16 o RMT Finale maggio 2008 ARMT.2008 15 15. FRAZIONI SOVRAPPOSTE (Cat. 7, 8, 9, 10) Gianni e Lina hanno disposto ciascuno nove numeri su tre righe e tre colonne e hanno inserito sei linee tra due numeri sovrapposti: possono così leggere sei frazioni. Ecco la disposizione di 2 4 6 ed ecco quella di 4 3 2 Gianni: 8 12 9 Lina: 8 6 9 10 16 18 14 16 15 I ragazzi hanno scelto i loro numeri cercando di rispettare le seguenti regole: a) i nove numeri sono numeri naturali tutti diversi tra loro; b) ognuna delle sei frazioni che si possono leggere rappresenta un numero più piccolo di 1; c) nessuna delle sei frazioni è ridotta ai minimi termini; d) tutte le frazioni rappresentano numeri diversi fra loro. Inoltre Gianni e Lina hanno scelto i nove numeri cercando di fare in modo che il più grande tra essi fosse il più piccolo possibile. Lina è molto soddisfatta perché il suo numero più grande (16) è minore del più grande dei numeri di Gianni (18). Ma Gianni le fa osservare che lei non ha rispettato la regola d), poiché 4/8 = 3/6, né la regola c), dato che 2/9 è una frazione ridotta ai minimi termini. Scegliete anche voi nove numeri rispettando le quattro regole come Gianni, ma in modo che il numero più grande sia minore di 18 e sia il più piccolo possibile. Scrivete la vostra scelta migliore. Ambito concettuale - Aritmetica: frazioni, semplificazioni, frazioni equivalenti, numeri primi tra loro - Rendersi conto che non si può scegliere 1 (altrimenti la frazione sarebbe ridotta ai minimi termini), che due numeri sovrapposti devono avere un divisore comune, e che i numeri di una stessa colonna sono ordinati dal più piccolo al più grande. - Nel corso dei tentativi, notare che bisogna scegliere dei numeri piccoli nella prima riga, che è vantaggioso annotarsi le frazioni semplificate per evitare le frazioni equivalenti, che se si scelgono solo numeri pari, si è sicuri che tutte le frazioni saranno semplificabili, ma non si scenderà al di sotto di 9 x 2 = 18, e così via. - Partire dunque da 2 e fare man mano l elenco dei numeri ancora utilizzabili: 3, 4 (non 5) 6, (non 7), 8, 9 (a denominatore del 6), 10, (non 11) 12, (non 13) e 14. Oppure partire ipotizzando il numero più grande (ad esempio 16) e cercare gli altri seguendo le regole. Provare poi con 15 e con 14 e rendersi infine conto che con 12 non esiste alcuna soluzione. Ecco qui di seguito qualche soluzione, di cui le prime due non ottimali: 2 4 3 2 4 3 2 3 4 8 6 9 10 8 9 8 6 12 14 16 15 15 14 12 10 9 14 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 8 6 12 8 8 9 6 8 9 6 4 9 10 9 14 10 14 12 10 10 12 14 6 12 14 punteggio 4 : Risposta corretta: disposizione corretta e ottimale di 9 numeri naturali, di cui 14 è il numero più grande utilizzato (è il minimo possibile) Livello: 7, 8, 9, 10 Origine: Israel
6 o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA I gennaio 1998 ARMT 12 FRAZIONE DI UN TERRENO Giuseppe possiede un appezzamento di terreno a forma di quadrato e, poiché è un po' giocherellone, lo divide con rette passanti per i vertici o per i punti medi (cioè i punti di mezzo) dei lati del quadrato. Francesco riceverà in eredità la parte ombreggiata del terreno di suo padre Giuseppe. Quale frazione del terreno riceverà Francesco? Giustificate la vostra risposta. Campo concettuale: - Geometria: figure equivalenti, rette parallele, punti medi - Aritmetica: frazioni : - Ricomporre le sei parti in un parallelogramma e in due triangoli rettangoli isometrici - Trovare che l'area di ognuno di questi triangoli è la metà di quella del quadrato - Dedurre che l'area del parallelogramma è metà dell'area del quadrato - Trovare quindi che la parte ombreggiata, essendo metà del parallelogramma, vale un quarto dell'area del quadrato Livello : 6-7 - 8 Origine : Bourg en Bresse FINE CAT. 6 13
17 RMT PROVA II marzo - aprile 2009 ARMT.2009 10 14. ATTRAVERSAMENTO DEL FIUME (Cat. 6, 7, 8) ARMT 2009-17 - II prova Un gruppo di turisti, tra 100 e 200 persone, deve attraversare un grande fiume, ma l unico ponte esistente è stato distrutto dalle intemperie. Sono però disponibili due barche: una piccola ed una grande. Con la piccola, utilizzata ogni volta al completo, tutti i turisti potrebbero attraversare il fiume in 21 viaggi. Con la grande, anch essa utilizzata ogni volta al completo, tutti i turisti potrebbero attraversare il fiume in solo 9 viaggi. Dopo 5 viaggi di ciascuna delle due barche, restano ancora dei turisti da trasportare. Secondo voi, quanti? Spiegate il vostro ragionamento. Ambito concettuale - Aritmetica: multipli comuni; frazioni (addizioni) - Tenere presente che il numero dei turisti è compreso fra 100 e 200. - Comprendere che questo numero è un multiplo comune di 21 e di 9, quindi di 63. - Trovare i multipli di 63 compresi tra 100 e 200. Essi sono due: 126 e 189. - Considerare che, se i turisti sono 126, con la barca piccola, si possono trasportare 6 turisti (126 : 21 = 6) in ogni viaggio, mentre con la barca grande 14 turisti (126 : 9 = 14) in ogni viaggio. - Calcolare allora che dopo 5 viaggi delle due barche sono stati trasportati 100 turisti (6 5 = 30 e 14 5 = 70) e che, quindi, ne restano ancora 26 da trasportare. - Analogo ragionamento nel caso di 189 turisti: ad ogni viaggio, con la barca piccola si possono trasportare 9 turisti (189 : 21), mentre con la barca grande 21 turisti (189 : 9). Dopo 5 viaggi di ogni barca, hanno potuto attraversare il fiume 150 turisti (9 5 + 21 5 = 150), ne restano quindi ancora 39 da trasportare. Oppure, usando le frazioni: - Rendersi conto che il numero dei turisti trasportati in ogni viaggio dalla barca piccola è 1/21 del totale, mentre il numero dei turisti trasportati in ogni viaggio dalla barca grande è 1/9. Ne segue che, dopo 5 viaggi di entrambe le barche, il numero complessivo dei turisti trasportati è 5/21 + 5/9 = 50/63 del totale. - Comprendere che il numero totale dei turisti deve essere un multiplo di 63, maggiore di 100 e minore di 200: 126 o 189. - Calcolare, nei due casi, con la frazione complementare (1 50/63 = 13/63) il numero dei turisti ancora da trasportare: 126 13/63 = 26 o 189 13/63= 39. Attribuzione dei punteggi 4 Le due soluzioni (26 o 39 turisti) con giustificazione completa 3 Una soluzione esatta con giustificazione corretta e l altra con un errore di calcolo 2 Le due soluzioni esatte senza giustificazione, oppure due soluzioni sbagliate a causa di errori di calcolo, ma con procedimento corretto, oppure una sola soluzione esatta con giustificazione 1 Una soluzione esatta senza giustificazione, oppure una soluzione sbagliata ma con procedimento corretto 0 Incomprensione del problema. Livello: 6, 7, 8 Origine: Ticino
17 RMT PROVA I gennaio - febbraio 2009 ARMT.2009 2 7. BUDINO AL CIOCCOLATO (Cat. 4, 5, 6) ARMT 2008-17 - I prova Doris, Francesca e Ben hanno bisogno di 150 grammi di cioccolato per preparare un budino al cioccolato. Ognuno di loro prende una tavoletta di cioccolato da 200 grammi, come quella disegnata qui accanto, e decide di tagliarla seguendo le sue linee. Doris taglia la sua tavoletta in tre parti, una delle quali è un rettangolo di 150 grammi. Francesca taglia la sua tavoletta in due sole parti, una delle quali è anch essa un rettangolo di 150 grammi. Ben taglia anche lui la sua tavoletta in due parti, di cui l una è un rettangolo di 150 grammi, ma più lungo di quello di Doris e di Francesca. Disegna un rettangolo come quello di Doris, un rettangolo come quello di Francesca e un rettangolo come quello di Ben, seguendo le linee delle loro tavolette. Fate tre diversi disegni. Spiegate perché ognuno di questi rettangoli pesa 150 grammi. Ambito concettuale: - Geometria: rettangolo - Aritmetica: proporzionalità, frazioni elementari - Rendersi conto che è necessario passare da 200 g - la tavoletta intera - a 150 g, e che il problema è di determinare quale sarà la parte di tavoletta che si dovrà conservare, mantenendo una forma rettangolare. - Rendersi conto che se la tavoletta intera pesa 200 g, la metà pesa 100 g e la metà della metà (ovvero un quarto), pesa 50 grammi e che si dovrà dunque togliere un quarto della tavoletta o conservarne i tre quarti. - Visualizzare allora le parti rettangolari che possono rappresentare un quarto o tre quarti (rispettivamente 1 o 3 file «orizzontali» o 2 o 6 file «verticali»). Oppure : immaginare la scomposizione in quadrati : contare i quadrati (32), e prenderne la metà e il quarto per determinare che per il budino al cioccolato occorreranno 24 quadrati, che possono formare un rettangolo di 3 x 8 o di 4 x 6. Oppure : calcolare il peso di un quadrato (200 : 32 = 6,25) e determinare quanti quadrati saranno necessari per il budino (150 : 6,25 = 24), poi constatare che i rettangoli possibili di 24 quadretti sono quelli di dimensioni 3 x 8 o 4 x 6. - Osservare che ci sono solo due disposizioni di un rettangolo di 4 x 6 sulla tavoletta (che non sono simmetriche l una dell altra) e una sola disposizione di un rettangolo di 3 x 8 (con una isometria) e constatare, partendo dalle affermazioni di ognuno, che il rettangolo di Doris è ottenuto con due tagli nel senso della larghezza, quello di Francesca con un solo taglio nel senso dalla larghezza e quello di Ben con un taglio nel senso dalla lunghezza : Doris Francesca (per es.) Ben (per es.) Attribuzione dei punteggi 4 I tre rettangoli di Doris, Francesca e Ben (come si vede sopra) disegnati chiaramente e identificati con spiegazioni su come passare da 32 a 24 quadretti e sulle due scomposizioni possibili di 24: 3 x 8 e 4 x 6 3 I tre rettangoli disegnati chiaramente, con delle spiegazioni poco chiare sui 24 quadretti 2 I tre rettangoli disegnati chiaramente e identificati, senza altre spiegazioni o due rettangoli disegnati chiaramente, con spiegazioni 1 Individuato uno solo dei rettangoli o solamente l area di 24 quadretti 0 Incomprensione del problema Livello: 4, 5, 6 Origine: Luxembourg
13 o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO PROVA II - marzo, aprile 2005 ARMT.2005 p. 10 9. I COMPAGNI DI GIUDITTA (Cat. 5, 6) Giuditta ha notato che, nella sua classe, ci sono alcuni alunni che hanno i capelli neri e gli occhi azzurri. Poiché Giuditta è curiosa di natura, si mette ad osservare tutti gli alunni delle quattro classi della sua scuola. Dopo qualche giorno, scopre che: - la metà degli alunni sono maschi - un terzo degli alunni hanno i capelli neri - dividendo il numero degli alunni della scuola per 7, si trova il numero degli alunni che hanno gli occhi azzurri, - in ciascuna classe, ci sono almeno 20 alunni ma non più di 30. Quanti sono gli alunni delle classi osservate da Giuditta che non hanno gli occhi azzurri? Spiegate come avete trovato la vostra soluzione. Ambito concettuale - Aritmetica: frazioni, multipli, divisibilità, confronto di numeri - Capire che il numero degli studenti deve essere un multiplo di 2, di 7 e di 3 e quindi di 42 che è il loro m.c.m.: 42, 84, 126, 168,. - Esaminare i numeri precedenti (multipli) in rapporto ai valori 80 (20x4) e 120 (30x4), che sono il minimo e il massimo possibili di allievi - Concludere che gli studenti osservati sono in tutto 84, e che quindi 84 (1/7) 84 = 72 (oppure (6/7) 84 ) è il numero degli allievi che non hanno gli occhi azzurri. Oppure (per gli allievi che non conoscono il m.c.m.) - Situare il numero degli alunni tra 80 e 120 (secondo l ultima indicazione), poi cercare in questo intervallo numeri che sono divisibili per 7 (a partire da 70 o 77: 84, 91, 98, 105, 112 e 119), eliminare quindi i dispari (restano solo 84, 98 e 112) e trovare che 84 è il solo numero ancora in lista che è divisibile per 3. - Calcolare come in precedenza il numero degli allievi che hanno gli occhi azzurri: 84 : 7 = 12 e sottrarre questo risultato da 84 per conoscere il numero degli allievi che non hanno gli occhi azzurri. Livello: 5-6 Origine: Parma
8 e RALLY MATEMATICO TRANSALPINO ARMT 2000 FINALE - maggio 2000 9. LA CURA (cat. 5, 6, 7) Anna non si sente bene e il suo medico le ha prescritto una cura. Il farmacista legge la ricetta del medico e dà ad Anna una confezione, di 40 compresse, sulla quale scrive la seguente prescrizione: "Da prendere prima dei pasti con un bicchiere d'acqua: - i primi tre giorni: una mezza compressa al mattino e una compressa la sera - i tre giorni seguenti: una compressa a mezzogiorno e un quarto di compressa la sera - i tre giorni seguenti: un quarto di compressa al mattino - i tre giorni seguenti: una mezza compressa la sera lasciar passare due giorni senza prendere compresse e poi ricominciare come prima". Quanti giorni durerà la cura con la confezione di 40 compresse? Giustificate la vostra risposta. Ambito concettuale: - Aritmetica: operazioni con numeri con la virgola o con frazioni - Logica : - Capire che il numero di compresse cambia ogni tre giorni - Calcolare quante compresse prende Anna per gruppi di tre giorni e quindi per 12 giorni: giorni : compresse : 3 9/2 = 4,5 3 15/4 = 3,75 3 3/4 = 0,75 3 3/2 = 1,5 12 42/4 = 21/2= 10,5 - Tener conto dei due giorni di pausa per ogni ciclo, cioè: 14 giorni per10,5 compresse - Capire che per i primi tre cicli : 42 giorni (14 + 14 + 14), Anna prenderà 63/2 = 31,5 compresse - Capire che nella confezione ci saranno ancora (40-31,5) compresse = 8,5 compresse e quindi 7 giorni (in quanto 8.25 compresse in sei giorni, le ci vorrà quindi ancora un giorno per 1/4 di compressa), in tutto 49 giorni (42 + 7) - Oppure procedere giorno per giorno Valutazione: 4 Risposta corretta (49) e giustificazione con i dettagli 3 Risposta corretta con giustificazione poco chiara 2 Calcolo corretto delle compresse necessarie per tre cicli (in 42 giorni 31,5 compresse) con i dettagli, o risposta corretta senza dettagli e senza giustificazione 1 Calcolo corretto delle compresse necessarie per un ciclo (in 12 giorni 10,5 compresse) 0 Incomprensione del problema Livello: 5-6 - 7 Origine : Parma, incontro di Siena 10. CAMPIONATO DI PALLACANESTRO (cat 6, 7, 8) Le sei scuole della città partecipano tutti i mercoledì al campionato di pallacanestro. Le regole sono quelle dei campionati degli adulti: