Università degli studi di Genova

Università degli studi di Genova Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Tesi di laurea STUDIO ED IMPLEMENTAZIONE DI MODELLI MATEMATICI NELLA GESTIONE BANCARIA: METODOLOGIE DI PRICING PER STRUMENTI FINANZIARI Relatore: Correlatori: Prof. Ing. Roberto Mosca Dott. Alessandro Currao Ing. Simone Ventura Candidato: Pier Giuseppe Giribone Anno Accademico 2007-2008

Indice Introduzione... 1 1 Le strutture a termine dei tassi d interesse... 8 1.1 Convenzioni utilizzate nei toolbox finanziari di Matlab... 8 1.2 Implementazione di un titolo a tasso fisso... 13 1.3 Derivare implicitamente una zero-curve con Matlab... 19 1.4 Ottenere i fattori di sconti dai tassi d interesse... 24 1.5 Ottenere una forward curve da una spot curve... 32 1.6 Modellare una Interest-rate term structure... 35 2 Pricing di strumenti finanziari con una zero curve... 39 2.1 Pricing e Sensitività di un portafoglio di obbligazioni... 39 2.2 Pricing di un bond a tasso fisso... 47 2.3 Pricing di un bond a tasso variabile... 54 2.4 Pricing di una nota a tasso fisso... 59 2.5 Pricing di titoli a tasso indicizzato... 62 2.6 Pricing di un contratto Swap... 63 3 Modelli stocastici del tasso a breve... 73 3.1 I modelli di equilibrio... 73 3.2 I modelli ad arbitraggi nulli... 78 3.3 Alberi per i tassi d interessi... 84 3.4 Modelli non stazionari... 99 3.5 L approccio di Heath, Jarrow e Morton... 105 4 Pricing dei derivati su tassi d interesse... 110 4.1 Implementazione di un albero di tassi forward... 111 4.2 Le informazioni contenute negli alberi... 128 4.3 Pricing di obbligazioni con i modelli bdt-bk-hjm e hw... 140 4.4 Pricing di bond options con i modelli bdt-bk-hjm e hw... 151 4.5 Pricing di fixed-notes con i modelli bdt-bk-hjm e hw... 168 4.6 Pricing di floating-notes con i modelli bdt-bk-hjm e hw.. 176 4.7 Pricing di caps con i modelli bdt-bk-hjm e hw... 179 4.8 Pricing di floors con i modelli bdt-bk-hjm e hw... 185 4.9 Pricing di swaps con i modelli bdt-bk-hjm e hw... 190 I

4.10 Pricing di swaptions con i modelli bdt-bk-hjm e hw... 197 5 Modelli del comportamento dei prezzi di un azione... 200 5.1 Processi stocastici di Markov, di Wiener e di Itô... 202 5.2 Il lemma di Itô... 211 5.3 Il modello Black-Scholes... 218 5.4 La determinazione dei parametri µ e σ nel modello BS... 222 5.5 Struttura a termine della volatilità... 231 6 Modelli per il pricing di opzioni plain-vanilla... 246 6.1 L equazione differenziale di Black-Scholes-Merton... 246 6.2 La formula generale di Black e Scholes (GBS formula)... 252 6.3 Volatilità implicita... 259 6.4 Misure di sensitività delle opzioni: le Greche... 261 6.5 Il problema del pricing delle opzioni americane... 268 7 Modelli analitici per il pricing di opzioni esotiche... 275 7.1 Le opzioni Asiatiche... 275 7.2 Le opzioni con Barriera... 278 7.3 Le opzioni composte... 282 7.4 Le opzioni retrospettive... 284 8 Metodi numerici per il pricing di opzioni... 286 8.1 L albero di Cox-Ross-Rubinstein... 286 8.2 Alberi binomiali equi-probabili (EQP Tree)... 311 8.3 Alberi binomiali e trinomiali impliciti... 313 9 Pricing degli Equity Derivatives... 329 9.1 Implementazione di un albero binomiale CRR ed EQP... 330 9.2 Implementazione di un albero trinomiale implicito ITT... 336 9.3 Pricing di plain-vanilla option con i modelli CRR e EQP... 341 9.4 Pricing di Asian option con i modelli CRR e EQP... 363 9.5 Pricing di Barrier option con i modelli CRR e EQP... 371 9.6 Pricing di Compound option con i modelli CRR e EQP... 378 9.7 Pricing di Lookback option con i modelli CRR e EQP... 384 9.8 Pricing di opzioni con modelli trinomiali impliciti... 390 II

Conclusioni... 406 Bibliografia... 408 Manualistica e Sitografia... 412 Indice delle figure e tabelle... 413 III

Introduzione Il presente elaborato di tesi specialistica in Ingegneria Gestionale è stato sviluppato nel corso del progetto di stage, svolto all interno dell ufficio Middle Office del Reparto Finanza di Banca CARIGE nel periodo intercorrente dal 30 giugno al 30 ottobre 2008. Una delle funzioni istituzionali del Middle Office è quella di determinare periodicamente il fair value dei titoli e degli strumenti finanziari derivati presenti nei portafogli della Banca Carige e delle sue Controllate (C.R. Savona, B.M. Lucca, C.R. Carrara e Banca C. Ponti), nonché le passività obbligazionarie emesse dal Gruppo CARIGE e degli strumenti finanziari presenti nei portafogli della clientela. Per fair value s intende il corrispettivo al quale un attività potrebbe essere scambiata, oppure una passività estinta, in una libera transazione finanziaria tra parti consapevoli ed indipendenti. Nella determinazione di tale valore si assume che la transazione avvenga in ipotesi di regime di continuità aziendale e di sostanziale simmetria informativa tra le parti. In ottemperanza al Regolamento CE n. 2086/2004 del 19 novembre 2004, (che modifica il regolamento CE n. 1725/2003, il quale adotta taluni principi contabili internazionali conformemente al regolamento CE n. 1606/2002 del Parlamento europeo e del Consiglio per quanto riguarda l inserimento dello IAS 39), recepito dall ordinamento italiano con la legge n. 363/2004, pubblicata nella Gazzetta Ufficiale dell Unione europea del 9/12/2004, le metodologie di valutazione degli strumenti finanziari, incentrate sul fair value, richiamano la distinzione tra prezzo quotato in un mercato attivo e prezzo non quotato, sempre con riferimento ad un mercato attivo. In particolare per gli strumenti finanziari quotati in mercati organizzati, regolamentati o inseriti in circuiti alternativi (ATS Alternative Trading System), i cui prezzi siano considerati significativi, si utilizzano i valori che tempo a tempo vengono a formarsi su di essi. Per l acquisizione di tali prezzi, effettuata con le più opportune modalità tecniche, possibilmente in via automatica e continuativa, si fa ricorso agli Information Provider, ritenuti più affidabili e prioritariamente certificati, con particolare riferimento a Telekurs, il fornitore ufficiale di tale servizio nei confronti della Banca CARIGE. 1

Per gli strumenti finanziari non rientranti nella precedente categoria, si fa riferimento alla eventuale disponibilità presso gli altri Information Provider (quali Bloomberg e Reuters) per la quotazione dei medesimi, mediante le proposte provenienti da contributori che rappresentano gli intermediari primari presenti sui rispettivi mercati, laddove i prezzi proposti, ancorchè indicativi, siano rappresentativi di potenziali transazioni. In tal caso, gli strumenti s intendono inclusi nella categoria dei quotati in mercati attivi. Se lo strumento non è quotato su un mercato attivo, ovvero nei casi in cui non siano disponibili recenti transazioni di mercato per l opportuno riferimento, il fair value è calcolato utilizzando tecniche di valutazione volte a stabilire il prezzo di un ipotetica transazione indipendente, effettuata alla data di valutazione. La valorizzazione teorica avviene utilizzando appositi modelli di pricing, sviluppati in conformità della best practice finanziaria, cioè mediante tecniche valutative comunemente adottate dagli addetti ai lavori, che partecipano al mercato, per stabilire un fair value che possono così sintetizzarsi: analisi dei flussi finanziari attualizzati, utilizzo di credit spread, eventualmente facendo riferimento a strumenti finanziari similari e modelli di valutazione delle opzioni, volatilità dei tassi, dei cambi, dei prezzi e quant altro necessario per determinare un prezzo teorico idoneo da associare allo strumento finanziario. Attualmente il Middle-Office, per raggiungere lo scopo di prezzare in modo teorico tali strumenti finanziari, si avvale dei seguenti strumenti informatici: FMR Consulting 4000, Reuters, Monis Monte Carlo ed una serie di moduli di valutazione presenti in Bloomberg. L obiettivo del presente elaborato è quello di studiare quest ultima tipologia di fair value, implementando i più affermati modelli matematici per la determinazione del fair-value degli strumenti finanziari, impiegando nel caso specifico, come software di elaborazione numerica, Matlab (release 2007b). La coerenza delle funzioni di pricing messe a disposizione dalle librerie (Financial Toolbox 3, Financial Derivatives Toolbox 6 e GARCH Toolbox 2) sarà opportunamente testata, paragonando i risultati ottenuti con quelli eseguiti con i software utilizzati normalmente. Una volta raggiunto questo primo obiettivo, le procedure numeriche studiate con Matlab potrebbero essere prese in considerazione per l impiego come canale alternativo di 2

pricing all interno del Middle-Office al fine di pervenire ad un analisi critica delle valutazioni, basato sui criteri di confronto, valutazione ed integrazione. L approccio seguito per lo sviluppo della tesi può essere sostanzialmente scomposto in due fasi principali: la prima (dal primo al quarto capitolo) affronta gli strumenti di modellizzazione matematici per trattare i derivati su tassi d interesse (Interest-Rate based Financial Derivatives) e la seconda (dal quinto al nono capitolo) i modelli per i derivati collegati alle azioni (Equity-linked Derivatives). In particolare, nel primo capitolo, verranno illustrate le convenzioni terminologiche e sintattiche utilizzate da Matlab per identificare le principali caratteristiche finanziarie dei titoli (implementazione della frequenza dei pagamenti, del conteggio dei giorni, della regola di fine mese e della frequenza di capitalizzazione), nonché il metodo bootstrap per derivare implicitamente una zero-curve a partire dai Titoli di Stato. Una volta ottenuta la zero-curve, alla data convenzionale del 18 Agosto 2008, si sono calcolati i fattori di sconto da applicare nel processo di attualizzazione dei flussi di cassa e la stima dei tassi forward. Essendo questo un passaggio estremamente delicato (in quanto i risultati così ottenuti potrebbero essere impiegati nel pricing dei derivati), si è sempre fatto ricorso ad un controllo parallelo con i valori ricavati dai software attualmente in dotazione presso il Middle-Office. Superata la fase di validazione analogica, si è presentata convenientemente l interfaccia di gestione del software di elaborazione numerica, implementando la struttura RateSpec (Rate Specification). All interno della trattazione viene illustrato, a titolo esemplificativo, il calcolo del rendimento di un bond, la durata finanziaria modificata e la convessità. Nel secondo capitolo sono stati analizzati gli strumenti finanziari che possono essere valutati utilizzando unicamente le informazioni provenienti dalla zero-curve: obbligazioni, titoli a tasso d interesse fisso (Fixed-rate notes), titoli a tasso indicizzato (Floating-rate notes) e contratti swap. E stato inoltre presentato il modo in cui Matlab permette di costruire un portafoglio di titoli mediante costruttori e le specifiche caratteristiche di utilizzo da parte dell utente. Il pricing dei titoli è stato affrontato, qualora di approccio possibile, in più modalità concorrenti, al fine di testarne la coerenza interna dei risultati. Ogni analisi condotta è stata, quindi, confrontata con i valori riscontrati con i software in uso presso il Middle-Office oppure consultando i moduli specifici di calcolo di Bloomberg. 3

Il terzo capitolo si pone come obiettivo di utilizzare i modelli stocastici come descrittori del tasso a breve, volti a superare le limitazioni intrinseche dei metodi finanziari tradizionali: infatti, tipicamente, questi non contemplano un evoluzione dinamica della curva dei tassi d interesse. I modelli stocastici consentono inoltre di prezzare altre tipologie di derivati finanziari più complessi: caps, floors e le opzioni su bond (embedded option) e sui contratti swap (swaption). La trattazione parte dai modelli più semplici di equilibrio (Rendleman-Bartter, Vasicek e Cox-Ingersoll- Ross), descrive quelli più complessi ad arbitraggi nulli (Ho-Lee, Hull-White) sino a quelli più completi non stazionari (Black-Derman-Toy, Black-Karasinski), per pervenire a quelli che interpretano il processo seguito dai tassi forward istantanei (Heath-Jarrow-Morton). Di particolare rilievo risulta la trattazione dedicata ai quattro moti più recenti (HW-BDT-BK-HJM models), dei quali sarà affrontato il modo di modellizzazione discreta mediante alberi stocastici. Nel capitolo quarto vengono illustrate le caratteristiche d uso e l implementazione degli Interest-Rate Tree in ambiente Matlab. Dopo aver presentato le modalità di consultazione delle strutture per alcune differenti tipologie di alberi, si sono esemplificativamente valorizzati i titoli finanziari, il cui prezzo si è rilevato coincidente sia con quello presente nel Listino CARIGE, sia con quello ottenuto dalle tecniche di pricing convenzionali presentate nel capitolo secondo. Si è quindi proceduto alla determinazione del fair value dei derivati caps, floors, opzioni su obbligazioni e su contratti swap. Il capitolo quinto si pone come finalità la ricerca di un modello matematico in grado di descrivere il comportamento dei prezzi di un azione orientata alla determinazione del valore degli Equity Derivatives. Si affronterà dapprima la trattazione dei processi stocastici di Markov e di Wiener, per giungere a quello di Itô, a partire dal quale Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton hanno sviluppato il noto modello di Black-Scholes per la descrizione del comportamento del prezzo delle azioni. All interno del capitolo verrà inoltre fatto cenno, con un esempio numerico esplicativo, all inadeguatezza delle tecniche di risoluzione afferenti alla matematica classica per la trattazione di equazioni differenziali stocastiche (SDE) ed il modo in cui i simulatori possono essere utilizzati per prevedere il possibile comportamento futuro del prezzo di un azione. Un importante risultato, che si crede di ricaduta applicativa notevole, sia in campo matematico (per la risoluzione analitica di alcune categoria di SDE), sia in campo finanziario è fornito dal Lemma di Itô, in quanto lega il prezzo di un qualsiasi Equity Derivative alla variabile stocastica sottostante 4

(ad esempio il prezzo dell azione) in funzione del tempo. Infine sono illustrati i modi in cui possono essere determinati i parametri che regolano il modello di Black e Scholes, con particolare riferimento alla trattazione della volatilità σ (parametro fondamentale per il pricing delle opzioni). Vengono proposte recenti metodologie di stima di σ : in base ai dati storici, a partire da quelle più tradizionali con schemi di ponderazione, per giungere a modelli più raffinati come l ARCH (Auto-Regressive Conditional Heteroschedasticity), EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) ed il GARCH (Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroschedasticity). Nei modelli econometrici viene dato particolare risalto all interessante tecnica GARCH, riconducibile a modelli matematici di moti browniani, rendendo pertanto possibile simulare differenti strutture a termine di volatilità (volatility term-structure). Viene illustrato un esempio di applicazione di GARCH(1,1) ad una serie storica benchmark, utilizzata in letteratura per verificare la correttezza delle previsioni, comprensivo di test statistici di rigetto per la bontà di adattamento, calibrazione dei parametri con il metodo di massima verosimiglianza (maximum likelihood method), analisi dei residui e simulazione Monte Carlo per la generazione di strutture di volatilità. Nel capitolo sesto, a partire dal lemma di Itô, viene affrontata l equazione alle derivate parziali di Black-Scholes-Merton, che vige, sotto determinate ipotesi, per ogni derivato con un sottostante azionario. Ponendo come condizioni iniziali alla PDE il pay-off di un opzione call europea e quindi quella di una put europea standard (plain-vanilla), si arriva a determinare le note relazioni per il pricing di Black e Scholes per opzioni europee scritte sul prezzo di un azione che non emette dividendi. All interno del capitolo si è affrontato il modo in cui questo approccio può essere esteso anche ad opzioni europee su azioni che pagano dividendi, ad opzioni europee con un dividend yield continuo (Merton), ad opzioni europee su valute (Garman e Kohlhagen) e ad opzioni europee contratti futures e forward (Black). Per ciascun modello è stato fornito un esempio di implementazione in ambiente Matlab, producendo la consueta verifica di coerenza e di analisi funzionale delle funzioni finanziarie implementate. La formula generalizzata di Black e Scholes (Generalized Black and Scholes Formula-BSG formula) permette di derivare implicitamente la volatilità del titolo sottostante l opzione mediante un algoritmo di ricerca dell obiettivo (goal attainment problem). Tale approccio, a patto che il mercato sia liquido, permette di derivare un espressione per σ senza avvalersi delle serie storiche. Verrà pertanto trattato e commentato il modo in cui può essere derivata tale misura in ambiente Matlab ed oggettivata l importanza dei grafici (detti sorrisi 5

di volatilità, volatility smile) che rappresentano le σ IMP in funzione dei relativi prezzi d esercizio. Per affinare i modelli di pricing alla realtà è di fondamentale importanza studiare gli effetti che relazionano le variazioni degli input con il valore ricavato in output dal modello, producendo un opportuna analisi di sensitività. La misura della sensività viene effettuata mediante la stima di grandezze, denominate Greche. Nel caso di opzioni il cui prezzo sia esplicitabile mediante formula matematica chiusa, questa costituisce la forma alle derivate parziali della BGS formula, rispetto alle sue variabili più importanti. Nella trattazione è presente sia il calcolo delle derivate delle greche, sia il modo in cui queste possono essere implementate nel calcolatore. Il capitolo termina con la trattazione di alcune formule analitiche chiuse approssimate per la prezzatura di opzioni plain-vanilla americane (Roll-Geske-Whaley, Barone-Adesi-Whaley e Bjerksund-Stensland). Nel capitolo 7 vengono affrontate le principali tipologie di opzioni europee fuori standard, dette esotiche, opportunamente modellizzate con le relative formule analitiche di pricing : le Asian Option, le Barrier Option, le Compound Option, le Lookback Option. La messa a punto di formule analitiche esplicite per la valutazione di opzioni non europee rimane un settore di ricerca complesso, al quale ricercatori scientifici stanno ancora lavorando. Nel caso di opzioni americane sono note buone approssimazioni per la determinazione del prezzo dello strumento finanziario, ma la situazione si complica notevolmente per le opzioni non standard, ovvero quelle esotiche. Gli unici risultati di natura analitica a cui si è pervenuti in questo campo riguardano quasi esclusivamente opzioni di tipo europeo. Nel caso in cui non si riuscisse a ricondurre il modello alla formulazione generalizzata di Black e Scholes, facendo ricorso a qualche espediente matematico, non resta altra scelta che quella di avvalersi di tecniche numeriche avanzate. Di queste interessanti ed innovative metodologie tratta il capitolo 8, nel quale vengono presentate le principali tipologie di alberi binomiali e trinomiali impiegati per il pricing delle opzioni, che operano traducendo nel discreto il possibile percorso stocastico dell attività finanziaria sottostante nel corso della vita stessa del contratto, determinandone così il valore del derivato. Gli Equity Tree, considerati dalla recente letteratura i più robusti, dei quali verrà proposta la trattazione matematica relativa alla descrizione del processo stocastico del sottostante, sono: 6

l albero binomiale e trinomiale di Cox-Ross-Rubinstein (CRR Tree), gli alberi equiprobabili (EQP Tree) e gli alberi binomiali e trinomiali impliciti (ITT tree), che utilizzano una struttura a termine della volatilità implicita, studiati da Derman, Kani e Chriss. Nel capitolo 9 è affrontato infine il modo in cui questi algoritmi possono essere implementati in Matlab per il pricing di opzioni plain-vanilla/esotiche (asiatiche, con barriera, composte, retrospettive), call/put e europee/americane/bermuda. La valorizzazione di questa tipologia di modelli applicati al case-study è stata comparata con il prezzo ottenuto dalle formule analitiche chiuse e dai moduli di calcolo di Bloomberg, la cui piattaforma di calcolo è costituita dalle librerie di NumeriX. 7