Progetto Laboratori Lauree Scientifiche Laboratorio sulle funzioni trigonometriche Le ore di insolazione giornaliera in funzione della latitudine Bozza di progetto Nel seguito verrà presentata la descrizione di un fenomeno naturale, quale la variazione delle ore di sole durante l anno ad una latitudine fissata, utilizzando le funzioni trigonometriche. 1 Descrizione del fenomeno L insolazione media in una località fissata varia durante l anno. Questo è dovuto al fatto che l asse terrestre è inclinato rispetto al piano di rivoluzione della Terra e quindi rispetto alla direzione da cui provengono i raggi del sole: l insolazione giornaliera dipende dalla variazione di tale inclinazione durante la rivoluzione della Terra intorno al Sole. Figura 1: Ore di luce in funzione della latitudine Se si confronta con la figura 1, si può notare che se fissiamo l inclinazione dell asse terrestre rispetto alla direzione dei raggi del Sole, il tempo di esposizione di un punto situato sulla superficie terrestre, che compie una rotazione completa intorno all asse in un giorno, è proporzionale alla frazione di lunghezza illuminata del parallelo su cui esso giace. La situazione raffigurata è quella che nel nostro emisfero si presenta durante i mesi invernali: la durata del giorno diminuisce man mano che la latitudine aumenta verso 1
Nord, mentre aumenta procedendo verso Sud. Al di sopra di una certa latitudine, dipendente dall inclinazione dell asse, il sole è addirittura invisibile per tutte le 24 ore di rotazione terrestre. L asse terrestre è inclinato di 23.5 0 rispetto al piano dell orbita della Terra intorno al Sole. Tuttavia, la cosa importante non è l inclinazione rispetto all orbita, ma l inclinazione rispetto alla direzione dei raggi del sole in un certo punto dell orbita e questa varia durante l anno, come mostrato in figura 2. Figura 2: Variazione di orientazione dell asse terrestre rispetto al sole in due diverse posizioni dell orbita Come si può vedere, durante la sua rivoluzione intorno al sole, l inclinazione dell asse terrestre è costante, ma varia la sua orientazione rispetto al Sole. Questo fa in modo che la quantità media delle ore di Sole cambi ad ogni latitudine fissata in funzione della data. La figura 3 mostra in modo ancora più evidente la situazione, fotografando le due posizioni precedenti dal punto di vista di un osservatore posto in corrispondenza del sole. Nella prima (a sinistra) il piano individuato dall asse terrestre e dalla tangente orizzontale all orbita è perpendicolare all orbita stessa; in tal modo il piano equatoriale è parallelo alla direzione dei raggi luminosi e ogni parallelo riceve luce per metà della sua lunghezza; questo significa che ogni località è illuminata per 12 ore; questa posizione prende il nome di equinozio e si verifica 2 volte all anno (21 Marzo equinozio di Primavera, 21 Settembre equinozio d Autunno nel nostro emisfero). Nell altra posizione, invece, il piano individuato dall asse terrestre e dalla tangente orizzontale raggiunge la sua massima inclinazione rispetto alla direzione dei raggi luminosi (solstizio). Questa rappresenta la situazione limite 2
Figura 3: Rappresentazione della Terra vista dal Sole della generica inclinazione dell asse verso il Sole, che varia da 0 0 agli equinozi a 23.5 0 in corrispondenza dei solstizi, per poi tornare a 0 0 all equinozio successivo. Per tutto il periodo di tempo in cui la Terra percorre il tratto superiore dell orbita della Figura 2, ogni parallelo dell emisfero Nord (ad esempio il parallelo (A)) ha una frazione di lunghezza illuminata superiore a quella in ombra e il giorno durerà più della notte. Questa è la situazione che si verifica nel nostro emisfero durante l estate ed è il periodo in cui il clima è più caldo a causa del maggior numero di ore di insolazione. In particolare, la posizione limite del solstizio d Estate viene raggiunta il 21 Giugno nel nostro emisfero, il 21 Dicembre nell altro. Le due date sono invertite se si parla di solstizio d Inverno e corrisponde, come già detto, alla massima inclinazione dell asse terrestre verso il Sole. L equatore sarà sempre illuminato per 12 ore, indipendentemente dall inclinazione dell asse terrestre e, quindi, della posizione della Terra lungo l orbita. Agli equinozi, il sole passerà esattamente allo zenith a mezzogiorno, mentre al solstizio esso raggiungerà il punto più basso in cielo. Alla data fissata, tutti i paralleli al di sopra del parallelo (B) rimarranno illuminati per tutta la durata della rotazione terrestre, mentre i corrispondenti paralleli intorno al polo Sud rimarranno sempre in ombra; ovviamente la situazione si ribalterà durante la stagione successiva. I poli hanno esattamente 6 mesi di sole seguiti da 6 mesi di ombra. 3
2 L attività di laboratorio Consideriamo una località ad una latitudine di circa 38 0, corrispondente ad una posizione geografica nel sud dell Italia. Queste sono le ore di sole misurate durante l anno. Data Giorno Ore di Sole Data Giorno Ore di sole 1 Gennaio 1 9.48 1 Luglio 182 14.83 15 15 9.75 15 196 14.62 1 Febbraio 32 10.23 1 Agosto 213 14.17 15 46 10.75 15 227 13.67 1 Marzo 60 11.35 1 Settembre 244 13.02 15 74 11.95 15 158 12.43 1 Aprile 91 12.67 1 Ottobre 274 11.77 15 105 13.25 15 288 11.18 1 Maggio 121 13.85 1 Novembre 305 10.52 15 135 14.32 15 319 10.05 1 Giugno 152 14.72 1 Dicembre 335 9.63 15 166 14.88 15 349 9.45 Tabella 1: Ore di Insolazione Si grafichino le ore di insolazione in funzione del giorno dell anno e si mostri che l andamento è periodico, con un massimo ed un minimo equidistanziati. Si supponga che l andamento sia sinusoidale, verificando che i punti verificano le proprietà generali delle funzioni trigonometriche. Si determini la funzione trigonometrica y = αsin(x ϕ) + β che meglio descrive i punti, cambiando manualmente i parametri per fittare il massimo ed il minimo, l ampiezza, il periodo ecc... Questa fase è utile per mostrare agli studenti quale effetto si ottiene variando i parametri delle funzioni trigonometriche. 4
Il risultato del lavoro sopra sarà descritto da una figura del tipo: 15 14 Ore di sole 13 12 11 10 9 0 50 100 150 200 250 300 350 Giorni dell'anno Figura 4: Ore di insolazione e funzione trigonometrica che la rappresenta Essa mostra i punti misurati e la funzione che meglio descrive il fenomeno, ottenuta empiricamente andando a modificare manualmente i parametri. A questo punto si dovrebbe verificare che ciascuno ha valori un po diversi per descrivere il fenomeno, in funzione del criterio utilizzato per variare la funzione. Si può osservare che basta conoscere 3 valori notevoli per determinare i 3 parametri che descrivono la funzione. In particolare si può notare che la funzione è meglio scrivibile nella forma: y = h max h min 2 ( 2π(x xequi ) sin 365 ) h medio dove h max e h min rappresentano la durata massima e minima del giorno in corrispondenza dei solstizi, x equi è il giorno dell anno corrispondente all equinozio di primavera, e h medio = 12 è la durata media del giorno. Questi dati possono essere ottenuti conoscendo la durata del giorno ai due solstizi e la data in cui si verifica l equinozio. 5
A Immagini Queste sono le immagini della Terra vista dal Sole all equinozio ed al solstizio: Notare che all equinozio i due poli sono esposti in maniera simmetrica, mentre al solstizio il polo Nord è totalmente visibile, mentre il polo Sud è nascosto. 6