l inclusione L t L s è stretta (ii) l inclusione L t L s è falsa se µ(x) = +. Esercizio 6. Sia µ(x) < +, e sia f misurabile, tale che c > 0 : f(x) c per uasi tutti gli x. Posto f := inf{c 0 : f(x) c per uasi ogni x}, provare che f p p + f Esercizio 7. Sia f n L p (R n ). Provare che f n f.o., f n p f p f n f p 0 9