Cap. 4: Forze e Momenti Forza Il concetto di forza serve ad esprimere l interazione tra corpi. Quando si spinge o si tira un oggetto, si interagisce con esso esercitando una forza e conseguentemente modificandone lo stato di quiete o di moto. Per esperienza crediamo che certi tipi di forza richiedono un contatto tra i corpi: ad esempio, quando calciamo un pallone ci sembra di esercitare una forza toccando la palla col piede. Invece altre forze agiscono chiaramente senza un contatto diretto, come la forza repulsiva di due magneti, o l attrazione gravitazionale tra Sole e pianeti. Spesso le forze del primo tipo sono dette forze di contatto. Ma in realtà la distinzione tra forze di contatto e non di contatto è solo apparente. Per quanto compatto possa apparire un corpo, i suoi atomi sono tenuti separati e in posizione da interazioni a distanza, come accade per i pianeti che ruotano attorno ad una stella. Quando si calcia un pallone, a livello microscopico non c è un contatto diretto tra gli atomi della palla e del piede, ma un interazione a distanza. In questo caso però la distanza è così piccola che i nostri sensi non la percepiscono. In natura compaiono forze con caratteristiche assai differenti tra loro. Col tempo i fisici hanno riconosciuto che forze apparentemente diverse sono in realtà aspetti differenti dello stesso fenomeno fisico. Ad esempio, Newton riconobbe che la forza responsabile della caduta degli oggetti a terra è la stessa forza responsabile del moto dei corpi celesti: la forza gravitazionale. Nel XIX secolo Faraday ed Ampere trovarono strette relazioni tra elettricità e magnetismo; queste due forze sono poi state unificate da Maxwell, con la teoria dell'elettromagnetismo. All'inizio del XX secolo si riteneva che tutte le forze fossero riconducibili a 4 soli tipi fondamentali: forza gravitazionale, forza elettromagnetica, forza nucleare debole (responsabile dei decadimenti radioattivi) e forza nucleare forte (quest ultima tiene uniti protoni e neutroni nei nuclei atomici: è sfruttata nei reattori nucleari o nelle bombe atomiche). Negli anni 70 si è dimostrato che elettromagnetismo e forza nucleare debole sono in realtà lo stesso tipo di forza: la forza elettrodebole. Attualmente quindi si ritiene che esistano solo 3 forze fondamentali: gravitazionale, elettrodebole e nucleare forte. I fisici
teorici stanno elaborando nuove teorie per completare l unificazione delle forze. Il cosiddetto Modello Standard, in fase di validazione grazie anche agli esperimenti con la nuova macchina acceleratrice del CERN di Ginevra, è una teoria che descriverebbe in modo unitario Forza Elettrodebole e Nucleare Forte. Seppure esistano solo 3 forze fondamentali, per motivi pratici si usano nomi e trattazioni teoriche particolari per la forza elettrodebole a seconda del contesto. Si parlerà quindi ora di spinta di Archimede, ora di forze di attrito, ora di reazioni vincolari, ecc. Infatti l enorme numero di molecole presenti nei corpi macroscopici rende impensabile applicare la teoria della forza elettrodebole direttamente alle singole molecole per risolvere problemi pratici. In questi casi si useranno invece semplici leggi semiempiriche (si veda ad esempio il paragrafo sulle forze di attrito). Nel sistema MKS le forze si esprimono in Newton, [N], o [kg][m][s] -2. Il Newton ha le dimensioni di una massa per un accelerazione. Anche il peso è una forza: è il prodotto tra la massa m del corpo e l accelerazione di gravità g: P=mg. La forza peso può servire da campione per misurare le forze. Lo strumento di misura è il dinamometro a molla. Si misura il peso di un campione di riferimento col dinamometro, osservando l'allungamento della molla. Tutte le altre forze possono essere misurate applicandole alla molla del dinamometro, e misurando l'allungamento della molla in rapporto all'allungamento del campione standard. L esperienza indica che le forze sono caratterizzata da una intensità, da una direzione, da un verso e da un punto di applicazione. Per questo motivo è assai utile rappresentare le forze con vettori. Questo consentirà di sommare più forze applicate sullo stesso corpo utilizzando l algebra vettoriale. Esempio: somma di più forze applicate ad un punto con l algebra vettoriale. F 2 F 1 P Due uomini stanno tirando ognuno una corda legata ad un anello. L anello regge un peso di 300 N. I due uomini tirano le corde con forza F 1 ed F 2, entrambe di modulo pari a 200 N. Le corde formano un angolo di 45 con la verticale. Trovare la forza risultante R, somma di tutte le forze che agiscono sull anello. Fig.1
Sull anello agiscono 3 forze: F 1 ed F 2 esercitate dalle corde, ed il peso P: Le espressioni analitiche dei 3 vettori sono: F1 F2 P F 1 = ; F 2 = F ; P= 1y F ; 2 y Py Il vettore risultante è R = F 1 + F 2 +P Le componenti orizzontale e verticale delle forze sono: F 1x =200cos45 =200x0.707=141.4 N F 2x = -F 1x =-141.4 N F 1y =200sen45 =200x0.707=141.4 N F 2y = F 1y = 141.4 N P x =0 P y =-300 N Sommando separatamente le componenti orizzontali e verticali otteniamo le componenti di R: F1 F2 P 141.4 141.4 + 0 0 R= + + = = F1 y F2 y Py 141.4 + 141.4 300 17.2 Esempio: somma di più forze applicate ad un punto col metodo grafico. Il calcolo della forza risultante R esercitata dal muscolo gastrocnemio come somma delle componenti prodotte dal gemello mediale e dal gemello laterale è risolto graficamente (regola del parallelogramma) nel disegno seguente.
Momento di una forza L esperienza indica che la capacità che ha una forza applicata ad un corpo di produrre una rotazione del corpo cambia a seconda del punto di applicazione della forza. E per questo motivo che la maniglia delle porte è sempre messa nel punto orizzontalmente più distante rispetto ai cardini. Infatti, se la maniglia fosse messa vicino ai cardini, faremmo più fatica ad aprire la porta, anche se peso e attriti della porta non cambiano. Similmente, svitiamo un dado con minor fatica se impugniamo una chiave inglese all estremità opposta al dado piuttosto che vicino al dado. Per cui la capacità di una forza di esercitare una rotazione dipende dal punto di applicazione della forza. Per esprimere questo concetto in fisica si è introdotta un altra grandezza vettoriale: il momento di una forza. Il momento M di una forza F rispetto ad un punto P è un vettore, definito come prodotto vettoriale b F. Se b il vettore che congiunge il punto P col punto di applicazione della forza (questo vettore è detto braccio) allora la direzione del vettore momento M è perpendicolare al piano dove si trovano F e b. In questo corso considereremo solo problemi a due dimensioni, dove b ed F possono essere disegnati sul foglio. Allora il vettore momento uscirà perpendicolarmente dal foglio. Volendo esprimere M in forma analitica, dobbiamo allora considerare che in genere questo vettore avrà tre componenti: nella direzione x, M x, nella direzione y, M y, e nella direzione z, M z : M M= M y M z Nel caso in cui i vettori b ed F giacciano nel piano X-Y del foglio, allora la sola componente M z sarà diversa da zero 0 M= 0 M z Se braccio b e la forza F sono tra loro perpendicolari, allora il modulo del momento M è semplicemente dato dal prodotto braccio forza: M = b F. Se invece braccio e forza formano tra loro un angolo qualsiasi, il momento è dato dal prodotto tra il braccio e la sola componente della forza perpendicolare al braccio. Se ϑ è l angolo tra b ed F, allora la componente di F perpendicolare a b è F sen(ϑ ) e quindi: M = b F sen(ϑ )
P ϑ F b Fig.2 Se ad esempio F è applicata con angolazione ϑ ad un asta lunga b incernierata in P come indicato in fig.2, allora il momento M è un vettore diretto perpendicolarmente al foglio verso l alto (regola della mano destra), cioè con M z >0, e di modulo pari a b F sen(ϑ). Notare che se la forza fosse stata parallela al braccio b, ϑ=0, sen (0)=0 ed il momento sarebbe stato nullo. Le dimensioni del momento M sono [m][n] o [Kg][m] 2 [s] -2. Per la regola della mano destra è positivo il momento che produce una rotazione antioraria, negativo quello che produce una rotazione oraria. M<0 M>0 Esempio. Per aprire una porta larga 80 cm applichiamo una forza di 5 [N] tirando la maniglia. Che momento esercitiamo rispetto ai cardini? Lo schema è quello del disegno in figura. Poiché la maniglia si trova all estremità della porta opposta ai cardini, r =0.8 m. La forza è applicata perpendicolarmente alla porta, per cui ϑ=90. Dal momento che la rotazione sarà in senso orario, il momento è negativo. Per cui abbiamo: M=- 0.8x5xsen90 =-4 [m][n]
Esempio. Un insegna pesa 50 N. E appesa ad un asta che sporge da una parete. L asta è lunga 1 m. L angolo tra parete ed asta è di 60. Calcolare il momento prodotto dal peso dell insegna rispetto al punto in cui l asta è infissa nel muro. Schematizziamo il problema indicando con P il punto del muro in cui l asta è infissa, con W il vettore peso: P 60 W Anche l angolo tra l asta ed il peso è 60. Quindi la componente del peso perpendicolare all asta è 50sin(60 ). La torsione generata è in senso orario e quindi il momento risultante è negativo. M z = -1 [m]x 50 sin(60 ) [N] = -50x0.866 = -43.3 [Nm] Quiz La figura mostra una porta vista dall alto. A è il cardine, C la maniglia e B il centro della porta. A B C A turno, quattro persone applicano le forze indicate qui sotto per aprire la porta. A B C F 1 F 2 F 3 F 4 La persona 1 spinge in B applicando la forza F 1 ; la persona 2 tira la maniglia C perpendicolarmente alla porta, con forza F 2 ; 3 e 4 tirano la maniglia applicando le forze F 3 ed F 4 con l inclinazione indicata. Come si vede dal disegno, F 1 = F 2 < F 3 < F 4. Senza eseguire calcoli indicate: 1)Quale persona esercita il momento maggiore (in modulo) rispetto al cardine A; 2)Quale forza esercita il momento maggiore (in modulo) rispetto alla maniglia C
Quiz Quali sono i momenti rispetto a polso, gomito e spalla di un peso di 20 N sul palmo di una mano: a) di una persona col braccio disteso orizzontalmente? b) di una persona col braccio che forma un angolo di 30 rispetto al corpo?
Momento di una coppia di forze. Due forze uguali ed opposte le cui direzioni non siano allineate su una retta formano una coppia. La forza risultante dalla somma delle forze della coppia è nulla. Però anche se non esercita una forza risultante, ognuna delle due forze esercita un momento. Poiché la somma dei due momenti non si annulla, la coppia esercita un momento risultante che tende a far ruotare il corpo. Si dimostra che il momento risultante di una coppia di forze, M, non dipende dal punto P rispetto al quale esso è calcolato, ma dipende solo dalla distanza tra i punti di applicazione delle due forze. F P d b -F Consideriamo ad esempio la coppia di forze -F e F della figura: la distanza tra P e la prima forza è d; la distanza tra le due forze è b. Calcoliamo i momenti rispetto al punto P. M z =-d F + (d+b) F = b F Quindi il modulo del momento di una coppia dipende solo dall intensità delle due forze, F, e dalla distanza tra loro, b. Curva della coppia esercitata sulla trasmissione dal motore della motocicletta BMW K 1200 R 2005, al variare del numero di giri del motore.
Esempio: Porte Girevoli Una persona sta entrando in albergo per una porta girevole, mentre un altra ne sta uscendo. Entrambe spingono sulla porta applicando una forza di 50 [N]. Le forze applicate sono rappresentate nella figura seguente per due possibili casi: Nel caso rappresentato a sinistra, le due forze formano una coppia con M z <0: la porta girerà in senso orario. Nel caso di destra, il braccio della coppia è nullo (b=0) ed il momento risultante dalla somma dei momenti delle due forze sarà M z =0.