Calendario delle lezioni di istituzioni di Geometria - I modulo 7 gennaio 2012 13/10 14/10 20/10 Omotopia di applicazioni continue. L omotopia è una relazione di equivalenza. Due mappe nello stesso convesso sono sempre omotope relativamente al sottoinsieme in cui coincidono. Omotopia relativa. Omotopia e composizione Equiv omotopiche e tipo di omotopia Spazi contraibili. I convessi sono contraibili e i sottoinsiemi stellati di R n pure. Connessione, connessione per archi. Se uno spazio è connesso per archi è anche connesso. Componenti connesse per archi. Ω(X, a, b), giunzione, inversione di cammini. Locale connessione e locale connessione per archi. Funtore π 0. π 0 è un invariante omotopico: se f g, allora π 0 (f) = π 0 (g); se X Y allora π 0 (X) e π 0 (Y) sono in corrispondenza biunivoca. Retrazioni. Deformazioni. Riformulazione della definizione di deformazione. I convessi si deformano su un qualsiasi loro punto. La giunzione e l inversione di cammini si comportano bene rispetto alla composizione con applicazioni continue e rispetto alla relazione. Se X convesso Ω(X,a,b)/ è un punto. α ϕ α. Associatività della giunziona al livello della equivalenza omotopica.
21/10 27/10 Se E è convesso e p,q E allora la parametrizzazione standard del segmento pq è f pq (t) = (1 t)p+tq. Se a,b,c sono punti di un convesso, allora f ab f bc f ac. Stesso discorso per n punti. Cammino 1 a, α 1 b 1 a α α. α i(α) 1 a. Cor. 11.7 di [3]. Spazi puntati, mappe di spazi puntati. Definizione di gruppo fondamentale e dimostrazione del fatto che è un gruppo. π 1 dipende solo dalla componente connessa per archi. Morfismo indotto. π 1 è un funtore, ossia proprietà funtoriali di π 1. Dipendenza dal punto base: morfismo γ #. f g g = γ f. Se f id X allora f è un isomorfismo. Lemma sulle 3 mappe, [3, p. 189]. Se f è un equivalenza omotopica, allora f è un isomorfismo. 28/10 ESERCITAZIONE Esempi di deformazioni, di equivalenze omotopiche e di omotopie. R n \{0} si retrae su S n 1. Idem per D n \B(0,1/2) o D n \ un cubetto. La figura Y è contraibile. X = S 2 {x = y = 0, z 1} {x = z = 0}. Omotopie di mappe S 2 R 3 \{p,q,r}. R 2 \{p,q}. X = la figura otto, Y =gli occhiali. Dimostrare che sono omotopicamente equivalenti. Dimostrare che non esiste un sottospazio di Y omeomorfo ad X. Suggerimenti: se f : (a,b) (c,d) è un embedding (=omeomorfismo sull immagine) allora f è monotona, dunque aperta. Non è possibile immergere la figura Y aperta in un intervallo. Non è possibile immergere la figura X aperta nella figura Y. Non ci sono abbastanza intervalli.
03/11 04/11 Identificazioni. Mappe aperte e mappe chiuse. Fibre di una mappa. Proprietà universale delle identificazioni. Legame con la topologia quoziente. p : [0,1] S 1 è chiusa, suriettiva e continua, dunque è una identificazione. p : R S 1,p(t) = e 2πit. p è aperta: se b > a + 1, allora p((a,b)) = S 1. Se invece a < b a+1, allora p((a,b)) = S 1 p([b,a+1]). S 1 = R/Z. Il toro in R 3 è omeomorfo ad R 2 /Z. Omeomorfismi locali. Sono applicazioni aperte. Le fibre di un omeomorfismo locale sono discrete. Definizione di rivestimento: siano E ed X spazi topologici localmente connessi per archi. Supponiamo che X sia anche connesso. Una applicazione p : E X è un rivestimento se è continua e suriettiva e se per ogni x X esiste un aperto connesso V X, tale che x V e tale che per ogni componente connessa U di p 1 (V) la restrizione p U : U V sia un omeomorfismo. 10/11 Definizione di spazio totale, base, aperti banalizzanti. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi e A E è un aperto, allora A è localmente connesso. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi, allora ogni componente connessa di E è aperta in E. Se p : E X è continua, E ed X sono localmente connessi per archi e V X è connesso, allora ogni componente connessa di p 1 (V) è aperta in E. I rivestimenti sono omeomorfismi locali e anche identificazioni aperte. Osservazione utile: sia p : E p X un rivestimento e sia V X un aperto banalizzante. Indichiamo con {U α } α I la famiglia delle componenti connesse di p 1 (V). AlloraseF èunsottoinsiemeconnessodiv, perogniα I l insiemef α := p 1 (F) U α è non vuoto, connesso e la restrizione p F α : F α F è un omemorfismo. Inoltre le componenti connesse di p 1 (F) sono esattamente gli insiemi F α. Gli aperti banalizzanti formano una base della topologia di X. Tutte le fibre di un rivestimento hanno la stessa cardinalità. Definizione di grado.
Definizione di sollevamento. Teorema di Unicità del Sollevamento: Z g h f Se Z è uno spazio connesso e g ed h sono due sollevamenti di f, allora o g h o g(z) h(z) per ogni z Z. Se l immagine f(z) è contenuta in un banalizzante, allora f si solleva ed esistono esattamente n sollevamenti distinti, dove n = deg(f). Teorema di Sollevamento di cammini. Dato α : [0,1] X ed un punto e p 1 (α(0)) esiste uno ed un solo sollevamente α e di α tale che α e ()) = e. 11/11: prima ora Lemma di Lebesgue sui ricoprimenti aperti degli spazi metrici compatti. Teorema di Sollevamento delle omotopie. Consideriamo un diagramma di applicazioni continue Z f E X p E i Z [0,1] H H X p dove i(z) = (z,0). Supponiamo che p sia un rivestimento e che H i = p f. Se Z è localmente connesso, allora esiste H tale che H i = f e p H = H. Inoltre se A Z e H è rela, allora anche H è rela. Vedi [1, p.140-141]. 11/11: seconda ora ESERCITAZIONE 17/11 Esempi di identificazioni e di omeomorfimsi locali. p : C C, p(z) = e z è un rivestimento di grado infinito. p : C C, p(z) = z n è un rivestimento di grado n. p : S 1 S 1, p(z) = z n è un rivestimento di grado n. Se α β e e p 1 (α(0)) allora α e β e e in particolare α e (1) = β e (1). π 1 (S 1,1) = (Z,+). Gli spazi contraibili sono semplicemente connessi. Non esistono retrazioni r : D 2 S 1.
Se E p X è un rivestimento, allora 18/11 è iniettivo. p : π 1 (E,e) π 1 (X,x) Se f : [0,1 [0,1] è continua, allora esiste un punto fisso. Teorema del punto fisso di Brouwer. Un rivestimento p : E X è detto connesso se lo spazio totale è connesso. Se X ammette un rivestimento connesso non banale, allora π 1 (X,x) non è banale. Se G X, la proiezione canonica π : X X/G è una identificazione aperta. Se G è un gruppo finito, π è anche chiusa. Se X è uno spazio topologico qualsiasi e G X, poniamo R := {(x,y) : G x = G y}. Allora R è un sottoinsieme chiuso di X X se e soltanto se X/G è di Hausdorff. Azioni propriamente discontinue. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi, G è un gruppo che agisce su E in modo propriamente discontinuo e il quoziente X := E/G è connesso, allora la proiezione canonica π : E X è un rivestimento. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi e semplicemente connesso, G è un gruppo che agisce su E in modo propriamente discontinuo e il quoziente X := E/G è connesso, allora fissato x X si ha π 1 (X,x) = G. Se X è uno spazio topologico di Hausdorff e G è un gruppo finito che agisce su X in modo libero, allora l azione è propriamente discontinua. 24/11: ESERCITAZIONE Se X è di Hausdorff e G è finito allora, il quoziente è sempre di Hausdorff. In generale, anche se E è uno spazio di Hausdorff e G E in modo propriamente discontinuo, il quoziente E/G non è uno spazio di Hausdorff. Un controesempio si trova in [4, p. 167]. Sia (X,d) uno spazio metrico e G un gruppo che agisce su X per omeomorfismi. Supponiamo che esista ε > 0 tale che per ogni x X e per ogni g 1 si abbia d(gx, x) ε. Allora l azione è propriamente discontinua. (Basta porre U := B(x,ε/2). Se valgono le ipotesi sopra e inoltre G agisce per isometrie, allora il quoziente è di Hausdorff. (Se G.x G.y si osserva che y G.x. Se 2δ = d(y,g.x) allora gli intorni π(b(x, δ)) e π(b(y, δ)) sono disgiunti.) La composizione di due applicazioni aperte è una applicazione aperta.
Se f i : X i Y i è aperta (per i = 1,2) anche è aperta. f 1 f 2 : X 1 X 2 Y 1 Y 2 (f 1 f 2 )(x 1,x 2 ) := (f(x 1 ),f(x 2 )) Siano X,Y,Z spazi topologici e sia p : X Y una identificazione. Sia f : Y Z una applicazione qualsiasi (non necessariamente continua) e sia f := p f : X Z Se f è una applicazione aperta, anche f lo è. Se poi p è aperta, vale anche il viceversa: in tal caso se f è aperta, anche f lo è. I tori n-dimensionali sono definiti come T n := R n /Z n. Sono spazi di Hausdorff compatti e connessi. Inoltre T n = (S 1 ) n. T 2 è omeomorfo allo spazio di identificazione del quadrato. L isomorfismo fra π 1 (T n,x) e Z n si scrive esplicitamente. Se A è una matrice 3 3 con coefficienti tutti positivi (a ij > 0) allora A ha un autovalore positivo, vedi [5, p. 159]. Spazi proiettivi reali: [3, p. 92-94]. P n (R) = S 2 /{±1}. π 1 (P n (R)) = Z 2 (dando per buono che S n è semplicemente connessa). 25/11: ESERCITAZIONE P n (R) come spazio di identificazione del disco D n. P 2 (R) come spazio di identificazione del quadrato. Aperti affini, carte affini. Definizione di varietà topologica. Spazi proiettivi complessi: sono quozienti delle sfere, sono di Hausdorff, sono varietà topologiche,[3, p. 94]. Proiezioni stereografiche, [3, es. 5.15 e 5.16, p. 94]: P 1 (C) è omeomorfo ad S 2 e P 1 (R) è omeomorfo ad S 1. Formule: Spazi lenticolari. Esercizio sulle varietà di Hopf. f : P 1 (C) S 2 = {(w,t) C R : w 2 +t 2 = 1} ( 2z1 z 0 f(z 0 : z 1 ) = z 1 2 z 0 2 ) z 0 2 + z 1 2, z 0 2 + z 1 { 2 f 1 (1 t : w) se (w,t) S 2 \{(1,0,0)} (w,t) = ( w : 1+t) se (w,t) S 2 \{( 1,0,0)}.
1/12 2/12 Teorema generale di sollevamento: la dimostrazione si trova in [1, p. 145]. Un rivestimento connesso p : E X è detto regolare se p (π(e,e)) è un sottogruppo normale di π 1 (X,p(e)). Questa condizione non dipende da E. SeGagiscesu E in modopropriamente discontinuo laproiezionecanonicae E/G è un rivestimento regolare e dove x = p(e). G = π 1(X,x) p (π 1 (E,e)) Definizione del rivestimento universale. Se X è localmente semplicemente connesso, localmente connesso per archi e connesso, allora esiste un rivestimento universale di X. Se X ammette un rivestimento universale, allora esso è unico a meno di isomorfismo di rivestimenti. Se p : E X è un rivestimento, il gruppo Aut(p) agisce su E in modo propriamente discontinuo. Se p : E X è regolare, allora X = E/Aut(p). (Questo non si è dimostrato.) In particolare se p : X X è il rivestimento universale di X e G := Aut(p) allora esiste un omeomorfismo f : X/G X tale che f π = p (dove π : X X/G è la proiezione canonica). Inoltre il gruppo G è isomorfo a π 1 (X). Parole ridotte in un alfabeto S. Gruppo libero su un insieme S: F S. Proprietà universale dei gruppi liberi. Prodotto libero di gruppi G 1 G 2. Proprietà universale del prodotto libero. Per approfondire si può consultare [2], p. 64 sgg o il libro di Manetti. Seifert-van Kampen: dimostrazione della suriettività del morfismo. Dimostrazione del fatto che N kerφ. La parte dimostrazione della suriettività si trova in [3], p. 191 (la dimostrazione del Teorema 11.25. La dimostrazione del fatto che kerφ N non è stata fatta a lezione e si trova p.e. in [1, p. 160]. 15/12: ESERCITAZIONE L identità id S 1 : S 1 S 1 non è omotopa alla applicazione f : S 1 S 1 tale che f(z) 1. Se X è uno spazio topologico e Y è uno spazio topologico contraibile, ogni applicazione f : X Y Se X è semplicemente connesso, ogni applicazione continua f : X T n si solleva a R n dunque è omotopa ad una applicazione costante. Lo stesso vale se X è connesso e localmente connesso per archi e π 1 (X) è un gruppo finito.
Per n 2 la sfera S n è semplicemente connessa. Gruppo fondamentale dell otto e del piano con n buchi. Per n 3, π 1 (R n \{p 1,...,,p k }) = {1}. Bouquet di spazi topologici. Se X ed Y sono localmente contraibili, allora π 1 (X Y) = π 1 (X) π 1 (Y). Gruppo fondamentale e generatori di X = R 3 \S 1 {0}. 22/12: ESERCITAZIONE Esercizi 9, 12, 13, 14, 17 dal file http://www.matapp.unimib.it/~ghigi/didattica/esercizi-isti10-1-cor.pdf. Riferimenti bibliografici [1] G. E. Bredon. Topology and geometry, volume 139 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1997. Corrected third printing of the 1993 original. [2] T. W. Hungerford. Algebra, volume 73 of Graduate Texts in Mathematics. Springer- Verlag, New York, 1980. Reprint of the 1974 original. [3] M. Manetti. Topologia. Springer. xii, 297 p., 2008. [4] W. S. Massey. Algebraic topology: an introduction. Springer-Verlag, New York, 1977. Reprint of the 1967 edition, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. [5] E. Sernesi. Geometria 2. Bollati Boringhieri, 1994.