Equazioni e disequazioni polinomiali

Equazioni e disequazioni polinomiali Esercizio. Risolvere la seguente equazione: 3 5 + =. Svolgimento. Poiché il discriminante è positivo esistono due soluzioni distinte. Applicando la formula per le equazioni di secondo grado si trova immediatamente che tali soluzioni sono = 5 + 3 6 e = 5 3 6. Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: i) + 5 = ; ii) + + 5 = ; iii) 5 = ; iv) + + 6 =. Esercizio 3. Risolvere la seguente equazione: 8 + =. Svolgimento. Ponendo t = e sostituendo si ottiene l equazione t t+ =, che ha l unica soluzione t =. Pertanto le soluzioni dell equazione originaria sono date dalle soluzioni di =, che equivale a = = ; pertanto le soluzini sono ±. Esercizio. Risolvere l equazione 3 + =. Svolgimento. L espressione 3 + è definita solo quando il denominatore è diverso da zero; bisogna dunque imporre la condizione. L espressione si annulla quando si annulla il numeratore, cioè per = 3 e =. Questi valori di sono compatibili con le condizioni di esistenza imposte. Esercizio 5. Risolvere le seguenti equazioni: i) 5 3 675 + 5 5 3 3 = ; ii) 3 + 8 = ; iii) 5) 7 + ) = ; iv) 5 + = ; v) 3 + vi) = ; 3 + + + 5 = ; vii) + 5 + 6 = ; viii) + 5 =. Esercizio 6. Risolvere la seguente disequazione: + 3 +.

Figura : Grafico di p) = + esercizio 6) con evidenziata la sua parte Figura : Grafico di f) = + 3, grafico di g) = + e area in cui f) g)

Svolgimento. Riscriviamo la disequazione data nella forma +. Troviamo innanzitutto le radici del polinomio p) = + ossia le soluzioni di + = ): la solita formula per le equazioni di secondo grado ci fornisce le soluzioni = 3 e = + 3. Poiché il coefficiente direttore di p) è positivo, si ha che p) per valori di esterni alle due radici trovate, cioè e, o, equivalentemente, per, ] [, + ). Notare la rappresentazione grafica delle soluzioni trovate: in figura è designato il polinomio le cui radici abbiamo calcolato per risolvere l esercizio, mentre in figura sono rappresentate le due funzioni date nel testo dell esercizio. Poiché quello che ci interessa sono i valori di che soddisfano la disequazione le due immagini rappresentano solo due modi diversi di vedere la soluzione. Esercizio 7. Risolvere la disequazione 7 + + Svolgimento. Per prima cosa imponiamo la condizione di esistenza. Dopodiché studiamo separatamente numeratore e denominatore. 7 + quando 3 e, mentre + > quando >. Possiamo rappresentare graficamente gli intervalli di positività come segue linea continua = positivo, linea tratteggiata = negativo):. - 3 7 + + - + - + La disequazione è verificata dove numeratore e denominatore hanno lo stesso segno, cioè per, 3] e [, + ). Esercizio 8. Risolvere le seguenti disequazioni: i) 3 + )9 8) < ; ii) 3 3 + ; iii) + < ; iv) + ; v) + >. Esercizio 9. Ripetere l esercizio 5 sostituendo = con >, <, e. Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi Esercizio. Calcolare 3 ) i) log π π) π ; ii) π π ) dove è un generico numero reale diverso da. Esercizio. Risolvere al variare del parametro a > la disequazione a ) 5 + 6) >. 3

Esercizio. Risolvere al variare del parametro a > la disequazione a 5)3 5 + a) >. Svolgimento. Imponiamo innanzitutto la condizione a > affinché l esponenziale esista. Per studiare il segno del prodotto di tre fattori si deve studiare separatamente il segno di ciascuno: si ha che, qualunque sia la base a >, a > per ogni, quindi a < per ogni ; per quanto riguarda il secondo fattore invece si ha che 5 > se e solo se > 5. Il terzo fattore è più delicato, bisogna distinguere tre casi: Caso I 5 a <, ossia a > 5/. Essendo il discriminante negativo, l equazione 3 5 + a = non ammette soluzioni e si ha che 3 5 + a > per ogni poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo. Pertanto la disequazione iniziale è soddisfatta per < 5. Caso II 5 a =, ossia a = 5/. Ragionando come sopra si vede che 3 5 + a per ogni e che 3 5 + a = se e solo se = 5/6, pertanto la disequazione iniziale è soddisfatta se, 5/6) 5/6, 5) si noti che le soluzioni sono le stesse del caso precedente con l esclusione del punto = 5/6). Caso III 5 a >, ossia a < 5/. Si ha che 3 5 + a > per, ) +, ) dove si è posto = 5 5 a, + = 5 + 5 a. 6 6 Bisogna dunque capire dove si trovano i punti e + rispetto a = 5 che è il punto in cui il secondo fattore cambia segno). Dato che 5 a è positivo, 5 5 a è minore di 5 e quindi anche minore di 6, dunque < < 5 =. Per capire se + è maggiore o minore di notiamo che la funzione fa) = 5 a è decrescente in a: se infatti scegliamo b > a abbiamo che fb) fa) = 5 b 5 a) = a b) <, cioè fb) < fa). Poiché la radice quadrata è una funzione crescente, si ha che anche 5 a è una funzione decrescente di a; questa osservazione insieme con il fatto che < a < 5/ ci dice che per ogni a ammissibile sempre nel caso II che stiamo consideranso, gli altri sono già stati studiati) 5 a deve essere minore di 5, che è il valore che 5 a assume in a =. Ne segue che + = 5 + 5 a 6 < 5 + 5 6 = 5 3 < 5 per ogni a, 5/). Possiamo) dunque concludere che in questo caso la disequazione originale è risolta per, 5 ) 5 a 6 5+ 5 a 6, 5. Esercizio 3. Trovare i valori di che soddisfano l equazione 3 = 5. Svolgimento. Poiché = 3 log 3, possiamo riscrivere l equazione come 3 = 3 log 3 5 ) che è soddisfatta se e solo se = 5 log 3 log 3 ), cioè se e solo se +log 3 ) 5 log 3 =. Questo è un polinomio di secondo grado in che può essere facilmente studiato con i metodi visti sopra. Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni ed equazioni: i) 3 + e 3 + ; ii) log 7 + ) < ; iii) + + 5 = ;

iv) 7 + + 7 = 5 ; v) 9 3 3 + ; vi) log = 7 ; vii) log = 7 ; viii) log + 5 = 3. Esercizio 5. Risolvere log3 ) > log 3 + ). Svolgimento. Iniziamo a imporre le condizioni di esistenza per entrambi i membri della disequazione. Per il termine di sinistra deve essere > perché esista il logaritmo, dunque <, > ; deve essere inoltre log 3 ) perché esista la radice; dato che la base del logaritmo è maggiore di quest ultima condizione equivale a, cioè, ; con considerazioni analoghe si vede che perché esista il termine di destra si deve avere. Mettendo insieme le tre condizioni trovate si ha che tutti i termini che appaiono nella disequazione esistono per. La funzione y y è crescente su R + pertanto per risolvere l esercizio è sufficiente risolvere la disequazione log 3 ) > log 3 + ). A sua volta la funzione z log 3 z è crescente su R + \ {} dunque ci si può ridurre a risolvere > +, che è soddisfatta per < 3 e > + 3. Confrontando quanto ottenuto con le condizioni di esistenza si conclude che la disequazione originaria è soddisfatta per > + 3. Esercizio 6. Cosa cambia nell esercizio precendente se si considerano i logaritmi con base 3 invece che con base 3? Esercizio 7. Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni e disequazioni: i) > ; ii) log 3 log 3 > ; iii) log 3 log 5 )) < ; iv) log 3 = 3 ; v) 5 + + 5 = ; vi) log 3 ) = log 5 ) ; vii) 6 5 ; viii) log ) log 8 ) = 5 3. 5

Figura 3: Grafici di sin) e sin) nell intervallo [, π] con le loro intersezioni esercizio 9) Equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche Esercizio 8. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: i) sin3) = 3 ; ii) sin cos = ; iii) sin cos = ; iv) sin t cos t < ; 3 v) sin t cos t < ; vi) sin t cos t 5 sin t + cost) +. Esercizio 9. Trovare i valori di compresi nell intervallo [, π] tali che sin) = sin). Svolgimento. Applicando la formula sina) = sin a cos a con a = e sostituendo si ottiene sin) cos) = sin). La funzione sin) si annulla in =, = π e = π quindi questi tre valori sono soluzioni dell equazione. Ce ne sono altre? Per, π e π si ha che sin), pertanto possiamo dividere entrambi i membri dell equazione per sin) ottenendo cos) =, che ha soluzioni = π 6 e = 5 6π. Abbiamo dunque cinque soluzioni distinte nell intervallo [, π]. Dalla figura 3 è evidente che oltre ai valori di per i quali si annullano sia sin) sia sin) dovevamo aspettarci altre due soluzioni. Esercizio. Trovare i valori di che soddisfano l equazione 5 sin + 5 sin cos cos =. ) Svolgimento. Applicando l identità fondamentale sin + cos = riscriviamo la ) come sin + 5 sin cos 3 cos =. ) 6

Notiamo che cos si annulla solo nei punti in cui cos =, cioè = π + kπ, k Z, e che si ha sin π + kπ) = per qualunque k, dunque sicuramente tali punti non sono soluzioni dell equazione. Possiamo allora supporre cos e dividere la ) per cos ottenendo tan + 5 tan 3 =. 3) Poniamo t = tan e calcoliamo le radici del polinomio t + t, che risultano essere t = e t = 6. Le soluzioni dell equazione ) sono dunque = arctan) + kπ = π + kπ, k Z, e = arctan 6) + kπ, k Z la funzione arcotangente, y = arctan), è la funzione inversa della tangente sull intervallo [ π, π ], cioè la funzione che associa a un numero l unico numero y [ π, π ] tale che tan) = y). Esercizio. Risolvere l equazione tan + π = tan + ). ) Svolgimento. Notiamo che l equazione ha senso solo per π + kπ, k Z. Dalle formule e ricaviamo che per a = b diventa sina + b) = sin a cos b + sin b cos a cosa + b) = cos a cos b sin a sin b sina + b) tana + b) = cosa + b) sin a cos b + sin b cos a = cos a cos b sin a sin b = = = sin a cos b+sin b cos a cos a cos b cos a cos b sin a sin b cos a cos b sin a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b tan a + tan b tan a tan b, + sin b cos a cos a cos b sin a sin b cos a cos b tan a tana) = tan a. Applicando questa formule nella ) nel termine di sinistra si pone = /) troviamo tan ) tan ) + = + tan ) tan ) o equivalentemente ) tan tan ) + )) = + tan. 5) Ponendo t = tan ) e sostituendo nella 5) otteniamo il polinomio di secondo grado + )t + che ha radici t, = ± ), da cui segue, = ± arctan ) + kπ, k Z l arcotangente è una funzione dispari). 7

Esercizio. Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni: i) sin > ; ii) log sin + cos ). Svolgimento traccia). i): poiché la base dell esponenziale è maggiore di la disequazione è soddisfatta se e solo se sin >, cioè se e solo se sin >. ii): poiché la base del logaritmo è maggiore di la disequazione è soddisfatta se e solo se sin + cos. Possiamo elevare al quadrato ambo i membri ottenendo la disequazione sin). Le soluzioni di quest ultima equazione corrispondono alle soluzioni di sin + cos elevando al quadrato abbiamo aggiunto soluzioni); dovremo dunque considerare solo le soluzioni tali che sin +cos, e questo può essere fatto per esempio considerando, tra quelle trovate precedentemente, solo quelle soluzioni per le quali sin e cos. Esercizi facoltativi) con le formule di prostaferesi Esercizio 3. Risolvere l equazione Svolgimento. Applicando la formula di prostaferesi sin + sin3) + sin5) =. 6) sin a + sin b = sin a + b cos a b con a = e b = 5 e sostituendo nella 6) otteniamo si ricordi che il coseno è una funzione pari) sin3) + cos) ) = che ha soluzioni = π 3 + kπ e = π 3 + kπ, k Z. Esercizio. Risolvere l equazione sin ) cos + sin cos)) + sin) sin) + cos) cos) + cos = 7) nell intervallo [, π]. Svolgimento. Operiamo le seguenti sostituzioni nell equazione: cos = sin grazie all identità fondamentale; cos) cos) = sin3) sin applicando la formula di prostaferesi per cos a cos b ; sin) = sin cos e sin) = sin) cos) applicando la formula di duplicazione del seno. Il membro di sinistra della 7) diventa dunque sin ) cos + sin cos )+ sin) cos) sin) cos) sin3) sin + sin = = sin) cos + sin cos) =) ) sin3) sin + sin = = sin 3) sin3) sin + sin = = sin3) sin ) dove si è fatto uso della formula sin a cos b + sin b cos a = sina + b). Bisogna dunque risolvere l equazione sin3) sin ) = che equivale a risolvere sin3) sin =. Applicando la formula di prostaferesi sin a sin b = cos ) a+b sin a b ) si arriva all equazione cos) sin = che ha le sette soluzioni =, = π, = 3 π, = π, = 5 π, = 7 π, = π, riportate in figura. 8

Figura : Grafici di sin3) e sin nell intervallo [, π] e loro intersezioni esercizio ) Calcolo di iti di funzioni Esercizio 5. Calcolare i seguenti iti: i) ii) + 3 ; 3 ; iii) 3 ; iv) π tan ; v) vi) vii) viii) tan ; π + 5 ; + 5 ; 5. Esercizio 6. Calcolare i iti a + e della funzione polinomiale p) = + +. Svolgimento. È immediato constatare che p) = +. A invece si presenta la forma di + indecisione. Notiamo però che grazie alle proprietà dei iti si ha + + ) + + = = + + ) = +. Esercizio 7. Calcolare i iti per + e delle seguenti funzioni e confrontare i risultati ottenuti: { { + per < + per f ) =, f ) = per per >. Esercizio 8. Stabilire se la funzione f) = { ) 3 se, ] 3 7 se, + ) 9

è continua su tutto il proprio dominio. Esercizio 9. Trovare gli intervalli nei quali le seguenti funzioni sono continue e calcolare i iti agli estremi dei rispettivi dominio e negli eventuali punti di discontinuità: i) + )3 ; ii) ; iii) ; iv) + + ; v) + 3 vi) + ; ; vii) 3 8 ; viii) + + ; i) ) i) 3 + ; 3 + ;. Svolgimento parziale). iv) La funzione f) = + )/ + ) è quoziente di funzioni continue quindi è continua dove è definita, cioè su R \ { }. Calcoliamo + ) + ± + = ± + = ± + + + + = ) = ± ; perché per < il numeratore è positivo e il denominatore è negativo, + + + = + perché per > il numeratore è positivo così cme il denominatore. v) La funzione è continua ovunque tranne che in = ; si vede facilmente che dato che + 3 = per si ha f) = +. Pertanto + 3 = ± ; ± + ) ) + 3 = 5. vi) La funzione è continua ovunque tranne che in = ±. Con considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si vede che + ± = ) + ± ) = ; + = + + = + ; + + = + =.,

i) La funzione è definita per,, si ha dunque Domf) = [, ), + ). È immediato verificare che = + e che + = Analogamente, poiché per, si trova ) + ) = + = +. + + =. Esercizio 3. Calcolare i seguenti iti: i) + + 3 ; ii) iii) 5 + 3 ; sin 7 6 ) + π ) ; 3 iv) v) vi) cos + π ) ; tan + π ) ; π + tan + π ). + Derivate e studi di funzione Esercizio 3. Calcolare, usando la definizione, la derivata della funzione { se, ] f) = se, + ) e stabilirne il dominio. Esercizio 3. Calcolare la derivata di f) = 3 5 + 6 + ). Esercizio 33. Studiare la funzione e disegnarne un grafico qualitativo. f) = 5 + 3 Svolgimento. Il dominio di f è l insieme R\{3} e la funzione è continua in ogni punto del proprio dominio in quanto quoziente di funzioni continue. La funzione si annulla dove si annulla il numeratore, ossia nei punti = 5 7 5 + 7 e. Notiamo che è sicuramente maggiore di, è compreso tra e / ed entrambi sono sicuramente minori di 3. Dobbiamo calcolare i iti agli estremi del dominio, cioè a e a +, e nell unico punto di discontinuità, cioè per che tende a 3 ±. Non è difficile verificare che f) =, + f) = +, f) = +, 3 fs) =. 3 +

Questo ci dice che f ha un asintoto verticale in = 3; poiché abbiamo iti infiniti all infinito dobbiamo controllare se ci sono anche asintoti obliqui. Si verifica che e f) ± = f) + ) = ; ± la retta y = è dunque un asintoto obliquo di f sia per + sia per. Cerchiamo ora gli intervalli in cui f cresce o decresce e gli eventuali punti a tangente orizzontale studiando la derivata f. f è derivabile in tutti i punti del suo dominio in quanto quoziente di funzioni derivabili ovunque; applicando la regola di derivazione di un quoziente si ottiene f ) = + 3 ). Poiché il denominatore di f è sempre positivo su Domf ) = Domf) il segno della derivata dipende dal segno del numeratore. La derivata si annulla nei punti = 3 e = 3 +, è positiva per, ) e negativa altrove; pertanto è un punto di minimo locale e è un punto di massimo locale. Si può calcolare quanto vale la funzione in questi punti e usare una calcolatrice per stabilire in che ordine sono,, e, ma anche senza fare calcoli si possono fare alcune considerazioni che aiutano a disegnare il grafico. La funzione va a sia per che tende a 3 + sia per che tende a +, è continua dove è definita e non si annulla mai per > 3, dunque nel punto di massimo deve assumere un valore negativo. Nell intervallo, 3) invece la funzione interseca l asse delle ascisse solo in due punti, è continua e ha un unico punto di minimo siamo sicuri che sia unico perché f è derivabile su tutto, 3) quindi tutti i punti stazionari in tale intervallo sono punti in cui la derivata si annulla); l unica possibilità è quindi che il punto di minimo si trovi tra i due zeri di f, cioè < <. Dato che la funzione è continua, va a + agli estremi di, 3), non si annulla in altri punti ed è sempre decrescente in, ) e sempre crescente in, 3), si deve avere f ) <. Studiamo infine la derivata seconda di f: applicando nuovamente la regola di derivazione di un quoziente si trova f 8 ) = 3), dunque f > per < 3 e f < per > 3. Questo ci dice che f ha la concavità rivolta verso l alto a sinistra dell asintoto verticale e rivolta verso il basso a destra. Mettendo insieme tutte le informazioni trovate possiamo disegnare il grafico di f, vedi figura 5. Esercizio 3. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne dei grafici qualitativi: i) f) = 3 5 + 3 ; ii) g) = + 3 ; iii) h) = + 3 iv) w) = 3 ; v) y) = ) 3 + 5. ; Esercizio 35. Studiare la funzione f) = e cos.

Figura 5: Grafico di f), esercizio 33 Svolgimento. Notiamo che f + π) = e cos+π) = e cos = f) quindi f è periodica di periodo π; possiamo pertanto studiarla solo sull intervallo [, pi). La funzione è definita ovunque, continua in quanto composizione di funzioni continue) e sempre positiva. Calcoliamo le derivate: f ) = e cos sin, f ) = e cos sin ) e cos cos = e cos sin cos ). Dato che e cos < sempre, si ha f < quindi f decrescente) in, π), f > quindi f crescente) in π, π) e f = nei punti = e = π, che devono necessariamente essere rispettivamente un massimo locale e un minimo locale; si ha inoltre f) = e e fπ) = /e. Studiamo la concvità di f tramite la derivata seconda; il termine e cos è sempre positivo, quindi il segno di f è determinato da quello di sin cos. Grazie all identità fondamentale sin + cos = si trova che sin cos = cos cos. Effettuiamo la sostituzione ) t = cos e studiamo il polinomio di secondo grado pt) = t t + : p si annulla per t ± = ± 5, è positivo nell intervallo ) )) 5, + 5 ) ) e negativo altrove. Siccome 5 < non esistono valori di tali che cos = 5, ) mentre esistono sicuramente due valori e in [, π) tali che < e cos = + 5, anche se non sappiamo calcolarli esplicitamente senza l aiuto di una calcolatrice. Avremo dunque che cos cos + è maggiore di quando cos )), + 5, ossia per, ), è minore di quando cos )) + 5, ossia per, ) e, π) ed è infine uguale a in e. I punti e sono dunque punti in cui la funzione cambia la concavità, cioè punti di flesso con tangente obliqua). Il grafico di f è rappresentato in figura 6. Esercizio 36. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne dei grafici qualitativi: i) f) = log cos + 8 sin 7 ) ; ii) f) = log + ) ; iii) f) = log + ) ; iv) f) = log. Esercizio 37. Studiare la funzione v) = cos sin. 3

Figura 6: Grafico di f) con evidenziati i punti di cambio di concavità, esercizio 35 Svolgimento. Si tratta di una funzione abbastanza difficile da studiare con precisione, ma si riesce comunque a capire abbastanza bene come è fatta con le poche informazioni che si riescono a ricavare in modo semplice. Il dominio di v è tutto R. Notiamo subito che v ) = v) per ogni R, cioè v è dispari; possiamo dunque ridurci a studiarla solo sulla semiretta >. La funzione è continua su tutto il proprio dominio, il ite di v per + non esiste se si pensa alle funzioni trigonometriche semplice questo è intuitivamente vero, anche se non lo dimostiamo rigorosamente). La funzione si annulla in tutti i punti tali che tan = ; è immediato vedere che = è uno di questi punti, mentre non ricaveremo esplicitamente tutti gli altri. Si noti comunque che l equazione tan = ha infinite soluzioni si disegnino i grafici di y = tan e y = per convincersene). La derivata è la funzione v ) = sin, che si annulla in = kπ per ogni N. In tali punti la funzione v vale se k è pari e se k è dispari. Inoltre v è positiva in tutti gli intervalli della forma kπ, k +)π con k dispari, e negativa negli intervalli kπ, k +)π con k pari. La derivata seconda è v ) = cos sin ma è abbastanza difficile studiarne il segno quindi non lo faremo. Ciononostante ricordando che la funzione è continua e mettendo insieme le informazioni ricavate possiamo disegnare un grafico ragionevole di v riportato in figura 7). La regola di De l Hôpital Esercizio 38. Calcolare i seguenti iti facendo ricorso, se necessario, alla regola di De l Hôpital: i) 3 5 + + ; ii) iii) iv) v) + log ; log ; + log cos ) ; sin ) ;

Figura 7: Grafico di v), esercizio 37 vi). + Svolgimento. Useremo la notazione totalmente arbitraria) H = ogni volta che applicheremo il teorema di De l Hôpital le cui ipotesi vanno verificate di volta in volta, anche se qui non lo faremo). i): ii): iii): 3 5 + H 6 3 + = + H 6 3 8 = = 6. + log H = + log log = + + H = iv): notiamo innanzitutto che da sin = segue, tramite un semplice cambio di variabili, che ) Abbiamo allora + sin + log cos ) = + H = + = + = +. =. log cos cos = + = + =. ) sin 3 cos ) ) sin ) =. 5

v): vi): grazie a quanto ottenuto in iii). sin ) sin = sin H = H = cos sin + cos sin cos sin =. + = + e log = e + log = Esercizio 39. Calcolare i seguenti iti: i) cos ; ii) π iii) sin) sin ; log ). Esercizio. Studiare la funzione sapendo che f ) > per ogni Domf). f) = 3 + Svolgimento. Siccome 3 + è una quantità sempre positiva, f è definita dove è definita, cioè per / e /, e in tali intervalli è continua in quanto somma di funzioni continue. f interseca l asse delle ascisse in tutti i punti nei quali 3 + =. Elevando al quadrato otteniamo 3 + = cioè + =, che non è mai verificata, quindi f non si annulla mai; siccome in = ± vale, è sempre positiva. Inoltre è una funzione pari, cioè f ) = f), quindi possiamo itarci a studiarla per. È immediato verificare che 5 ) + f) = e che Controlliamo se f ha un asintoto obliquo a + : f) = +. + f) + = 3 + ) = 3 ; + + f) 3 ) = 3 + 3 + ) + 3 + 3 = + + H = + = + =. 3 + 3 3+ 3 + ) 6

Figura 8: Grafico di f), esercizio, con evidenziati massimi e minimi Quindi la retta y = 3 ) è asintoto obliquo di f per +, e per simmetria f è pari!) la retta y = 3) è asintoto obliquo di f per. La derivata di f è f 6 ) = 3 + = 6 3 +. 3 + ) ) Notiamo che Domf ) =, / ) /, + ) Domf), dunque f non è derivabile nei punti = ±/ pur essendo ivi continua. Siccome su Domf ) il denominatore di f è sempre positivo, il segno della derivata è dato dal segno del numeratore. Ricordando che stiamo studiando f solo sul semiasse positivo abbiamo che il numeratore di f è positivo quando 3 > 3 +, cioè quando > 3/6. f sarà dunque decrescente su [/, 3/6) e crescente su 3/6, + ), pertanto in = 3/6 ha un minimo. Questo ci dice anche che in = / f ha un massimo, che non abbiamo trovato studiando la derivata dato che la funzione non è derivabile in tale punto. Quanto abbiamo trovato è perfetamente compatibile con l informazione che il testo dell esercizio ci forniva, cioè che la derivata seconda è sempre positiva. Grazie alla simmetria di f possiamo disegnare un suo grafico qualitativo figura 8). Esercizio. Risolvere la disequazione al variare del parametro a R. a ) ) a 5 + 6 ) > Svolgimento traccia). Deve essere a > perché la disequazione abbia senso. Il primo termine è sempre negativo, il secondo è positivo se > / e negativo altrimenti, resta da studiare il terzo termine. Si vede che per a > a 5 + 6 è sempre positivo, per a = si annulla in un punto e per < a < si annulla in due punti e ed è negativo per ogni, ). Bisogna capire dove si trovano e rispetto a /, e a tale scopo bisogn studiare le funzioni nella variabile a, ). Si trova che: ± a a 7

per a la disequazione è soddisfatta da tutti gli < /; per < a < la disequazione è soddisfatta per < / e a Esercizio. Risolvere la disequazione al variare del parametro a R. log a ) a ) ) ) a < < a + a. Integrazione: metodi elementari Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali: i) π cos d, ii) π cos) d. Svolgimento. Basta applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale. i): π cos d = sin = sin π sin = ; ii): π cos) d = π π cos) d = sin) π =. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali: i) π sin d ; vi) 3 d ; ii) 3 d ; vii) e d ; iii) d ; viii) d ; iv) v) π + 3 + ) d ; sin + 3 5 + ) d ; i) ) π π ) d ; 3 cos d. Esercizio 5. Calcolare: i) ii) π tan d ; sin ) d ; iii) π cos sin d. 8

Svolgimento. i): ii): π π ) tan d = tan d + π π = π = tan π d + π = π. π sin ) d = cos sin ) = cos sin. tan d π iii): π cos sin d = logsin ) π = log sin π =. )) log sin ) Esercizio 6. Calcolare: i) d ; iii) π π sin 5 cos d ; ii) π sin e cos d ; iv) cos d. Esercizio 7. Calcolare le primitive delle funzioni Esercizio 8. Calcolare gli integrali seguenti: i) ii) iii) + + d ; d ; d. Esercizio 9. Calcolare le primitive seguenti: f) = tan, g) = tan3 + 5). sin cos d, 3 3 + ). 9

Integrazione per parti e per sostituzione Esercizio 5. Trovare le seguenti primitive: i) sin d ; iv) log d ; ii) cos d ; v) arctan d ; iii) log d ; vi) e sin d. Svolgimento. i) Applicando la formula di integrazione per parti f g = fg f g con f) = e g ) = sin troviamo sin d = cos cos ) d = cos + sin + C. iii) Scegliamo f) = log e g ) = : log d = 3 3 log d = 3 3 log 3 3 + C. iv) Scriviamo log d = log d e nella formula di integrazione per parti scegliamo f) = log e g ) = ottenendo log d = log d = log + C. v) arctan d = arctan + d = arctan + d = arctan d + = arctan + arctan ) + C. + d vi) Integrando per parti si arriva all uguaglianza e sin d = e cos + e cos d = e sin cos ) e sin d ; portando a primo membro l integrale che compare nell ultima riga si trova e sin d = e sin cos ) + C.

Esercizio 5. Calcolare: π π cos d, π sin d, e log d. Esercizio 5. Trovare le primitive della funzione f) = +. Svolgimento. Ricordiamo innanzitutto che d = arctan + C. + Scriviamo dunque: + d = + ) d = + ) d e applichiamo la sostituzione t = /, che implica dt = d, ottenendo + ) d = + t dt = arctan t + C, dunque Esercizio 53. Calcolare: + d = arctan + C. + d, 3 + d, 9 π 6 arctan d Hint: sfruttare l esercizio 5v)). Esercizio 5. Trovare le primitive di Svolgimento. f) = sin cos 3 etan. sin cos 3 d = sostituiamo tan = t, da cui dt = / cos ) d) = te t dt tan cos etan d integriamo per parti) = te t e t dt = te t e t + C = e tan tan ) + C.

Figura 9: Cerchio di raggio r = esercizio 55).

Figura : Grafico di f) = e area sottesa; grafico di u) = esercizio 55). Esercizio 55. Calcolare l area del cerchio di raggio. Svolgimento. Nel piano munito di coordinate cartesiane, y), il cerchio di centro a, b) e raggio r è l insieme {, y) R tali che } a + y b r. Nel nostro caso r = e, dato che l area non dipende da dove è posizionato il centro del cerchio, possiamo scegliere come centro il punto, ). Dobbiamo dunque trovare l area dell insieme C = {, y) R : + y }. 8) La circonferenza che è la curva che deita il cerchio) non può essere espressa nella forma y = f) o nella forma = gy)), in quanto ad ogni [, ] corrispondono due valori di y vedi figura 9); più precisamente dalla 8) segue che ad ogni [, ] corrispondono sulla circonferenza i due valori y = ±, pertanto la corrispondenza [, ] y [, ]:, y) C non è una funzione. Possiamo però considerare la semicirconferenza superiore, che è il grafico della funzione y = f) = ; avremo allora che l area del semicerchio A compreso tra l asse delle e il grafico di f è metà dell area del cerchio figura ). Per trovare l area di A è sufficiente calcolare d. Sostituendo = sin t, d = cos t dt ci si riconduce a calcolare arcsin) arcsin ) sin t cos t dt = π π cos t cos t dt ; 3

nell intervallo [ π/, π/] si ha cos t quindi cos t = cos t = cos t, pertanto si può scrivere ricordando l esercizio 5) = π π cos t dt = cos t sin t + t) π π = π. Pertanto areac) = areaa) = π, a conferma del fatto che l area del cerchio di raggio r è uguale a πr.